CAPÍTULO 1 Teoria do Estado de Tensão
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- Lucas Azevedo Cerveira
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1 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança CAPÍTULO Toria do Estado d Tnsão Tnsor das tnsõs: s, s, s TENSÕES NORMAIS s ij, i j TENSÕES TANENCIAIS Convnção d sinais: Tnsõs m dtrminada facta são positivas s orintadas para a part positiva dos ios coordnados. Equação fundamntal da anális d tnsõs (Fórmula d Cauch): ( n) ( n) ( n) j ij ni n n ( n ) - vctor tnsão na facta idntificada pla normal n ; n - tnsor das tnsõs; - co-snos dirctors da normal à facta; ( n ) n ( n) n ( n) n s ij componnts do tnsor das tnsõs; i io normal à facta m qu actua a componnt d tnsão; j dircção sgundo a qual actua a componnt d tnsão; Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil
2 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança Tnsõs dircçõs principais - Via Analítica: As componnts principais do tnsor das tnsõs (tnsõs principais) são os valors próprios da matri do tnsor as dircçõs principais obtêm-s dos corrspondnts vctors próprios. Da rsolução da quação caractrística do tnsor: ou I ij I obtêm-s as raís (tnsõs principais): m qu: I δ ij,, II 0 I > II > III Invariants da quação caractrística: I III 0 I (traço ou ºinvariant ou invariant linar) I (º invariant ou invariant quadrático) I (º invariant ou invariant cúbico) NOTA: um invariant é uma granda qu não dpnd do sistma d ios, isto é, não varia prant uma mudança d coordnadas. O sistma homogéno d quaçõs linars: ( δ ) n 0 ij ij i Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil
3 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança forncrá, para I, II III, os vctors dfinm os ios principais d tnsão. ( I ) ( II ), ( III ) qu n n n Mudança do sistma d ios: A T A A matri d transformação (mudança d ios); cos A cos cos ( n ) ( ) ( ) ^ n cos n ^ n cos n ^n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ^ n cos n ^ n cos n ^ n n ^ n cos n ^ n cos n ^ n Outras prssõs importants: ( n ) n N τ N ( n ) τ má I III Circunfrência d Mohr: - Estado Plano d Tnsão:, rfrido aos ios X X. Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil
4 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança Dtrminação das tnsõs principais: ) Marca-s num diagrama s N, t o ponto rprsntativo do io X, qu é o ponto d coordnadas s s (s marcado com o vrdadiro sinal). O ponto rprsntativo do io X sria marcado com s com o sinal trocado. ) Dfin-s a posição do cntro C da circunfrência através da prssão: OC fa-s passar uma circunfrência d cntro m C plo ponto rprsntativo do io X. ) As tnsõs principais corrspondm aos valors trmos das tns~s normais, isto é, corrspondm aos pontos m qu a circunfrência d Mohr intrspta o io das tnsõs normais. I OC R II OC R NOTA: Nstas prssõs para o cálculo das tnsõs principais é ncssário tr cuidado com os sinais! O ângulo θ qu os ios principais X I X II stão rodados rlativamnt aos ios X X é mtad do ângulo formado por [CX] o io N, o sntido d rotação na circunfrência é o oposto ao ral. Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil 4
5 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança CAPÍTULO Toria do Estado d Dformação Vctor Dslocamnto: Admitindo dformaçõs homogénas, o vctor dslocamnto é uma função linar d. Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil 5
6 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança ( u(, ) ; v( ) ) d,,sólido contínuo homogéno d u v (, ) (, ) A D B C E F Etnsão: AB AB AB A B AB ( ) AB Componnts d dformação: Elmntos do tnsor das dformaçõs. [ O, X, Y ] du dv,, d d du d dv d DISTORÇÃO: γ Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil 6
7 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil 7 Etnsão numa dircção d: α α α α...cos. cos. sn sn d Etnsão volumétrica: Valor acto: v..... Na hipóts d pqunos dslocamntos: 0 0 I V V V v CAPÍTULO Rlaçõs constitutivas: Li d Hook gnraliada Rlaçõs dformação tnsão: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] θ θ θ E E E m qu: θ
8 Escola Suprior d Tcnologia stão - Instituto Politécnico d Bragança Apontamntos para as aulas práticas d Mcânica Aplicada II º Ano d Eng. Civil 8 Rlaçõs tnsão - dformação: λ λ λ m qu: ( ) ( ) ( ) λ E l - constant d Lamé
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