MODELOS CONSTITUTIVOS

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1 Programa d Pós-Graduação m Engnharia Civil Univrsidad Fdral d Alagoas MODELOS CONSTITUTIVOS Prof. Svrino Prira Cavalcanti Marqus COMPORTAMENTO UNIAXIAL

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4 COMPORTAMENTO UNIDIMENSIONAL DE MATERIAIS ESTRUTURAIS F Tst d Tração Axial Carga quas-stática Tmpratura modrada V L Tnsão d Engnharia ou Lagrangana: 11 = F A o F A Tnsão Ral ou Eulriana: r 11 Dformação d Engnharia ou Lagrangana: = F A 11 = L L o Dformação Logaritmica: l = ln 11 L L o L = L Lo

5 A vlocidad do carrgamnto dv sr baixa para vitar fito dinâmico A tmpratura não dv sr alta para vitar fitos dpndnts do tmpo u r l p A B C D A Limit d proporcionalidad B Limit lástico C tnsão última α D tnsão d ruptura E = tan α = módulo d lasticidad

6 Diagramas tnsão-dformação Cargas baixas A A o r Cargas altas A Ao r r ( < )

7 ngativo F gargalo F r = A = A o df = dδ A d dδ r d A dδ o = positivo r da dδ F df d Tnsão última = = 0 dδ d δ r d A dδ r = da dδ r d dδ 1 r da da = < 0 A dδ dδ r é crscnt No gargalo as dformaçõs são inlásticas grands Escoamnto plástico localizado do matrial

8 MATERIAL INCOMPRESSÍVEL F l l2 1 l 3 F F l l 2 1 l 3 F l Matrial incomprssívl V = 0 l l l ) /( l l ) 1 ( = ln l 1 l 2 l3 ln ln = l l l ln1 l l l = 0 l L = ln = ln L o L o L L o l = ln(1 ) l = xp( ) 1

9 MATERIAL INCOMPRESSÍVEL = l l l 0 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 ln( = 0 )] )(1 )(1 1 ln[( = 1 ) )(1 )(1 1 ( = = Dsnvolvndo: Admitindo pqunos: = p ν = = 5 = 0, ν p Dfinindo i

10 Tnsão Convncional d Escoamnto As dificuldads d obtnção do limit lástico do matrial lvam ao uso d um valor convncional para a tnsão corrspondnt ao início do comportamnto inlástico Y B Valor prático: r = 0,002 r Y α r α Y = Dformação rsidual plástica após a dscarga do corpo d prova = tnsão d scoamnto convncional do matrial

11 MATERIAIS ELÁSTICOS NÃO LINEARES carga dscarga Exmplos: Alguns tipos d borracha

12 MATERIAIS ANELÁSTICOS O lmnto rtoma a gomtria inicial quando dscarrgado, mas, a curva d dscarga não coincid com a curva d carga carga E d dscarga Exmplos: alguns tipos d borrachas. Usadas para Amortcimnto d vibraçõs E d = ára corrspondnt à nrgia dissipada no procsso cargadscarga (nrgia térmica)

13 MATERIAIS COM ENDURECIMENTO Endurcimnto (strain hardning) propridad dfinida plo aumnto contínuo da tnsão axial com a volução da dformação axial após o ponto d scoamnto. Y 2 Y1 Y carga 1 Y Y dscarga (1) carga (2) Y 1 dscarga (2) carga (3) > Y d > 0 d Trajtórias carga-dscarga praticamnt rtas coincidnts, parallas ao ramo lástico linar inicial Após dscarga carga conscutivas, ocorr um aumnto da tnsão d scoamnto Y 2

14 MATERIAIS COM ENDURECIMENTO Na ralidad as trajtórias carga-dscarga conscutivas não são coincidnts carga dscarga Enrgia dissipada O aumnto da tnsão d scoamnto com o procsso dscarga-carga acontc apnas na dirção do carrgamnto. Nas dirçõs normais não xist aumnto, o qu significa a indução d anisotropia no matrial

15 EFEITO BAUSCHINGER Fnômno traduzido pla rdução da tnsão d scoamnto à tração (comprssão) quando o matrial é dscarrgado à comprssão (tração) no rgim plástico aplicada uma tração (comprssão) na msma dirção. Yc comprssão Yt tração Y Yt < Y = Tnsão d scoamnto do matrial virgm

16 EFEITOS DEPENDENTES DO TEMPO Muitos matriais aprsntam curvas tnsão-dformação dpndnts da vlocidad ou taxa do carrgamnto. Em gral, o diagrama corrspondnt à maior taxa s localiza por cima daqul rlativo à carga mais lnta. & 2 & 1 & > & 2 1 Efitos viscolásticos ou viscoplásticos Via d rgra, os fitos dpndnts do tmpo são acntuados com o aumnto da tmpratura

17 DEFORMAÇÃO POR FLUÊNCIA F F = constant c p dformação d fluência c l F 0 t t ( t) = ( t) l p c Em gral, a curva d fluência dpnd da tnsão aplicada (Ex.: mtais)

18 RELAXAÇÃO DE TENSÃO o (t) = constant t ( t) < o t o = tnsão inicial A tnsão diminui ao longo do tmpo

19 CREEP Crp c p l Dformação dpndnt do tmpo obsrvada durant um tst d tração ou comprssão m condição d tmpratura lvada com força constant. l cr ruptura cp p I - Crp primária - & dcrscnt II - Crp scundária - & constant & III - Crp trciária - crscnt cr cp = df. crp rcuprávl = df. crp prmannt 0 t t1 t I II III Crp induzida por tmpratura: T 1 3 T fusão

20 F COMPORTAMENTO UNIAXIAL IDEALIZADO Tst d tração quas-stático m tmpratura modrada rígido lástico linar F rígido plástico prfito lástico linar, prfitamnt plástico

21 F COMPORTAMENTO UNIAXIAL IDEALIZADO rígido, plástico com ndurcimnto linar lástico linar, plástico com ndurcimnto linar F lástico linar, plástico com ndurcimnto não linar

22 MATERIAL ELÁSTICO Rtoma a gomtria inicial quando dscarrgado = f ( ) f = função biunívoca da tnsão com f(0)=0 Matrial lástico linar (Hookano) = E Matrial lástico não linar (Hncky) E

23 MATERIAL VISCOSO A taxa d dformação é uma função da tnsão & = Matrial Viscoso Linar (Nwtoniano) & = η d = dt g( ) Matrial Quas-Viscoso (Não Nwtoniano ou d Stoks) & = η η & η & η

24 MATERIAL VISCOELÁSTICO Combinação d comportamnto lástico viscoso α tan α = d = dt η o Modlo d Maxwll o o E Obsrvaçõs: t & & ( t) = E η o E η E &(t ) Fluxo viscoso η η & ( t) Elástico & E

25 Aplicação. Usando o modlo viscolástico d Maxwll, dduzir: a) xprssão das dformaçõs para uma tnsão constant ο aplicada instantanamnt b) quação das tnsõs para o caso d uma dformação constant ο subitamnt imposta. E η Rspostas: a) ο 1 1 ( t) = o ot E η b) ο t t ( t )= E o E t η

26 MATERIAL VISCOELÁSTICO Modlo d Klvin ou Voigt = mola amortcdor E η = mola amortcdor = E & η Obsrvaçõs: E 0 η& η 0 E Fluxo viscoso Elástico

27 Aplicação. Para um matrial viscolástico d Klvin, obtr a rlação tnsão dformação considrando uma tnsão crscnt, variando linarmnt dsd o valor 0, no tmpo t=0, até ο m t=t 1. Rsposta: E η ο t 1 t ( t) η Et 1 ( t) = o 1 xp( ) 2 E E t1 o η

28 MATERIAL RÍGIDO PLÁSTICO PERFEITO Modlo d Saint-Vnant ou d Coulomb Y Y & & Y > 0 = 0 & = 0 & = Λ & f ( ) & & < 0 = 0 Rgra d Fluxo ou d Escoamnto 0 : & = 0 s < Y ou s = Y & < Λ& f ( ) s = Y & = 0 0 Λ & = fator positivo indtrminado

29 MATERIAL VISCOPLÁSTICO LINEAR Modlo d Bingham Y η Y η & Rgra d scoamnto: & = 0 s < Y η Y s Y Obsrvação: Enquanto não houvr dslizamnto no lmnto d atrito, a tnsão no Amortcdor é nula.

30 Aplicação. Dduzir a rlação tnsão dformação d um matrial viscoplástico linar d Bingham submtido a uma tnsão uniaxial dada por = Y m t = 0 = Y ot para t > 0 & Y & o & o = 30MPa / min t & o =10MPa / min = Y 2η& o