ESTUDOS ELASTOGRÁFICOS DE MATERIAIS VISCOELÁSTICO EM APLICAÇÕES BIOMÉDICA: MODELAGEM MATEMÁTICA

Transcrição

1 ESTUDOS ELASTOGRÁFICOS DE MATERIAIS VISCOELÁSTICO EM APLICAÇÕES BIOMÉDICA: MODELAGEM MATEMÁTICA Sílvio Lão VIEIRA (1) (1) Instituto d Física, Univrsidad Fdral d Goiás UFG, Campus Samambaia, Caixa Postal 131, CEP Goiânia, GO, Brasil, viira@if.ufg.br RESUMO Ess studo tv como motivação o fato d as propridads lásticas d tcidos biológicos lsados srm muitas ordns d grandza suprior aos d tcido normais, d msma naturza. Essa propridad pod sr mprgada com um possívl parâmtro na difrnciação d difrnts tipos d tcidos. As divrsas modalidads d métodos lastográficos têm como objtivo xtrair parâmtros físicos d struturas matriais, tais como o módulo d Young a rigidz transvrsal. Isso pod sr fito prturbando o mio d forma stática, quas-stática dinâmica. Emprgando modlos matmáticos torna-s possívl simular o comportamnto d sólidos viscolásticos mprgando os modlos d Voigt d Maxwll. Nss trabalho, buscou-s simular computacionalmnt as propridads viscolásticas d tcidos submtidos a uma xcitação mcânica dinâmica. Com ss objtivo, foi dsnvolvido um algoritmo m ambint Matlab, ond foi avaliada a rsposta do mio para frqüências d xcitação d até 600 Hz. Os rsultados mostraram qu o modlo d Voigt foi mais condiznt com a ralidad física, tanto para altas quanto para baixas frquências, podndo assim sr mprgado para rprsntar matriais simuladors d tcidos tal como aquls a bas d glatina. Assim, as simulaçõs possibilitaram mlhor comprndr como um dtrminado mio viscolástico rspond a stímulos xtrnos, prvndo su comportamnto ants da ralização d nsaios lastográficos sofisticados. Palavras-chav: vlocidad, absorção, onda mcânica, viscolasticidad, simulação computacional. 1. INTRODUÇÃO Em tcidos biológicos lsados, a viscolasticidad é a propridad física qu mais s modifica m rlação ao tcido normal. Palpação manual é gralmnt usada para idntificar stas lsõs, tais como nódulos cistos. Rcntmnt, vários studos nvolvndo técnicas ultrassônicas d rssonância magnética, dnominadas lastografia, têm sido mprgadas para avaliar as propridads viscolásticas dssas lsõs [1-4]. A lastografia rfr-s a qualqur mdida ou técnica d imagm qu fornça informaçõs dirtamnt rlacionadas às propridads mcânicas do matrial. Um matrial é classificado como Nwtoniano quando sua viscosidad não muda indpndntmnt da taxa d cisalhamnto a qual é mdida numa dada tmpratura. Est matrial aprsnta uma rsposta linar ntr a tnsão a dformação. Um sólido viscolástico é composto por uma componnt lástica outra d origm viscosa (provnint do sólido Nwtoniano), sndo capaz d rtomar parcialmnt a sua forma original ao s rtirar a tnsão d cisalhamnto a l aplicada. Para studar o comportamnto dss tipo d sólido, modlos matmáticos foram dsnvolvidos, possibilitando, assim stimar a lasticidad a viscosidad do mio, assumindo qu o comportamnto mcânico do matrial corrspond a um simpls modlo mcânico. Esta modlagm do sistma basia-s no sistma mola amortcdor [5]. O modlo d Maxwll modlo d Voigt são os mais simplificados para dscrvr sss sistmas. O modlo d Maxwll é gralmnt utilizado para fluidos, nquanto o d Voigt fornc mlhors rsultados quando utilizado para modlar um sólido [6]. Ondas transvrsais podm somnt s propagar m sólidos [7], O modlo d Voigt é particularmnt útil para dscrvr o comportamnto d matriais glatinosos qu imitam tcido biológico mol [6, 8]. O objtivo dss trabalho é xplorar o formalismo matmático da mcânica do contínuo frramntas computacionais para studar como as propridads viscolásticas d matérias tcidos biológicos rspondm quando submtido a uma força xtrna harmônica. Assim, modlos matmáticos são aplicados ao studo do comportamnto d um matrial viscolástico.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA É important sr dstacado qu, as tnsõs d dformação usadas nos problmas studados nst manuscrito são d baixa amplitud, com dformaçõs mnors qu 1%. Ao longo do trabalho, a strutura atômica do

2 matrial não srá considrada. Srá admitido qu a matéria d um corpo viscolástico é homogêna distribuída continuamnt no su volum, d tal forma qu, o mnor lmnto rtirado do corpo possui as msmas propridads físicas spcíficas (homognidad). Para simplificar a discussão, srá também admitido qu m gral o corpo sja isotrópico. Dois sistmas físicos d intrss biomédico para modlar tcidos viscolástico são os modlos d Maxwll d Voigt, os quais são os mais simplificados para dscrvr ss tipo d matrial. Ests sistmas podrão sr modlados d forma análoga a um circuito létrico. No quivalnt létrico, o tnsor d tnsão é rprsntado pla tnsão létrica o tnsor d dformação pla corrnt létrica. O módulo lástico da mola é análogo à capacitância do circuito, pois armazna nrgia, a viscosidad do pistão ou amortcdor, quival à rsistência do circuito, porqu dissipa nrgia [9]. A componnt lástica pod sr modlada por uma mola d constant lástica, m qu o tnsor d tnsão m uma dirção é dado por S, (1) quival à li d Hook m uma dimnsão. Enquanto qu a componnt viscosa pod sr modlada por um pistão, o qual s rlaciona com o tnsor d tnsão d dformação, S, () t m qu é o tnsor d tnsão, é o lmnto viscoso do mio Nwtoniano, indpndnt da taxa d cisalhamnto. O trmo S t é uma drivada parcial da dformação m rlação ao tmpo, a qual podrá sr scrita da forma ds dt para o caso unidimnsional. A. Modlo d Maxwll O modlo d Maxwll considra qu os lmntos lásticos,, viscosos,, aprsntam-s associados m séri, como ilustrado na Figura. Dssa forma, as tnsõs atuants nos dois lmntos são idênticas, nquanto as dformaçõs s somam para compor a dformação total. Figura : Rprsntação mcânica do modlo viscolástico d Maxwll rprsntado por uma mola ( ) m séri com um amortcdor ( ). Assumindo qu a ára sja constant, a quação d quilíbrio das tnsõs é dada por: m qu para as dformaçõs srá:, (3) são as tnsõs atuando sobr o lmnto lástico viscoso, rspctivamnt. A quação S S S. (4) Sndo qu S S são as dformaçõs atuando sobr o lmnto lástico viscoso, rspctivamnt. Drivando-s tmporalmnt a Equação (4) substituindo as Equaçõs (1) a (3) na forma drivada da Equação (4), obtém-s: B. Modlo d Voigt S t t. (5)

3 No modlo d Voigt, o lmnto lástico viscoso aprsnta o msmo dslocamnto, sndo constituídos por uma mola,, corrspondndo a uma part lástica, m parallo com um amortcdor,, rfrnt à part viscosa Nwtoniana, como ilustrado na abaixo. Figura 3: Rprsntação do modlo viscolástico d Voigt rprsntado por uma mola ( ) m parallo com um amortcdor ( ). Como dscrito, o modlo d Voigt é composto por uma mola qu rprsnta a part lástica,, m parallo com um amortcdor corrspondndo à componnt viscosa, [5]. Tanto o modlo d Maxwll quanto o d Voigt são modlos dinâmicos viscolásticos, uma vz qu a lasticidad média do matrial é dada por uma grandza complxa, j, dpndnt da frquência,. Esta componnt é provnint da tnsão dinâmica à qual sts lmntos stão sujitos. Assumindo qu a ára sja constant, a quação d quilíbrio das tnsõs é dada por: A quação para as dformaçõs srá dada por:. (6) S S S. (7) Fazndo-s a drivada tmporal da Equação (6) substituindo as Equaçõs (1), () (7) na Equação (6), obtém-s: S S, t (8) m qu é a tnsão unidimnsional S é a dformação rsultant. A vlocidad d fas d uma onda plana mcânica monocromática com uma frquência angular númro d onda k stão rlacionados matmaticamnt por [10]. (9) k A vlocidad d grupo rprsnta a vlocidad d propagação d um pacot d onda, cntrada m torno da frquência do pulso, dfinido matmaticamnt por: g d k. (10) dk Essas duas últimas quaçõs srão mais a frnt utilizada como lmntos da discutição aprsntada. A. Modlo d Voigt submtido a uma onda plana Pod sr dmonstrado qu a partir da quação d onda do númro d onda complxo a vlocidad d fas a atnuação d uma onda mcânica propagando-s m um mio viscolástico d Voigt, ( ) ( ) (11)

4 Invrtndo-s as Equaçõs (11) obtém-s um par d duas novas quaçõs, uma para o módulo lástico,, outra para o módulo viscoso,, rspctivamnt, m função da frquência tmporal, 1 1 T T B. Modlo d Maxwll submtido a uma onda plana 1/ 1 1. Sguindo a mtodologia dscrita para o modlo d Voigt, vrificamos qu vlocidad d fas ( ) o coficint d absorção ( T ) para o modlo d Maxwll tm-s, (1) 1 ( ) 1 1 T ( ) 1 1. (13) Invrtndo-s as Equaçõs (13) obtém-s duas novas quaçõs, uma para o módulo lástico,, outra para o módulo viscoso,, rspctivamnt, m função da frquência tmporal.. (14) 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO No caso spcífico d uma onda plana ao s propagar por um mio, dvrá sr obsrvada crta rsistência à sua passagm. S a onda s propaga por um mio, sua amplitud sofr um dcréscimo durant o prcurso, pod-s dizr qu st mio é dissipativo. Caso alguns comprimntos d onda sofram mais com a ação imposta plo mio, m dtrimnto d outros as vlocidads das ondas srão difrnts. Est distúrbio na propagação das ondas caractriza um mio disprsor. Por outro lado, s o mio ofrcr igual rsistência para todas as ondas qu passam por l, a forma inicial da onda s consrvará ao longo do tmpo; não havndo disprsão da onda o mio é dnominado não-disprsor. A disprsão pod sr dfinida como sndo a mdida pla qual a vlocidad d fas da onda varia com a frquência. Por ss motivo, obsrva-s uma mudança na forma da onda inicial ao atravssar um mio cujas vlocidads das ondas dpndm d suas rspctivas frquências. Mios tais como os dscrito plo modlo d Maxwll Voigt são mios cuja rsposta dpnd da frqüência, caractrizando um mio disprsivo. Quando a vlocidad d fas é constant, m gral, o mio é não-disprsivo a vlocidad d grupo é igual à vlocidad d fas, indpndntmnt da frquência considrada. No caso m qu a vlocidad d fas não é constant pod-s dizr qu houv uma dformação tmporal da onda, dcorrnt d sua propagação por um mio disprsivo. Nsta situação a vlocidad d grupo é difrnt da vlocidad d fas da onda, Equação (9) (10). Nas Figura (4) (5) stão rprsntados o comportamnto da vlocidad do coficint d absorção da onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico, para duas frquências d xcitação difrnts parâmtros viscolásticos.

5 Figura 4: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo lástico d = 4 kpa três valors difrnts para o módulo viscoso = 0,5 Pa.s, = 1,0 Pa.s =,0 Pa.s. Figura 5: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo viscoso d = 1,0 Pa.s três valors difrnts para o módulo lástico = 1,0 Pa.s, = 4,0 Pa.s = 9,0 Pa.s. Em nsaios lastográficos mprgando matriais qu imitam tcidos (fantomas), a frquência d vibração utilizada varia ntr 1 Hz a 600 Hz. Estimativas da vlocidad d fas do coficint d absorção das ondas transvrsais para um mio infinito (comparado com o comprimnto da onda) são dadas plas Equaçõs (11), drivada do modlo d Voigt. Estas quaçõs dscrvm qu a vlocidad o coficint d absorção das ondas transvrsais são dpndnts da frquência d vibração stão dirtamnt rlacionadas com as propridads viscolásticas do mio. A onda transvrsal também é chamada d onda d incomprssibilidad porqu, durant sua propagação dntro do mio, nnhuma mudança d volum é obsrvada. Em gral há dois tipos d vibração no mio, um movimnto longitudinal outro transvrsal, ocorrndo simultanamnt. No caso d movimnto harmônico, o módulo lástico transvrsal,, pod sr considrado uma grandza complxa, j, com a part imaginária rprsntando a atnuação do mio viscolástico. Quando o módulo viscoso transvrsal é 0, a quação antrior rduz a, T, m qu T é a vlocidad d propagação da onda, similarmnt à dduzida na Equação (1), como s a onda s propagass m um mio lástico, ou quando 0, s a vlocidad da onda transvrsal é conhcida. O módulo lástico transvrsal podrá sr stimado com uma simpls rlação, T. Em um mio viscolástico, no ntanto, o trmo é difrnt d zro, 0, a atnuação stá prsnt é uma função dpndnt da frquência. Quando a frquência da onda transvrsal aumnta, a dpndência dos fitos viscosos com a frquência também aumnta, podndo s tornar um fito dominant consquntmnt um aumnto da vlocidad d propagação d onda podrá sr obsrvado. Nst caso, a vlocidad é função da frquência, ou sja, disprsiva. Uma rlação viscolástica linar ntr a vlocidad a frquência é uma boa hipóts, porqu os dslocamntos mprgados nos métodos d xcitação mcânica utilizados nst trabalho são normalmnt da ordm d m, os quais s ncontram dntro dos limits d validad da li d Hook [11]. As Figura (6) (7) mostram imagns da vlocidad (squrda) do coficint d absorção (dirita) d uma onda transvrsal simulada para valors variados do módulo lástico,, viscoso,, para três difrnts frquências d xcitação: f = 100 Hz f = 600 Hz. Ests mapas viscolásticos foram grados usando-s as Equaçõs (1) como modlos para a simulação, os quais possum caractrística d um sólido d Voigt.

6 Figura 6: Modlo d Voigt. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 100 Hz. Figura 7: Modlo d Voigt. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 600 Hz. Os mapas viscolásticos rprsntados nas últimas figuras foram simulados usando-s o modlo d Voigt como bas para o cálculo dos parâmtros lástico viscoso. Ambos os parâmtros obdcm a uma rlação linar ntr a tnsão aplicada a dformação rsultant. Para todos os gráficos mostrados na Figura (4) (5) pod-s obsrvar uma crscnt variação nos valors da vlocidad d fas do coficint d absorção com a frquência d xcitação. Foi obsrvado também um provávl ndurcimnto do mio simulado, dvido ao aumnto d frquência, como pod sr obsrvado na Figura (6) (7). Dsta forma o matrial passou a s comportar d forma mais lástica, quando comparados com frquências infriors. Nas Figura (8) (9) pod-s obsrvar o comportamnto da vlocidad da atnuação da onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico, mprgando o modlo d Voigt, para várias frquências d xcitação, grados a partir das Equaçõs (13). Figura 8: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo viscoso d = 1 Pa.s três valors difrnts para o módulo lástico =1,0 Pa.s, =4,0 Pa.s = 9,0 Pa.s.

7 Figura 9: Simulação d uma onda transvrsal propagando-s m um mio viscolástico. comportamnto da vlocidad d fas do coficint absorção m função da frquência. Assumindo um valor constant para módulo lástico d = 4 kpa três valors difrnts para o módulo viscoso =0,5 Pa.s, =1,0 Pa.s =,0 Pa.s. As Figura (10) (11) mostram imagns da vlocidad (squrda) do coficint d absorção (dirita) d uma onda transvrsal para valors variados do módulo lástico,, viscoso,, para três difrnts frquências d xcitação: f = 100 Hz f = 600 Hz. Ests mapas viscolásticos foram grados usando-s as Equaçõs (13) como modlos para a simulação, as quais são quaçõs provnints do modlo d Maxwll. Figura 10: Modlo d Maxwll. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 100 Hz. Figura 11: Modlo d Maxwll. Simulação do mapa viscolástico para a vlocidad d fas do coficint d absorção da onda transvrsal, para um msmo valor d frquência, f = 600 Hz. Como foi mostrado nas simulaçõs ilustradas nas Figura (8) (9) plas Figura Figura a vlocidad d fas não é constant, caractrizando mio disprsivo. Enquanto qu, para um mio não-disprsivo a vlocidad d fas da onda é igual à vlocidad d grupo. Esta situação pod sr obsrvada para frquências mnors qu 50 Hz, no caso do modlo d Voigt, m qu a vlocidad d fas varia muito pouco com a frquência (Figura (10) (11)). Difrntmnt do comportamnto obsrvado nas simulaçõs para o modlo d Maxwll, m qu a vlocidad d fas varia pouco para frquências altas ( Hz) do spctro studado.

8 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS O coficint d absorção variou d forma muito parcida para ambos os modlos, quando simulado para frquências infriors qu 00 Hz. No ntanto, para frquências maiors qu sta, o modlo d Maxwll mostrou-s mnos suscptívl com rlação à variação do coficint d absorção m função da frquência. Os mapas viscolásticos foram simulados mprgando-s o modlo d Maxwll como bas para o cálculo dos parâmtros lástico viscoso. Ambos os parâmtros, obdcm a uma rlação linar ntr a tnsão aplicada a dformação rsultant. Todos os rsultados ncontrados xibm crscnt variação nos valors da vlocidad d fas do coficint d absorção m função da frquência d xcitação. Foi obsrvado também, um provávl ndurcimnto do mio simulado, dvido ao aumnto d frquência com tndência d s compor como um sólido lástico. Os rsultados ncontrados plo modlo d Voigt Maxwll aprsntaram valors difrnts para a V M vlocidad d fas (, 0 ), rspctivamnt, quando m baixas frquências. No ntanto, para altas frquências obsrvou-s uma maior proximidad ntr sus valors. Esta tndência s dv principalmnt porqu para altas frquências d vibração um sólido viscolástico tnd a s comportar d forma mais lástica, m dtrimnto d sua part viscosa. O modlo d Voigt mostra-s mais condiznt com a ralidad física tanto para altas quanto para baixas frquências. O coficint d absorção mostrou-s mais snsívl a variaçõs d frquência para o modlo d Voigt, nquanto qu para o modlo d Maxwll st parâmtro praticamnt mantv-s constant. Ambos os modlos convrgiram para um msmo valor do V M coficint d absorção ( T T 0 ), quando a frquência mprgada ra baixa. Ests rsultados indicam qu o modlo d Voigt é mais indicado para dscrvr fitos viscosos m fantomas d glatina, além d sr o mais simpls dos modlos rológicos para um sólido viscolástico. Embora xistam outros modlos mais ralísticos para dscrvr um mio viscolástico, su grau d complxidad matmática também aumnta d forma significativa, alm d aparntarm pouca difrnça com os rsultados forncidos plo o d Voigt. 5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] VIEIRA, S., URBAN, M., BAGGIO, A., CARNEIRO, A., and FATEMI, M. Shar wav disprsion ultrasound vibromtry of gl dosimtry phantoms. Th journal of th Acoustical Socity of Amrica, v. 15, n. 4, p. 553, 009. [] URBAN, M. W., CHEN, S., and GREENLEAF, J. F. Error in stimats of tissu matrial proprtis from shar wav disprsion ultrasound vibromtry. IEEE Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 56, n. 4, p , Apr 009. [3] MARIAPPAN, Y. K., GLASER, K. J., and EHMAN, R. L. Magntic rsonanc lastography: A rviw. Clin Anat, v. 3, n. 5, p , Jul 010. [4] CHEN, S., URBAN, M. W., PISLARU, C., KINNICK, R., ZHENG, Y., YAO, A., and GREENLEAF, J. F. Sharwav disprsion ultrasound vibromtry (sduv) for masuring tissu lasticity and viscosity. IEEE Trans Ultrason Frrolctr Frq Control, v. 56, n. 1, p. 55-6, Jan 009. [5] FUNG, Y. C. Biomchanics: Mchanical proprtis of living tissus. nd. d. Nw York: Springr- Vrlag, [6] CATHELINE, S., GENNISSON, J. L., DELON, G., FINK, M., SINKUS, R., ABOUELKARAM, S., and CULIOLI, J. Masurmnt of viscolastic proprtis of homognous soft solid using transint lastography: An invrs problm approach. Journal of th Acoustical Socity of Amrica, v. 116, n. 6, p , Dc 004. [7] KOLSKY, H. Strss wavs in solids. Nw York: Dovr Publications, Inc., [8] GENNISSON, J. L. and CLOUTIER, G. Sol-gl transition in agar-glatin mixturs studid with transint lastography. I Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 53, n. 4, p , Apr 006. [9] KINSLER, L. E. E., FREY, A. R., COPPENS, A. B., and SANDERS, J. V. Fundamntals of acoustics. 4. d. Nw York: Wily, John & Sons, Incorporatd, 000. [10] ACHENBACH, J. D. Wav propagation in lastic solids. North-Holland, Amstrdam: Elsvir Scinc Publishrs, (Sris in Applid Mathmatics and Mchanics, vol. 16). [11] YAMAKOSHI, Y., SATO, J., and SATO, T. Ultrasonic-imaging of intrnal vibration of soft-tissu undr forcd vibration. I Transactions on Ultrasonics Frrolctrics and Frquncy Control, v. 37, n., p , Mar 1990.