Palavras Chave: Materiais Compósitos, Contato imperfeito,comportamento Não linear, Método de Homogeneização Assintótica 1.

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1 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. ISSN OBTENÇÃO DA LEI EFETIVA PARA O FLUXO DE CALOR EM UMA BARRA BIFÁSICA, PERIÓDICA, NÃO LINEAR E COM BARREIRA TÉRMICA ENTRE AS FASES, ATRAVÉS DO MÉTODO DE HOMOGENEIZAÇÃO ASSINTÓTICA Robrto Martins da Silva Décio Júnior robrto.dcio.jr@gmail.comil Univrsidad Fdral d Plotas, Campus Porto, Plotas, RS, Brasil Lsli Darin Pérz Frnándz lsli.frnandz@ufpl.du.br Univrsidad Fdral d Plotas, Campus Capão do Lão, Capão do Lão, RS, Brasil Julián Bravo Castillro jbravo@matcom.uh.cu Univrsidad d Havana, Faculdad d Matmática Computação, San Lazaro y Vdado, 040. Havana, Cuba. Rsumo. O prsnt trabalho aprsnta a aplicação do Método d Homognização Assintótica na obtnção d uma li ftiva para o fluo d calor d uma barra bifásica, priódica, não linar com uma barrira térmica ntr as fass. A li obtida foi avaliada m situaçõs d condução até isolamnto prfitos, analisando su comportamnto m rlação a difrnts parâmtros, ond constatou-s a sua validad d acordo com a corência aprsntada nos rsultados obtidos Palavras Chav: Matriais Compósitos, Contato imprfito,comportamnto Não linar, Método d Homognização Assintótica. INTRODUÇÃO O comportamnto d um matrial frnt a alguma intrfrência do ambint (sja aplicação d tnsão, transfrência d calor, ntr outras) dpnd dirtamnt das propridads físicas químicas qu aprsnta. É important lmbrar qu o dsmpnho m srviço é dtrminado não apnas plo matrial scolhido, mas também plas modificaçõs advindas do procssamnto (FERRANTE, 009). O studo das propridads térmicas d um dado matrial s faz ncssário dvido à fort influência dstas no su comportamnto. A vibração térmica dos átomos do matrial é a principal causa do aparcimnto d anormalidads na strutura cristalina do sólido. Espcificamnt, a concntração d tais dfitos crsc ponncialmnt com a tmpratura (SHACKELFORD, 009), como os movimntos d átomos no sólido ocorrm através do dslocamnto dsts pontos dfituosos, a taa d difusão do stado sólido também crsc ponncialmnt com a tmpratura. A variação d tmpratura no matrial também é rsponsávl pla variação do volum do msmo. Porém, sta dilatação (ou contração) ocorr d forma difrnt no intrior do sólido 6

2 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. nas porçõs priféricas, dst comportamnto rsultam tnsõs rsiduais qu, dpndndo do gradint d tmpratura do matrial, podm lvar à sua fratura. Entr as principais variávis considradas no studo das propridads térmicas d um sólido stão: tmpratura ( su gradint ao longo do matrial); condutividad térmica fluo do calor. Matmaticamnt, a condutividad térmica é a razão ntr o fluo d calor o gradint d tmpratura, numa msma dirção. Matriais compósitos são matriais htrogênos formados a partir da distribuição d domínios ocupados por dois ou mais matriais homogênos constituints difrnts chamados d fass, tais qu a scala da distribuição (scala microscópica) sja, simultanamnt, muito maior qu a scala molcular, muito mnor qu a scala do compósito (scala macroscópica). Isto prmit qu o compósito sja considrado como um mio contínuo lh associar propridads macroscópicas ou ftivas. O objtivo da produção d um compósito é obtr, num único matrial, novas /ou mlhors propridads físicas, as quais não sriam obtidas com os matriais constituints sparados. Basicamnt, sts matriais s constitum na inclusão d um matrial numa matriz, a fim d rforçá-la, sndo conhcidos como compósitos do tipo matriz-inclusão. Um dos principais mplos dst tipo d matrial é a fibra d vidro, ond a força d fibras d vidro d diâmtro pquno é combinada com a ductilidad d uma matriz polimérica. No contto térmico, por mplo, tm-s o problma da dgradação das propridads d um polímro quando submtido a tmpraturas próimas às considradas críticas. Nst caso, o rforço com fibras não impd a dgradação, mas o aumnto da rsistência mcânica obtido com a combinação faz com qu tal dgradação ocorra sob tmpraturas mais lvadas. Assim, inúmros avanços cintíficos tcnológicos rcnts m divrsas áras como aronáutica, arospacial, ptroquímica, naval, biongnharia, automobilística, construção civil d artigos sportivos, ntr outras, somnt s tornaram viávis após o advnto dos matriais compósitos (LEVY NETO & PARDINI, 006). Matmaticamnt, o comportamnto físico do compósito é modlado mdiant um problma d valors d contorno iniciais no qual as quaçõs difrnciais aprsntam coficints rapidamnt oscilants. Tais oscilaçõs rápidas são causadas plo carátr microscópico da distribuição dos constituints fazm com qu a rsolução numérica dirta, quando possívl, tnha um alto custo computacional. Por mplo, a aplicação dum método d malha como o método d lmntos finitos rqur qu a malha sja trmamnt fina. Uma altrnativa para ncontrar o comportamnto ftivo do compósito consist m mprgar algum procdimnto d homognização, a qual consist m studar um matrial homogêno quivalnt ao compósito, no sntido d qu as propridads ftivas dst são as propridads daqul, numa microscala stablcida, dpois passar as informaçõs obtidas para a macroscala do matrial. Em particular, nst trabalho mprgarmos o método d homognização assintótica (MHA), o qual s basia no dsnvolvimnto assintótico m scala dupla da solução do problma d valors d contorno iniciais qu modla o comportamnto físico do compósito. Esta solução assintótica considrada aprsnta uma atidão muito boa, sndo dmonstrado matmaticamnt m (LAZZARI t al., 04) qu tal aproimação é da ordm do parâmtro pquno stablcido para a microscala, no caso da quação unidimnsional do calor. Assim, obtém-s uma squência rcorrnt d problmas cujo limit é o modlo do matrial homogêno quivalnt, ou sja, um problma d valors d contorno iniciais com coficints constants. Est método é rlvant sobrtudo quando o compósito aprsnta microstrutura priódica, prmit studar divrsos fnômnos tais como vibraçõs lásticas, fluo d calor, difusão, prcolação d fluidos, oscilaçõs ltromagnéticas radiação, ntr outros. Além disso, quando o uso d métodos numéricos 6

3 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. para a rsolução dos problmas na squência rcorrnt é invitávl, sua aplicação s caractriza plo baio custo computacional (BAKHVALOV & PANASENKO, 989). O MHA tm sido aplicado com sucsso m divrsos problmas físicos linars, porém, comportamntos não linars têm sido pouco studados, assim como matriais qu aprsntam contato imprfito ntr suas fass. Em compósitos, as propridads a fração volumétrica d cada fas são importants, também a tnsão da conctividad ntr as fass dv sr conhcida (ASKELAND & PHULÉ, 008). Em particular, o studo das propridads mcânicas ftivas do compósito stá rlacionado, por mplo, à prvnção d falhas struturais, como o dano a fratura, os quais podm rsultar m fitos advrsos lvando a prdas conômicas ou d vidas (COURTNEY, 005). Eistm vários mcanismos d fratura d um corpo sólido, mas, d forma gral, ocorrm dvido à qubra d ligaçõs químicas na sua strutura atômica dpndm d condiçõs como tmpratura tnsão, assim as condiçõs do ambint m qu stá insrido o matrial. Dssa forma, studar o comportamnto matrial ftivo prant a variação dstas grandzas s faz trmamnt ncssário para a prvnção d falhas. Assim, st trabalho tm por objtivo dtrminar avaliar, via algoritmo basado no MHA, a li ftiva qu modla o fluo d calor numa barra bifásica com strutura priódica, não linar, considrando a istência duma barrira térmica ntr as fass constituints.. METODOLOGIA.. Formulação do problma Sja uma barra bifásica infinita obtida da rplicação priódica da célula básica,, d comprimnto, ond r é a rgião ocupada pla fas constituint r, (o matrial d tipo r ) é o ponto d é o conjunto numrávl d pontos d contato ntr as fass contato das fass. Assim, i i da barra na variávl spacial macroscópica. Sjam u as variávis do fluo d calor da tmpratura, rspctivamnt, assumidas continuamnt difrnciávis para i. Assim, a li qu dscrv o comportamnto constitutivo da barra é dada por: u, ( ) u ( ) u () ond, A ( ) A, o índic indica difrnciação, u ( ) r r são a rlação constitutiva a função caractrística da fas r, rspctivamnt. Supõ-s qu a barra stá m quilíbrio, ou sja, u, f ( ), com i, () ond f( ) é uma font d calor atuando na barra. Supõ-s também qu, nas intrfacs i, o fluo d calor é contínuo, ou sja, u, 0, (3) i 63

4 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. qu a tmpratura tm dscontinuidads d salto finito d magnitud proporcional ao fluo na fas, ou sja, u u, (4) i i ond o colcht duplo dnota o oprador do "salto" ou "contrast" da grandza ao passar d uma fas à outra através d i, 0 é a condutância térmica da intrfac. A condição da Eq. (4) é chamada d barrira térmica. Not qu, 0 corrspondm, rspctivamnt, aos casos d isolamnto térmico prfito ntr as fass da barra d condução prfita da tmpratura nas intrfacs... Homognização assintótica Introduz-s uma scala microscópica mdiant a variávl local dfinida pla rlação. Assim, m, 0,c, c,, c é o ponto d contato das fass na célula d priodicidad. Procuramos a solução do problma Eq. ()-(4) na forma da assintótica truncada u u u u u () () [] ( ) (, ) (, ), (5) ond u ( ), u () (, ) u () (, ) são funçõs continuamnt difrnciávis, m rlação à, -priódicas m rlação a. Agora tomamos os dois primiros trmos da séri d Taylor da tnsão, na vizinhança do ponto u () u,, isto é: () () (), u u, u u, u u, (6) ond u é o gradint d tmpratura. Logo, substituindo Eq. (5) m Eq. (6), lvando A A A, sgu qu, m conta a rgra da cadia u [], (), () () (), u u u u u u O. (7) Agora, substituindo Eq. (7) na quação d quilíbrio Eq. () tmos a igualdad assintótica u u, u u u u u u f O () 0 () () () (),, 0, c, (8) dond obtmos qu u () u, 0, c (0,) \{ }, (9) 64

5 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. () () () (),, u u u u u u f, c (0,) \{ }. (0) Por outro lado, substituindo Eq. (7) na condição d continuidad m Eq. (3) sgu qu u () u, 0 () c u u u u () () (), 0. () Analogamnt, substituindo Eq. (5) na condição d contato imprfito Eq. (4) sgu qu c () () u u u c c (3) () u c 0. (4) () Dado u, Eqs. (9), () (3) dfinm o chamado problma local para obtr u m () trmos d u. Similarmnt, dados u u, Eqs. (0), () (4) dfinm o problma () () para obtr u m trmos d u u. A condição ncssária suficint para a istência () () unicidad d u u soluçõs -priódicas dos problmas acima dfinidos é qu o valor médio sobr a célula priódica dos lados diritos d Eq. (9) Eq. (0) sja nulo (BAKHVALOV & PANASENKO, 989), dond sgu a quação homognizada para u : u f, (5) ond é a li ftiva da barra qu rlaciona o fluo d calor médio o gradint d tmpratura médio u u é dada por,, (6) ond A A d é o oprador d valor médio, local para cada dado. 0 u... Algoritmo para obtr a li ftiva N N é a solução do problma Sja N, a solução do problma local. Então d Eq. (9) sgu qu,, não dpnd d, ou sja, N 65

6 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04.,,. (7) N D calcular a invrsa com rlação ao primiro argumnto na Eq. (7) aplicar o oprador d valor médio lvando m conta a condição m Eq. (3), sgu qu, (8), dond a li ftiva sgu d rsolvr Eq. (8) com rlação a. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO No primiro caso considrado, tm-s a sguint rlação constitutiva para o fluo d calor : ( [ N(, )], ) ( ) a ( [ N(, )] ) ( ) a [ N(, )], (9) ond a a são as condutividads térmicas dos matriais constituints. Aplicando à rlação acima o algoritmo dscrito, obtém-s a prssão para a li ftiva, normalizada por a : c 4 c, a c Bi c c Bi a c ond c c é a concntração do constituint não linar, Bi é o a c Númro d Biot. A Fig. aprsnta a variação dsta li ftiva com rlação ao númro d Biot. Os casos trmos são: Bi 0 ( 0 ) Bi ( ). O significado físico do primiro caso, analisando junto à condição m Eq. (4), pod sr visto como a prsnça d um isolant térmico prfito ntr as duas fass, dado qu a dscontinuidad tnd a nst N c caso. Est isolamnto pod sr dvido à prsnça d algum isolant térmico ntr as fass como também à ruptura do matrial, o qu também impdiria o fluo térmico na barra. Est comportamnto é obsrvado no gráfico, quando a li ftiva dtrminada tnd a 0 juntamnt com Bi, uma vz qu não há mais fluo d calor ntr as barras dvido a tal isolant. Já no caso m qu Bi, d acordo com a condição d contato dada no problma local, tm-s qu a dscontinuidad na intrfac tnd a 0, o qu fisicamnt significa qu o calor flui prfitamnt ntr as fass, ou sja, não há barrira térmica nss ponto. 66

7 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. Figura - Avaliação da li ftiva obtida para difrnts valors d Bi,, (= ) c. A li ftiva obtida analiticamnt quando Bi, é prssa na quação abaio: c 4 c a c c c () Nas Fig., 3 4, é analisado o comportamnto da li na Eq. () frnt às três variávis do problma:, c. Na Fig., obsrva-s qu a mdida qu aumnta-s a concntração do matrial não linar no compósito, a li ftiva s aproima da li do matrial, vic-vrsa, o qu rforça a validad da quação obtida através do algoritmo. Além disso, para valors difrnts d tal comportamnto s mantém. Figura - Li ftiva m função d (= ) para difrnts valors d c. Na Fig. 3 obsrva-s novamnt qu aumntando a quantidad do matrial na barra, a li ftiva tnd à do msmo matrial, a rcíproca também ocorr. É visto também qu a vlocidad d variação da li ftiva aumnta para valors maiors d. 67

8 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. Figura 3 - Li ftiva m função d c para (= ) fio difrnts valors d. Finalmnt, da Fig. 4, tm-s qu a li ftiva crsc à mdida qu a razão crsc. Obsrva-s também um ponto d invrsão das propridads dos dois matriais para 0,, o qu, dvido às dfiniçõs d, ocorrrá smpr nos pontos m qu gráfico da dirita é nfatizado o fato d qu a tndência d propridad do matrial cuja concntração stá aumntando. a. No sgu sndo para a Figura 4 - Li ftiva m função d para (= ) fio difrnts valors d c. 4. CONCLUSÕES A li ftiva para a condução do calor da barra bifásica priódica não linar foi obtida com sucsso via MHA, pod sr avaliada sob o ponto d vista d cada parâmtro nvolvido no problma, considrando as condiçõs d barrira térmica ntr as fass da barra. Além 68

9 XX EREMAT - Encontro Rgional d Estudants d Matmática da Rgião Sul Fundação Univrsidad Fdral do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS, Brasil. 3-6 nov. 04. disso, nssa avaliação, foi obsrvada a validad da li obtida através d dtrminadas caractrísticas dos gráficos grados para tal studo. Diant disso, conclui-s qu o studo das propridads dos matriais não linars dv prossguir, dada a scassz d trabalhos acrca do assunto o sucsso na aplicação do MHA ralizada nst trabalho. Além disso, dv sr continuado considrando mais caractrísticas do matrial qu tornm o modlo matmático obtido cada vz mais ato. Agradcimntos Agradcmos o apoio do projto CAPES nº /03-0 intitulado "Dsnvolvimnto Aplicaçõs d Métodos Matmáticos d Homognização". REFERÊNCIAS ASKELAND, D. R., PHULÉ, P. P. Ciência Engnharia dos Matriais. São Paulo: Cngag Larning, 008. BAKHVALOV, N. S.; PANASENKO, G. P., Homognisation: Avraging Procsss in Priodic Mdia. Dordrcht: Kluwr Acadmic Publishrs, 989. COURTNEY, T. H. Mchanical Bhavior of Matrials. Illinois: Wavland Prss, 005. FERRANTE, M. Slção d matriais. São Carlos: UFScar, 009. LAZZARI, L.; FERNANDEZ, L. dos S.; LIMA, M. P. d; FERNÁNDEZ, L. D. P.; CASTILLERO, J. B. Homognização Assintótica da quação unidimnsional do calor. In: ENCONTRO DE PÓS-GRADUAÇÃO UFPEL, 6. Plotas, 04. Anais do XVI ENPOS. Plotas: UFPl, 04. p. 4. LEVY NETO,F.; PARDINI, L. C. Compósitos Estruturais: Ciência Tcnologia. São Paulo. Bluchr, 006. SHACKELFORD, J. F. Introduction to matrials scinc for nginrs. Nw Jrsy: Parson,