Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural CONTROLE ATIVO EM ESTRUTURAS VIA EQUAÇÃO DE RICCATI E ALGORITMOS GENÉTICOS AUTORES:

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1 7 a d Mayo d 4 Facultad d Ingniría. Univrsidad Nacional d Cuyo. Mndoza. Argntina. Jornadas Sud-Amricanas d Ingniría Estructural CONTROLE ATIVO EM ESTRUTURAS VIA EUAÇÃO DE RICCATI E ALGORITMOS GENÉTICOS AUTORES: Nstor Oscar Guvara Junior Flávio d Souza Barbosa Afonso Clso d Castro Lmong Ronaldo Carvalho Battista 3 RESUMO Sistmas auxiliars d control ativo com rtroação são capazs d rduzir problmas dinâmicos m struturas atnuando amplituds d rsposta (dslocamntos, vlocidads, tc). Ests sistmas d control além d proporcionarm mlhoria d dsmpnho dinâmico strutural minimizam as incrtzas inrnts às caractrísticas struturais ao carrgamnto, pois a suas formas d atuação dpndm da rsposta snsorada do sistma. A dtrminação das forças d control m um sistma dinâmico strutural ativamnt controlado com rtroação através da utilização da quação d Riccati da otimização via Algoritmos Gnéticos é o objtivo principal dss artigo. A mtodologia utilizada para dtrminação d forças d control é dsnvolvida no domínio do tmpo, utilizandos anális modal é validada através d sistmas struturais controlados simulados numricamnt. Os rsultados das simulaçõs numéricas aprsntados atstam o bom dsmpnho da mtodologia adotada. PALAVRAS CHAVES: Control d Vibraçõs, Equação d Riccati, Algoritmos Gnéticos Bolsista d Iniciação Cintífica PROBIC-FAPEMIG/UFJF guvara@numc.ufjf.br NUMEC - UFJF - Brasil Univrsidad Fdral d Juiz d Fora Prof. Adj. Dptº d Estruturas flavio@numc.ufjf.br lmong@numc.ufjf.br NUMEC - UFJF - Brasil Univrsidad Fdral d Juiz d Fora 3 Prof. Titular da COPPE/UFRJ battista@labst.coc.ufrj.br LABEST - UFRJ - Brasil Univrsidad Fdral do Rio d Janiro - -

2 INTRODUÇÃO O projto d novas struturas ou a vrificação d struturas xistnts, sujitas a açõs dinâmicas d grand intnsidad /ou faixas d frqüências próximas às frqüências naturais d uma dada strutura, nvolv critérios, por vzs conflitants, d sgurança, funcionalidad também d conforto dos usuários. Os avanços tcnológicos m áras como matriais, quipamntos ltrônicos computação, aliado a fators conômicos d criatividad arrojo dos ngnhiros, tm lvado a uma tndência d s projtar struturas cada vz mais lvs sbltas, portanto, flxívis. Esta tndência tm induzido os ngnhiros struturais a considrarm a utilização d sistmas auxiliars para rduzir as amplituds d rsposta dinâmica atndr aos critérios d sgurança, funcionalidad conforto rquridas [,,3,4 5]. D acordo com sta nova filosofia d projto strutural, limits práticos usualmnt considrados, tais como altura d difícios, vão d pont sbltz d máquinas quipamntos, podm sr ultrapassados com a utilização d sistmas d control dinâmico. Entrtanto, na laboração d um sistma d control dinâmico, dparamos com várias incrtzas, qu por vzs, podm inviabilizar sta concpção. Tais incrtzas podm star rlacionadas com as caractrísticas físicas da strutura, ou msmo com o carrgamnto solicitant []. Para contornar os problmas oriundos dssas incrtzas, pod-s utilizar um sistma dinâmico d control ativo com rtroação ond as força d control f ( são funçõs dirtas das amplituds d rspostas mdidas do sistma strutural snsorado q (, ou sja, f c ( = fc[ q( ], conform mostrado na figura. Nst caso a rsposta snsorada foi idalizada como a rsposta do sistma. Em situaçõs rais as rspostas snsoradas são pontuais aprsntam difrnças com rlação à rsposta do sistma. c Figura - Esquma d control ativo com rtroação. A dtrminação das forças d control m um sistma dinâmico strutural ativamnt controlado com rtroação através da utilização da quação d Riccati da otimização via Algoritmos Gnéticos (AG) [6,7 Goldbrg] é o objtivo principal dss artigo. A mtodologia utilizada para dtrminação d forças d control é validada analisando sistmas struturais controlados simulados numricamnt os rsultados dstas simulaçõs atstam o bom dsmpnho da mtodologia adotada. - -

3 SISTEMA ESTRUTURAL DINÂMICO Um sistma strutural dinâmico é caractrizado pla própria strutura plas forças dinâmicas qu sobr l atuam. Uma vz solicitado, o sistma mostra uma rsposta qu é dscrita plas aclraçõs, vlocidads dslocamntos dos sus pontos caractrísticos [8]. Dpndndo d suas caractrísticas gométricas propridads mcânicas d sus componnts, bm como das propridads físicas dos matriais qu o compõm, um sistma strutural pod aprsntar comportamnto linar ou não-linar. Um sistma tm comportamnto dito linar quando é válido o princípio da suprposição d fitos, ou sja, para uma xcitação f = f ( + f ( + + f ( ), a rsposta do sistma é dada por q = q ( + q ( + + q ( ), sndo: ( N t ( N t t é a variávl qu dscrv o tmpo; N f ( = f ( é o vtor d forças d xcitação; i= N i= i q ( = q ( é o vtor qu contém as variávis caractrísticas qu dscrvm a rsposta i do sistma para uma xcitação f ( q (t rprsnta a rsposta para f (, ( i = N). i ) i A intr-rlação ntr a variávl caractrística ( q ( ) a força d xcitação dinâmica ( f ( ), é dado pla quação difrncial do tipo: D ( q( = f ( () ond, D( é um oprador difrncial. S o problma tratado é um sistma dinâmico strutural, o oprador difrncial D ( é d sgunda ordm, rsultando m um sistma d comportamnto linar com um conjunto d quaçõs d quilíbrio dinâmico qu podm sr scritas na forma matricial conform a quação : ond: ( q( M q( + C q( + K q( = f ( d d q = q( = q( ; dt dt M é matriz d massa da strutura; C é matriz d amortcimnto da strutura; K é matriz d rigidz da strutura; M q(t é a rsultant das forças d inércia; C q(t é a rsultant das forças d amortcimnto viscoso linar; K q(t é a rsultant força lástica linar f (t são as forças dinâmicas d xcitação do sistma strutural. ) ) ) ) Cab ntão uma idntificação strutural a fim d qu s possa dtrminar os parâmtros d massa, rigidz amortcimnto, bm como as forças d xcitação para bm dfinir a rsposta do sistma no dcorrr do tmpo ()

4 Para s obtr rdução d vibraçõs m um sistma natural, são ncssárias altraçõs m uma ou mais propridads da strutura (massa, rigidz ou amortcimnto). D uma forma gral, a solução dst problma s dá plo aumnto d rigidz, sm aumnto significativo d massa. A altração d parâmtros struturais nm smpr é viávl, qur sja por ordm técnica, qur sja por qustõs práticas. Nstas situaçõs, para s obtr a rdução d amplitud d rsposta, dvs optar por sistmas d control auxiliars. 3 SISTEMAS AUXILIARES DE CONTROLE ATIVO COM RETROAÇÃO As quaçõs difrnciais d quilíbrio dinâmico d um sistma strutural controlado d comportamnto linar podm sr dscritas por um sistma d n quaçõs (n númro d graus d librdad do sistma) conform quação (3). M q( + C q( + K q( = f ( + f ( ond f ( t c ) n é vtor d forças d control. Através d uma mudança d variávis, é possívl rscrvr a quação (3) na forma d um sistma d quaçõs d stado como mostrado na quação (4). ond: x ( = A x( + B u( x t é dado pla quação (5) rprsnta o vtor d stado do sistma; ( ) n A n n B n n são, rspctivamnt, as matrizs dadas plas quaçõs (6) (7); u ( n é o vtor d forças xprsso pla quação (8). c q( n x ( n = (5) q( n = n n I n n n n (6) M K M C A n n Bn n = (7) M u (8) ( n = f ( n + fc ( n (3) (4) As matrizs n n n n I nvolvidas nas quaçõs (6) (7) rprsntam, rspctivamnt, a matriz nula idntidad d ordm n. As forças d control podm sr dtrminadas através dos procdimntos dscritos m [,3] qu utilizam a minimização d um funcional quadrático H nvolvndo amplituds d rsposta d forças d control como mdidas d dsmpnho conform dscrito na quação (9). H = t T f T T x ( t) S x( t f ) + [ x ( x( + u ( R u( ]dt (9) to - 4 -

5 ond ( T ) dnota as matrizs ou vtors transpostos; t t f são, rspctivamnt, o tmpo inicial final considrados na minimização d H ; S é a matriz simétrica d pondração aplicada ao n n vtor d stado calculado no contorno do domínio; R é uma matriz simétrica d pondração aplicada às forças d control é a matriz simétrica d pondração aplicada vtor d stado. n n No caso d uma anális via método da suprposição modal, a matriz tm caractrísticas d sparsidad sua configuração é aprsntada na quação () [4]. n n k nn nn = k () kk nn nn O control ótimo é obtido através da dtrminação da função objtivo u (, qu minimiza o funcional H (quação (9)). S for considrado um tmpo d control infinito, sta função objtivo pod sr xprssa pla quação (). T u ( = R B P x( () sndo P a matriz d Riccati qu satisfaz a quação algébrica d Riccati mostrada na quação (). + A T T B + = As matrizs A, B nvolvidas nas quaçõs () () são xtraídas dirtamnt das caractrísticas dinâmicas da strutura (vr quaçõs (6) (7)). A matriz é dtrminada nst artigo através d um procdimnto basado no algoritmo d Nwton-Rapshon dscrito na rfrência [4]. Finalmnt, para dfinição das forças d control (quaçõs () ()), cab ao projtista arbitrar um conjunto d matrizs d pondração R qu lv o sistma strutural a um nívl d dslocamntos dsjávis sm havr ncssidad d forças d control d magnituds inaplicávis. Estas matrizs d pondração influnciam o sistma strutural controlado d forma invrsa: para maiors valors dos coficints d R mnors srão as forças d control maiors srão as amplituds d dslocamntos; por outro lado, para maiors valors dos coficints da matriz maiors srão as forças d control mnors srão as amplituds d dslocamntos. Busca-s nst trabalho analisar uma frramnta capaz d auxiliar o projtista na dfinição d R, calculando matrizs d pondração qu rduzam ficintmnt os dslocamntos sm grar forças d control d magnituds xcssivas. Obsrvando a influência invrsa das matrizs R no comportamnto do sistma strutural controlado, optou-s por s fixar a matriz R calcular a matriz. O cálculo da matriz é fito através d uma otimização via Algoritmos Gnéticos (AG) st procdimnto é dscrito na próxima sção. É important obsrvar qu o procdimnto d control adotado nst trabalho utiliza o método da suprposição modal. () - 5 -

6 - 6-4 OTIMIZAÇÃO DOS TERMOS DA MATRIZ DE PONDERAÇÃO VIA ALGORITMOS GENÉTICOS No procdimnto d otimização da matriz via AG anális modal considrou-s sta matriz com a configuração mostrada na quação (3). Dsta forma ficam controlados os cinco primiros modos d vibração = (3) Algoritmos Gnéticos (AG) [6,7] são procdimntos d busca inspirados na biologia têm sido aplicados m difrnts áras mostrando ficiência na obtnção d boas soluçõs m problmas d otimização qu aprsntam spaços d busca complxos. Nst trabalho, todas as variávis qu rprsntam uma solução candidata à solução ótima do problma são codificadas através d uma cadia d caractrs compostos d zros uns (codificação binária). A figura mostra a rprsntação gráfica d uma cadia d caractrs d uma possívl solução candidata. Nst caso admitiu-s 5 trmos incógnitos para a matriz (,, 3, 4 5 ) qu são dispostos sqüncialmnt nsta cadia. Figura Exmplo d uma solução candidata para otimização d. Os AG contém um conjunto d soluçõs qu é voluída através d um procsso stocástico qu favorc as mlhors soluçõs. Est procdimnto volutivo gra novas soluçõs candidatas é rptido para um dado númro d vzs dnominado númro d graçõs. O AG adotado nst trabalho é aprsntado a sguir: Início Inicializ um conjunto d pop soluçõs candidatas Para i= até númro d graçõs faça Avali o conjunto das pop soluçõs candidatas Slcion as soluçõs candidatas qu produzm os mlhors rsultados Faça altraçõs nas soluçõs candidatas slcionadas Gr novo conjunto d soluçõs candidatas Fim do para Fim

7 Faz-s agora a dscrição dtalhada d cada tapa do AG. Inicialização da solução candidata: Est procdimnto é puramnt alatório consist m s grar pop soluçõs candidatas através d nb cadias d caractrs binários smlhants à aprsntada na figura 3. Figura 3 Exmplo d um conjunto d soluçõs candidatas. Avaliação das soluçõs candidatas: A avaliação das soluçõs candidatas é fita a partir d uma função dnominada função objtivo Γ aprsntada na quação (4): Ngli P q jiq ij j i Γ( q, f ) = α + β c Ngli Nglc = = j= i= P f c ji Nglc f c ij (4) ond: α β são coficints usados para s aproximar a ordm d grandza dos dslocamntos forças d control; P é o comprimnto dos vtors q j f c (associado ao tmpo d control) j Ngli Nglc rprsntam, rspctivamnt, o númro d graus d librdad qu stão sndo obsrvados controlados. As mlhors soluçõs são aqulas qu produzm os maiors valors d Γ pois analisando a quação (4) tm-s nsts casos mnors nívis d dslocamntos com forças d control d baixa magnitud. Assim sndo é possívl idntificar as mlhors soluçõs obsrvando-s a minimização da função objtivo Γ. Slção das soluçõs candidatas: A slção das soluçõs candidatas qu sofrrão altraçõs grarão novas soluçõs é fita plo Método do Tornio, qu consist basicamnt m: Slção alatória d duas soluçõs candidatas avaliação das msmas; Exclusão da pior solução ntr duas slcionadas; Slção alatória d outras duas soluçõs candidatas avaliação das msmas; Exclusão da pior solução ntr duas novas soluçõs slcionadas; As soluçõs não xcluídas srão rcombinadas d forma a grar novas soluçõs

8 Gração do novo conjunto d soluçõs candidatas: A gração do novo conjunto d soluçõs candidatas é fita sgundo altraçõs no conjunto obtido no passo antrior aplicadas à suas rspctivas rprsntaçõs binárias. Nst trabalho foram utilizados dois tipos d opradors para altração: Oprador d Rcombinação: Após a slção d duas soluçõs candidatas, scolh-s alatoriamnt uma posição ntr nb da cadia d caractrs troca-s altrnadamnt o conjunto d caractrs binários ants dpois dst ponto, ntr as duas soluçõs candidatas, como mostrado na figura 4. Figura 4: Exmplo d Oprador d Rcombinação. Oprador d Mutação: Est oprador scolh alatoriamnt um ponto da solução slcionada faz a invrsão d su valor binário, tornando quando o caractr tivr valor vic-vrsa, como mostrado na Figura 5. Figura 5: Exmplo d Oprador d Mutação Os parâmtros rlativos às probabilidads d ocorrência d cada oprador d altração são dados do programa. Cab rssaltar qu a probabilidad d ocorrência do oprador mutação não podrá sr muito alta, pois pod tornar a busca totalmnt alatória. Após atingir o númro total d xcuçõs ou graçõs tm-s um novo conjunto d soluçõs candidatas. É important dstacar qu no AG adotado a mlhor solução candidata obtida é smpr rptida na gração sguint

9 5 APLICAÇÃO O xmplo a sguir tm o objtivo d vrificar a mtodologia aprsntada analisando su dsmpnho no control ótimo d uma viga bi-apoiada. A discrtização via método dos lmntos finitos (MEF) do modlo analisado é aprsntada na figura 6. A lgnda dsta figura aprsnta as caractrísticas físicas do modlo a tabla mostra um rsumo das caractrísticas das cinco formas modais considradas. Figura 6 Esquma d Discrtização m lmntos d pórtico plano via MEF do Sistma Dinâmico analisado. Tabla - Rsumo das caractrísticas das cinco formas modais considradas. Frqüência natural (Hz) Taxa d amortcimnto º modo 53, 9, % Forma modal º modo 5, 4,5 % 3º modo 484, 7,% 4º modo 86, 8,6 % 5º modo 347,, % A força d Excitação f sta aplica no nó 4 da strutura é dfinida pla quação (5): f = 5sn( wt ) + sn( w + sn( w3 + 5sn( w4 + sn( w5 ( N) (5) ond w = 98 % da i-ésima frqüência natural da strutura analisada. i - 9 -

10 A força d xcitação adotada possui componnts d força qu xcitam os cinco primiros modos d vibração da strutura, conform s obsrva na quação (5) figura 7. Nsta figura é aprsntada a FFT obtida para o dslocamnto vrtical do nó 5 para a xcitação adotada sm sistma d control. Figura 7 FFT obtida para o dslocamnto vrtical do nó 5. Nsta aplicação a rsposta snsorada da strutura foi simulada como sndo a rsposta dinâmica do modlo mostrado na figura 6 obtida pla intgração numérica das quaçõs d quilíbrio dinâmico [9] (quação (3)). Dsta forma são liminados possívis rros m função d mdiçõs imprcisas. Admit-s também qu todos os dslocamntos nodais do modlo fazm part da simulação d rsposta snsorada da strutura. As forças d control f c, aplicadas no nó 5, são obtidas sgundo quação () têm as sguints caractrísticas: - Matriz d pondração R (unidad dos trmos d R : N - ) R = (5) Matriz d Pondração : conform quação (3) Todos os parâmtros qu dfinm as forças d control são considrados fixos xcto a matriz qu possui cinco trmos incógnitas (,, 3, 4 5 ), associados aos 5 modos d vibração considrados na anális alocados conform quação (3). O conjunto dos 5 lmntos da matriz qu lva o sistma dinâmico aos mnors nívis d dslocamntos nodais ao msmo tmpo fornçam magnituds d forças d control mnors possívis é considrado o conjunto solução otimizada do problma. Inicialmnt o problma d control ativo d strutura foi tratado arbitrando-s valors d rfrência aos trmos d, conform mostra tabla. - -

11 Tabla valors para os trmos da matriz d pondração (unidad dos trmos d : m - ) Caso Rfrência =, x 8 =, x 8 3 =, x 8 4 =, x 8 5 =, x 8 Solução Via AG =9,587 3,3534 x 8 = = 7,68959 x 8 3,5977 x 8 4 = =.6393 x 8 5 x 8 Est procdimnto fornc, para dslocamntos vrticais do nó 5 forças d control aplicadas no msmo nó, os gráficos aprsntados nas figuras 8 9, rspctivamnt. Para fito d comparação, a figura 8 também aprsnta a rsposta para o sistma não controlado, dixando clara as rduçõs d amplituds dinâmicas via control ativo. O comprimnto da sqüência binária rprsntativa d uma solução candidata para o problma d otimização da Matriz foi d dígitos, varrndo um spaço d busca ntr x 8 m - x 8 m - para cara trmo d. O AG aprsntado na sção 4 aplicado ao prsnt problma, com o conjunto d parâmtros mostrados na tabla 3, fornc os rsultados para dslocamntos vrticais do nó 5 forças d control aplicadas no msmo nó os gráficos aprsntados na figura, rspctivamnt. Os valors obtidos para os coficints otimizados d matriz via AG são também aprsntados na tabla. Analisando-s os gráficos das figuras (qu rún as rspostas controladas) figuras 9 qu (qu mostram as magnituds d forças d control) pod-s vrificar qu o control ótimo via quação d Riccati acoplado a um procdimnto d otimização via AG mlhorou visivlmnt o dsmpnho do sistma controlado, obtndo maiors rduçõs das amplituds médias d rspostas com mnors magnituds médias d forças d control. Tabla 3 Parâmtros dos AG s utilizados na Otimização d Nº d soluçõs candidatas 3 indivíduos Nº d graçõs 5 Probabilidad d Rcombinação 85% [7] Probabilidad d Mutação 9% [7] Coficint α Coficint β 4 m 9 N - -

12 Figura 8 Comparação ntr a amplitud d dslocamnto obtidas para o modlo do sistma strutural sm control controlado com valors d rfrência para a matriz. Figura 9 Magnituds d forças d control obtidas para o modlo do sistma strutural controlado com os valors d rfrência para a matriz. - -

13 Figura Comparação ntr a amplitud d dslocamnto obtidas para o modlo do sistma strutural sm control controlado com valors da solução via AG para a matriz. Figura Magnituds d forças d control obtidas para o modlo do sistma strutural controlado com os valors da solução via AG para a matriz

14 Figura Comparação ntr as rspostas controladas obtidas para o modlo analisado. 6 CONCLUSÕES Est trabalho analisou a utilização d Algoritmos Gnéticos acoplados à técnica clássica d otimização d forças d control via quação algébrica d Riccati. A mtodologia aprsntada foi avaliada via simulação numérica computacional mostrando sua ficiência na dtrminação d forças d control m struturas ativamnt controladas, mlhorando snsivlmnt o dsmpnho final do sistma dinâmico. Encontrou-s m fas d implmntação outros tipos d struturas rticuladas, como pórticos planos spaciais com um númro maior d graus d librdad ond s sprava mostrar a robustz do procdimnto utilizado nst trabalho. AGRADECIMENTOS: Os três primiros autors dss trabalho agradcm à FAPEMIG (Fundação d Amparo à Psquisa do Estado d Minas Grais) plo suport financiro forncido através do projto Dsnvolvimnto d um Algoritmo Gnético Robusto para Solução d Problmas m Engnharia - Procsso TEC-69/99 FAPEMIG da bolsa d Iniciação Cintífica no projto Control Ativo d Estruturas via Algoritmos Gnéticos PROBIC/FAPEMIG-UFJF 3/

15 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [] MEIROVITCH, L. Dynamics and Control of Structurs, Jonh Wily \& Sons, 99, USA. [] ADELI, H. and SALEH, A., Control, Optimization, and Smart Structurs, Jonh Wily \& Sons, 999, USA. [3] BATISTA, R. C. Rdução Control d Vibraçõs m struturas, Notas d Aula, COPPE/UFRJ, Rio d Janiro, 993. [4] BARBOSA, F. S. Control Ativo Modal d Vibraçõs Estruturais, Ts d Mstrado, COPPE/UFRJ, Rio d Janiro 996. [5] BARBOSA, F. S. Batista, R. C. Algoritmo para Solução do Problma d Riccati m Control Ótimo Modal d Estruturas Discrtizadas via MEF, XVIII CILAMCE Congrsso Ibro-Latino-Amricano d Métodos Computacionais para Engnharia, 997, Brasília, DF. [6] D.E Goldbrg. Gntic Algorithms in Srch, Optimization and Machin Larning. Addison-Wsly Publishing Co., 989. Rading, Mass. [7] LEMONGE, A. C. C., Aplicação d Algoritmos Gnéticos m Otimização Estrutural, Ts d Doutorado, COPPE/UFRJ, 999. [8] CLOUGH, R. W. and PENZIEN, J., Dynamics of Structurs, Mc Graw-Hill Ltd, nd dition, 993. [9] BATHE, K-J.; WILSON, E. L., Numrical Mthods in Finit Elmnt Analysis, Prntic-Hall Inc,