Cascas, Tensões e Deformações 8.1. Capítulo 8. tem a direcção normal à superfície média no ponto que estamos a considerar, os eixos dos x 2.

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1 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8. Capítulo 8 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8. Sistma Eios Uma strutura tipo casca fina é uma strutura para a qual uma as imnsõs é significativamnt mnor o qu as outras uas caractriza-s pla forma a suprfíci méia, no caso a suprfíci méia sr uma suprfíci rvolução a casca é ita rvolução. À smlhança o qu acontc com as vigas com as placas o stao tnsão não é consirao triimnsional, sno usual consirar-s para fitos quilíbrio, m lugar as tnsõs, sforços gnralizaos, os quais são obtios consirano a rsultant as tnsõs ao longo a spssura a casca na ircção normal à suprfíci méia qu passa plo ponto. Para fitos anális tnsõs, uma casca fina é uma strutura qu matrializa uma suprfíci angulosa ou não qu é a suprfíci méia. O facto s rprsntar uma casca pla sua suprfíci méia implica qu trnamnt s consirm uas suprfícis istanciaas ntr si um vctor igual à spssura a casca, sno a suprfíci méia o lugar gométrico os pontos igualmnt istants ssas suprfícis. A fim finir o stao tnsão num ponto é ncssário finir um sistma ios, o qual po sr finio o sguint moo: o io os tm a ircção normal à suprfíci méia no ponto qu stamos a consirar, os ios os os stão no plano tangnt à suprfíci méia qu passa plo ponto são ortogonais

2 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8. ntr si, como s rprsnta na figura 8.. Os ios os prmitm a localização o ponto na suprfíci méia. X X X Figura 8.: Sistma Eios. A spssura a casca é signaa por. A suprfíci méia é uma suprfíci curvatura upla cujos raios curvatura principais ocorrm nos planos O O pom signar-s por rspctivamnt. θ io θ φ φ Figura 8.: Coornaas Esféricas. No caso s tratar uma casca rvolução, figura 8. pomos consirar qu a posição um ponto sobr a casca fica finia plos ângulos θ φ por uma istância. O io O foi consirao coincint com o io rvolução a casca

3 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8. os ios O foram consiraos num plano parallo. O ângulo θ è mio sobr o parallo a partir uma ircção prviamnt finia qu po sr a ircção O. O ângulo φ é o ângulo formao pla ircção normal à suprfíci méia com a ircção o io rvolução, amit-s qu os sntios positivos são os qu s rprsntam na figura. Est ângulo inica a posição o ponto sobr o mriiano. Not-s qu um parallo é prpnicular ao io rvolução qu o mriiano contm o io rvolução. O raio é a istância o ponto a suprfíci méia ao io rvolução. 8. Tnsõs Esforços Unitários O tnsor as tnsõs tm cinco componnts significativas, no caso s consirar qu as tnsõs normais à suprfíci méia são irrlvants quano comparaas com as outras componnts o tnsor as tnsõs. Esta hipóts é razoávl smpr qu s consira qu a casca stá sujita a sforços flão como rsultao uma acção trior normal à suprfíci méia. As componnts o tnsor as tnsõs stão rprsntaas na figura 8. são: ij 8. 0 No plano O pom surgir forças qu rsultam tnsõs uniformmnt istribuías ao longo a spssura qu são as chamaas forças mmbrana. A rsultant as tnsõs ao longo a spssura é N, a rsultant sts sforços unitários ao longo o arco S é N S. A rsultant as tnsõs no lmnto ára S é S, sno o comprimnto S ( + ) θ ou sja S ( + )*S / (not-s qu θ S ou sja θ S / plo qu a rsultant N, força mmbrana rfria à suprfíci méia é: N + S S ou sja:

4 Cascas, Tnsõs Dformaçõs N 8. D moo análogo s fin o sforço unitário N qu corrspon à rsultant as tnsõs ao longo a spssura, ou sja: + N 8. S s s const y const Figura 8.: Tnsor as Tnsõs.

5 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8.5 Os sforços mmbrana N N foram finios na scção constant, no caso s consirar a scção, constant, obtém-s os sforços unitários mmbrana N N qu são rsultants as tnsõs qu são: + N N Nstas coniçõs a simtria o tnsor as tnsõs não implica a simtria o tnsor os sforços, N N. No caso s tratar uma casca sférica ist simtria o tnsor os sforços por sr. No caso sr possívl consirar qu / / são muito pqunos quano comparaos com a unia, a variação o comprimnto o arco ao longo a spssura não prcisa sr consiraa. Consirano st tipo aproimação é possívl consirar simtria os sforços. T s T s N s N s Ns P s N s s P N s P N s X X Ns T s N s T s Figura 8.4: Esforços Mmbrana Transvrsos. As tnsõs cort istribuías ao longo a spssura prouzm sforços transvrsos unitários qu são finios o sguint moo:

6 Cascas, Tnsõs Dformaçõs T + T 8.5 No caso as tnsõs, não srm uniformmnt istribuías ao longo a spssura surgm momntos m rlação à suprfíci méia qu são os sforços flão. O momnto unitário as tnsõs na scção constant m rlação ao lmnto linar S é: + M o momnto flctor unitário M os momntos torsors unitários M M são: + M + M + M 8.6 Ests sforços stão rprsntaos na figura 8.5.

7 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8.7 M s M s M s P s Ms s P M s P Ms X X M s M s Figura 8.5: Esforços Flão. No caso s tratar uma casca fina um matrial isotrópico homogéno é possívl consirar qu / / são muito mnors qu a unia, sno os sforços finios o sguint moo: N ; N N ; N T ; T M ;M M ;M 8.7 As tnsõs rsultants no caso s istribuírm uniformmnt linarmnt ao longo a spssura como s rprsnta na figura 8.6 pom sr calculaas a partir os sforços unitários, o sguint moo: N M 8.8 sno finio num ponto a uma istância a suprfíci méia.

8 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8.8 N / M X / Figura 8.6: Distribuição Tnsõs ao Longo a Espssura. As tnsõs, são finias moo análogo. 8. Dformaçõs A casca sujita a sforços flão forma-s sno amissívl consirar qu lmntos linars normais à suprfíci méia a casca s mantêm linars qu são normais à suprfíci méia flctia após o procsso formação como s rprsnta na figura 8.7 a. No caso a casca star sujita só a sforços flão a suprfíci méia é informávl. Os raios curvatura a suprfíci méia são ants a formação são após a formação. Consir-s um sgmnto no plano O, colocao a uma istância a suprfíci méia, tm um comprimnto não formao l um comprimnto formao l quano a casca stá sujita à flão, como s rprsnta na figura 8.7 a. l l l D l D l (a) (b)

9 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8.9 Figura 8.7: Scção no Plano O. O comprimnto o arco AB é l qu s po primir m função o comprimnto o arco a suprfíci méia l, através a prssão, l - θ, on θ é o ângulo formao plas normais ao sgmnto no plano O é a istância o arco AB à suprfíci méia. O comprimnto o arco AB formao é l - θ, tno m conta qu o arco l sobr a suprfíci méia não s forma. O facto l sr informávl implica qu sja: θ θ 8.9 on: é o raio curvatura no plano O a suprfíci méia não flctia é o raio curvatura a suprfíci méia flctia no plano O. θ é igual l/ θ é igual a l/. A formação é: 8.0 Atnno a qu os comprimntos s pom primir m função l,, como já foi rfrio obtém-s para a quação 8.0, a quação sguint: 8. D moo análogo s finia a variação o comprimnto sguno O, obtno-s:

10 Cascas, Tnsõs Dformaçõs No caso a casca star sujita a sforços flão mmbrana, ist também tnsão a suprfíci méia sno a formação finia o sguint moo: 8. sno ( ) ( ) + on rprsnta a tnsão a suprfíci méia via aos sforços mmbrana, ou sja: No caso s consirar qu a spssura é muito mnor qu o raio curvatura, po consirar-s qu / / 0, pono ar-s ás quaçõs 8.4 a forma sguint: χ χ 8.5 on χ χ rprsntam muanças curvatura.

11 Cascas, Tnsõs Dformaçõs 8. Amitino qu é possívl consirar stas prssõs para as formaçõs qu <<, obtém-s atnno à li Hook as prssõs sguints para as tnsõs: E υ [ + υ ( χ + υ χ )] E υ [ + υ ( χ + υ χ )] 8.6 Substituino stas prssõs nas quaçõs , tno m conta qu / 0, constata-s qu as tnsõs só contribum para os sforços mmbrana qu curvaturas só contribum para os sforços flão, obtno-s por intgração as prssõs sguints: E E N ( ) ( + υ ) ; N ( ) ( + υ ) υ υ ( χ + υ χ ) M ( χ + υ χ ) M D D 8.7 on D é o móulo rigiz à flão é tal qu: D E 8.8 ( υ ) No caso mais gral formação têm consirar-s os fitos as tnsõs cort qu provocam a istência sforço mmbrana N na suprfíci méia qu tnm a prouzir uma istorção qu po sr mia m trmos um momnto torsor M qu tn a provocar uma muança curvatura torção χ.