MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS AXIALMENTE INDEFORMÁVEIS

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1 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS: BARRAS AXIALMENTE INDEFORMÁVEIS Sja uma strutura hirstática constituida or barras axialmnt indformávis: P 2 P Porqu as barras são axialmnt dformávis, xistm g.l. hirgométricos qu não rcisamos d considrar, 2 : P qu, or sobrosição dos fitos, é igual à soma d duas struturas: R P Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 2

2 Analisando cada uma das sub-struturas antriors m sarado, tmos: ) Cargas alicadas: R R R R R R R P P ) Assntamnto : 2) Assntamnto : Establcndo as quaçõs d quilíbrio d forças ara cada uma das dircçõs corrsondnts às incógnitas hirgométricas i, i,, tmos: Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP)

3 F F R R sndo, com i, j,. Sja uma nova strutura hirstática constituida or barras axialmnt indformávis: P P P P 2 Mais uma vz, orqu as barras são axialmnt dformávis, xistm g.l. hirgométricos qu não rcisamos d considrar, 2 5 : P P 2 qu, or sobrosição dos fitos, é igual à soma d duas struturas: R R 4 P P 2 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 4

4 Analisando cada uma das sub-struturas antriors m sarado, tmos: ) Cargas alicadas: R R 4 R R R 4 R 4 R R R P P 2 P P 2 ) Assntamnto : ) Assntamnto : ) Assntamnto : Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 5

5 Establcndo as quaçõs d quilíbrio d forças ara cada uma das dircçõs corrsondnts às incógnitas hirgométricas i, i,, 4, tmos: F F F 4 R R R sndo, com i, j,, 4. Sja a nova strutura hirstática contínua, idêntica à antrior, constituida or barras axialmnt indformávis, mas não simultanamnt ortogonais ntr si: 5 P P 2 2 P P 2 Mais uma vz, orqu as barras são axialmnt dformávis, xistm g.l. hirgométricos qu não rcisamos d considrar, 2 5 ( cos cos ), i.. : 4 P P 2 qu, or sobrosição dos fitos, é igual à soma d duas struturas: Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 6

6 R 4 R P P 2 Analisando cada uma das sub-struturas antriors m sarado, tmos: ) Cargas alicadas: R 4 R 4 R P P 2 R R R R 4 R R P P 2 ) Assntamnto : ) Assntamnto : Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 7

7 4 4 4 ) Assntamnto : Establcndo as quaçõs d quilíbrio d forças ara cada uma das dircçõs corrsondnts às incógnitas hirgométricas i, i,, 4, tmos: F F F 4 R R R sndo, com i, j,, 4. A dtrminação das forças na dircção d translação,,, 4, od sr fita através da alicação do T.T.V. Considrmos no xmlo antrior rótulas na xtrmidad d todas as barras. A strutura transforma-s num mcanismo: Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 8

8 Provoqumos na dircção d translação 5 um dslocamnto unitário, d tal modo qu os nós não sofram qualqur rotação: θ 2 θ / θ / Prtnd-s ntão dtrminar, or xmlo, o valor. Logo, irmos considrar também as rótulas nas xtrmidads das barras, consquntmnt, os momntos flctors à squrda dirita da rótula qu imonham a condição d continuidad d dformação da strutura. 4 4 a A alicação do T.T.V. às forças sforços intrnos dsta strutura aos dslocamntos dformaçõs intrnas do movimnto d mcanismo, i.. o facto do trabalho das forças xtriors da strtura nos dslocamntos do mcanismo sr igual ao trabalho dos sforços intrnos da strutura nas dformaçõs intrnas do mcanismo (nulas or dfinição d movimnto d mcanismo), rmit scrvr:, i.. ( ) θ ( ) θ a 4 2 E I E I 2 E I 2 L 4 L L L 6 Prtnd-s agora dtrminar o valor. Logo, irmos considrar também as rótulas nas xtrmidads das barras, consquntmnt, os momntos flctors à squrda dirita da rótula qu imonham a condição d continuidad d dformação da strutura. Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 9

9 4 4 a a A alicação do T.T.V. às forças sforços intrnos dsta strutura aos dslocamntos dformaçõs intrnas do movimnto d mcanismo, i.. o trabalho das forças xtriors da strtura nos dslocamntos do mcanismo é igual ao trabalho dos sforços intrnos da strutura nas dformaçõs intrnas do mcanismo (nulas or dfinição d movimnto d mcanismo), rmit scrvr:, i.. ( ) θ ( ) θ a a 4 E I E I 6 E I E I E I E I L L L L L L L L Simlificadamnt, od-s rrsntar o mcanismo antrior através da indicação d anas uma rótula m cada nó, i.. concntrando todas as rótulas d todas as barras qu convrgm num msmo nó, numa msma rótula. Isto imlica qu os momntos alicados nas rótulas no lado dos nós, mbora xistam orqu o trabalho roduzido or ss momntos nos mcanismos é nulo, dixam d sr rrsntados. Sja, or xmlo, novamnt a dtrminação d, 4 θ 2 θ / θ / a a qu, tal como na situação antrior, rmit scrvr: ( ) θ ( ) θ a a 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP)

10 Sja uma quarta strutura hirstática contínua, constituida or 4 barras axialmnt indformávis, mas não simultanamnt ortogonais ntr si: P P 2 P P 2 Mais uma vz, orqu as barras são axialmnt dformávis, xistm g.l. hirgométricos qu não rcisamos d considrar, 2 8, dos rstants 4 g.l. hirgométricos d translação, só rcisamos d considrar 2, sjam : 7 P P 2 qu, or sobrosição dos fitos, é igual à soma d duas struturas: R 6 R 4 R R 7 7 P P 2 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP)

11 Vrifiqumos o grau d mobilidad da strutura, considrando ara isso os mcanismos d translação associados aos movimntos ossívis do órtico, i.. Provoqumos na dircção d translação um dslocamnto unitário, d tal modo qu os nós não sofram qualqur rotação ou dslocamnto d translação na dircção 6: 5 / tag 5 / tag 9 9 θ 2 -θ -2/ /tan θ 2 -θ -2/ /tan θ / θ 4 -θ θ / θ 4 -θ Provoqumos agora na dircção d translação 6 um dslocamnto unitário, d tal modo qu os nós não sofram qualqur rotação ou dslocamnto d translação na dircção : 5 / tag 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 2

12 Rgrssando ao xrcício analisando cada uma das sub-struturas antriors m sarado, tmos: ) Cargas alicadas: R 6 R 4 R R 7 P P 2 R 6 R 4 R R R 4 R 7 R 7 P P 2 5 / tag R 6 R 4 9 R 4 R 7 θ 2 -θ -2/ /tan R R R 7 θ / θ 4 -θ P P 2 R a R a R '''' ''' ( R R ) θ ( R R ) θ ( R R ) θ ( R R ) θ ' a a 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP)

13 5 / tag R 6 R R 4 R 7 R R R 7 θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ P P 2 R a R a R '''' ''' ( R R ) θ ( R R ) θ ( R R ) θ ( R R ) θ ' 6 a a 4 ) Assntamnto : / tag θ 2 -θ -2/ /tan 7 θ / θ 4 -θ a a '''' ''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ ' a a 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 4

14 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ a a '''' '''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ 6 a a 4 2) Assntamnto : / tag θ 2 -θ -2/ /tan θ / θ 4 -θ a2 a2 '''' '''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ 2 a a2 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 5

15 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ a2 a2 '''' ''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ ' 62 a a 2 4 ) Assntamnto : / tag θ 2 -θ -2/ /tan θ / θ 4 -θ a4 a4 '''' ''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ ' 4 a a 4 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 6

16 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ a4 a4 '''' '''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ 64 a a4 4 4) Assntamnto : / tag θ 2 -θ -2/ /tan θ / θ 4 -θ 46 a6 a6 '''' ''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ ' 6 a a 6 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 7

17 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ 46 a6 a6 '''' '''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ 66 a a6 4 5) Assntamnto 7 : / tag θ 2 -θ -2/ /tan θ / θ 4 -θ a7 a7 '''' ''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ ' 7 a a 7 4 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 8

18 5 / tag θ 2 -θ 2/ /tan θ θ 4 2/ a7 a7 '''' '''' ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( ) θ 67 a a7 4 Establcndo as quaçõs d quilíbrio d forças ara cada uma das dircçõs corrsondnts às incógnitas hirgométricas i, i,, 4, tmos: F F F F F R R R R R Calculados os dslocamntos,,,, 7 sabndo qu os dslocamntos 2 8 são nulos, os rstants dslocamntos, i.. 5 9, dtrminam-s através dos mcanismos, 5 9 ( ) 6 tan 2 Conhcidos os dslocamntos, dtrminam-s os sforços transvrsos os momntos flctors nas xtrmidads das barras através do rocdimnto já utilizado no caso das struturas constituidas or barras dformávis axialmnt. Quanto ao sforço axial, a sua dtrminação é fctuada através da imosição do quilíbrio d forças nos nós: 6 T M f M fd M fd N d N M f M f N d N T d T T T d T N N M f Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 9

19 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 2 sin cos cos sin d d d d N T N N T T sin cos sin cos cos sin cos sin d d d d N T N T N T N T sin cos cos sin '''' '''' N N T T N T

20 M fd M f N d M f N d N M fd N d M fd M fd T d T T d N T T d N d T d P P 2 Método dos Dslocamntos J. Miranda Guds (DEC FEUP) 2