2.3 - MODELO ELASTOPLASTICO UNIDIMENSIONAL
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- Luzia Neves Beretta
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1 3 - MODLO LASTOPLASTICO UNIDIMNSIONAL A anális d ças submtidas a tração comrssão uras rmit introduzir d orma simls as quaçõs d um modlo lastolástico O comortamnto lastolástico ica dscrito sciicando os quatro lmntos básicos nunciados a sguir i) Rlação tnsão dormação lástica; ii ) Critério inicial d lastiicação ou scoamnto, ou limit do comortamnto uramnt lástico; iii) Li d ndurcimnto qu dtrmina a modiicação do critério d lastiicação durant um rocsso lástico; iv) Li d scoamnto lástico qu din a taxa d dormação lástica ara uma tnsão qu vriiqu o critério d lastiicação sts itns do modlo matmático d lasticidad são dsnvolvidos saradamnt nas sçõs a sguir ) Rlação tnsão-dormação lástica Vamos xcluir o comortamnto lástico não linar, como gralmnt s adota nas alicaçõs d lastolasticidad Dsta orma a rlação considrada é σ ond é o módulo d lasticidad (oung) do matrial Para o matrial virgm no comço do rocsso d carga as dormaçõs lásticas são as únicas qu xistm, ntão mas uma vz roduzida alguma lastiicação dormação lástica la rlação ou sja σ nsta situação dinimos a UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua
2 lástico a)matrial com ndurcimnto b) Matrial ritamnt Figura 9 Dormação lástica dormação rmannt A dormação lástica calculada sgundo a dinição antrior coincid nos xmlos na igura 9 com a dormação rmannt obtida dois d rmovr comltamnt a tnsão sta situação é ncontrada m quas todas as alicaçõs, ntrtanto é ossívl qu sta coincidência não acontça s uma nova lastiicação s arsnta quando é rtirada a tnsão st último nômno é incomum não dv sr conundido com a rsnça d lastiicação m comrssão roduzida na as d rtirada do carrgamnto xtrno numa strutura comlxa Considr-s agora a rlação lástica ara variaçõs d tnsão dormação Obsrva-s nas iguras qu os rocssos d tio?, uramnt lásticos ou d dscarrgamnto local, vriicam d dσ d + d d d Para os rocssos d lastiicação? din-s analogamnt a comonnt lástica da variação da dormação mdiant d dσ obtndo-s assim: UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua
3 com dσ d dσ d d d sgn σ > d + d nulos no caso d lasticidad rita Figura - Procssos incrmntais Rlação ntr incrmntos d tnsão dormação quaçõs m gral din-s as taxas d dormação lástica lástica mdiant as σ σ rsultando obviamnt + UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua
4 ii) Critério d lastiicação inicial Para matriais com ou sm ndurcimnto tm-s qu as tnsõs lasticamnt admissívis, ou sja, aqulas qu são ossívis ara o matrial, ncontram-s ncssariamnt contidas m um sgmnto do ixo das tnsõs no diagrama σ Introduzindo agora uma notação cuja validad transcnd o caso uniaxial considrado, dizmos qu xist um conjunto ou rgião A no saço d tnsõs qu din os stados d tnsão lasticamnt admissívis ara o matrial No caso unidimnsional A { σ : σ σ σ + } Figura - Rgião admissívl inicial Para tnsõs stritamnt intriors a sta rgião somnt odm sr iniciados rocssos (ininitsimais) uramnt lásticos or st motivo dizmos qu o intrior d A é a rgião lástica Para tnsõs na rontira da rgião admissívl odm sr iniciados rocssos (ininitsimais) lásticos s são d carga tiva, isto é, d tnsão crscnt m matrial com ndurcimnto ou d tnsão constant m matrial ritamnt lástico Para stas tnsõs na rontira d A também é ossívl iniciar rocssos (ininitsimais) uramnt lásticos mdiant dscarrgamnto Por sts motivos chama-s à rontira da rgião admissívl d suríci d lastiicação ou suríci d lasticidad UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 3
5 Tnsõs xtriors ao conjunto A são inadmissívis no stado inicial d historia lástica do matrial, são smr inacssívis no caso d lasticidad idal A rgião admissívl A é convnintmnt dinida or uma unção d lasticidad (ou d lastiicação) (σ) tal qu a condição caractriza a rgião lástica ( σ ) < ( σ ) a suríci d lastiicação Quando s considram os modos d lastiicação d tração comrssão az-s ncssário utilizar duas unçõs ara dinir a rgião admissívl qu são ( σ ) σ σ ( σ ) σ σ + Not-s qu stamos utilizando um arâmtro limit d comrssão σ ositivo ara rrsntar o Pod-s gnralizar a dinição d ntndndo-a uma unção d valor vtorial com comonnts, ou sja [ ] T ( σ ) ( σ ) ( σ ) Dsta orma, a rgião admissívl ica ainda dinida la condição ntndida or comonnts ( σ ) A suríci d lastiicação stá nst caso constituída or tnsõs qu vriicam uma das condiçõs ( σ ) ( σ ) ou ( σ ) ( σ ) < < UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 4
6 iii) Li d ndurcimnto A rgião d tnsõs lasticamnt admissívis modiica-s durant um rocsso lástico m consqüência também a rgião lástica a suríci d lastiicação são altradas Figura - Modiicação da rgião admissívl ara tnsõs Uma li d ndurcimnto dtrmina d qu manira s roduz a modiicação do limit d lastiicação, od sr convnintmnt dinida sciicando uma unção d lasticidad F ( σ, ) qu dscrv a dndência da rgião lástica com rsito a mdiant a rlação ( σ ) < ( σ ) F ( σ, ) ct Tmos assim dinidas uma unção F( ) σ, ininitas unçõs ( σ ), uma ara cada valor d Para uma dtrminada história d tnsõs dormaçõs qu roduziu uma dormação lástica acumulada, todas as tnsõs qu vriicam (m comonnts) ( σ ) < UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 5
7 são lásticas no sntido d qu somnt rocssos lásticos odrão comçar a artir dst stado Quando a tnsão vriica ( σ ) ( σ ) < i i,j, ond ( σ ) é o limit d lastiicação m tração ( σ ) j m comrssão, ntão < acontcrão vntualmnt dormaçõs lásticas no rocsso iminnt, caso st não sja d dscarga, simultanamnt a unção srá modiicada durant o rocsso lástico na orma dtrminada or F( ) σ, sgundo a rlação stablcida acima ara F m articular, o critério inicial d lastiicação stá rlacionado com F or ( σ ) F( σ, ) Um matrial ritamnt lástico tm limit d lastiicação indndnt d ortanto nst caso as unçõs F, coincidm são indndnts d No rsnt modlo unidimnsional odmos dinir F mdiant F ( σ ) [ F ( σ, ) F ( σ, )] T, com os modos d tração comrssão dtrminados or ( ) σ k ( ) F ( ) σ k ( ) F, σ σ, Uma tnsão no limit d lastiicação m tração vriica ( σ ) F ( σ, ) ou sja σ k ( ) dond s dduz qu a unção k ( ) tração mdiant as rlaçõs calcula-s a artir do diagrama σ + ( ) k k ( ) σ + + σ ( ) σ + σ + σ + do nsaio d UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 6
8 Analogamnt k k ( ) σ + σ ( ) σ σ σ iv) Li d scoamnto lástico m consqüência da dinição d taxa d dormação lástica adotada, o módulo d lasticidad od sr intrrtado como dσ d σ Analogamnt, ara um rocsso lástico como o d tração na igura (b), din-s o módulo tangnt or o módulo d ndurcimnto or dσ t d dσ d σ t σ O módulo d ndurcimnto matriais stávis cuja curva tm intrss é uma unção d σ smr ositiva ara σ é crscnt smr Substituindo as quaçõs antriors m d d + d rsulta + t Para matriais idalmnt lásticos, sta última igualdad não t Vimos qu durant o rocsso lástico d tração vriica-s (não s considra o modo d comrssão): sta igualdad drivada m rlação a F ( σ, ) σ k( ) rsulta m UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 7
9 dk d dond od sr calculado o módulo d ndurcimnto a artir unção k dduzida do nsaio d tração A dscrição nomnológica do comortamnto lastolástico discutida nas sçõs mostrou qu a rlação constitutiva dv sr ncssariamnt incrmntal (m taxas) não linar m razão da irrvrsibilidad dos rocssos lásticos A quação constitutiva dv sr uma rlação ntr σ, ou com anas ois a comonnt lástica oi rlacionada or σ ; rlação sta qu dnd do valor rsnt da tnsão dos arâmtros d história lmbrada qu no caso unidimnsional odm sr substituídos la rória dormação lástica acumulada ( h ) constitutiva é da orma σ, σ, σ + σ, σ, Ou sja, a rlação sta rlação ~ xlicitada a sguir admitindo or simlicidad qu o matrial somnt lastiica m tração não m comrssão iv) matrial com ndurcimnto: σ ara ( σ ) σ < ara ( σ ) σ > ( σ ) < (tnsão na rgião lástica) ou (tnsão no limit d lasticida d) (rocsso d dscarga lástica local) (tnsão no limit d lasticida d) (rocsso d carga local) ond dndm da história lmbrada, or xmlo: dk d ( σ ) σ k( ) UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 8
10 iv) matrial idalmnt lástico: λ ( σ ) < (tnsão na rgião lástica) ara ou ( σ ) (tnsão no limit d lasticida d) σ < (rocsso d dscarga lástica local) indtrmin ara ado, ( σ ) σ > (tnsão no limit d lasticida d) (rocsso d scoamnto lástico) ond é uma unção indndnt da história ( coincidnt com F ) Na rlação ara lasticidad idal oi utilizado um arâmtro d lasticidad λ ositivo ara imor a condição d qu durant o scoamnto lástico m tração somnt ocorrm dormaçõs d alongamnto cuja intnsidad não é roorcional à variação d tnsão, nula nst caso A taxa d dormação lástica é indtrminada nsta situação no sntido qu qualqur dormação é admissívl com rsito à rlação constitutiva, o qu não imd qu quando s considra a ça submtida às rstriçõs cinmáticas d quilíbrio do roblma sta indtrminação sja lvantada A obsrvação do diagrama σ idalmnt lástico mostra qu ainda qu não sja dtrminado or σ como mncionado, a corrsondência invrsa stá bm dtrminada, isto é, dado s dduz o valor d σ associado Consquntmnt a orma invrsa da rlação constitutiva nunciada acima não arsnta indtrminaçõs od sr scrita ara matriais com ou sm ndurcimnto mdiant σ σ, σ, +, σ, ond sta rlação rrsnta a lasticidad idal quando é indndnt da história m gral UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua 9
11 ( σ ) σ k( ) dk d sta orma da rlação constitutiva σ σ, σ, od também sr scrita como σ t ( ) σ < (tnsão na rgião lástica) ara ou ( σ ) (tnsão no limit d lasticida d) (rocsso d dscarga lástica local) ara ( σ ) (tnsão no limit d lasticida d) > (rocsso d carga local) com t + nulo m lasticidad rita Como xmlo vamos stablcr as quaç õ s corrsondnts a um matrial com ndurcimnto linar k ( ) a + b σ Os coicints a b são intrrtados considrando as condiçõs ( ) dk m a σ qu conduz a b Dsta orma d F ( σ, ) σ σ ( σ ) ( σ ) k qu imlica A igura 3 mostra o caso articular m qu + no qual a rgião admissívl somnt translada durant o rocsso d lastiicação, mantndo a sua orma (comrimnto) original st é o chamado ndurcimnto isotróico Not-s qu o ito Bauschingr stá rrsntado nst modlo matmático UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua
12 Figura 3 - ndurcimnto linar UFPR-CSC Matriais lastolásticos studo d caso: Anális lastolástica d uma viga contínua
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