2 O Problema Mecânico de Equilíbrio Estático em Condições Tridimensionais

Transcrição

1 3 O Problma Mcânico d Equilíbrio Estático m Condiçõs ridimnsionais Nst caitulo são arsntadas as quaçõs d quilíbrio stático do roblma mcânico m condiçõs tridimnsionais, as quaçõs constitutivas, a formulação m dslocamnto do método dos lmntos finitos juntamnt com os algoritmos d solução d sistmas d quaçõs algébricas não linars, tanto m nívl global, quanto m nívl do onto d Gauss... Formulação m dslocamnto do roblma mcânico d quilíbrio stático Figura. Rrsntação do domínio do roblma d frontira (Adatado d Yang, 009) A quação difrncial qu rrsnta o quilíbrio stático d um roblma mcânico od sr scrita como: σ + b = 0 m V (.) Em qu V é o domínio do roblma, é um orador difrncial d rimira ordm dfinido como:

2 4 / x 0 0 / y 0 / z = 0 / y 0 / x / z 0 (.a) 0 0 / z 0 / y / x σ é o vtor das comonnts d tnsão dfinido como: [ σ σ σ τ τ τ ] σ = x y z xy yz zx (.b) O vtor b é o vtor d força d volum (força d coro) dfinido como: [ b b b ] b = x y z (.c) A Equação (.) dv atndr às sguints condiçõs d contorno: σ n = q m S q (condição d contorno natural) (.a) U = δ m S u (condição d contorno ssncial) (.b) i m qu S q S u são, rsctivamnt, os contornos do domínio do roblma com força dslocamntos rscritos. O vtor q é o vtor d força d surfíci, U é o vtor d dslocamntos nodais δ é o valor do dslocamnto nodal rscrito (nulo ou não) num onto do contorno do domínio do roblma. A solução da Equação. não é trivial às vzs só s torna ossívl ara gomtria, condiçõs d contorno carrgamnto muito simls. Portanto, rocdimntos numéricos vêm sndo adotados ara a obtnção d soluçõs ainda qu aroximadas. Nst caso, a quação d quilíbrio (Equação.) od sr rscrita na forma do método dos lmntos finitos como: F int = F xt (.3) m qu F xt é o vtor d força xtrna qu rrsnta o arranjo global do vtor d força nodal quivalnt ás forças xtrna xt s b δ F xt dfinido como: F = F + F + F (.4) surfíci: O vtor d força xtrna F xt tm 3 arclas: uma dvida a forças d s F = N q ds (.5a) S q q

3 5 Outra dvido a forças d so rório: b V F = N b dv (.5b) E or fim, outra dvido aos dslocamntos rscritos não nulos: = Fδ -Kδ (.5c) δ é o vtor d dslocamntos rscritos K é a matriz d rigidz qu srá arsntada adiant. Nstas quaçõs N é a matriz d introlação qu contém as funçõs d introlação N i qu dndm do tio d lmnto (vr Caítulo 3). O vtor d força intrna F int (Equação.3) rrsnta o arranjo global do vtor d força nodal lmnto, o qual é dfinido como: int V F int quivalnt ao stado d tnsão σ m um dado F = B σ dv (.6) O orador B é a matriz cinmática qu contém as drivadas das funçõs d introlação N i (vr Caítulo 3). A quação d quilíbrio rrsntada la Equação.3 dfin um sistma d quaçõs não linars dvido à não linaridad da arcla d força intrna. Assim sndo, uma stratégia d solução dv sr adotada d modo a garantir a condição d quilíbrio global. Dntr as tantas stratégias ncontradas na litratura, as qu adotam um rocdimnto uramnt incrmntal incrmntal itrativo d Nwton Rahson foram imlmntados no ANLOG são dscritas na Figura.. Em ambos os casos, a solução do roblma é obtida atualizando-s o vtor d dslocamnto nodal U ˆ n + no final d cada incrmnto d carga F xt fazndo: Uˆ Uˆ U ˆ (.7) = + n+ n m qu Û n é o vtor d dslocamnto nodal (a nívl global) no início d um dado incrmnto d carga ˆ U é o vtor d incrmnto d dslocamnto nodal (a nívl global) associado ao incrmnto d carga F xt.

4 6 Figura. Ilustração do rocsso d solução não linar (adatado d Yang, 009) Assim como as comonnts dos dslocamntos são atualizados a cada incrmnto, os vtors d dformação ε n+ tnsão σ n+ (avaliados a nívl local d cada lmnto), também são atualizados no final d cada incrmnto d carga fazndo: m qu εn ε ε ε (.8a) = + n+ n σ n + = σ n + σ (.8b) σ n são, rsctivamnt, os vtors d dformação tnsão numa dada configuração d quilíbrio n, : ε = u (.9a) σ = D ε (.9b) t são, rsctivamnt, os vtors d incrmntos d dformação tnsão no asso d carga corrnt. D t é matriz constitutiva qu dnd do modlo constitutivo adotado ara rrsntar a rlação tnsão-dformação. O sinal ngativo na Equação.9a dfin a convnção d sinal d comrssão ositiva. O orador difrncial é o msmo arsntado na Equação.a o vtor d dformação ε é dado las comonnts d dformação:

5 7 [ ε ε ε γ γ γ ] ε = x y z xy yz zx (.0) o vtor d dslocamnto u é dado las suas comonnts m rlação ao sistma d rfrência xyz como: [ u v w] u = (.) Usando o concito d lmnto isoaramétrico, os dslocamntos m onto qualqur no intrior d um lmnto finito odm sr scrito m trmos dos dslocamntos dos sus ontos nodais [ ] ˆ = u v w unnol vnnol wnnol u L fazndo: u u = v = Nu ˆ (.) w Em qu nnol corrsond ao númro d ontos nodais do lmnto finito N é a matriz qu contém as funçõs d introlação ara o lmnto finito (vr Caítulo 3). Em trmos dos dslocamntos globais U od-s scrvr: u = NΤU ˆ (.3) Em qu [ ] ˆ = U V W Unnol Vnnol Wnnol U L (.3a) é a matriz d transformação dfinida como: M L 0 = M O M 0 L Mnnol (.3b) ond X / x X / y X / z M = Y / x Y / y Y / z (.3c) Z / x Z / y Z / z

6 8 A matriz d transformação M rlaciona o vtor osição no sistma d coordnada global = [ X Y Z] coordnada local [ ] x = X com o vtor osição no sistma d x y z, como sgu: X = Mx (.4) Quando o sistma d coordnada local (x,y,z) coincid com o sistma d coordnada global (X,Y,Z), a matriz d transformação M torna-s na matriz idntidad I. nodais como: A Equação.9a od ntão sr rscrita m trmos dos dslocamntos ε = B U ˆ (.5) m qu B é a matriz cinmática dfinida como ond [ ] B = B L B (.6) i nnol B = N (.6a) i As comonnts dos vtors d dslocamntos nodais o orador B i são mostrados no Caitulo 3 ara cada tio d lmnto. Os dois rocdimntos mncionados antriormnt odm sr adotados ara s obtr o incrmnto d dslocamnto (Equação.7). Assim sndo, tm-s qu: a) Procsso uramnt incrmntal: [ ] ˆ ˆ 0 U = U = K F (.7) xt m qu K é a matriz d rigidz global qu rrsnta o arranjo global das matrizs d rigidz d cada lmnto K dfinida como: K = B D BdV (.8) v t qu dnd da matriz constitutiva tangnt D t a qual é avaliada m função do stado d tnsão σ n no início do incrmnto m cada lmnto.

7 9 b) Procsso incrmntal itrativo: itr 0 k Uˆ = Uˆ + δ U ˆ (.9) k= Em qu ˆ 0 U é a solução rdita obtida como indicado na Equação.7 k k ˆ k δ U = K ψ (.0) é a corrção itrativa do incrmnto d dslocamnto a nívl global, m qu k k Ψ = Fxt F int (.) é o vtor d força dsquilibrada m cada itração k. Est rocsso é intrromido quando numa dada itração s vrifica a convrgência do rocsso através da comaração: ratio tolr (.) A variávl ratio é arsntada na abla. m função do critério d convrgência. Os vtors rrsntados las Equaçõs.4 a.6 são avaliados no sistma d coordnada local. Logo, ants d s ftuar o arranjo global dstas quantidads dv-s rocdr a sguint transformação: abla. Critérios d Convrgência Critério ratio Força Fxt Fint Fxt Dslocamnto δ uˆ uˆ Enrgia k k 0 δ uˆ ( F ˆ xt Fint ) u F xt A matriz d rigidz (Equação.8) o vtor d força intrna (Equação.6) são obtidos através d um squma d intgração numérica tais como os d Gauss-Lgndr. Est squma é arsntado no Caítulo 3. As tnsõs dformaçõs (Equaçõs..4) são avaliadas nos ontos d Gauss ara cada lmnto.

8 30 A solução rdita indicada na Equação. é avaliada a artir do stado d tnsão no início do incrmnto fazndo: F = λ F (.3) xt m qu i xt λi é fator d incrmnto d carga. Para roblmas fortmnt não-linars o tamanho do asso od inviabilizar a convrgência do rocsso itrativo, or outro lado, a utilização d assos muito qunos od tornar o rocsso d solução muito lnto. Dsta forma, a slção automática do tamanho do incrmnto d carga é fator imortant ara o sucsso do rocsso d solução do sistma d quação (Noguira, 998). Uma stratégia ficint d incrmnto automático d carga dv forncr grands incrmntos quando a rsosta da strutura for quas linar conduzir a qunos incrmntos quando a rsosta da strutura for fortmnt não linar. Crisfild (98) adotou o sguint rocdimnto ara calcular o fator d incrmnto d carga: λ i = λ i I I d i α (.4) m qu λ i é o fator d incrmnto d carga no asso d carga antrior, I d é o númro d itraçõs dsjadas ara s obtr a convrgência; Ii é o númro d itraçõs ncssárias ara a convrgência do asso antrior;, α é um xont usualmnt tomados como 0.5 ou.0. Crisfild (99) sguindo a sugstão d Ramm (98) adotou α igual a 0.5. O rimiro fator d incrmnto carga é dfinido como: λ 0 = ninc (.5) Em qu ninc é uma variávl dfinida lo usuário. Os fators d incrmntos d carga calculados automaticamnt não odrão sr maiors ou mnors qu valors máximos mínimos ( λ max λ mín ) forncidos lo usuário ara qu o rograma não ntr num loo infinito. S a convrgência não é vrificada ara um númro máximo d itraçõs num dado asso, uma simls stratégia d cort do tamanho do asso é utilizada. Est cort é dfinido la rlação abaixo também sugrida or Crisfild (98):

9 3 OLER λ i = λ i (.6) ratio m qu a variávl ratio dnd do critério d convrgência adotado... Equaçõs Constitutivas As quaçõs constitutivas são utilizadas ara rrsntar, d forma idal, o comortamnto tnsão-dformação dos matriais m gral. Para matriais gológicos como os solos rochas, stas quaçõs constitutivas dvm lvar m conta caractrísticas tais como: não linaridad, lasticidad dilatância. A dscrição das lis constitutivas qu rlacionm as tnsõs às dformaçõs ara os matriais qu xibm comortamnto lastolástico é o objtivo da modlagm matmática da lasticidad, qu dfin três ontos rlvants (Own Hinton, 980): Lis constitutivas ara o matrial ants da ocorrência d dformaçõs lásticas, ou sja, durant o comortamnto lástico do matrial; Um critério d lastificação qu dfin o nívl d tnsõs a artir do qual as dformaçõs lásticas iniciam; Lis constitutivas ara o matrial durant a ocorrência d dformaçõs lásticas, ou sja, durant o fluxo lástico. Um critério d lastificação indicando o nívl d tnsão, a artir do qual obsrva-s o fluxo lástico, ou sja, a ocorrência d dformaçõs lásticas ou irrvrsívis, od sr rrsntado através d uma rlação do tio F( σ,h) = f ( σ ) f (h) = 0 (.7) ond f(σ) é uma função qualqur do tnsor d tnsão σ f(h) é uma função qualqur d um arâmtro d ndurcimnto h dfinido m função d alguma mdida d dformação lástica a artir d dados ou obsrvaçõs xrimntais. Aós iniciado o fluxo lástico, a variação infinitsimal da dformação dε od sr scrita como a dcomosição aditiva d duas arclas: uma lástica dε outra lástica dε. dε = dε + dε (.8)

10 3 A arcla lástica da variação infinitsimal d dformação rlaciona-s com a variação infinitsimal d tnsão dσ através d uma matriz constitutiva lástica D como indicado na quação a sguir. d ε = D d σ (.9) Quando a rsosta lástica é linar, a matriz constitutiva lástica ossui coficints constants, mas, quando a rsosta lástica é não-linar, a matriz constitutiva lástica é dndnt do stado d tnsão ftiva, ou sja, D =D (σ). A arcla lástica da variação infinitsimal d dformação dε é obtida através d uma li qu govrna o fluxo lástico, Li d Fluxo, dfinida como: d ε = d λb( σ,h) (.30) ond b( σ, h) é o vtor qu dfin a dirção do fluxo lástico dλ é o arâmtro lástico, um scalar não ngativo, qu dfin a magnitud da variação infinitsimal da dformação lástica. A dirção do fluxo lástico é dfinida, no stado d tnsão ftiva corrnt, como a dirção normal à surfíci otncial lástico, g( σ, h) = 0, ou sja, g( σ, h) b( σ,h) = σ (.3) Quando a função otncial lástico é adotada como a rória função d lastificação, é dito qu s tm uma Plasticidad Associada, ou qu s tm uma Li d Fluxo Associada. Durant o fluxo lástico, as trajtórias d tnsão dvm ficar dntro ou, no máximo, sobr a surfíci d lastificação. Com isto, tm-s qu, s F( σ, h) < 0, ntão dλ = 0 um comortamnto lástico, s dλ > 0, ocorr fluxo lástico o critério d lastificação, F( σ, h) = 0, dvrá sr satisfito. Assim sndo, durant o fluxo lástico tm-s qu. df = a d σ + a h dh = 0 m qu σ + (.3) F( σ, h) a = σ (.33)

11 33 é o gradint da função d lastificação a h F( σ, h) = h (.34) é uma função qu indica a variação da surfíci d lastificação com o arâmtro d ndurcimnto. O ndurcimnto é incororado no critério d lastificação através da função f(h) na qual a variávl indndnt h, arâmtro d ndurcimnto, é função das dformaçõs lásticas, ou sja, h(ε ) (li d ndurcimnto). A volução das surfícis d lastificação, ou simlsmnt o ndurcimnto, od sr rrsntado gnricamnt la quação: dh dh dh = d ε = d λb( σ,h) d ε d ε (.35) ou ntão, dh = dλ M ( σ,h) (.36) ond P dh M P ( σ,h) = dε b( σ,h) (.37) é uma função qu indica a variação da li d ndurcimnto ao longo do incrmnto d dformação. Pré-multilicando a Equação.8 or a D fazndo as substituiçõs rlativas às Equaçõs.9,.30;.33,.34,.36.37, chga-s à sguint xrssão ara o arâmtro lástico dλ : dλ = a a D dε D b + H (.38) m qu H = a M ( σ,h) (.39) h é o módulo d ndurcimnto qu indica a variação do critério d lastificação com as dformaçõs lásticas.

12 34 Substituindo-s as Equaçõs.9.30 na Equação.8, rarranjando os trmos chga-s à sguint quação constitutiva. d σ = D d ε (.40) m qu t D t D D = (.4) é a matriz constitutiva tangnt contínua, ou matriz constitutiva lastolástica, constituída or duas arclas: uma lástica D outra lástica D dada or: D = D CD (.4) ond ba C = (.43) a D b + H Da msma forma, substituindo a Equação.38 na Equação.35, obtém-s dh = E( σ,h)d ε (.44) ond E é a matriz d ndurcimnto, uma matriz linha, dfinida como a D E = M (.45) a D b + H As Equaçõs só são válidas ara incrmntos infinitsimais d tnsõs dσ dformaçõs dε. Na solução numérica d roblmas d contorno, no ntanto, sts incrmntos não são infinitsimais, ortanto, rros são comtidos acumulados durant a intgração das tnsõs. Ests rros conduzm à violação do critério d lastificação m nívl do onto d Gauss (ou local), da msma forma qu os rros comtidos acumulados quando s utiliza um squma uramnt incrmntal conduzm à violação do quilíbrio no nívl da strutura (ou global). As funçõs, F(σ,h), g(σ,h) h(ε ), suas drivadas, a, a h, b M, usadas na formulação do roblma lastolástico são dndnts do modlo constitutivo dvm sr contínuas difrnciávis ara todo onto no saço das tnsõs.

13 35 Esta considração é muito imortant afta a xatidão do algoritmo d intgração d tnsão..3. Modlos Constitutivos O comortamnto tnsão-dformação dos solos dnd d uma séri d difrnts fators, tais como: condição inicial d dnsidad saturação do solo; strutura do solo; condição d drnagm; tio d quilíbrio (lano, triaxial, tc); história d tnsão; duração do carrgamnto; tmratura, tc.. Através da obtnção d amostras indformadas d solo, od-s tntar rroduzir m laboratório as msmas condiçõs d camo obsrvar através d difrnts tios d nsaios o comortamnto do solo sob divrsas condiçõs d carrgamnto drnagm. Dsta forma, odm-s idntificar caractrísticas tais como: não linaridad, lasticidad (amolcimnto, ndurcimnto, dilatância, tc.). Vários autors vêm trabalhando na ára d modlos constitutivos visando ncontrar uma rlação tnsão-dformação-rsistência qu rrsnt adquadamnt o comortamnto ral dos solos lvando m conta o maior númro ossívl d fators condicionants..3.. Modlo Linar Elástico O modlo linar lástico adota a Li d Hook ara dfinir a rlação tnsão dformação. Nst caso, os incrmntos d tnsão dformação são avaliados a artir da matriz constitutiva lástica D dfinida como: K + 4G / 3 K G / 3 K G / K G / 3 K 4G / 3 K G / K G / 3 K G / 3 K + 4G / D = G G G (.46) m qu K é Bulk Modulus G é o Módulo cisalhant dfinidos m trmos do módulo d Young E do Coficint d Poisson ν como:

14 36 K E = 3( ν ) (.46a) G = E (+ ν) (.46b) A matriz constitutiva od ainda sr dfinida como: λ λ + G λ + G λ + G λ + G λ + G λ + G λ + G λ D = (.47) G G G Em qu λ é a constant d Lamé dfinida or: λ = Eν ( + ν)( ν) (.47a).3.. Modlo não Linar Elástico Hirbólico O modlo hirbólico foi roosto or Duncan Chang (970) tm sido amlamnt utilizado na anális d roblmas da ngnharia gotécnica via MEF, m função d sua simlicidad da facilidad d obtnção d sus arâmtros. Est modlo lva m conta caractrísticas do solo tais como, não linaridad influência da tnsão d confinamnto do nívl d tnsão. El é considrado um modlo sudo-lástico or utilizar módulos d dformabilidad difrnts durant o carrgamnto rimário o dscarrgamnto-rcarrgamnto, induzindo, num ciclo d carrgamnto-dscarrgamnto-rcarrgamnto, a xistência d dformaçõs irrvrsívis. Uma rlação incrmntal dfinida la Equação.46 é adotada considrando-s anas a arcla lástica da matriz D t. A matriz lástica D adotada é a msma arsntada na Equação.46.47, no ntanto, o módulo d Young E é substituído lo módulo d dformabilidad tangnt E t, d modo a s lvar m conta o fito do nívl d tnsão da tnsão d confinamnto no comortamnto tnsão dformação.

15 37 Para dfinição do módulo d dformabilidad tangnt a sr utilizado na avaliação da matriz D, é ncssário qu s vrifiqu a história d tnsão com bas no nívl d tnsão dfinido como: F( σ ) = ( σ σ 3) (.48) m qu σ σ 3 são as tnsõs rinciais rlativas ao stado d tnsão σ. Dsta forma, s: a) F( σ ) corrnt > F( σ ) max, tm-s um carrgamnto rimário o módulo d dformabilidad tangnt é dfinido como: [ ] E = E R S t i f (.49) m qu R f é um arâmtro do modlo conhcido como razão d rutura qu maioria dos solos st fator varia d 0.7 a., S = ( σ σ3) ( σ σ ) 3 f (.50) é a razão d tnsão qu varia d zro, na condição isotróica, à unidad na condição d rutura, 3 ( σ σ ) = 3 f c cos ϕ+ σ snϕ ( sn ϕ) (.5) é nívl d tnsão na rutura ond c φ são os arâmtros d rsistência do matrial d acordo com o critério d Mohr-Coulomb,. Ei n σ 3 Kia a = (.5) É o módulo d dformabilidad inicial dfinido como uma função xonncial da tnsão d confinamnto (Janbu, 963). K i n são constants obtidas miricamnt a artir d nsaios d laboratório a é a rssão atmosférica. b) F( σ ) corrnt < F( σ ) max tm-s um dscarrgamnto ou um rcarrgamnto o módulo dformabilidad tangnt dfinido como:

16 38 Et n σ 3 Kur a a = (.53) K ur n são constants obtidas miricamnt, a artir d nsaios d laboratório, m função do módulo d dscarrgamnto-rcarrgamnto E ur adotando a msma rlação xonncial roosta or Jambu (963) ara o módulo d dformabilidad inicial E i. O modlo arsntado or Duncan Chang (970) adotava um coficint d Poisson ν constant, o qu limitava o su uso. Rconhcndo sta dficiência, Duncan (980) arsntou uma nova vrsão dst modlo, na qual o coficint d Poisson variava m função do módulo d dformabilidad volumétrica B, considrado constant com o nívl d tnsão variávl com a rssão d confinamnto através da rlação: m σ 3 B = Kba (.54) a ond Kb m são dois arâmtros adicionais qu substitum o coficint d Poisson constant do modlo original. Para sta nova vrsão tm-s a sguint matriz constitutiva tangnt: Para o caso lanom σ 3 B = Kba (.55) a (3B + E t ) (3B E t ) (3B E t ) (3B E t ) (3B E t ) (3B E t ) B (3B E t ) (3B E t ) (3B + E t ) D t = (.56) (9B E E t ) t Et Et Os arâmtros K i, K ur, n, c, φ R f, comuns às duas vrsõs dst modlo, os arâmtros ν (ara a vrsão original, ν=ct) K b m (ara a vrsão modificada, B=ct) são obtidos com no mínimo dois nsaios CC, drnados com

17 39 mdição d variação d volum lo mnos um ciclo d dscarrgamntorcarrgamnto, um nsaio d comrssão hidrostática (HC) Modlo Mohr Coulomb Modificado O modlo d Mohr-Coulomb é usado ara dscrvr a rlação tnsão dformação d matriais com comortamnto linar lástico rfitamnt lástico. Est modlo lva m conta o fito da dilatância através do mrgo da lasticidad não associado. O critério d lastificação dst modlo coincid com o critério d rutura, não ocorrndo ndurcimnto durant o fluxo lástico. A arcla lástica da matriz tangnt é adotada tal como arsntada na Equação.47, considrando constants os arâmtros lásticos E ν. A arcla lástica, no ntanto, dnd da função d lastificação F(σ) da função otncial lástico G(σ). A função d lastificação F(σ) do modlo Mohr-Coulomb od sr scrita, m trmos dos invariants d tnsão considrando a convnção d sinal d comrssão ositiva (Dsai Siriwardan, 984; Own Hinton, 980), como: m qu = I D K( θ) I sn φ c cosφ = 0 (.57) 3 F K ( θ) = cos θ + sn θsn φ (.58) 3 c φ são, rsctivamnt, a cosão o ângulo d atrito intrno do matrial; 3 3 I sn 3D θ = θ [ π / 6; π / 6] (.59) 3 ID I D é o ângulo d Lod;, I é o rimiro invariant do tnsor d tnsão, nquanto I D I 3D são, rsctivamnt, o sgundo o trciro invariant do tnsor d tnsão dsviadora. No saço das tnsõs rinciais, a surfíci d lastificação d Mohr- Coulomb tm a forma d uma irâmid m qu a sção normal ao ixo hidrostático m qualqur onto é um hxágono irrgular conform o ilustrado na Figura.. As arstas o áic (vértic) da surfíci d Mohr-Coulomb formam

18 40 um conjunto d ontos singulars nos quais os gradints da função d lastificação da função otncial lástico não ossum dfinição única. Dificuldads numéricas odm aarcr quando o stado d tnsão s aroxima dssas rgiõs. σ σ σ σ 3 σ σ 3 a) Plano π b) Esaço das tnsõs rinciais Figura.3 Surfíci d lastificação d Mohr Coulomb (Olivira 006) Para contornar sts roblmas, Sloan Bookr (986) Abbo Sloan (995) rousram uma nova vrsão ara o modlo Mohr-Coulomb na qual as singularidads rlacionadas ao áic às arstas são rmovidas. A rmoção da singularidad rlacionada ao áic do critério d Mohr-Coulomb od sr fita dtrminando-s uma surfíci aroximada qu sja contínua difrnciávl m todos os ontos. Abbo Sloan (995) rousram uma aroximação hirbólica tal como ilustrado na Figura.3 qu conduziu a sguint função d lastificação: I D snφ/k(θ) b M-C M-C Hirbólico a I /3 c cotgφ b sn φ = a K( θ) Figura.4 Aroximação hirbólica da surfíci d lastificação d Mohr Coulomb

19 4 I F = I D ( K( θ) ) + ( a sn φ) sn φ c cos φ (.60) 3 Nota-s qu s o arâmtro a for tomado como nulo, a função d lastificação dfinida la Equação.60 rtorna à sua forma original dada la Equação.57. Abbo Sloan (995) rcomndam ara o arâmtro a um valor m torno d 5% c cot gφ. Para tratar as singularidads rlacionadas às arstas, ou sja, ara o θ = ±30, Sloan & Bookr (986) rousram a sguint aroximação trigonométrica ara a xrssão K( θ ) : K ( θ) = A + Bsn3θ ara θ > θ (.6) m qu A = cos θ 3 + tgθ tg3θ + sinal( θ)(3tgθ tg3θ ) sn φ (.6a) 3 3 B = - sin al( θ)snθ + cos θ snφ 3cos 3θ 3 (.6b) Para θ θ mrga-s a Equação.58 θ é o ângulo d transição qu od assumir valors d 5 a 9 (Sloan Bookr, 986). A Figura.4 ilustra o rocdimnto adotado ara tratar as arstas do modlo Mohr-Coulomb. σ θ = 30 θ = 5 θ Id c M-C σ σ 3 θτ = 5 θ = -5 θ = - 30 Figura.5 ratamnto das arstas do modlo Mohr - Coulomb (Abbo Sloan, 986)

20 4 Ao critério d lastificação rsultant do tratamnto do áic das arstas do modlo original du-s o nom d modlo Mohr-Coulomb Modificado. A st modlo stá associado o sguint vtor gradint da função d lastificação (Own Hinton, 980): F F I a = = σ I σ 3 C F F K θ I D + + I D K θ I D σ C F F K θ I 3D + + I 3D K θ I 3D σ C3 (.63) I D σ I As constants C, C C 3 são dfinidas na abla. os vtors σ, I3D σ contêm as drivadas dos invariants d tnsão. O vtor b qu dfin o gradint da função otncial lástico é dfinido d forma análoga ao vtor a, adotando-s uma função otncial lástico similar à função d lastificação arsntada nas Equaçõs.57.60, substituindo-s, no ntanto, o ângulo d atrito φ lo ângulo d dilatância ψ. abla. Dfinição das constants do vctor a, Modlo Mohr Coulomb Modificado C C C 3 θ θ θ > θ sn φ - snφ 3 3 tg3θ tg3θ α / + αi θ + θ φ D( sn cos sn ) - α K( θ) / + α I D (3Bcos3θ) - 3 I I D D αi D ( snθ + tg3θ cos θsnφ) 3 3I 3D α I D tg3θ (3Bcos3θ) 3I 3D K( θ) α = I D IDK( θ) + (a sin φ) α =.3.4. Modlo Elastolástico Lad Kim O modlo constitutivo Lad-Kim (ou singl hardning ) (Lad Kim 988a, 988b, 995; Kim and Lad 988; Lad 990; Lad Jakobsn 00) é bastant smlhant ao modlo d Lad (977), orém, a difrnça rincial ntr ls é o fato do rimiro utilizar anas uma surfíci d lastificação.

21 43 Est modlo é constituído das sguints comonnts: a rlação constitutiva lástica, critério d rutura, critério d lastificação, função otncial lástico lis d ndurcimnto amolcimnto. A arcla lástica da matriz tangnt é adotada tal como arsntada na Equação.46 m função, no ntanto, d um módulo d dformabilidad qu varia com a tnsão d confinamnto (vrsão Lad-Kim 90) ou com o nívl d tnsão (vrsão Lad-Kim 995). Pla vrsão Lad-Kim 990 o módulo d dformabilidad od sr obtido através d uma função xonncial da tnsão d confinamnto tal qu (Janbu, 963) E K σ 3 = ur a a n (.64) ond K ur = ( a,5)ki, K i n são constants obtidas miricamnt a artir d nsaios d laboratório a é a rssão atmosférica. Pla vrsão Lad-Kim (995) o módulo d dformabilidad lástico varia com o nívl d tnsão foi drivado com bas no rincíio da consrvação da nrgia I + ν E = M + 6 I D a a ν a λ (.65) m qu M λ são arâmtros lásticos do modlo, ν é o coficint d Poisson, I é o rimiro invariant do tnsor d tnsão I D é o sgundo invariant do tnsor d tnsão dsviador. No modlo d Lad-Kim, o critério d lastificação é dado or: m qu F( σ, W ) = F( σ ) F(W ) = 0 (.66) h 3 I I I q σ = ψ (.67) I3 I a F( ) é a função d lastificação qu dfin uma surfíci convxa no saço das tnsõs rinciais (vr Figura.6), m qu I I são os invariants d tnsão a

22 44 variávl ψ é dfinida miricamnt m função do arâmtro d rsistência m do modlo antrior como. 7 ψ = m (.68) q é uma variávl d stado dfinida m trmos do nívl d tnsão (S) como: αs q = ( α) S (.69) α h os arâmtro d lastificação dst modlo. σ ixo hidrostático F(σ )=ct σ σ = Figura.6 Surfíci d Plastificação do Modlo d Lad Kim (Noguira 998) 3 O nívl d tnsão S é dfinido como Em qu S cor S = (.70) η S cor m 3 I I = I 7 (.7) 3 a η m são os arâmtros d rsistência I I 3 são os invariants do tnsor d tnsão. O cálculo dos invariants d tnsão, ara fins d vrificação do nívl d tnsão d rutura, é fito adicionando às comonnts d tnsão normal uma constant d magnitud a a. Est artifício matmático é introduzido a fim d incluir uma cosão ftiva, a qual rflt o fito da rsistência à tração. Dsta forma, além dos arâmtros η m, é também ncssário o arâmtro a. D acordo com a Equação.70, o nívl d tnsão S varia d 0 a durant o ndurcimnto (ants da rutura).

23 45 O vtor gradint da função d lastificação é obtido fazndo: F q S F I F I F q S F I3 a = q S I I σ I q S I3 I { σ σ C C 3 C (.7) I3 σ I As constants C, C C 3 são dfinidas na abla.3 os vtors σ, I σ contêm as drivadas dos invariants d tnsão. abla.3 Dfinição das constants do vtor a Modlo d Lad Kim C C C 3 Dfinição h m 3 I I I q α I I ψ (3 m) 7m + I3 I a [ ( )S] η a I3 I α h I I q I + ψ (h + 3) (h + ) I3 I a h q I I a I h m 3 3 I I I q α I I ψ + I3 I a [ ( α)s] η I3 a ψ h 3 q I I a I3 A li d fluxo é dfinida m trmos da função otncial lástico g( σ ) dfinida como: µ 3 I I I g( σ ) = ψ + ψ (.73) I3 I a ψ µ são os arâmtros da função otncial lástico. O incrmnto d dformação lástica é ntão avaliado m função do gradint da função otncial lástico b dfinido como: g g I g I g I3 b = = + σ + σ σ (.74) I I I3 σ C C C3

24 46 I3 σ I As constants C, C C 3 são dfinidas na abla.4 os vtors σ, I σ contêm as drivadas dos invariants d tnsão. abla.4 Dfinição das constants do vtor b Modlo Lad Kim C C C 3 Dfinição I I I ψ ( µ + 3) ( µ + ) + ψ µ I3 I I a µ I I I a 3 I I ψ I3 a µ µ A arcla F(W ) do critério d lastificação (Equação.66) é uma função do trabalho lástico, tomado como arâmtro d ndurcimnto /ou amolcimnto, o qual dfin o aumnto ou a diminuição da surfíci d lastificação. Para nívis d tnsão abaixo do nívl d rutura, a surfíci d lastificação crsc com o aumnto do trabalho lástico como od sr visto na Figura.6. Obsrva-s também, nsta figura, qu a taxa d crscimnto da função d lastificação diminui na mdida m qu o trabalho lástico aumnta o nívl d tnsão s aroxima da unidad (stado d rutura). A artir dst instant, um aumnto do trabalho lástico causa uma diminuição na surfíci d lastificação (ou amolcimnto). Dsta forma, ara dtrminação da osição da surfíci d lastificação é ncssário qu s stablça a li d ndurcimnto d amolcimnto.

25 47 Figura.7 Modlagm do ndurcimnto amolcimnto (Lad Jacobsn 00) * durant o ndurcimnto. Para nívis d tnsão abaixo da rutura o crscimnto da função d lastificação é dfinido la li d ndurcimnto dfinida como: F(W ) W = ad / ρ (.75) Em qu ρ = h (.76a) D = C ( ψ + ) 7 3 ρ (.76b) C são arâmtros d ndurcimnto obtidos do trabalho lástico ocorrido durant a comrssão isotróica. O módulo lástico M (Equação.37) é dfinido fazndo: dw M P ( σ, W ) = b( σ,h) = σ b dε (.77) O módulo d ndurcimnto H dfinido la Equação.39, é dado ara ss modlo como: df( σ, W ) df(w ) W H = M = M = ρ M dw dw Dρ D a a (.78)

26 48 * durant o amolcimnto. Para nívis d tnsão aós a rutura a função d lastificação arsnta um dcaimnto xonncial dfinida como: F(W ) BW /a = A (.79) Em qu A B são constants ositivas dfinidas m função da inclinação da rta tangnt a curva da Figura.5 no instant da rutura. Dsta forma tm-s qu: df ( σ) B = b ' d(w / a ) f ( σ) S= (.80a) BW / [ f ( ) a ] S= A = σ (.80b) b é o arâmtro d amolcimnto tomado como constant indndnt da tnsão d confinamnto (b 0). Para um valor d b igual a zro o matrial arsnta um comortamnto rfitamnt lástico. Quanto maior o valor d b maior o amolcimnto. Nst caso o módulo d amolcimnto H dfinido é dado como: df( σ, W ) df(w ) BA dw dw BW / a a H = M = M = M (.8) Yang (009) roôs a sguint modificação ara a li d amolcimnto: F(W ) = F(W ) c + a S = b W / a (W / a ) S= (.8) m qu c = f (W ) f (W ) S= rsidual (.83a) ba H = c a a b W / (W / ) a a S= b W / a (W / a ) S= { + } M (.83b) a, b f (W ) rsidual são os arâmtros. A abla.5 arsnta um rsumo com os arâmtros do modlo os quais são obtidos com no mínimo três nsaios CC, drnadas com mdição d variação

27 49 d volum lo mnos um ciclo d dscarrgamnto-rcarrgamnto, um nsaio d comrssão hidrostática (HC). abla.5 Parâmtros do Modlo Lad Kim Parâmtro Parâmtros Elásticos K ur,n ν ou M, λ ν Rutura η m Plastificação h α Potncial lástico ψ Endurcimnto c Amolcimnto b ou a, b f (W ) rsidual.4. Algoritmo d Intgração d nsão Um roblma lastolástico nvolv a intgração da tnsão ao longo d um incrmnto d dformação conhcido. Ou sja, n+ n+ σ = + + σ σ & dt = σ + ξ (d ε ) (.84) n n n n ond ξ(dε) é uma função do incrmnto d dformação. n Assim sndo, conhcndo-s o stado d dformação final ε n+ as variávis d stado iniciais σ n, ε n, ε (n) hn, dsja-s obtr as variávis d stado σ n+ hn+ no final d um dado incrmnto d modo qu um critério d lastificação sja atndido, ou sja F( σ,h ) 0 (.85) n+ n+ = m qu, suondo válida a dcomosição aditiva d dformação, σ = σ + D dε D dε (.86a) n+ n hn + = hn + dh (.86b) ond dε dh são as variávis lásticas incógnitas do roblma. Ests variávis dvrão sr intgradas ao longo da trajtória d dformação d modo qu a condição d consistência sja atndida (ou sja, qu o stado d tnsão stja dntro ou no máximo acima da surfíci d lastificação).

28 50 A Equação.86c od ainda sr scrita como: σ = σ D dε (.87) ond n+ n+ σ = σ + D ε (.88) d n+ n é a tnsão rdita lástica. As Equaçõs.86a b odm ainda srm scritas como: σ = σ dλd b (.89a) n+ n+ hn+ = hn + dλμ (.89b) A sgunda arcla da Equação.89a, chamada d corrtor lástico, rtorna o onto d tnsão corrigindo a tnsão rdita lástica σ n+ *. Uma caractrística dsjávl ara o algoritmo d intgração d tnsão, do onto d vista d convniência d imlmntação, é qu l sja dfinido com bas anas nas funçõs da lasticidad suas drivadas d rimira ordm qu não ncssitm das drivadas d ordm surior. Isto dvido à comlxidad nvolvida nstas funçõs ara modlos constitutivos mais ralísticos ara solos. Durant o fluxo lástico, o gradint da função otncial lástico b(σ, h) varia ao longo da trajtória d dformação incrmntal d modo não conhcido. Portanto, alguma hióts dv sr adotada ara ossibilitar a intgração da quação constitutiva (Ortiz Poov, 985; Noguira, 998; Sloan t al., 00; Martins, 00). Uma hióts simlificadora muito comumnt usada é suor qu a dirção do fluxo lástico rmanc constant ao longo da trajtória d dformação qu, ortanto, od sr avaliado m função do stado d tnsão no início do incrmnto. O algoritmo d intgração d tnsão qu avalia o incrmnto d tnsão dsta forma é chamado d algoritmo xlícito. O algoritmo d intgração d tnsão xlícito od sr scrito como: σ = σ + dσ (.90a) n+ n n h n = hn + dhn ond + (.90b)

29 5 dσ = dε (.9a) n D t n dh n = Endε (.9b) m qu D tn E n, rsctivamnt, a matriz constitutiva tangnt a matriz d ndurcimnto avaliadas no início do incrmnto mantidas constant ao longo da trajtória d dformação. O Quadro. mostra os assos ara o cálculo do incrmnto d tnsão lo squma d intgração d tnsão xlícito. Quadro. Esquma d intgração d tnsão Algoritmo Exlicito dados: σn dε calcul: σ n+ vrifiqu s: f ( σ n+ ) > 0 s (NÃO): faça: σ n+ = σ n+ s (SIM): calcul: calcul: E n + + calcul: dσ n d hn atualiz: σ n + h n + A hióts adotada nsss algoritmos é acitávl, anas, ara incrmntos d dformação infinitsimais. No ntanto, na solução numérica d roblmas d contorno, sss incrmntos não são infinitsimais rros srão comtidos acumulados durant a intgração das tnsõs. S não xistir nnhum control d rro nst rocdimnto, as tnsõs a função d ndurcimnto no final do incrmnto, σ n + hn+, odm star violando o critério d lastificação. Est rro stá intimamnt rlacionado ao tamanho do incrmnto adotado na solução incrmntal. A Figura.8 arsnta graficamnt o rocsso d intgração xlícito. D tn

30 5 σ X a A σx σ A A C D' F = 0 B D - λ D a A σ A = onto d contato com a surfíci B = onto corrsondnt às tnsõs rditas lásticas C = onto d quilíbrio rocurado D = onto rsultant da arcla d corrção lástica D = onto final corrigido X = onto lástico do stado antrior σ A = tnsõs d contato com a surfíci no onto A σ X = tnsõs no stado antrior (lástico) a A = vtor normal à surfíci no onto A F = Função d lastificação Figura.8 Rrsntação gráfica do rocsso d intgração xlicito (Olivira, 006) Pod-s obsrvar na Figura.8, qu aós a corrção lástica, o stado d tnsão fica localizado no onto D, fora da surfíci d lastificação, xigindo, ortanto, ainda mais corrção até a dtrminação do onto D, qu ainda arsnta um quno dslocamnto m rlação ao onto rocurado C. Nayak Zinkiwicz (97b) obsrvaram qu os rros comtidos lo squma d intgração xlícito odriam sr significativamnt rduzidos s a arcla do incrmnto d dformação qu causa fluxo lástico foss subdividida m qunos subincrmntos d igual tamanho, fazndo com qu as comonnts d dformação variassm roorcionalmnt ao longo d um dado incrmnto. Dsta forma, ara um incrmnto finito d dformação ε od-s obtr o incrmnto finito d tnsão da função d ndurcimnto σ h fazndo: n nsub nsub k k d ( D t ) ( nsub) (.9a) σ = σ = ε k= k= h n = nsub k= dh k = nsub k= ( ( ε nsub) k E ) (.9b) com nsub sndo o númro d subincrmntos no qual o incrmnto finito d dformação dv sr dividido.

31 53 A Figura.9 arsnta o rocsso d intgração m qu o incrmnto d dformação é subdividido m subincrmntos d igual tamanho (Nayak Zinkiwicz,97; Martins, 00; Own Hinton,980). σ X A ' 3' D' D C' F=0 3 C 3 B A = onto d contato com a surfíci B = onto corrsondnt às tnsõs rditas lásticas C = Estado d tnsõs ara o incrmnto total C = Estado d tnsão corrigido ara o incrmnto total D = Estado d tnsõs ara 3 subincrmntos D = Estado d tnsõs corrigido / 3 subincrmntos X = onto lástico do stado antrior Ponto / cálculo da normal / o º subincrmnto 3 Ponto / cálculo da normal / o 3º subincrmnto Figura.9 Rrsntação gráfica do rocsso d intgração xlicita com subincrmntos (Olivira, 006) Pod-s obsrvar qu o onto D, rsultant do rocsso subincrmntal, é mais róximo da surfíci d lastificação qu o onto C, rsultant da intgração sobr toda a arcla lástica. O algoritmo d intgração xlícito qu subdivid o incrmnto d dformação m subincrmntos d dformação é chamado d algoritmo xlícito com subincrmntos. O Quadro. arsnta a squência d assos nvolvidos nsta técnica. Quadro. Esquma d Intgração d tnsão Algoritmo xlicito com subincrmnto dados: σ n ε calcul: σ n+ * vrifiqu s: f ( σ,h ) > 0 n+ s (NÃO): faça: σ n + = σ n + s (SIM): dfin nsub n

32 54 faça: σ calcul: dε = ε Loo k=,nsub Calcul: Calcul: nsub n+ = σ nsub (D t ) k (E) k k Calcul: dσ d h Atualiz: σ k h k k nsub h n+ = h O númro d subincrmntos nsub m cada onto d intgração é stimado miricamnt. Vários critérios têm sido sugridos ara a dfinição do su tamanho. Nayak Zinkiwicz (97b) Own Hinton (980) utilizam um incrmnto cujo tamanho é obtido limitando a variação máxima da função d lastificação a uma fração da função d ndurcimnto. Nyssn (98) usou o rro d truncamnto stimado d um único asso ara dtrminar o tamanho do incrmnto. Sloan (987) roôs atualizar o tamanho do subincrmnto durant a intgração da tnsão analisando o rro rlativo comtido m cada subincrmnto. O rocsso d intgração xlícita é mais ficint quando o númro d subincrmntos é calculado d forma automática, considrando-s o grau d nãolinaridad do comortamnto tnsão-dformação /ou o rro comtido durant o rocsso. Sloan t. al. (00) rousram um algoritmo xlícito com subincrmntos m qu o tamanho do subincrmnto é calculado m função do rro comtido na avaliação das tnsõs. Est algoritmo é chamado d algoritmo xlicito com control do rro. A função d lastificação F(σ,h) (Equação.7) é utilizada ara vrificar s o stado d tnsão é acitávl ou não. S F( σ, h n ) 0, o comortamnto é lástico o incrmnto d tnsão stá corrto. Entrtanto, s F( σ, h n ) > 0, ocorru scoamnto lástico, o incrmnto d tnsão stá incorrto. Nst caso, três situaçõs m qu a tnsão rdita lástica stará incorrta odm ocorrr: * n+ * n+ Caso I - quando o stado d tnsão inicial muda d lástico ara lástico (Figura.0a);

33 55 Caso II - quando o stado d tnsão inicial stá no stado lástico aós o incrmnto lástico continua lástico (Figura.0b);, Caso III - quando o stado d tnsão inicial stá no stado lástico o incrmnto romov um dscarrgamnto lástico sguido d um fluxo lástico (Figura.0c). σn + σ C B σ n A σn + σ C σ n A F ( σ) = 0 σ n A F ( σ ) = 0 F ( σ ) = 0 C σ n + σ C a) Caso I b) Caso II c) Caso III Figura.0 nsão rdita lástica incorrta (Olivira, 006) Em função dos roblmas associados à rcisão aritmética finita, uma aroximação da condição d lastificação é ntão utilizada no algoritmo d intgração d tnsão, od sr dada or: F( σ, h ) FOL (.93) * n+ n sndo FOL uma quna tolrância ositiva. Sloan t al. (00) sugrm valors d FOL ntr Com a aroximação roosta, a transição do stado lástico ara lástico ocorr s F( σ n, h n ) < FOL F( σ,h ) FOL. * n+ n > S durant o incrmnto d dformação a situação ocorr (Figura.0a) é ncssário a dfinição d uma constant α (obtido através d algoritmos d busca aroriado, vr Olivira 006 ara dtalhs) a qual dfinirá a arcla do incrmnto qu é uramnt lástico a arcla qu srá lastolástica, ou sja σ = α σ (.94) ε = α ε (.95) σ int = σ + σ (.96) n

34 56 O rocsso d intgração é ralizado a artir do stado d tnsão σ int. A arcla lastolástica lástica das dformaçõs, ( α) ε, é dividida m uma séri d subincrmntos, ( α) ε xlícito ara intgrar as tnsõs. k ( 0 < k ), utiliza o squma k é um valor obtido m função do rro comtido na avaliação das tnsõs da tolrância SOL (0-6 a 0 - ) adotada ara ss rro. O rocsso é controlado lo sudotmo ( 0 ) quando = =. trmina O Quadro.3 arsnta o algoritmo xlícito com control d rro sugrido or Sloan t al. (00) ara os matriais sm com ndurcimnto. Por st algoritmo, ara cada subincrmnto d dformação, são calculadas duas stimativas d variação d tnsão, σ σ : t k k k [ ] σ = D ( σ,h ) ( α) ε (.97) t k k k [ ] σ = D ( σ%, h % ) ( α) ε (.98) duas stimativas d variação do arâmtro d ndurcimnto, h h : Em qu k k k [ ] h = E ( σ,h ) ( α) ε (.99) k k k [ ] h = E ( σ%, h % ) ( α) ε (.00) σ ~ = σ + σ (.0) k k k k h % = h + h (.0) Para o rimiro subincrmnto (=0), a rimira stimativa da variação d tnsão, é avaliada com o stado d tnsão no limit da rgião lástica, ou sja, σ = σ h k int k n = h. O stado d tnsão, ao final do intrvalo k, é calculado utilizando-s a média das duas stimativas antriors od sr dado la xrssão abaixo: σ k k ( σ + σ ) = σ + (.03a) ( ) h = h + h + h (.03b) k k

35 57 Sloan t al. (00) sugrm a sguint xrssão ara o rro rlativo na intgração das tnsõs do subincrmnto corrnt: R = σ σ% σ (.04a) k k k k m qu σ k k ( σ ) σ~ = σ (.04b) O subincrmnto corrnt srá acito s o rro rlativo calculado R k for mnor qu uma tolrância rscrita SOL, do contrário srá rjitado o rocsso rinicia com um novo valor d k calculado m função do rro local da tolrância adotada. Indndntmnt d o subincrmnto corrnt sr acito ou não, os róximos valors d k k são dados la xrssão: + = q (.05) m qu q 0.9 SOL (.06) R k Pod-s obsrvar qu o rocsso d intgração inicia no sudo tmo =0 com um valor d =. Através da avaliação do rro local comtido na intgração das tnsõs da tolrância SOL adotada, o algoritmo dtrmina os valors adquados ara qu dvrão sr maiors ou iguais a mínimo. Esta última condição é utilizada ara limitar o númro máximo d subincrmntos (Para mínimo = 0-4, o númro máximo d subincrmntos srá 0000). Pod-s obsrvar ainda, qu um valor mínimo ara q (q mín =0,) é dtrminado como mais uma forma d s vitar subincrmntos muito qunos o lvado custo comutacional. Um valor máximo ara q também é utilizado. Sloan t al. (00) sugrm (q máx =,), isto significa qu subincrmntos subsqünts srão no máximo 0% maiors. Ess valor máximo é utilizado com a finalidad d s rduzir o númro d falhas (quando o rro local R é maior qu a tolrância SOL).

36 58 Quadro.3 Esquma d intgração d tnsão Algoritmo xlícito com control d rro (Sloan t al, 00) Dados d ntrada: σ = σn + αd ε, h n, ε = ( α) ε, SOL, FOL, LOL, mínimo () Faça =0 = () Enquanto <, faça (8) a (5) (3) calcul as stimativas d incrmnto d tnsão: avali: dε = ε d σ = D ( σ, h)dε dh = E ( σ, h)dε t t d σ = Dt ( σ + d σ,h + dh )dε dh = Et ( σ + d σ, h + dh )dε (4) calcul o stado d tnsão final tmorário conform a quação σ = σ + dσ + dσ tm ( ) (5) calcul o rro rlativo ara o corrnt subincrmnto : R = máx 0.5(dσ dσ ), EPS! EPS 0-6 (6) s R > SOL { } σ tm {, 0.} calcul : q máx 0.9( SOL/ R) / calcul: = máx{ q, } =! SOL 0-6 a 0 - mínimo rtorn ara a osição (8) (7) O subincrmnto foi um sucsso, atualiz as tnsõs : σ = σ tm (8) s F ( σ ) > FOL Cham a subrotina Corrig_tnsão ntr com as tnsõs incorrtas σ 0 = σ Saia da subrotina Corrig_tnsão com as tnsõs corrigidas σ (9) Calcul o tamanho do róximo subincrmnto q = mínimo{ 0.9( SOL/ R),.} / s o subincrmnto antrior falhou, limit o tamanho do róximo: q = mínimo{ q, } calcul o tamanho do novo subincrmnto : = q atualiz = + (0) Garantir qu o róximo subincrmnto não sja mnor qu o tamanho mínimo stiulado chcar s o rocsso d intgração não ultraass =. = máx{, mínimo } = mín{, } () =, saia com as tnsõs no final do incrmnto σ n + = σ EPS = mnor rro rlativo calculado la máquina