ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

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1 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Dpartamnto d Engnharia Mcânica PME-50 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Profs.: Cso P. Psc R. Ramos Jr. 1 a Prova 15/09/011 Duração: 100 minutos 1 a Qustão (5,0 pontos): O sistma strutura indicado na figura abaixo é composto por uma viga d rigidz fxiona (EI) conctada a uma moa d rigidz k. Considrando qu, m uma anáis priminar, o pso próprio da viga possa sr dsprzado (frnt aos dmais sforços) qu na configuração d rfrência tanto a viga quanto a moa stjam dscarrgadas, pd-s: a) o diagrama d corpo ivr da viga (arbitr ivrmnt os sntidos das raçõs d apoio); b) a xprssão do momnto ftor, (x) (as incógnitas do probma, na forma d sforços, podm star prsnts nsta xprssão); c) a inha ástica da viga, (x) (as incógnitas do probma podm star prsnts nsta xprssão); d) no qu tang à dtrminação compta da inha ástica da viga, indiqu caramnt quantas quais são as incógnitas do probma, bm como as quaçõs qu você utiizaria para a dtrminação das incógnitas apontadas (obs: as incógnitas dvm star xpicitamnt indicadas nas quaçõs forncidas, mas não é ncssário rsovr o sistma d quaçõs!!). Dados:,, EI, k,. Formuário: EI 4 d v x ( ) = q( x) 4 EI d v x ( ) = M ( x) dm ( x) dv ( x) V ( x) = q( x) = y q o M o x k 1

2 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Dpartamnto d Engnharia Mcânica PME-50 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II Profs.: Cso P. Psc R. Ramos Jr. 1 a Prova 15/09/011 Duração: 100 minutos a Qustão (5,0 pontos): O an d spssura t, raio intrno a raio xtrno b, stá prfitamnt ajustado a uma cavidad d raio b = a conform iustra a figura. Considrando qu: i) o matria da strutura ao rdor do an é infinitamnt rígido (indformáv), ii) as constants ásticas do an são E ν, iii) qu não haja atrito ntr o an a suprfíci da cavidad, dtrmin: a) a prssão d contato ( ) ntr o an a suprfíci da cavidad ao apicarmos uma prssão uniformmnt distribuída d intnsidad q sobr as facs suprior infrior do an; b) a variação d spssura a variação do raio intrno do an. Obs: Exprss os rsutados m função d E, ν, q, a, t. q t a b Formuário: = 1 + = 1 + = 1 + Eq.(1) = ( ) + ( ) = = Eq.(4) = = = Eq.() = = 1 + Eq.(5) = = + 1 = Eq.()

3 PME-50 Mcânica dos Sóidos II 1a Prova 15/09/011 Gabarito Soução: 1 a Qustão GABARITO a) A figura abaixo iustra o diagrama d corpo ivr da viga com as raçõs d apoio (, ) arbitradas: M A y q o M o x V A V B b) Utiizando as funçõs d Macauay, trmos a sguint distribuição d momntos ftors 1 na viga (considrando-s os sntidos indicados no diagrama d corpo ivr): = Ou, atrnativamnt, utiizando as funçõs d singuaridad d Havisid, Dirac Doubt (dipoo unitário), trmos a sguint xprssão para os momntos ftors: = ( ) +. ( ) c) Partindo da ração ntr momnto ftor curvatura do ixo cntra da viga ( utiizando, por xmpo, as funçõs d Macauay), trmos: = Intgrando sta xprssão por duas vzs conscutivas, rsutará: = = Convnção d sinais: M ( x ) > 0 s o momnto na sção tracionar as fibras infriors da viga.

4 PME-50 Mcânica dos Sóidos II 1a Prova 15/09/011 Gabarito Ou, atrnativamnt, utiizando as funçõs d singuaridad d Havisid, Dirac Doubt (dipoo unitário), trmos:. = Logo: +. ( ) +. ( ). = E = d) Obsrvamos, assim, a xistência d cinco incógnitas a srm obtidas para a dtrminação compta da inha ástica, a sabr: as três raçõs ofrcidas pos víncuos (, ) as duas constants d intgração ( ). As cinco quaçõs ncssárias para a dtrminação dstas incógnitas são: 0 = = 0 0 = = 0 = 0 + =. ó = 0 +. = +.. =. =.. 6. Rsovndo o sistma inar d quaçõs indicado acima, obtmos as cinco incógnitas do probma (duas das quais,, são nuas). A soução fina forncrá nst caso: 4

5 PME-50 Mcânica dos Sóidos II 1a Prova 15/09/011 Gabarito Soução: a Qustão a) O campo d dsocamntos dos pontos do an é dado pa Eq.(4): ond: = ( ) + ( ) = = No caso, = 0 =. Logo, o campo d dsocamntos fica dado: = + ( ) Considrando qu b = a, a xprssão acima fica simpificada na forma: = 4 + Como o an stá insrido numa cavidad indformáv (rígida), ntão: Ou, isoando o aongamnto : Por outro ado, da Eq(-c): Porém, das Eq.(-a,b) da Eq.(4-a): = = 4 = = 0 = = + + ( + ) Logo: = = = = + = + ( + ) = 8 + ( + ) 5

6 PME-50 Mcânica dos Sóidos II 1a Prova 15/09/011 Gabarito Rsutado: = 8 + ( + ) E, como a prssão distribuída uniformmnt sobr as facs suprior infrior do an tm intnsidad q, ntão fazndo =, virá: = 8 + ( + ) Das duas raçõs obtidas, trmos, após rsovrmos para as incógnitas : = = (5 ) (5 8 ) (5 ) b) Obsrvando qu o aongamnto das fibras na dirção z é constant, a variação d spssura do Logo: an pod sr obtida através da ração: = = = A quação acima mostra, como sprado, qu a variação d spssura do an srá ngativa (ou sja, havrá uma diminuição da spssura do an, m virtud da apicação do carrgamnto). Notas, porém, qu sta variação (tomada m vaor absouto) é igiramnt mnor do qu aqua qu sria obtida s o an não stivss confinado, pois nsta situação (d não-confinamnto), mostra-s facimnt qu a variação d spssura sria dada por: Lvando a: = ( ) = ( ) =. Mostrando qu, d fato: < ( ) 6

7 PME-50 Mcânica dos Sóidos II 1a Prova 15/09/011 Gabarito Já a variação do raio intrno do an srá dada por: = 4 + Rsutando, após substituição: = (1 + ) (5 ) A quação acima mostra qu a variação do raio intrno do an srá ngativa (indicando qu o raio intrno fina srá mnor do qu o raio intrno inicia, m virtud da apicação do carrgamnto d comprssão sobr o an). Em outras paavras, o bordo intrno do an s aproxima d su cntro d curvatura (origm do sistma d coordnadas). 7