Justifique todas as passagens

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1 ā Prova d Cálculo II - MAT2 - IOUSP /2/204 Nom : GABARITO N ō USP : Profssor : Oswaldo Rio Branco d Olivira Justifiqu todas as passagns Q Total N. Considr a função f : R 2 R dfinida por f(x,y) = xy. (a) Sja P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) um ponto no gráfico d f. Dtrmin a quação do plano π P0 tangnt ao gráfico d f no ponto P 0. (b) Dtrmin a quação do plano π qu é tangnt ao gráfico d f qu, além disso, o plano π passa plos pontos (,,2) (,,). (c) Dtrmin a quação da rta N qu é normal ao plano π [dfinido m (b)] qu, além disso, a rta N passa plo ponto (,,2). (a) Tmos z 0 = f(x 0,y 0 ) = x 0 y 0, pois P 0 stá no gráfico d f. Tmos também f x (x,y) = y, f y (x,y) = x, f x (x 0,y 0 ) = y 0 Logo, π P0 : y 0 (x x 0 )+x 0 (y y 0 ) (z x 0 y 0 ) = 0. (b) Basta rsolvrmos o sistma { y0 ( x 0 )+x 0 ( y 0 ) (2 x 0 y 0 ) = 0, y 0 ( x 0 )+x 0 ( y 0 ) ( x 0 y 0 ) = 0. Isto é, { x0 +y 0 x 0 y 0 = 2, x 0 y 0 x 0 y 0 =. Obtmos y 0 = 2, x 0 =, z 0 = x 0 y 0 = 2 O plano π pdido é (c) A rta pdida é: π : portanto P 0 = ( 2 (x )+ y ) ( z ) = N : (x,y,z) = (,,2)+λ ( ) 2,,, λ R f y (x 0,y 0 ) = x 0. (, 2, ). 2

2 2. Suponha qu a função z = z(x,y), dfinida m uma bola abrta cntrada no ponto (,) d raio maior qu zro, é difrnciávl satisfaz a quação z(x,y)ln(+x 2 y 2 )+z(x,y) 4 = 8, com z(,) = 2. (a) Comput as drivadas parciais d z = z(x,y) no ponto (,). (b) Dtrmin a quação do plano tangnt ao gráfico d z = z(x,y) no ponto (,,2). (c) Ach a quação da rta normal ao gráfico d z = z(x,y) no ponto (,,2). Notmos qu 2ln(+ 2 2 )+2 4 = 8. (a) As drivadas parciais d z = z(x, y) satisfazm x (x,y)ln(+x2 y 2 2x ) + z(x,y) + 4z(x,y) (x,y) = 0 +x 2 y 2 x y (x,y)ln(+x2 y 2 ) z(x,y) + 4z(x,y) (x,y) = 0. +x 2 y 2 y Dond, no ponto (x,y,z(x,y)) = (,,2) obtmos (,) + 4 x (,)ln() 4 y + 2 x (,) = 0 2y + 2 y (,) = 0 = (b) Sja π plano tangnt procurado. Tmos (c) A rta normal pdida é π : 4 (x )+ 4 (y ) (z 2) = 0. N : (x,y,z) = (,,2) + λ (,) = 4 x (,)ln() = 4. y ( 4 ), 4,, λ R

3 . Ach os pontos d máximo d mínimo absolutos os rspctivos valors d máximo mínimo absolutos da função T(x,y) = 4 x 2 y 2 no conjunto K = {(x,y) R 2 : x 0, y x 2y +x 4}. A rgião K stá: no smi-plano (fchado) à dirita {(x,y) : x 0}, acimadabisstrizprincipal{(x,y) : x = y}abaixodarta{(x,y) : 2y+x = 4}. Assim, K é a rgião triangular, limitada, fchada, convxa compacta, cuja frontira é o triângulo d vértics ( 4 (0,0), (0,2), 4 ). É claro qu T(x,y) 4 para todo (x,y) m R 2 qu T(x,y) < 4 para todo (x,y) (0,0). Então, como T(0,0) = 4 (0,0) K, sgu qu { (0,0) é ponto d máximo absoluto strito d T rstrita a K 4 é o valor máximo absoluto d T rstrita a K. Como T é contínua K é compacto, plo Torma d Wirstrass a função T rstrita a K assum um mínimo absoluto m K. Os pontos d minimo máximo locais d T rstrita a K, s xistirm, stão no intrior d K nst caso o gradint s anula. Isto é, T(x,y) = ( 2x, 2y) = (0,0) = (x,y) = (0,0). Mas, (0,0) não prtnc ao intrior d K [pois, (0,0) prtnc à frontira d K]. Assim, T rstrita a K não possui pontos d minimo máximo locais. Logo, o ponto d mínimo absoluto d T rstrita a K stá na frontira d K. Dividamos K (a frontira d K) m três sgmntos: { {(0,y) : 0 y 2}, (x,x) : 0 x 4 } {( x, 4 x ) : 0 x 4 }. 2 A sguir, idntifiqumos os pontos d mínimo d T(0,y) = 4 y 2, 0 y 2, T(x,x) = 4 2x 2, 0 x 4, T ( ) x, 4 x 2 = 4 x 2 (4 x)2 = x2 +2x, 0 x 4. No primiro caso, o valor mínimo é claramnt 0 = T(0,2) = T(0, 2). No sgundo caso, a drivada d T(x,x) não s anula para x [0,4/]. Logo, basta analisarmos x = 0 x = 4/. O valor mínimo é ntão 4 9 = T(4/,4/). No trciro caso, a drivada d T(x,(4 x)/2) = 2x 5x 2 /4 s anula m x = 4/5 no intrvalo (0, 4/). Comparando com os valors nas xtrmidads, tmos ( 4 T 5, 8 ) = 4 ( 4 5 5, T(0,0) = 4 T, 4 ) = 4 9 < 4 5. Logo, o ponto d mínimo absoluto o valor mínimo absoluto d T rstrita a K são, rspctivamnt, (4/,4/) T(4/,4/) = 4/9

4 4. Dtrmin os pontos d mínimo d máximo (locais absolutos) rspctivos valors d mínimo d máximo (locais absolutos) os pontos d sla d g(x,y) = xy( x 2 y 2 ), ond 0 x 0 y. O domínio d g(x,y) é o quadrado Q = [0,] [0,] = {(x,y) : 0 x,y }. Como g é contínua Q é compacto, plo torma d Wirstrass sgu qu g assum máximo mínimo absolutos no quadrado Q. Os pontos d máximo mínimo locais d g, s xistirm, prtncm ao intrior do quadrado Q m tais pontos o gradint d g s anula. Isto é, { (0,0),(0,),(0, ), 0 = gx = y( x 2 y 2 ) 2x 2 y = y( x 2 y 2 ) 0 = g y = x( x 2 y 2 ) 2xy 2 = x( x 2 y 2 = ( (,0),(,0), ), ) ( 2 2, ) ( 2, 2,, ) ( 2 2, 2 2),. O único ponto crítico d g(x,y) [rstrita a Q] é (/2,/2) [os dmais pontos não stão no intrior do quadrado, pois alguns stão na frontira d Q outros stão fora d Q]. Analisamos tal ponto crítico plo método do hssiano. Tmos g xx = 6xy, g xy = x 2 y 2 g yy = 6xy. Sja P = (/2,/2). Logo, [ ] Hg(P) = 2 2, com dthg(p) = > 0 g xx(p) < 0. Logo, P é ponto d máximo local g(p) = /8 é valor máximo local. Analismos g rstrita m cada um dos quatro sgmntos da frontira Q. Tmos g(0,y) = 0, para 0 y, g(x,0) = 0, para 0 x, g(,y) = y, para 0 y g(x,) = x, para 0 x. No primiro sgmnto, g é nula. No sgundo sgmnto g é nula. No trciro sgmnto, o ponto d mínimo é (,) o d máximo é (,0). No quarto sgmnto, o ponto d mínimo é (,) o d máximo é (0,). Ainda, tmos g(,) =, g(,0) = 0 g(0,) = 0. Conclusão. A função g não tm ponto d sla nm ponto d mínimo local. O ponto (/2,/2) é ponto d máximo local também ponto d máximo absoluto g(/2,/2) = /8 é valor máximo local absoluto. O ponto (,) é ponto d mínimo absoluto o valor mínimo absoluto é g(,) =

5 5. Estud com rlação a máximos mínimos locais pontos d sla, a função F(x,y,z) = x5 5 +y4 +z 4 x 2y2. A função F é d class C 2 podmos aplicar o tst do hssiano. Tmos F = (x 4 x 2,4y 4y,4z ). Os pontos críticos d F satisfazm Os pontos críticos são: Também tmos, x 2 (x 2 ) = 0,4y(y 2 ) = 0,z = 0. P = (0,0,0), P 2 = (0,,0), P = (0,,0), P 4 = (,0,0), P 5 = (,,0), P 6 = (,,0), P 7 = (,0,0),P 8 = (,,0), P 9 = (,,0). F xx = 2x(2x 2 ), F yy = 4(y 2 ), F zz = 2z 2 F xy = F xz = F yz = 0. As matrizs hssianas d F m P i, para i =,...,9 ( todas com z = 0), são: 2x(2x 2 ) 0 0 H(F)(P i ) = 0 4(y 2 ) F zz = 0 Os mnors principais d ordm 2 d F m P i, para i =,...,9, são: ( ) 2x(2x H (F)(P i ) = 2 ) 0 0 4(y 2. ) Tmos dth(f)(p i ) = 0, m todo P i, o tst do hssiano (studo dos sinais dos mnors principais d ordns, 2 ) não é imdiato. Vjamos outras caractrísticas. Os sinais na diagonal da matriz hssiana H(F). Os pontos críticos m qu a diagonal d H(F) troca d sinal são pontos d sla: no ponto P 4 tmos F xx = 2 F yy = 4; nos pontos P 8 P 9 tmos F xx = 2 F yy = 8. P, P 2 P tm a forma P i = (0,y i,0) com y i = 0, ou, rspctivamnt. Vjamos qu os três são pontos d sla. Fixmos a sgunda coordnada y i a trcira coordnada 0 varimos a primira. Analismos a função difrnça ( x F(x,y i,0) F(0,y i,0) = x 2 5 ), ond x (,+ ). Tmos ( x2 ) 5 < 0 s x 0 ao passo qu x é positivo à dirita d zro ngativo à squrda. Logo, o produto x ( x2 ) é positivo/ngativo conform x s 5 aproxima d 0 pla dirita/squrda. Assim, P i = (0,y i,0) é d sla para i =,2,. P 7 = (,0,0) é ponto d sla pois [fixando a primira a sgunda coordnadas variando a trcira] a difrnça F(,0,z) F(,0,0) = z 4 têm mínimo local strito m z = 0, ao passo qu [fixando a primira a trcira coordnadas variando a sgunda] a difrnça Ψ(y) = F(,y,0) F(,0,0) = y 4 2y 2 satisfaz ψ = 2y 2 4 ψ (0) < 0 ntão têm máximo local strito m y = 0. Vid Vrso

6 P 5 = (,,0) P 6 = (,,0) são d mínimo local pois cada uma das três funçõs d uma variávl ral, x 5 5 x, y4 2y 2 z 4 têm mínimo local m x =, y = ± z = 0, rspctivamnt, considrando-as como funçõs da variávl tri-dimnsional (x,y,z) R, as três têm mínimo local no ponto (,,0) no ponto (,,0) ntão a soma das três, qu é a função F, têm ntão mínimo local no ponto (,,0) no ponto (,,0). Rsposta: Pontos d mínimo local: P 5 P 6. Pontos d sla: os dmais P i s