AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.

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1 Not bm: a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliografia principal da cadira TÓPICOS Subspaço. ALA Chama-s a atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas aprsntados na bibliografia, sm consulta prévia das soluçõs propostas, anális comparativa ntr as suas rsposta a rspostas propostas, postrior xposição junto do docnt d todas as dúvidas associadas. Subspaço grado. Bas dimnsão. Mudança d bas.. Subspaço, Bas Dimnsão... Subspaço. Sja E um spaço vctorial sobr um corpo K. Qualqur conjunto não vazio E qu sja fchado rlativamnt à soma vctorial ao produto scalar dsigna-s por subspaço vctorial d E. Ou sja: S é um subconjunto não vazio d um spaço vctorial E sobr um corpo K, dizmos qu é um subspaço d E s:. u v prtncnts a, w u + v prtnc a.. u prtncnt a K, u prtnc a. Salint-s qu o fcho rlativamnt ao produto scalar implica qu todos os subspaços contêm o vctor nulo (basta considrar m.).. Num spaço vctorial E sobr um corpo K, { } E são subspaços vctoriais (dsignados por subspaços triviais).. O conjunto dos intiros, Z, não é um spaço vctorial sobr R, dado qu não é fchado para a multiplicação scalar: o produto d qualqur scalar não intiro por um intiro não é um intiro.. R não é um subspaço d R, dado qu R é um conjunto d pars ordnados, portanto não é um subconjunto d R, qu é o conjunto d trnos ordnados d ( xy,,): xy, R é um subspaço d R. númros rais. No ntanto, o plano { } Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A - --9

2 S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O.. Subspaço grado. S é um subspaço d um spaço vctorial E, dizmos qu os vctors u, u,, u n gram, ou qu V { u, u,, un} é um conjunto d gradors d, s qualqur vctor d é combinação linar d u, u,, un. Dizmos qu é o subspaço grado por u, u,, un scrvmos L( u, u,, un) ou < u, u,, un >. Ou sja, o conjunto d todas as combinaçõs linars d um conjunto d vctors V { u, u,, un} E é um subspaço vctorial d E dsignado por subspaço grado por V.. Em R, o subspaço grado plo conjunto d vctors V {,,, }, com (,,,), (,,, ), (,,, ) (,,, ) é coincidnt com R. Escrvndo um qualqur vctor u x, x, x, ) como combinação linar d,,, tmos x x x x u ( x A rsolução do sistma é imdiata, dado qu a matriz já stá na forma scalonada rduzida. Concluímos qu o sistma é possívl dtrminado para quaisqur valors d x, x, x x. Assim, o subspaço grado por,, é constituído por u x x x sm rstriçõs, ou sja, é coincidnt com todos os vctors [ ] T R x L((,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,,)) R Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A - --9

3 S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O.. Bas dimnsão. S é um subspaço vctorial d E, dizmos qu o conjunto d vctors { u, u,, u} é uma bas d s:. é um conjunto d gradors d. é linarmnt indpndnt. S é um subspaço vctorial d E { u u u },,, é uma bas d, prova-s qu todas as bass d têm o msmo númro d lmntos. A dimnsão d, dim( ), é o númro d lmntos d uma qualqur bas d. S dim( ), qualqur conjunto d vctors linarmnt indpndnts prtncnts a é uma bas d, qualqur conjunto d mais d vctors d é linarmnt dpndnt. m spaço vctorial pod tr um númro infinito d vctors linarmnt indpndnts (isto é, xistm conjuntos linarmnt indpndnts com tantos vctors quantos quisrmos), como é o caso da maioria dos spaços d funçõs, dizndo-s ntão um spaço d dimnsão infinita. R, o conjunto d vctors { } 5. Para além d grar V,,, é linarmnt indpndnt, dado qu a quação só possui a solução trivial. Tmos O sistma é smpr possívl, admitindo apnas a solução trivial [ ] T [ ] T, logo os vctors são linarmnt indpndnts. Dado qu gram R são linarmnt indpndnts, os vctors (,,, ), (,,,), (,,, ) (,,, ) são uma bas d R. Todas as bass d R têm vctors, ou sja, R tm dimnsão, dim( R ). Qualqur conjunto d vctors linarmnt indpndnts prtncnts a R é uma bas d R, qualqur conjunto d mais d vctors é linarmnt dpndnt. Os vctors,, formam a bas canónica d R. 6. Os vctors (, ), (, ), gram R são linarmnt indpndnts. Formam a bas canónica d R. Os vctors (,, ), (,, ), (,, ) gram R são linarmnt indpndnts. Formam a bas canónica d R. Os vctors (,,,), (,,,),..., (,,,) gram R n são linarmnt indpndnts. Formam a bas canónica d n dim( R ) n. n n R. Assim, n N, Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A - --9

4 S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O.. Mudança d bas. Sndo { u, u,, } { w, w,, } u w duas bass d um subspaço d E, um qualqur vctor do subspaço, v, xprsso na bas na bas, rspctivamnt, Figura. v a u + a u + + a u v b w + b w + + b w tm coordnadas únicas m cada uma das bass, [ v] [ a, a,, a ] [ v] [ b, b,, b ] T rlacionadas por uma matriz quadrada invrtívl, M, chamada matriz d mudança d bas, [ v] M [ v ] [] v M [] v M [] v A matriz d transição da bas para a bas é dada por ] i M [[ w ] [ w ] [ w ] ] m qu [ w é o vctor coluna das coordnadas do vctor w i na bas. R, considrmos a bas canónica {, } w v + 7. Em w +, o vctor w w. E a bas { w, w } T, com Considrmos o problma d, sndo conhcida a rprsntação d v na bas, ncontrar a rprsntação d v na bas E Dado qu rsulta v w w [ v] [ v] E w + + w Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A - --9

5 S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O, qu é a rsposta procurada (como podmos vrificar na figura). D outro modo, podríamos tr m atnção qu, sndo ntão plo qu [ ] w w [ ] [ w w ] [ ] v w [ w w ] + w Ou ainda, atndndo ao concito d matriz d mudança d bas, sndo conhcido w w, v w + w, tmos simplsmnt [ v] M [ v] [ w ] [ w ] [] v E E plo qu E v E Prof. Isabl Matos & José Amaral ALGA A