σ e ε σ = Tensão de Escoamento Figura Diagrama tensão-deformação para um material linear elástico perfeitamente plástico

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1 3 Fundamntos d Anális imit (A) 3.1. Introdução Um dos aspctos intrssants da anális plástica ou anális it é a facilidad com qu s pod calcular a carga d colapso. Uma anális puramnt stática é muito mais simpls do qu outra qu nvolv rlação constitutiva, xigida na rgião lástica. Além disso, os rsultados obtidos pla anális it são insnsívis às imprfiçõs das condiçõs-it. Uma pquna rotação num ngastamnto ou um ligiro abaixamnto d um apoio simpls não afta a carga d colapso plástico, mas tais imprfiçõs têm considrávl fito sobr o comportamnto lástico da strutura. O aço tm rlação tnsão x dformação aproximadamnt lasto-plástica. Est matrial sgu a i d Hook até o it d scoamnto, m sguida, dforma-s plasticamnt sob tnsão constant, conform mostra o diagrama d tnsão-dformação d um matrial lasto-plástico, cujo it d scoamnto σ, módulo d lasticidad longitudinal E são os msmos tanto na tração como na comprssão. σ ε σ σ = Tnsão d Escoamnto Figura Diagrama tnsão-dformação para um matrial linar lástico prfitamnt plástico O diagrama tnsão-dformação d qualqur tipo d concrto é smpr curvo, não tndo um it d proporcionalidad (, consqüntmnt, um domínio lástico) tão bm caractrizado no caso do aço, por xmplo.

2 Fundamntos d Anális imit (A) 3 Figura 3. - Diagrama tnsão-dformação do concrto Apsar d não xistirm corpos d comportamnto rígido-plástico prfito, o modlo pod sr usado smpr qu as dformaçõs lásticas form dsprzívis diant das dformaçõs plásticas o matrial aprsntar um crto grau d ductilidad. Sob o aspcto strutural, o fato da tnsão d scoamnto sr atingida m alguns pontos, não aprsnta qualqur importância, dsd qu a strutura consiga rsistir aos sforços solicitants mantndo-s m condiçõs d funcionalidad. Não xist, portanto, razão para s supor qu as tnsõs na strutura não dvam atingir o it lástico. Surgm, ntão, os projtos struturais basados no comportamnto plástico dos matriais. Em tais procdimntos d projto, o objtivo principal não é dtrminar a distribuição d tnsõs na strutura, mas sim dtrminar a carga it qu a strutura é capaz d suportar ants do colapso. Quando as cargas são aumntadas monotonicamnt até o ponto m qu a strutura não consiga mais suportá-las, o corpo é dito havr atingido o colapso a carga corrspondnt é chamada carga d colapso, carga it, carga última ou capacidad d carga. O stado d dformação do corpo nss instant é conhcido como mcanismo d colapso. Est tipo d anális é conhcido como anális it. Para ilustrar o concito da anális it, considr-s, por xmplo, a viga hiprstática indicada na Fig. 3.3, d sção rtangular, submtida a uma

3 Fundamntos d Anális imit (A) 4 carga concntrada P no mio do vão, para a qual dsja-s o valor da carga d colapso P. P = P I Sção Transvrsal h / / b Figura Exmplo d viga hiprstática submtida a uma carga concntrada no mio do vão Considr-s ainda, qu a viga da Fig. 3.3 sja constituída por um matrial qu aprsnta um comportamnto linar lástico prfitamnt plástico, cuja rlação tnsão dformação ncontra-s na Fig Para valors baixos da carga aplicada, a viga s ncontra no rgim lástico, cujas distribuiçõs d momntos fltors tnsõs intrnas, d acordo com a hiprstática, stão rprsntadas nas Figs. 3.4a 3.5a [17], rspctivamnt, ond s rprsnta a tnsão d scoamnto do matrial. 6P / 3 I 5P / 3 I A B / / C A B / / C (a) (b) Figura Distribuição d momntos fltors para uma viga: (a) Rgim Elástico; (b) Rgim Plástico imit σ < σ σ = σ σ = σ σ = σ (a) (b) (c) (d) Figura Distribuição d tnsõs numa sção transvrsal m matrial lasto-plástico sob a ação d momnto fltor crscnt

4 Fundamntos d Anális imit (A) 5 Aumntando-s gradativamnt o valor da carga P aplicada, chga-s a um ponto m qu as fibras xtrnas da sção A da viga (por sr a sção mais solicitada), atingm primiramnt a tnsão d scoamnto (s ), d acordo com a Fig. 3.5b. Nss instant, na sção A atua o maior momnto para sção m rgim lástico ( ), cujo valor, para vigas d sção transvrsal rtangular (bh), é dado por: bh = σ (3.1) 6 A sção B da viga mantém-s com o comportamnto lástico rprsntado pla Fig. 3.5 a. A partir dss instant, qualqur acréscimo no valor da carga P causará plastificação das fibras mais xtrnas da sção A, d acordo com a Fig. 3.5c. É important salintar qu as fibras xtrnas da sção A mantêm sus valors d tnsão it d scoamnto, rspitando dsta forma, as hipótss d comportamnto plástico prfito. Continuando-s os incrmntos dados na carga P, chga-s a um stado it na sção A, m qu todas as suas fibras atingm a tnsão d scoamnto (Fig. 3.5d). O momnto fltor ating, ntão, o su valor máximo ( ), cuja xprssão para vigas rtangulars (bh) é dada por: bh = σ (3.) 4 Nss instant, não podrá havr nnhum aumnto no valor do momnto na sção A; a curvatura da viga nsta sção torna-s indtrminada (? 8); um fluxo plástico iitado s instala nsta. Tudo s passa como s a viga stivss conctada ao apoio A por mio d uma articulação ou rótula. Esta idalização d comportamnto strutural rcb o nom d rótula plástica. Para st nívl d carrgamnto, a viga passa a funcionar como bi-apoiada, com a sção B parcialmnt plastificada. (Fig. 3.5c).

5 Fundamntos d Anális imit (A) 6 Incrmntando-s ainda mais a carga P, ocorr uma rdistribuição no diagrama d momntos, chga-s a um stado it para a strutura m qu toda a sção B scoa (Fig. 3.4b). Nss instant, uma nova rótula plástica é formada no mio do vão da viga, o qu causa o colapso. A viga ntra m colapso, ntão, pla formação d um mcanismo cinmático, dnominado mcanismo d colapso (Fig. 3.6). P = P I I A B I C / / Figura odlo d uma viga hiprstática na ruptura, com rprsntação squmática das rótulas plásticas É intrssant obsrvar qu o scoamnto na sção do ngast produz uma rdistribuição d momntos ao longo da viga. Para s dtrminar o valor da carga d colapso (P ) da viga, não é ncssário psquisar m dtalhs o comportamnto da viga ants do colapso. Pod-s ir dirtamnt para a condição d falha. Dv-s obsrvar, por xmplo, qu um rcalqu d apoio não afta a carga d colapso, mas tm considrávl fito na anális lástica. Procd-s, por xmplo, da sguint forma: Sja R c, a ração no apoio C da viga, dada por: ou ainda: = R c (Vr Fig. 3.4) B = as: R c = (3.3) A = = R c P (3.4)

6 Fundamntos d Anális imit (A) 7 Substituindo-s (3.3) m (3.4), chga-s a: = P P = 6 (3.5) Substituindo-s (3.) m (3.5), tm-s o valor da carga d colapso m função das dimnsõs da viga da tnsão d scoamnto, ou sja: P 3 bh = σ (3.6) Um aspcto fundamntal da anális it, na dtrminação da carga d colapso, é não sr ncssário psquisar m dtalhs o comportamnto da strutura dsd o carrgamnto inicial até o instant d colapso. Pod-s ir dirto à condição d colapso da strutura, obtndo-s o carrgamnto d colapso através da igualdad do trabalho intrno trabalho xtrno plástico para um dado mcanismo d colapso, como indicado a sguir. Em vigas, as sçõs qu atingm o momnto it têm curvaturas muito lvadas s comparadas com aqulas ond as sçõs não atingiram. Dsta forma os mcanismos d colapso são formados por barras rtas ligadas a rótulas plásticas (ond atua ). Como as curvaturas são grands nas sçõs corrspondnts a, os raios d curvatura são muito pqunos a viga praticamnt dobra nssas sçõs. Admitindo-s para uma viga uma dtrminada forma d colapso, s conhcido o dslocamnto m um ponto fica caractrizada toda a configuração dformada da viga. Em prsnça dsta configuração dformada (modo d colapso), a soma dos trabalhos das forças xtrnas (W ) tm qu sr igual à nrgia d dformação dos sforços intrnos (W i ). W = W i (3.7)

7 Fundamntos d Anális imit (A) 8 Fig Para a viga mostrada na Fig. 3.3, o mcanismo d colapso stá indicado na P I A I θ B I θ C δ θ / / Figura canismo d colapso O trabalho total das forças xtrnas é dado por: W = P δ (3.8) O trabalho total das forças intrnas é dado por: Wi = θ + θ = 3θ (3.9) D acordo com a quação (3.7), tm-s qu: P δ = 3θ (3.10) Para pqunos dslocamntos, a rotação θ pod sr aproximada pla sua tangnt,, consqüntmnt, o dslocamnto δ é dado por: δ tanθ θ = δ = θ (3.11) / Substituindo-s (3.11) m (3.10), tm-s: P = 6 (3.1) O qu coincid com a quação (3.5).

8 Fundamntos d Anális imit (A) 9 Em gral pod havr mais d um mcanismo d colapso admissívl o qu lvará a difrnts valors d P. Entr os divrsos valors dtrminados o mnor srá o mais corrto plo torma do it suprior, conform dscrito a sguir. Os tormas fundamntais da anális it foram formulados primiramnt por GVOZDEV [4] m 1938 indpndntmnt por DRUCKER [5] t al. m 195, para corpos com comportamnto rígido-plástico prfito. Esss tormas forncm its infriors supriors para a vrdadira carga d colapso. 3.. Torma do imit Infrior S a carga atuant tm uma magnitud qu prmita ncontrar um campo d tnsõs, satisfazndo às condiçõs d quilíbrio no intrior no contorno, m qualqur ponto do corpo ssas tnsõs stjam satisfazndo um critério d rsistência do matrial, ntão a carga atuant é mnor ou no máximo igual à carga d colapso da strutura. Um campo d tnsõs dss tipo é dnominado sguro ou staticamnt admissívl. Plo fato da carga d colapso ral da strutura sr smpr maior ou igual a uma carga atuant rfrida a um campo d tnsõs staticamnt admissívl, os its infriors são smpr valors a favor da sgurança, ntão st torma é conhcido como saf thorm. É possívl supor campos d tnsõs m quilíbrio com a carga aplicada, mas qu stjam além do it d rsistência. Nss caso, não s pod garantir a vracidad do torma do it infrior para a carga d colapso. Dfinindo-s o carrgamnto xtrno aplicado por um parâmtro stritamnt positivo λ, d modo qu as componnts individuais das cargas lh sjam proporcionais, tm-s o qu s chama carrgamnto proporcional ou cargas proporcionais, qu provoca um colapso, conhcido como colapso stático. O torma pod ntão sr utilizado para ncontrar valors d carga mnors ou iguais à carga d colapso corrspondnt ao fator d proporcionalidad λ C, dnominado fator d colapso.

9 Fundamntos d Anális imit (A) 30 Portanto, dado um fator d carga λ, para o qual xist um campo d tnsõs staticamnt admissívl, ntão: λ λ C (3.13) Então, pod-s concluir, qu dadas duas soluçõs d distribuição d tnsõs staticamnt admissívis, a qu conduz a maior carga d colapso é a mais próxima da vrdadira carga d colapso Torma do imit Suprior Considrando-s um campo d dslocamntos gomtricamnt possívl, uma carga qu raliz trabalho xtrno igual ao trabalho intrno plástico d dformação, para o campo d dslocamntos m qustão, srá maior ou igual à carga d colapso. D acordo com o torma do it suprior, a carga d colapso ral da strutura é smpr mnor ou igual à carga obtida conform dscrito acima, consqüntmnt, its supriors da carga d colapso, portanto, contrários à sgurança. Por isto, o torma do it suprior é conhcido como unsaf thorm. Através da msma dfinição d carrgamnto proporcional, ss torma pod sr usado para ncontrar valors d carga qu são maiors ou iguais à carga d colapso. Conclui-s, portanto, qu o fator d carga λ U ncontrado é maior ou igual à carga d colapso, ou sja: λ C λ U (3.14) Nota-s qu as tnsõs corrspondnts ao campo d dformaçõs gomtricamnt possívl não ncssitam satisfazr às condiçõs d quilíbrio. D acordo com o torma do it suprior, dadas duas soluçõs d campos d dslocamntos gomtricamnt compatívis, a qu lva à mnor carga d colapso é a qu s ncontra mais próxima da vrdadira carga d colapso.

10 Fundamntos d Anális imit (A) Torma da Unicidad A partir dos dois tormas da anális it, pod-s ncontrar uma carga d forma a satisfazr duas condiçõs: xistência d um campo d tnsõs staticamnt admissívl corrspondnt às tnsõs dntro ou sobr a suprfíci d colapso. Nss caso o carrgamnto corrspondnt é mnor ou igual à carga d colapso; xistência d um campo dslocamntos gomtricamnt admissívl. Nss caso, o carrgamnto corrspondnt é obtido da igualdad do trabalho xtrno trabalho intrno plástico. Quando ambas as condiçõs são satisfitas simultanamnt, o fator d carga ncontrado é igual ao fator d carga d colapso, qu é assim dtrminada d manira única. λ = λ C = λ U (3.15) Nm smpr a strutura toda participa do colapso. Na maioria das vzs, apnas part da strutura stá dformada no instant d colapso, nquanto qu o rstant prmanc rígido, impdindo qu as tnsõs sjam dtrminadas d modo único, sab-s apnas qu corrspondm a pontos dntro ou sobr a suprfíci d colapso. Também ocorr d vários campos d dformação gomtricamnt possívis lvarm à msma capacidad d carga. Pod-s concluir qu nm o mcanismo d colapso nm o campo d tnsõs são dtrminados d manira única para um corpo rígido-plástico, somnt a carga d colapso é única.