RESUMO de LIMITES X CONTINUIDADE. , tivermos que f(x) arbitr

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1 RESUMO d LIMITES X CONTINUIDADE I. Limits finitos no ponto 1. Noção d Limit Finito num ponto Sjam f uma função x o IR. Dizmos qu f tm it (finito) no ponto x o (m símbolo: f(x) = l IR) quando x convn x o x x o, tivrmos qu f(x) arbitr l. Traduzindo : Para valors d x Dom f (x x o ) convnintmnt próximos d x o, os valors d y = f(x) l smpr stão tão próximos quanto quisrmos um do outro.) 2. Limits Latrais finitos 2.1. O S x convn 2.2. O S x convn Proposição 1. f(x) = l 1 IR (it latral à dirita d f m x o ) significa : x o, com x > x o, ntão f(x) arbitr l 1 f(x) = l 2 IR (it latral à squrda d f m x o ) significa: x o, com x < x o, ntão f(x) arbitr l 2 f(x) = l IR s somnt s f(x) = l f(x) = l 1

2 3. Continuidad: Sjam f uma função x o Dom f. Dfinição: Dizmos qu f é contínua m x o, s somnt s, f(x) = f(x o ). Dfinição: Dizmos qu uma função é contínua, s la é contínua m cada ponto x o do su domínio. Proposição 2. Sjam f g funçõs contínuas m x o Dom f Dom g α IR. Então: i. As funçõs f + g, αf fg são contínuas m x o. ii. A função f/g é contínua m x o, dsd qu g(x o ) Continuidad it d composta Proposição 3. : Sjam f g funçõs tais qu Im f Dom g. Sja a função composta (g f)(x) := g(f(x)) x o IR. a. S xistir f(x) = l g for contínua m l, ntão xist (g(f(x)) = g(l) = g( x p f(x)). b. S f é contínua m x o Dom f g é contínua m f(x o ), ntão g f é contínua m x o. II. Limit Finito no Infinito 5. Noção : Sjam l IR uma função f cujo domínio contém um intrvalo [a, + [ ou ], b] arbitr f(x) = l f(x) l, quando x s torna cada vz maior positivamnt. arbitr f(x) = l f(x) l, quando x s torna cada vz mnor ngativamnt. x 2

3 III. Limit Infinito num Ponto 6. Noção : Sjam f uma função x o IR. f(x) = + : f(x) > K, para qualqur númro positivo K, quando x convn x o, x x o. Tradução : f(x) aumnta positiva iitadamnt, quando x s aproximar convnintmnt d x o, x x o. f(x) = : f(x) < N, para qualqur númro ngativo N, quando x convn x o, x x o. Tradução : f(x) diminui ngativa iitadamnt, quando x s aproximar convnintmnt d x o, x x o.. 7. Limits Latrais Infinito - Noção Sja f uma função x o / Domf. f(x) = + : f(x) > K, para qualqur númro positivo K, quando x convn x o, com x > x o. f(x) = : f(x) < N, para qualqur númro ngativo N, quando x convn x o, com x > x o. D forma análoga tm-s as noçõs d: f(x) = + f(x) =. 3

4 IV. Limit Infinito no Infinito 8. Noção : Sja f uma função cujo domínio contém um intrvalo [a, + [ ou ], b]. f(x) = + : f(x) > K, para qualqur númro positivo K, quando x s torna cada vz maior positivamnt. f(x) = : f(x) < N, para qualqur númro ngativo N, quando x s torna cada vz maior ngativamnt. Analogamnt, tm-s a noção d f(x) = + d x V. Limits finitos - Propridads f(x) =. x Proposição 4. Sja f uma função x o IR. Então, a. f(x) = l IR s somnt s xist (f(x) l) = 0. b. S f(x) = l, ntão f(x) = l. Obsrvação: As Proposiçõs 3a. 4 continuam válidas s o por um dos símbolos:,, ou x. Proposição 5. (propridads opracionais dos its) for substituído Sjam f g funçõs tais qu f(x) = l 1 IR x o Então, são válidas as sguints propridads: g(x) = l 2 IR α IR. i. Exist (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = l 1 + l 2. ii. Exist (α f(x)) = α f(x) = α l 1. iii. Exist (f(x)g(x)) = f(x) g(x) = l 1 l 2. iv. Exist f(x) g(x) = f(x) g(x) = l 1, dsd qu l 2 0. l 2 4

5 Obsrvaçõs: O.1. Cuidado com a distribuição do símbolo d na soma, produto quocint, sm ants tstar s xistm os its das funçõs nvolvidas!!!! for substituído por um dos símbolos: O.2. A Proposição 5 continua válida s o símbolo,, ou x. VI. Limit Infinito X Finito - Propridads Proposição 6: o problma d zro (somnt) no dnominador m its!!!! Sjam x o IR g uma função tal qu g(x) = 0. 1 i. S g(x) > 0 numa vizinhança d x o x x o, ntão g(x) = +. ii. S g(x) < 0 numa vizinhança d x o x x o, ntão 1 g(x) =. Obsrvação: A Proposição 6 é valida para its latrais (à dirita ou à squrda) d x o ou its no infinito, com os sinais da função g(x) considrados d acordo com os intrvalos nvolvidos. Proposição 7: Sjam f uma função x o IR. S f(x) = + (ou 1 f(x) = ), ntão f(x) = 0. Obsrvação: A Proposição 7 continua válida s o it d x x o for substituído por um dos its d : x x + o, x x o, x + ou x. 5

6 Proposição 8. (Oprando com its infinitos) Sjam f g funçõs. Então são válidas as afirmaçõs: a. S b. S c. S d. S. S f(x) = + g(x) = + f(x) = g(x) = f(x) = + g(x) = f(x) = l g(x) = + f(x) = l g(x) = ntão ntão ntão ntão ntão i. (f(x) + g(x)) = + ii. (f(x) g(x)) = + ; i. (f(x) + g(x)) = ii. (f(x) g(x)) = + ; i. (f(x) g(x)) = + (f(x) g(x)) = i. (f(x) + g(x)) = + { + s l > 0 ii. (f(x) g(x)) = + s l < 0 i. (f(x) + g(x)) = ii. (f(x) g(x)) = + { s l > 0 + s l < 0 Obsrvaçõs: O.1. As afirmaçõs da Proposição 8 continuam válidas s o símbolo x x o for substituído por um dos símbolos: x x o, x x + o, x + ou x. O.2. As Proposiçõs 5 8 mostram qu os sguints símbolos são indtrminaçõs: 0 (± ), + (+ ), ( ), 0 0, ± ± 6

7 O.3. Mais tard, vrmos qu também são indtrminaçõs, no it, os símbolos: 0 0, 0, 1. VII. Mais propridads dos its Torma 9. (Torma do Confronto) Sjam f, g h funçõs x o IR. Suponhamos qu stjam satisfitas as condiçõs: a. h(x) f(x) g(x), para todo x num vizinhança d x o, x x o b. h(x) = L = g(x). Então o f(x) = L. Obsrvação: O Torma 9 é válido também s as condiçõs a. b. stivrm vrificadas m vizinhanças latrais ou m intrvalos iitados (ou sja, para its latrais its no infinito). Dfinição: Sja f uma função dfinida m um conjunto A. Dizmos qu f é itada m A s xistir um númro ral M > 0 tal qu f(x) M, para todo x A. Proposição 10. Sja f uma função tal qu uma vizinhança A d x o. (**) f(x) = l. Então f é itada m (**) A =]x o r, x o + r[ Dom f, com r > 0, x x o Obsrvação: Existm funçõs qu são itadas na vizinhança d um ponto mas não têm it nss ponto. Pns m um xmplo! Corolário 11. Sjam f g funçõs x o IR, tais qu: a. g é itada m uma vizinhança d x o b. f(x) = 0. Então o f(x)g(x) = 0. 7

8 Obsrvação: A Proposição 10 o Corolário 11 também podm sr utilizadas m its no infinito, com a dvida adaptação dos intrvalos. Proposição 12. (1 o Limit Fundamntal) x 0 sn x x = 1 Proposição 13. (2 o Limit Fundamntal) ( x) x = 8