AVALIAÇA O DO EFEITO DAS CONDIÇO ES DE CONTORNO E DAS SIMPLIFICAÇO ES DA TEORIA UNIDIMENSIONAL DE VIGAS ATRAVE S DO ME TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA ANDRÉ BARBOSA FREITAS AVALIAÇA O DO EFEITO DAS CONDIÇO ES DE CONTORNO E DAS SIMPLIFICAÇO ES DA TEORIA UNIDIMENSIONAL DE VIGAS ATRAVE S DO ME TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO VITÓRIA 03

2 ANDRÉ BARBOSA FREITAS AVALIAÇA O DO EFEITO DAS CONDIÇO ES DE CONTORNO E DAS SIMPLIFICAÇO ES DA TEORIA UNIDIMENSIONAL DE VIGAS ATRAVE S DO ME TODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Projto d Conclusão d CUrso aprsntado ao Dpartamnto d Engnharia Mcânica do Cntro Tcnológico da Univrsidad Fdral do Espírito Santo, como rquisito parcial para a obtnção do título d Engnhiro Mcânico. Orintador: Prof. D. Sc. Carlos Fridrich Lofflr Nto VITÓRIA 03 II

3 ANDRÉ BARBOSA FREITAS AVALIAÇÃO DO EFEITO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO E DAS SIMPLIFICA- ÇÕES DA TEORIA UNIDIMENSIONAL DE VIGAS ATRAVÉS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Projto d Conclusão d Curso aprsntado ao Dpartamnto d Engnharia Mcânica do Cntro Tcnológico da Univrsidad Fdral do Espírito Santo, como rquisito parcial para a obtnção do título d Engnhiro Mcânico. Aprovado m d d 03. COMISSÃO EXAMINADORA Prof. Carlos Fridrich Lofflr Nto, D.Sc. Univrsidad Fdral do Espírito Santo Orintador Prof. Frnando César Mira Mnandro, D.Sc. Univrsidad Fdral do Espírito Santo Examinador Prof. Antônio Bnto Filho, D.Sc. Univrsidad Fdral do Espírito Santo Examinador III

4 Agradço a minha família amigos plo apoio mocional. Essa contribuição fz grand difrnça m motivou a continuar a laboração dss trabalho. Também agradço Carlos F.C. Victor Luiz G. por auxiliarm nas parts tóricas nas tomadas d dcisão. IV

5 RESUMO As vigas stão ntr os principais lmntos struturais utilizados na ngnharia, sndo amplamnt utilizadas na construção civil na composição do arcabouço d máquinas quipamntos mcânicos. O modlo matmático mais utilizado para dscrvr su comportamnto mcânico s basia numa toria unidimnsional, qu é amplamnt utilizada no projto d árvors, longarinas, transvrsinas, principalmnt, na sustntação d lajs d dificaçõs m gral. Est trabalho aprovita as potncialidads do Método dos Elmntos d Contorno (MEC) para, através d um modlo numérico bidimnsional, avaliar tanto as limitaçõs rsultants das aproximaçõs xistnts na toria unidimnsional d vigas, quanto xaminar os fitos das prscriçõs das condiçõs d contorno, qu usualmnt são gravmnt simplificadas distanciando-s das situaçõs rais. Exmplos d vigas com carrgamntos d divrsas formas difrnts condiçõs d contorno são xaminados através da simulação d um modlo d Elmntos d Contorno. As simulaçõs foram malhas rfinadas com funçõs d aproximação do campo linars, cujos rsultados tivram boa concordância com as soluçõs da Toria da Elasticidad na solução d problmas d stado plano. Os casos studados nss trabalho são aplicados m várias situaçõs, sndo os msmo analisados com difrnts configuraçõs das condiçõs d contorno. Os rsultados obtidos com o método dos Elmntos d Contorno são comparados com a Rsistência dos Matriais a Toria da Elasticidad. i

6 Lista d figuras Figura -:Parallpípdo infinitsimal no plano x-y Figura -:Elmnto difrncial submtido a dslocamntos d translação... 9 Figura -3:Elmnto d anális submtido a rotação sm mudança d ára Figura -4:Elmnto submtido a tração horizontal.... Figura 3-: Tnsõs gradas pla função tnsão polinomial d sgunda ordm Figura 3-: Tnsõs obsrvadas pla função tnsão polinomial d trcira ordm caso a3=c3=d3= Figura 3-3: Tnsõs gradas pla função d tnsão polinomial d quarta ordm com todas as constants, mnos d4, são iguais à zro... 8 Figura 3-4: Tnsõs normais gradas pla função tnsão polinomial d quinta ordm caso a5=b5=c5= Figura 3-5: Tnsõs cisalhants gradas pla função tnsão polinomial d quinta ordm caso a5=b5=c5= Figura 4-:Pont Jornalista Jol Silvira, m Aracaju SE. Exmplo d aplicação d vigas.... Figura 4-:Ensaio d flxão das asas na unidad d tst stático do Boing 787 Dramlinr. As asas aguntam cargas d até 50% do valor qu jamais las podrão passar durant o srviço opracional Figura 4-3:Sção da viga submtida a um carrgamnto Figura 4-4:Sção da viga dformada plo momnto fltor Figura 4-5:Sção da viga carrgada Figura 4-6:Comportamnto da viga ngastada submtida a carrgamnto concntrado Figura 5-: (a) Componnts d dslocamnto da solução fundamntal (carrgamnto unitário na dirção x), (b) componnts d força d suprfíci da solução fundamntal (carrgamnto unitário na dirção x) Figura 6-: Viga bi apoiada com flxão pura Figura 6-:Diagrama d momnto fltor para viga sob flxão pura Figura 6-3: Viga bi apoiada sujita a momntos fltors nas xtrmidads Figura 6-4:Viga bi apoiada com carrgamnto constant ii

7 Figura 6-5:Momnto fltor sforço cortant para viga biapoiada sob carrgamnto constant Figura 6-6: Barra biapoiada com carrgamnto constant sob novas coordnadas rfrnciais Figura 6-7: Viga ngastada com carrgamnto constant Figura 6-8: Momnto fltor sforço cortant para viga ngastada sob carrgamnto constant Figura 6-9: Viga ngastada com carrgamnto constant Figura 6-0: Viga bi apoiada comcarga constant Figura 6-: Momnto fltor sforço cortant para viga biapoiada sob carrgamnto concntrado Figura 6-: Viga ngastada com carrgamnto concntrado Figura 6-3: Momnto fltor sforço cortant para viga ngastada sob carrgamnto concntrado Figura 6-4: Viga ngastada com carrgamnto concntrado Figura 6-5: Tnsõs gradas pla função d tnsão polinomial d quarta ordm com todas as constants, mnos d4, são iguais à zro Figura 7-:Tnsõs horizontais prscritas no problma Figura 7-:Condiçõs d fixação na viga Figura 7-3:Viga Tipo sob flxão pura Figura 7-4: Viga Tipo sob flxão pura Figura 7-5: Viga Tipo 3 sob flxão pura... 8 Figura 7-6: Ilustração dos tipos d configuraçõs adotadas nas análiss Figura 7-7:Estado da viga biapoiada com carga constant sgundo o tipo d configuração Figura 7-8: Estado da viga biapoiada com carga constant sgundo o tipo d configuração Figura 7-9: Estado da viga biapoiada com carga constant sgundo o tipo 3 d configuração Figura 7-0: Viga ngastada submtida a carga uniformmnt distribuída, imagm rptida por convniência Figura 7-: Configuraçõs adotadas na anális d viga ngastada sob carrgamnto uniformmnt distribuído iii

8 Figura 7-: Estado da viga ngastada com carga constant sgundo o tipo d configuração Figura 7-3: Estado da viga ngastada com carga constant sgundo o tipo d configuração Figura 7-4: Estado da viga ngastada com carga constant sgundo o tipo 3 d configuração Figura 7-5: Estado da viga ngastada com carga constant sgundo o tipo 4 d configuração Figura 7-6: Efito obsrvado na viga sgundo a Toria da Elasticidad Figura 7-7: Configuraçõs adotadas na anális d viga ngastada sob carrgamnto concntrado distribuído Figura 7-8: Estado da viga ngastada com carga concntrada sgundo o tipo d configuração Figura 7-9: Estado da viga ngastada com carga concntrada sgundo o tipo d configuração Figura 7-0: Estado da viga ngastada com carga concntrada sgundo o tipo 3 d configuração Figura 7-: Estado da viga ngastada com carga concntrada sgundo o tipo 4 d configuração.... Figura A-: Erro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0 para a viga sob flxão pura, incluindo os nós do canto Figura A-:Erro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0,5 para a viga sob flxão pura, incluindo os nós do canto Figura A-3:Curvas d rro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0, para o problma da viga sob carga constant Figura A-4:Curvas d rro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0,5, para o problma da viga sob carga constant Figura A-5:Curvas d rro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0, para o problma da viga sob carga snoidal Figura A-6:Curvas d rro prcntual no cálculo do dslocamnto vrtical uy (flcha) para valors d ν=0,5, para o problma da viga sob carga snoidal iv

9 Lista d gráficos Gráfico 7-: Flcha obsrvada na viga sob flxão pura do tipo, 0.5 corrspond ao cntro da viga Gráfico 7-: Tnsão horizontal obsrvada no cntro do vão na viga sob flxão pura do tipo Gráfico 7-3: Flcha obsrvada na viga sob flxão pura do tipo, 0.5 corrspond ao cntro da viga Gráfico 7-4: Tnsão horizontal obsrvada no cntro do vão na viga sob flxão pura do tipo Gráfico 7-5: Flcha obsrvada na viga sob flxão pura do tipo 3, 0.5 corrspond ao cntro da viga Gráfico 7-6: Tnsão horizontal obsrvada no cntro do vão na viga sob flxão pura do tipo Gráfico 7-7: Flcha obsrvada na viga biapoiada sob carga constant do tipo Gráfico 7-8: Campo d tnsõs horizontais na sção transvrsal do cntro da viga biapoiada submtida a carga constant do tipo Gráfico 7-9: Flcha obsrvada na viga biapoiada sob carga constant do tipo Gráfico 7-0: Campo d tnsõs horizontais na sção transvrsal do cntro da viga biapoiada submtida a carga constant do tipo Gráfico 7-: Flcha obsrvada na viga biapoiada sob carga constant do tipo Gráfico 7-: Campo d tnsõs horizontais na sção transvrsal do cntro da viga biapoiada submtida a carga constant do tipo Gráfico 7-3: Comparação ntr a Rsistência dos Matriais a Toria da Elasticidad Gráfico 7-4: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga constant do tipo.. 94 Gráfico 7-5: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto constant tipo Gráfico 7-6: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto constant tipo Gráfico 7-7: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga constant do tipo.. 97 Gráfico 7-8: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto v

10 constant tipo Gráfico 7-9: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga constant do tipo Gráfico 7-0: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto constant tipo Gráfico 7-: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga constant do tipo Gráfico 7-: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto concntrado tipo Gráfico 7-3: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga concntrada do tipo Gráfico 7-4:Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto concntrado tipo Gráfico 7-5: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga concntrada do tipo Gráfico 7-6: Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto concntrado tipo Gráfico 7-7: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga concntrada do tipo Gráfico 7-8:Campo d tnsõs horizontais no ngast da viga sob carrgamnto concntrado tipo Gráfico 7-9: Flcha obsrvada na viga ngastada sob carga concntrada do tipo vi

11 Lista d tablas Tabla 7-: Comparação ntr os métodos para uma viga biapoiada com carrgamnto uniformmnt distribuído ao longo da arsta horizontal suprior vii

12 Sumário Capítulo - Introdução Métodos Numéricos as Novas Mtodologias d Projto As Mtodologias Simplificadas d Projto Objtivo dst Trabalho... 3 Capítulo - A Rsistência dos Matriais Equaçõs difrnciais do quilíbrio Equaçõs difrnciais da compatibilidad Dformaçõs normais ou alongamntos Dformaçõs cisalhants ou distorçõs Equaçõs constitutivas Rlação ntr tnsõs dformaçõs normais Rlação ntr tnsõs dformaçõs cisalhants... Capítulo 3- A Toria da Elasticidad A quação d compatibilidad O método d solução por polinômios A dtrminação dos dslocamntos... 0 Capítulo 4- Anális dos dslocamntos tnsõs grados m vigas Dfinição d Vigas Equilíbrio na sção d uma viga carrgada Rlação Cinmática na sção da viga Aplicação da Rlação Constitutiva na viga Tnsõs normais na viga Tnsõs cisalhants m vigas Tnsõs normais transvrsais A quação da linha lástica Capítulo 5- O Método dos Elmntos d Contorno... 3 viii

13 5.. Introdução Formulação do MEC na lasticidad linar Solução fundamntal adotada Cálculo das tnsõs dos dslocamntos para os pontos intrnos Procdimnto numérico gral Aproximação do campo d variávis Montagm do sistma matricial Capítulo 6- Estudo d Casos Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com flxão pura Pla Rsistência dos Matriais Pla Toria da Elasticidad Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com carrgamnto constant Pla Rsistência dos Matriais Pla Toria da Elasticidad Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga ngastada com carrgamnto constant Pla Rsistência dos Matriais Pla Toria da Elasticidad Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com carga concntrada Pla Rsistência dos Matriais Pla Toria da Elasticidad Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga ngastada com carrgamnto concntrado Pla Rsistência dos Matriais ix

14 6.5.. Pla Toria da Elasticidad Capítulo 7- Simulaçõs Numéricas Avaliação das simplificaçõs tóricas das condiçõs d contorno nos casos m studo Rsultados para uma viga bi apoiada com flxão pura Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Rsultados para uma viga bi apoiada com carrgamnto constant Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Rsultados para uma viga ngastada com carrgamnto constant Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Avaliação d rsultados para uma viga ngastada com carrgamnto concntrado Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Anális da Condição Tipo Capítulo 8- Conclusão... 3 Escorço Bibliográfico... 6 Apêndic A Soluçõs Numéricas do MEC Vrsus Soluçõs Analíticas... 7 x

15 Capítulo - Introdução.. Métodos Numéricos as Novas Mtodologias d Projto A ngnharia tm xprimntado grands avanços nas últimas décadas. Grands mudanças são obsrvadas nos modos d s tratar os divrsos problmas na indústria, nas mprsas d projto, na construção civil msmo nos sgmntos ligados a atividads financiras d rcursos humanos. A razão mais important para tal transformação na abordagm dos problmas qu dsafiam os profissionais d todas as áras citadas spcialmnt os ngnhiros d projto, são as frramntas computacionais atualmnt disponívis. Problmas qu ram muito difícis d s rsolvr m décadas passadas hoj são solucionados m qustõs d sgundos, sja a obtnção d um campo térmico d tmpraturas numa pça ou a gração d uma folha d pagamnto d uma organização com dznas d milhars d mprgados. Conform s obsrva no trabalho d CASTRO (0): Para grar tamanha tcnologia, um norm sforço matmático foi dspndido para dar sustntação, prcisão, crdibilidad ficiência às técnicas qu compõm os programas usados no procssamnto das divrsas tarfas mprgadas m todos os stors da vida modrna. A utilização dos primiros computadors como frramnta d ngnharia tv início m mados do século XX, fz com qu algumas áras d psquisa qu ants ram xclusivas dos matmáticos s difundissm s tornassm intrdisciplinars. Assim, foram criadas as técnicas numéricas d solução, qu tornaram possívl tratar problmas complxos através d modlagns discrtas, qu rsultam m sistmas d quaçõs qu podm sr rsolvidos facilmnt com uso d modrnos métodos computacionais. Em função do computador s tornou simpls a utilização d métodos squmas numéricos, nvolvndo muitas vzs sistmas com milhars d quaçõs algébricas. Também a abordagm d problmas complxos cuja solução analítica é impossívl, viabilizou-s com o mprgo d algoritmos 0

16 computacionais itrativos incrmntais, ofrcndo soluçõs aproximadas com lvado padrão d prcisão.(loeffler, 990) S a ftividad das técnicas d solução numérica proporcionou à ngnharia d projto maior confiabilidad, rapidz conomia no qu tang ao sforço alocado para a prática do dimnsionamnto, fabricação aplicação do objto m considração, sja uma strutura, uma máquina ou um quipamnto industrial qualqur, por outro lado tv qu corrspondr às crscnts ncssidads da socidad modrna, qu impôs condiçõs d xtrmo arrojo, complxidad, vrsatilidad multifuncionalidad m todos os sgmntos da ngnharia. Assim, uma vz qu os problmas d ngnharia s tornaram ainda mais difícis, ampliou-s o distanciamnto ntr sts as técnicas mais tradicionais d solução, spcialmnt as soluçõs analíticas. Há norm dificuldad m ncontrar soluçõs analíticas mais consistnts para problmas comuns na ngnharia, ou sja, ncontrar soluçõs das complicadas quaçõs difrnciais qu govrnam os problmas. Entr os fators qu agravam sta qustão stão a configuração gométrica complxa do mio, as caractrísticas das condiçõs d contorno iniciais impostas as não linaridads intrínscas aos problmas. Tudo isto obriga a qu s rcorram às divrsas técnicas numéricas d rsolução d quaçõs difrnciais parciais, tais como o Método das Difrnças Finitas (MDF), o Método dos Elmntos Finitos (MEF) o Método dos Elmntos d Contorno (MEC). Sobr sta última técnica, pod-s colhr do trabalho d Lonardo Caputo D Moura (00) o sguint: O Método dos Elmntos d Contorno (MEC) é uma dssas modrnas frramntas d simulação numérica. Mostra-s muito vantajosa, pois prmit a solução d problmas físicos mprgando um rduzido númro d variávis nodais, pois o problma é rprsntado apnas através da discrtização do su contorno. O MEC vm s firmando como uma das técnicas mais prcisas vantajosas, pois s fundamnta m difrnts princípios matmáticos, sja pla Toria das Equaçõs Intgrais ou por formulaçõs d Rsíduos Pondrados. Numrosas simulaçõs já ratificaram o alcanc do método sua suprmacia m crtas classs d problmas, [...]. Estas particularidads do MEC fazm com qu st método tnha lvada prcisão quando aplicado a problmas ltrostáticos bi tridimnsionais. (CAPUTO DE MOURA, 00)

17 Uma qustão básica qu surg no xam d muitas dssas frramntas computacionais, spcialmnt aqulas mprgadas na ngnharia, ond muitas vzs não há stimativa d rsposta é a sguint: como s afr a prcisão dssas técnicas m problmas para os quais não s tm uma prvisão sgura d su comportamnto? A rsposta naturalmnt é complxa é prtinnt aos studos ligados à mtodologia cintífica. No já citado trabalho d Castro pod-s coltar: São muitos os critérios utilizados na afrição d dsmpnho das técnicas d solução basadas no mprgo d computadors, comumnt chamadas d técnicas numéricas ou técnicas aproximadas. A comparação com soluçõs já conhcidas, spcialmnt colhidas m problmas d campo, ou simulação com protótipos sria o idal, mas muitas vzs a viabilidad, o custo dss mprndimnto é proibitivo. Usualmnt, são comparados os rsultados d divrsas técnicas corrlatas vrifica-s uma mlhor concordância com os dados xprimntais. Outra tática, bm mais rigorosa, consist na comparação das soluçõs numéricas com soluçõs matmáticas analíticas. Sab-s da dificuldad m s obtr soluçõs dssa naturza m problmas mais complxos, [...] mas obsrva-s uma prfrência m procurar s avaliar dsmpnho comparando métodos aproximados ntr si. Para os problmas mais clássicos da ngnharia strutural, as principais técnicas numéricas, citadas antriormnt, já foram tstadas ostnsivamnt m divrsas aplicaçõs, aprsntando norm êxito. O ftivo dsmpnho d todas, por já star consolidado, já foram rgistrados nos divrsos livros qu compõm a bibliografia básica do studo dsts métodos (BATHE (98) REDDY (006) para os lmntos finitos, MALISKA (004) para os volums finitos BREBBIA (984) para o lmnto d Contorno). No qu intrssa a st trabalho, os rsultados stão rlacionados às simulaçõs stacionárias nas quais problmas lásticos linars, govrnados pla Equação d Navir, foram ftivamnt rsolvidos... As Mtodologias Simplificadas d Projto O fato d havr atualmnt uma norm dmanda d tcnologia nvolvndo projtos sofisticados não significa qu não xista uma grand quantidad d problmas simpls para os quais não justifica o invstimnto d uma abordagm mais sofisticada,

18 por divrsos fators. O primiro dls é o plno domínio das condiçõs qu crcam aqul projto spcífico, pla quantidad inumrávl d dimnsionamntos similars já ralizados, grand part dls ralizado com o auxílio d fórmulas procdimntos analíticos ou xprimntais, d rconhcida ficiência. Isto não acontc apnas m dificaçõs d pquno port, qu é o xmplo mais comum. Muitas vzs tais procdimntos simpls stão consolidados ao ponto d figurarm m normas outros procdimntos similars, qu rgulam a forma d projtar, como acontc m tubulaçõs industriais mais simpls. Assim, considrando qu a configuração gométrica das pças sja simpls o carrgamnto aplicado também o sja, é possívl mprgar as torias simplificadas d projto strutural qu figuram na disciplina dnominada Rsistência dos Matriais. O propósito dsta disciplina é ofrcr soluçõs simpls d problmas struturais compostos por lmntos d barras ou vigas. Ests compõm aprciávl montant na totalidad da arquittura d crtas máquinas dificaçõs mais comuns. Na Engnharia Mcânica, o studo do dimnsionamnto dos lmntos d Máquinas stá rplto d xmplos dsta naturza. Dnts d ngrnagns são considrados como vigas ngastadas, nquanto molas planas são tomadas como vigas largas bi apoiadas. Chavtas são barras rtilínas sujitas ao cisalhamnto molas são barras curvas submtidas simplificadamnt à torção. Outros xmplos ainda podriam sr citados. Atualmnt, diant do surgimnto da acssibilidad das já mncionadas técnicas d solução numéricas, muitos dsts procdimntos analíticos simplificados, são considrados como stimativas prliminars d projto, qu das ncssidads d mlhor dsnvolvimnto, tm su cálculo ratificado ou rfito com o mprgo dos citados métodos..3. Objtivo dst Trabalho Nst txto, os rsultados d modlos discrtos grados com o MEC para stado 3

19 plano d tnsão, d modo tal qu corrspondam a problmas d vigas, são comparados com os rsultados d torias simplificadas basadas nos studos da disciplina d Rsistência dos Matriais. O propósito é avaliar o alcanc dstas torias mais simpls diant da introdução d alguma complxidad no carrgamnto, particularmnt, da modificação das condiçõs d contorno impostas. A toria simplificada d vigas é m sua ssência unidimnsional msmo com algumas altraçõs qu normalmnt são impostas nos modlos mais comuns o fazm no sntido d stablcr apnas um campo d tnsõs mais ralístico, d naturza bidimnsional, contmplando uma mlhor distribuição das tnsõs cisalhants. No qu concrn a mlhor rprsntação das condiçõs d contorno, nada é ftivamnt considrado. Assim, st trabalho avalia o fito das condiçõs d contorno vistas sob o ponto d vista bidimnsional. O Método dos Elmntos d Contorno é usado para a simulação dos problmas m duas dimnsõs obtndo soluçõs d rfrência, uma vz qu msmo as técnicas bidimnsionais da Toria da Elasticidad são inficazs na simulação prcisa d condiçõs d contorno nvolvndo dslocamntos. 4

20 Capítulo - A Rsistência dos Matriais O concito dado a sta disciplina, sgundo HIBBELER (003), é o sguint: A rsistência dos matriais é um ramo da mcânica qu studa as rlaçõs ntr cargas xtrnas aplicadas a um corpo dformávl a intnsidad das forças intrnas qu atuam dntro do corpo. Ess assunto abrang também o cálculo da dformação do corpo o studo da sua stabilidad, quando l stá submtido a forças xtrnas. Para qu sja possívl obtr os valors d tnsõs intrnas, dv sr stablcido um vínculo causal ntr stas as forças xtrnas às quais o lmnto stá submtido. Também é ncssário corrlacionar os dslocamntos obsrvados plo corpo com as dformaçõs sntidas plo msmo. Finalmnt, um quacionamnto constitutivo dv sr usado para associar as dformaçõs obsrvadas com as tnsõs prsnts no objto m anális. É assumido qu o corpo m studo consist d pqunas partículas por ond as forças xtrnas agm. Num fluido, a constituição do mio por moléculas é bastant compatívl; num sólido, m gral, dsprza-s a irrgularidad dos grãos qu ncrram as rds cristalinas para qu sta hipóts possa sr imposta. Assim, considrando as pqunas partículas como moléculas, as forças molculars rsistm as mudanças d forma qu sss sforços tndm a produzir, d manira qu cada uma dlas é dslocada um pouco, até qu s atinja o quilíbrio (TIMOSHENKO, 940, p. ). Logo, obsrva-s um sforço intrno m cada ligação química. Dvido à naturza imprvisívl da organização química do matrial, muitas hipótss são aplicadas com o objtivo d prmitir a dscrição matmática do su comportamnto. As mais importants são aqulas qu prmitm xprssar as quaçõs difrnciais d govrno numa forma linar. Algumas idalizaçõs ocorrm para concpção dst modlo simplificado, mas não muito distant do qu ocorr m boa part dos casos práticos abordados pla ngnharia: Considrar qu as dformaçõs sus dslocamntos corrspondnts sjam pqunos, d modo qu pqunas variaçõs nas dimnsõs do corpo os pqunos dslocamntos dos pontos d aplicação das forças xtrnas sjam 5

21 dsprzados. Assim sndo, ação das forças xtrnas não s altra as quaçõs d quilíbrio do corpo starão smpr rlacionadas à configuração inicial do carrgamnto no corpo. O princípio d suprposição d carrgamntos altrnância da ordm d aplicação dsts podrá sr, ntão, utilizado. Como cada sforço intrno pod variar com sua localização, faz-s ncssário o uso d um pquno lmnto dst corpo. Porém, um lmnto muito pquno não srá vrossímil com a ralidad, pois sab-s qu um matrial não é uniformmnt constituído dos msmos átomo s sss stão ligados d maniras divrsas. No ntanto, ssa htrognia pod sr dsconsidrada s o lmnto d anális for suficintmnt grand ao ponto d s comportar como um lmnto homogêno. Considrar qu os corpos são compostos d matriais prfitamnt lásticos, isto é, rtornam ao su stado original quando a ação das forças aplicadas é intrrompida, sm qualqur prda d nrgia ou produção d dformação prmannt. Nstas condiçõs, inxist qualqur forma d amortcimnto strutural ou viscoso, o modlo nquadra-s na catgoria d problmas d campo consrvativo. Quando nosso lmnto infinitsimal mudar d dirção, as propridads matriais não rcbrão mudanças d valor. Esta caractrística é obsrvada m matriais isotrópicos srá aplicada nos studos dst trabalho... Equaçõs difrnciais do quilíbrio Qu sja suposto o quilíbrio d um lmnto infinitsimal qu ngloba um conjunto d moléculas. Admita também qu o lmnto stá submtido ao campo gravitacional, no qual gra forças d corpo. A sua dirção não é conhcida, mas sab-s qu sta pod sr traduzida m um ângulo qualqur m rlação à horizontal, caso s supusr qu stá insrida num plano. Também s obsrva contato do lmnto com os sus vizinhos. Para qu cada fac não s dsloqu para cima ou para baixo, nm para um lado, nm para o outro, tnsõs dvm sr impostas. Tnsõs normais impdm qu 6

22 - Figura cada fac s dsloqu na dirção longitudinal, tnsõs cisalhants impdm qu cada fac s dsloqu na dirção transvrsal. Com ssas considraçõs, pod-s stablcr um quacionamnto visando o quilíbrio. Sgundo Timoshnko Goodir (970), considra-s um pquno lmnto d studo com dimnsõs h por k. Ess lmnto stá submtido a um carrgamnto conform figura -. -:Parallpípdo infinitsimal no plano x-y. Admit-s qu há forças d corpo d valors X (horizontal) Y (vrtical). Para qu haja quilíbrio na horizontal: (σ xx ) k (σ xx ) 3 k + (σ xy ) h (σ xy ) 4 h + Xhk = 0 (σ xx ) (σ xx ) 3 h + (σ xy) (σ xy ) 4 k + X = 0 Quando ss rtângulo s tornar cada vz mnor (h 0 k 0) concluí-s: σ xx x + σ yx y + X = 0 Equação ( - ) O quilíbrio na vrtical é rsolvido d manira análoga a horizontal, chgando ao sguint rsultado: σ xy x + σ yy y + Y = 0 Equação ( - ) As quaçõs - - traduzm um quilíbrio infinitsimal. Caso o lmnto apr- 7

23 snt um acréscimo d tnsõs normais m x ao longo da dirção x, as tnsõs cisalhants qu stão na dirção x rcbrão um dcréscimo ao longo da dirção y para mantr o quilíbrio, caso não haja forças d corpo X ou caso os sus valors possam sr dsprzados. O msmo também é válido s considrarmos o quilíbrio d forças na dirção y... Equaçõs difrnciais da compatibilidad No início da sção foi mncionado qu as moléculas do matrial produzm dslocamntos qu gram as forças intrnas ncssárias para s prsrvar o quilíbrio. Mas dvido aos difrnts sforços qu cada conjunto contínuo d moléculas rcb, difrnts dslocamntos dvrão sr obsrvados. Supõ-s qu cada fac do lmnto pod sr dslocada d uma manira difrnt, obsrvando-s uma variação ao longo da dirção obsrvada. Também é fita a hipóts d qu ssas facs podm girar, rspitando a conxão xistnt m suas xtrmidads. É fita a anális das dformaçõs sofridas plo lmnto, qu srão divididas m normais (sção..) cisalhants (sção..).... Dformaçõs normais ou alongamntos Considra-s um lmnto do sistma qu rcb dslocamntos com ausência d rotação m suas facs. Esss dslocamntos não prcisam sr ncssariamnt idênticos, sndo obsrvada uma variação ao longo da dirção prpndicular dos msmos. A situação dscrita stá ilustrada na figura -. 8

24 - Figura -:Elmnto difrncial submtido a dslocamntos d translação A dformação sofrida plo lmnto srá dfinida como a razão ntr o novo valor d comprimnto qu o lmnto possui o antigo valor d comprimnto qu o lmnto possuía. Assim: u u + x u x ε x = x ε x = u x O msmo pod sr ralizado na dirção y: ε y = v + v y v y y ε y = v y Equação ( -3 ) Equação ( -4 ) Logo, para a dformação sofrida pla translação do lmnto, basta dtrminar o quanto qu o dslocamnto sofrido ntr as facs varia com aqula dirção.... Dformaçõs cisalhants ou distorçõs Além d admitir qu as fac d um lmnto podm transladar d maniras distintas ntr si, srá suposto qu ssas msmas facs podrão girar na dirção prpndicular ao plano d rfrência. A manira como ssas facs giram é fito d uma manira tal qu não srá obsrvado contração ou alongamnto da ára do lmnto d studo. 9

25 -3 Figura Essa afirmação irá implicar qu as facs qu ants stavam na msma dirção passam agora a girar simultanamnt um msmo ângulo d rotação. Isso garant qu nosso rtângulo passará a sr um parallpípdo com ára igual ao valor inicial.também srá imposto qu as facs parallas prmancm parallas após srm giradas. A situação aprsntada nss parágrafo stá aprsntado na figura :Elmnto d anális submtido a rotação sm mudança d ára. Uma das consquências d s impor o lmnto rtilíno é obsrvada nas drivadas d ordm suprior qu podriam star prsnts nos dslocamntos da facs, mas são dsprzadas. Dfin-s como dformação cisalhant (γ) a mudança d ângulo ocorrida ntr duas facs originalmnt prpndiculars ntr si. Para ftuar a anális, os ângulos são mdidos no sntido horário a partir da fas qu aprsnta mnor númro (i<j). Logo, para cada intrsção d facs é obsrvado: γ ij = θ ij θ ij = u y + v x Ond i j rprsntam facs distintas. O qu pod sr concluído com isso é qu m todas as intrsçõs ntr facs obsrva-s a msma dformação cisalhant. Logo: γ xy = γ yx = u y + v x Equação ( -5 ) 0

26 .3. Equaçõs constitutivas Conform dito na introdução da sção, as quaçõs constitutivas são igualdads qu rlacionam o campo d tnsõs com o campo d dformaçõs. Srá considrado qu o matrial é linar lástico. Para ss caso, as quaçõs constitutivas s chamam quaçõs d Lamé-Hook ou mais simplsmnt Li d Hook. Nssa Li, as rlaçõs matmáticas ntr tnsõs dformaçõs normais são distintas do qu s ncontram quando s dscrv o comportamnto obsrvado no lmnto infinitsimal ntr tnsõs cisalhant as distorçõs corrspondnts.o caso d configuração d carrgamnto xclusivamnt normal é aprsntado na sção.3.,nquanto o caso para o qual o lmnto d matrial stá submtido a cisalhamnto puro srá mostrado na sção Rlação ntr tnsõs dformaçõs normais Na Li d Hook, um lmnto ao rcbr tração horizontal dforma-s nssa msma dirção sgundo a xprssão: ε x = E σ x Equação ( -6 ) Mas o msmo lmnto também rcbrá uma contração na dirção prpndicular à tração sgundo a fórmula: ε y = ν E σ x Equação ( -7 ) As constants E ν rprsntam o módulo d Young o coficint d Poisson, rspctivamnt. O valor d E indica o nívl d tnsão qu dv sr causada no lmnto para st s dformar um dtrminado valor nquanto o valor d ν dtrmina o quanto d dformação srá obsrvada na dirção prpndicular a tnsão causada. A formulação aprsntada nas quaçõs -6-7stá basada no squma ilustrado na figura-4.

27 -4 Figura -4:Elmnto submtido a tração horizontal. D uma manira gral, quando o lmnto stivr submtido a um carrgamnto com apnas tnsõs normais, l produzirá dformaçõs sgundo as sguints quaçõs: ε x = E σ x ν E (σ y + σ z ) Equação ( -8 ) ε y = E σ y ν E (σ x + σ z ) Equação ( -9 ) ε z = E σ z ν E (σ x + σ y ) Equação ( - 0 Ond os valors d sigma são positivos quando ssas tnsõs são d tração. ).3.. Rlação ntr tnsõs dformaçõs cisalhants Um lmnto d matrial submtido a cisalhamnto puro é ncontrado m corpos d prova com formato d tubos circulars finos, nos quais é imposta uma carga d torção (HIBBELER, 003, p. 8). Através dsss nsaios, obsrva-s qu a dformação cisalhant (dfinida na sção..) a tnsão d cisalhamnto (ilustrada na figura -) podm sr rlacionadas na Li d Hook através da sguint formulação: σ xy = Gγ yx Equação ( - Ond G é o módulo d lasticidad ao cisalhamnto. Prcb-s qu, difrntmnt da rlação stablcida para as tnsõs normais, as tnsõs cisalhants atuants nos três difrnts planos não intragm ntr si. )

28 Dmonstra-s qu a propridad do matrial G stá vinculada ao módulo d Young ao coficint d Poisson através da sguint formulação(hibbeler, 003, p. 403 a 406): G = E ( + ν) Equação ( - ) 3

29 Capítulo 3- A Toria da Elasticidad A Toria da Elasticidad é uma disciplina qu s ocupa do studo d mcânica d modo mais formal prciso, mprgando mtodologias matmáticas mais avançadas na rsolução d problmas, comumnt também mais complxos do qu os obsrvados na Rsistência dos Matriais. Nas soluçõs propostas por ssa disciplina xistm mnos simplificaçõs do qu na Rsistência dos Matriais, com o qu s spra mlhor rprsntação do comportamnto ral mcânico das struturas, obdcidas as condiçõs d contorno os prfis d carrgamnto propostos. Nssa toria, prmanc a hipóts da lasticidad do matrial, ou sja, s um corpo for submtido a sforços, as dformaçõs provocadas por sts irão dsaparcr compltamnt quando form rtirados. A homognia do corpo também srá suposta no prsnt trabalho para a aplicação dssa toria, além da isotropia. Apsar dssas hipótss não srm rigorosamnt vrossímis com a ralidad, xpriências mostram qu a toria matmática basada nssas hipótss fornc alta prcisão quando o matrial studado é o aço strutural (TIMOSHENKO; GOODIER, 970, p. ). As análiss d lasticidad usam todo o quacionamnto mostrado na sção dst trabalho, além d mais algumas qu srão mostradas nsta sção. A hipóts d pqunos dslocamntos (a primira aprsntada para anális da Rsistência do Matriais) também dv sr considrada na Toria da Elasticidad. 3.. A quação d compatibilidad Já foram dfinidas na sção. as fórmulas do quilíbrio difrncial. Com apnas ssas duas quaçõs (quaçõs - -) não é possívl dtrminar as 3 tnsõs (σxx, σyy σxy) gradas num stado plano d tnsão ou dformação. As citadas igualdads são rptidas aqui por convniência: σ xx x + σ xy y + X = 0 Equação ( 3- ) 4

30 σ xy x + σ yy y + Y = 0 Equação ( 3- ) Para s obtr todas as tnsõs obsrvadas m um lmnto infinitsimal, é ncssária, portanto, uma trcira quação chamada quação da compatibilidad. Na sção., foram dsnvolvidas as quaçõs d dformaçõs causadas m um lmnto infinitsimal plano. Essas são aqui rptidas por convniência: ε x = u x ε y = v y γ xy = u y + v x Equação ( 3-3 ) Equação ( 3-4 ) Equação ( 3-5 ) Aplicando duas vzs a difrncial m rlação a y m 3-3, duas vzs a difrncial m rlação a x m 3-4 uma vz a difrncial m rlação a y outra m rlação a x m 3-5 s obtém: γ xy x y = Com bas nisso conclui-s qu: ε x y = 3 u x y ε y x = 3 v x y 3 u x y + 3 v x y ε x y + ε y x = γ xy x y Equação ( 3-6 ) Pla Li d Hook (aprsntada na sção.3) simplificada para sistmas bidimnsionais, sab-s qu: ε x = E (σ xx υσ yy ) Equação ( 3-7 ) ε y = E (σ yy υσ xx ) Equação ( 3-8 ) γ xy = ( + υ) σ E xy Equação ( 3-9 ) Substituindo as quaçõs 3-7, m 3-6 obtêm-s: 5

31 (σ xx υσ yy ) y + (σ yy υσ xx ) x = ( + υ) σ xy x y Equação ( 3-0 ) Supõ-s qu nas quaçõs 3-3- xist como forças d corpo apnas a força pso. Difrnciando a quação 3- m rlação a x a 3- m rlação a y somando os rsultados, ncontra-s: σ xy x y = σ xx x + σ yy = Equação ( 3- ) y Substituindo agora a quação 3- na quação 3-0, ncontra-s: ( x + y ) (σ x + σ y ) = 0 Equação ( 3- ) A quação 3- corrspond à quação d compatibilidad. Prova-s qu sta quação é válida tanto para o stado plano d tnsão quanto para o d dformação(ti- MOSHENKO; GOODIER, 970, p. 5). 3.. O método d solução por polinômios Particularmnt visando a solução d problmas d vigas outras struturas m stado plano d solicitação, nos quais a conformação gométrica é cartsiana, uma técnica important muito útil para rsolução da quação 3-, utiliza o concito d função d tnsão (Φ) (TIMOSHENKO; GOODIER, 970, p. 9), qu aprsnta a sguint formulação: σ x = Φ Equação ( 3-3 ) y σ y = Φ x Equação ( 3-4 ) σ xy = Φ x y Equação ( 3-5 ) As quaçõs podm sr substituídas m 3-, grando a quação bi harmônica mostrada a sguir: 4 Φ x Φ x y + 4 Φ y 4 = 0 Equação ( 3-6 ) Para rsolvê-la, considra-s qu a xprssão da função d tnsão possa sr dfinida 6

32 3- Figura através d polinômios, nas sguints formas(timoshenko; GOODIER, 970): Φ = a x + b xy + c y Equação ( 3-7 ) Φ 3 = a 3 6 x3 + b 3 x y + c 3 xy + d 3 6 y3 Equação ( 3-8 ) Φ 4 = a 4 x4 + b 4 6 x3 y + c 4 x y + d 4 6 xy3 + 4 y4 Equação ( 3-9 ) Φ 5 = a 5 0 x5 + b 5 x4 y + c 5 6 x3 y + d 5 6 x y xy4 + f 5 0 y5 Equação ( 3-0 ) Com bas nas quaçõs 3-3, podm-s achar as tnsõs qu sss polinômios gram. Por xmplo, com a quação 3-7possívl concluir qu: σ x = c Equação ( 3- ) σ y = a Equação ( 3- ) σ xy = b Equação ( 3-3 ) Obsrvando as quaçõs d 3- a 3-3 é possívl intrprtar o carrgamnto rprsntado. Essa configuração constitui-s d tnsõs comprssõs prpndiculars ntr si um sforço cisalhant uniform, conform figura : Tnsõs gradas pla função tnsão polinomial d sgunda ordm. A quação 3-8 gra outras funçõs para as tnsõs, utilizando as quaçõs 3-3, : σ x = c 3 x + d 3 y Equação ( 3-4 ) σ y = a 3 x + b 3 y Equação ( 3-5 ) σ xy = b 3 x c 3 y Equação ( 3-6 ) As quaçõs d 3-4 a 3-5 podm grar vários tipos d configuraçõs conform dsjar. Para isso basta altrar as constants nlas xistnts. Por xmplo, caso s 7

33 3- Figura 3-3 considrar a3=c3=d3=0, o corpo m anális irá aprsntar um carrgamnto conform figura 3-. Nss caso, nos lados suprior infrior, xist uma comprssão uma tração uniformmnt distribuída, rspctivamnt. No lado dirito, uma tnsão cisalhant constant ag nssa fac, nquanto no lado oposto não xist nnhum carrgamnto. 3-: Tnsõs obsrvadas pla função tnsão polinomial d trcira ordm caso a 3=c 3=d 3=0 Para garantir a compatibilidad, na quação 3-9 é ncssário primiro ncontrar os valors d 4 com a quação 3-6. Fito isso s ncontra as tnsõs qu o polinômio 3-9 gra da msma forma qu com a quação 3-7: 4 = (c 4 + a 4 ) Equação ( 3-7 ) σ x = c 4 x + d 4 xy (c 4 + a 4 )y Equação ( 3-8 ) σ y = a 4 x + b 4 xy + c 4 y Equação ( 3-9 ) σ xy = b 4 x + c 4 xy d 4 y Equação ( 3-30 ) Figura 3-3: Tnsõs gradas pla função d tnsão polinomial d quarta ordm com todas as constants, mnos d 4, são iguais à zro. 8

34 3-4 Not qu d manira análoga a quação 3-8, as quaçõs d 3-7 a 3-30 podm grar vários tipos d configuraçõs d carrgamnto. Por xmplo, ao s considrar a4=b4=c4=0, o carrgamnto stimado fica conform figura 3-3. Nas facs supriors infriors srão obtidas tnsõs cisalhants uniformmnt distribuídas, nquanto nas latrais ssas tnsõs srão difundidas sgundo uma configuração parabólica. Além disso, uma tnsão normal a fac dirita srá obsrvada sgundo uma função linar. Na quação 3-0 é ncssário primiro ncontrar os valors d 5 f5 com a quação 3-6. Fito isso s ncontra as tnsõs qu o polinômio 3-0 gra da msma forma qu com o 3-7: σ x = c 5 3 x3 + d 5 x y (c 5 + 3a 5 )xy 3 (b 5 + d 5 )y 3 Equação ( 3-3 ) σ y = a 5 x 3 + b 5 x y + c 5 xy + d 5 3 y3 Equação ( 3-3 ) σ xy = 3 b 5x 3 c 5 x y d 5 xy + 3 (c 5 + 3a 5 )y 3 Equação ( 3-33 ) As quaçõs d 3-3 a 3-33 também podm grar vários tipos d carrgamnto à mdida qu altramos os valors das constants. Para ssas quaçõs, toma-s como xmplo o caso m qu a5=b5=c5=0. Nssa situação, as tnsõs normais ficam configurada sgundo a figura 3-4 nquanto as cisalhants sgundo 3-5. Figura 3-4: Tnsõs normais gradas pla função tnsão polinomial d quinta ordm caso a 5=b 5=c 5=0 Para ssa configuração, as tnsõs normais nos lados suprior infrior ficam uniformmnt distribuídas, nquanto nos lados squrdo não s obsrva nnhuma tnsão. Já para a fac dirita, xistm duas parts, uma dlas sguindo uma função linar 9

35 3-5 nquanto a outra é uma parábola cúbica. As tnsõs cisalhants são proporcionais a x nos lados longitudinais sgum uma parábola na xtrmidad dirita apnas, visto qu na latral squrda não xistm nnhuma tnsão cisalhant. Figura 3-5: Tnsõs cisalhants gradas pla função tnsão polinomial d quinta ordm caso a 5=b 5=c 5= A dtrminação dos dslocamntos Quando os carrgamntos são ncontrados com as quaçõs d 3- a 3-33, as dformaçõs podm sr ncontradas através das quaçõs constitutivas (-8 a -). Após isso, os dslocamntos srão ncontrados com as quaçõs -3, -4-5, rptidas aqui por convniência: ε x = u x ε y = v y γ yx = u y + v x Equação ( Equação ( Equação ( Essas fórmulas são facilmnt intgrávis, obtndo assim valors para os dslocamntos horizontais vrticais sgundo uma função das coordnadas gométricas: u = ε x dx + f(y) Equação ( v = ε y dy + g(x) Equação ( ) ) ) ) ) 0

36 Obsrvando as quaçõs obtidas, pod-s afirmar qu apnas com tnsõs dformaçõs não srá possívl obtr valors para os dslocamntos, sndo ncssárias condiçõs d contorno para s dscobrir os dslocamntos por complto. No studo d casos srá mostrado o uso dssas quaçõs m problmas particulars.

37 4- Figura Capítulo 4- Anális dos dslocamntos tnsõs grados m vigas 4.. Dfinição d Vigas Dfin-s como viga um lmnto strutural qu trabalha m posição horizontal ou inclinada, assntada m um ou mais apoios, ao qual stá submtido um carrgamnto prpndicular ao su ixo longitudinal. Sndo assim, divrsos sistmas ncssitam d usar vigas para sustntar sforços. 4-:Pont Jornalista Jol Silvira, m Aracaju SE. Exmplo d aplicação d vigas. Na ngnharia civil, vigas são utilizadas para transfrir os carrgamntos impostos na laj para os pilars. Nas asas d aviõs são lmntos ncssários para rsistir os sforços provnints da força d sustntação advinda das asas. Em ponts as vigas rcbm carrgamntos qu s altram ao longo do tmpo, visto qu há transição d carga nsss sistmas.

38 4- Figura 4-:Ensaio d flxão das asas na unidad d tst stático do Boing 787 Dramlinr. As asas aguntam cargas d até 50% do valor qu jamais las podrão passar durant o srviço opracional. Em muitas máquinas, sja d procssamnto, lvação ou transport, as vigas dsmpnham important papl funcional. Por ss motivo, m situaçõs qu uma falha pod grar gravs consquências, nsaios são ralizados m cada lmnto do sistma. Emprsas como a Boing, ralizam o nsaio d flxão das asas com cargas d até 50% do valor qu jamais las podrão passar durant o srviço opracional, favorcndo assim a sgurança (figura 4-). Nos studos normais d rsistência dos matriais ou mcânica técnica, os fitos das tnsõs vrticais (σyy) dcorrnts do carrgamnto imposto à strutura são dsprzados, visto qu nnhuma alusão a las, xplicando sus fitos sua magnitud, são forncidas. 4.. Equilíbrio na sção d uma viga carrgada Quando uma viga prismática d largura b comprimnto L stá carrgada, é possívl sccioná-la obsrvar a situação ilustrada na figura 4-3: 3

39 4-3 Figura 4-3:Sção da viga submtida a um carrgamnto. A anális do quilíbrio nst parallpípdo smi-lmntar spcífico (o comprimnto vrtical não é infinitsimal), no qual as tnsõs normais cisalhants são substituídas plo su fito global na dirção y mostra qu: F y = 0 V V dv = qdx Da msma forma para os momntos: (V + dv) dx dv dx = q Equação ( 4- ) M o = 0 dx + V + M M dm = 0 dm = V Equação ( 4- ) dx 4.3. Rlação Cinmática na sção da viga Dsconsidrando os fitos localizados d q, V, dv dm na viga, podm-s ralizar as sguints hipótss a fim d s obtr o carrgamnto σxx (HIBBELER, 003, p. a 6): O ixo longitudinal x, qu fica na suprfíci nutra, não rcb nnhuma altração m su comprimnto original. Todas as sçõs transvrsais da viga prmancm planas prpndiculars ao ixo longitudinal durant o carrgamnto. 4

40 4-4 Figura Qualqur dformação da sção transvrsal m su próprio plano srá dsprzada. A partir dssas hipótss, o lmnto rcbrá dformação conform figura 4-4. O comprimnto ds ncontrado a uma distância y da linha nutra aumnta, nquanto o comprimnto dx prmanc inaltrado. Ambos os comprimntos curvam-s, formando arcos concêntricos m O com ângulo dθ raio m rlação à linha nutra d ρ. 4-4:Sção da viga dformada plo momnto fltor. Com bas nisso, dfin-s como dformação (εx): ε x = lim dx 0 ds dx dx Exprimindo ds dx m função d ρ dθ: 5

41 ε x = lim dθ 0 (ρ + y)dθ ρdθ ρdθ Logo: ε x = y ρ Sabndo qu a dformação máxima (εmax) ocorr m y=c: ε x ε max = y c Equação ( 4-3 ) 4.4. Aplicação da Rlação Constitutiva na viga Como próximo passo é fita a hipóts qu o matrial s comporta d manira linarlástica. Assim s pod aplicar a li d Hook: σ xx = Eε x Equação ( 4-4 ) Dst modo, substituindo-s sta última quação na quação 4- chga-s a: σ xx = y c σ max Equação ( 4-5 ) 4.5. Tnsõs normais na viga Para s obtr o máximo valor d tnsão sofrida pla sção, é prciso lmbrar qu a distribuição d tnsão obsrvada corrspond ao momnto d intnsidad M aplicado à sção: M = σ xx yda M = ( y c σ max) yda M = σ max y c da Supondo uma largura d sção unitária, conclui-s qu: 6

42 σ max = Mc I Ond I corrspond ao momnto d inércia da ára d sção transvrsal. Substituindo a quação 4-6 na 4-5: Equação ( 4-6 ) σ xx = My I Equação ( 4-7 ) 7

43 4-5 Figura 4.6. Tnsõs cisalhants m vigas Por simplicidad, omitindo a rprsntação d V V+dV, o sistma passa a aprsntar as caractrísticas sgundo a figura4-5. Para obtr a tnsão cisalhant, dv-s lmbrar das quaçõs aprsntadas antriormnt: dv dx = q dm dx = V 4-5:Sção da viga carrgada. Considr qu o difrncial d momnto dm gra um difrncial d tnsão normal, intitulada d σ xx. Sgundo ODEN & RIPPERGER (98), aplica-s a quação 4-7 na - dsprzando-s as forças d corpo: σ xy y = x (My I ) σ xy = ydy M I x Substituindo 4- fazndo M st = bydy: σ xy = VM st Ib Equação ( 4-8 ) 8

44 4-6 Figura Supondo uma sção transvrsal rtangular: M st Ib = 8bc 3 b bydy y c = c 8bc 3 [y ] = 3 4bc 3 [c y ] y σ xy = V 3 4bc 3 [c y ] Equação ( 4-9 ) Duas importants obsrvaçõs agora s fazm oportunas: A primira advém do fato d qu a considração das tnsõs cisalhants, ralizada mdiant o quilíbrio da fatia lmntar antriormnt mostrada, viola uma hipóts pré-stablcida para a obtnção do campo d tnsõs normais, qu admitia qu as sçõs planas ants da aplicação do carrgamnto ficariam planas após a imposição dst. Isto não é vrdad, a mnos da condição d flxão pura, ou sja, sm sforço cortant. A figura 4-6 ilustra a distribuição das tnsõs o modo d dformação da viga na condição d flxão com cisalhamnto. 4-6:Comportamnto da viga ngastada submtida a carrgamnto concntrado. A sgunda obsrvação s prnd à rlação ntr as dimnsõs da viga. Nas fórmulas dduzidas não há nnhuma rstrição quanto à ncssidad d uma razão ntr o comprimnto, a largura a spssura da viga. Entrtanto, d modo a minimizar o fito da distorção imposta no modlo original, d qu as sçõs planas prmancriam planas, é comum s admitir qu a mlhor rprsntação física do modlo matmático grado consist m tomar vigas com dimnsõs tais qu a largura sja bm suprior à sua altura, qu por sua vz dv sr bm maior do qu a profundidad. Rssalta-s, ntrtanto, qu o modlo aprsntado é aplicado na prática ao studo 9

45 d vigas altas vigas spssas, com algumas adaptaçõs simpls Tnsõs normais transvrsais Embora sjam comumnt dsprzadas na toria d vigas, mdiant o uso das quaçõs d quilíbrio, é possívl dtrminar a distribuição das tnsõs normais transvrsais, qu ocorrm no caso d havr carrgamnto ao longo das suprfícis horizontais supriors da viga. Assim: c σ yy y = σ xy x σ yy = σ xy x y σ yy = x V(x) 3 4bc 3 [c y ]dy ; ond x V(x) = q Equação ( 4-0 ) y σ yy = q b 3 4 (y c ) + 4 (y c ) 3 Equação ( 4- ) Logo, σyy varia d p/b na part suprior até o valor o valor nulo na part infrior A quação da linha lástica Sgundo HIBBELER (003), obsrva-s novamnt a figura 4-4, considrando agora como sntido positivo na vrtical y. É possívl admitir qu o comprimnto ds inicial dforma-s para dss. Val lmbrar qu ss comprimnto ds ra igual a dx no stado m qu a viga ncontrava-s sm carrgamnto. Com bas nisso: Mas: ε x = lim dx 0 dss dx dx Então: ds = dx = ρdθ dss = (ρ y)dθ 30

46 Ou: ε x = (ρ y)dθ ρdθ ρdθ ρ = ε x y Aplicando a Li d Hook a quação 4-7 na quação 4-, ncontra-s: Equação ( 4- ) ρ = M EI Encontra-s na litratura qu(hibbeler, 003, p. 45): Equação ( 4-3 ) ρ = d v dx [ + ( dv dx ) ] 3/ = M EI Equação ( 4- ) 4 A drivada d primira ordm nssa quação normalmnt possui um pquno valor. Logo, o quadrado d su valor srá dsprzado na prsnça da unidad para rduzir a quação 4-4 para: d v dx = M EI Equação ( 4-5 Essa quação é a qu comumnt s utiliza nos cálculos d ngnharia para dtrminar a flcha d vigas sus valors são prcisos, salvos rstriçõs impostas m normas(hibbeler, 003, p. 45). ) 3

47 Capítulo 5- O Método dos Elmntos d Contorno 5.. Introdução Nst capítulo são aprsntados os concitos básicos do Método d Elmntos d Contorno (MEC) com sua formulação clássica aplicada para a solução d problmas bidimnsionais d lasticidad. Sgundo BREBBIA (984), o Método dos Elmntos d Contorno transforma um modlo matmático formulado por quaçõs difrnciais parciais - qu dscrvm matmaticamnt o problma físico num domínio spacial tmporal - m quaçõs intgrais nvolvndo somnt valors d contorno ou condiçõs iniciais. Para ralização dssa tarfa, a propridad da intgração por parts é utilizada m conjunto com o Torma da Divrgência. Todo ss procsso conta com o apoio d funçõs auxiliars dnominadas soluçõs fundamntais qu prmitm a liminação da intgral d domínio rmanscnt após ssa transformação matmática. A aplicação bm sucdida do MEC promov a rdução da dimnsão do problma m uma unidad. Ao s analisar apnas o contorno, é possívl obsrvar algumas vantagns m rlação a outros métodos. A mais imdiata dlas é a simplicidad no manusio dos dados d ntrada, bm mnos numrosos, o qu implica na quantidad d opraçõs matmáticas qu são rquridas para construir o modlo computacional, qu são bm mais simpls por conta da rdução da dimnsão do problma. Outras vantagns do MEC são: a possibilidad d trabalhar com rgiõs infinitas dvido a pculiaridads da solução fundamntal; a suprioridad d prcisão na anális d concntração d tnsõs a opracionalização fácil dos casos d frontira variávl, pois a opração d rstruturação da malha é muito mais acssívl. Também xistm algumas dsvantagns, como a complxidad aprsntada pla solução fundamntal m alguns casos, assim como a mnor flxibilidad no trato d problmas d mios htrogênos inadquação na abordagm d problmas com domínios dlgados. Também é uma dsvantagm o fato d qu as matrizs do MEC rsultants após a discrtização do contorno não são simétricas bandadas. 3

48 5.. Formulação do MEC na lasticidad linar Em muitos problmas d Mcânica dos Sólidos as grandzas são xprssas m vtors, ou sja, dfin-s módulo, dirção sntido. Logo, obsrva-s problmas d campo vtorial. Esss problmas são normalmnt analisados com as sguints hipótss: considra-s o mio como sndo contínuo, homogêno, lástico, linar, isotrópico, sm açõs d domínio nas condiçõs d stacionaridad. O problma, ntão é govrnado pla Equação d Navir: Gu, G u, ( ) b 0 j kk k kj j, m Equação ( 5- ) Está quação pod sr scrita utilizando as constants d Lamé. Emprgando tais constants, a Equação d Navir é rscrita como: u, ( ) u, b 0 Equação ( 5- ) j ii i ij Uma considração qu pod sr fita é qu as cargas d domínio são nulas, ou sja: j b j = 0 Equação ( 5-3 ) D acordo com REYNA VERA-TUDELA (999), a formulação tradicional do MEC, via toria das Equaçõs Intgrais, consist m pondrar a quação 5- por uma função vtorial uj* dpois intgrá-la no domínio. Por mio d um tratamnto matmático adquado, mostrado a sguir, transforma-s sta quação intgral d domínio m uma quação intgral d contorno. Essa função uj*é intitulada d solução fundamntal. Para o problma aprsntado, la é a solução d um problma lástico corrlato, cujo domínio é infinito ou smi-infinito, ond as forças d corpo são açõs concntradas no domínio, atuando nas dirçõs coordnadas, assim: * * * u, ( ) u, b 0 Equação ( 5-4 ) j Ond as açõs singulars bj* são rprsntadas por: * j ii, X P, P i ij j b Equação ( 5-5 ) j j 33

49 Na quação 5-5, rprsnta o ponto font d aplicação da carga nquanto X rprsnta o ponto campo é a função Dlta d Dirac, para a qual s tm as sguints propridads:, X, X 0, s X Equação ( 5-6 ) f Δ(ξ, X), s X X d f X,, s Equação ( 5-7 ) Equação ( 5-8 ) Então, tomando-s a quação 5-, pondrando-a intgrando-a no domínio, tm-s a xprssão sguint: * * u j, iiu jd( ) ui, iju jd0 Equação ( 5-9 ) A sguir, utiliza-s a propridad da intgração por parts cuja strutura consist m: u j, iiv j d u j, iv j, id v j, iu j, id, Equação ( 5- ) 0 Também faz uso do Torma da Divrgência, no qual: * u u j, i id * j, u ju j, ini d Equação ( 5- ) Os ntrmios da transformação matmática da Equação d Navir (quação 5-) stão bm dfinidos na litratura (VALOTO, 0). O rsultado obtido ncontrado é aprsntado a sguir: * * Pj u j ( ) p ju j d p ju jd Equação ( 5- ) D 5-5 sab-s qu o módulo d Pj é igual à unidad. No ntanto, do modo como stá scrita a quação 5-, o somatório m j no primiro trmo do lado dirito da citada quação impd qu cada carga concntrada Pj atu indpndntmnt uma da outra. Uma nova strutura s faz ncssária. Essa tapa srá ralizada ao s adotar uma nova forma para a solução fundamntal sua drivada normal, qu passam a srm diádicas. Agora a quação passa a tr a sguint forma: C ij * * u u xp ; xdx p xu ; xdx j j ij j ij Equação ( 5- ) 3 Ond o coficint diádico Cij é introduzido m função do posicionamnto do ponto 34

50 font s situar dntro do domínio, fora dl ou xatamnt sobr o contorno. Tal coficint também introduz a possibilidad d tratamnto d contornos não suavs. O dtalhamnto matmático dst coficint stá bm xposto na litratura (VALOTO, 0) Solução fundamntal adotada A quação 5-3 é a quação intgral do Método dos Elmntos d Contorno corrspondnt à Equação difrncial d Navir. Rssalta-s qu até o momnto não foi fita nnhuma aproximação, d modo qu são xprssõs matmaticamnt quivalnts, sndo uma intgral outra difrncial. A forma m qu é aprsntada a quação 5-3 também é dita forma intgral invrsa. Para o prsnt trabalho, opta-s m usar uma função auxiliar qu rprsnta a solução d um corpo infinito carrgado com uma força concntrada unitária. Por sr assmlhada ao problma qu s dsja rsolvr, garant o bom dsmpnho numérico do método. Logo, utiliza-s a solução fundamntal d Klvin. Ela é obtida aplicando uma carga unitária m um corpo infinito lástico calculando os dslocamntos forças d suprfíci rsultants dss carrgamnto. As soluçõs fundamntais d Klvin para problmas bidimnsionais são aprsntadas por BREBBIA, TELLES WROBEL (984): 3 4 ln lk r, lrk r * u lk G, 8 Equação ( 5-4 * r p lk lk r,k r,l r,ln k r,k n l Equação ( 5- ) 4 G r n 5 Ond p*lk u*lk rprsntam as forças d suprfíci dslocamntos na dirção k dvido a uma força unitária na dirção l; r é a distância ntr o ponto font o ponto calculado; ν é o coficint d Poisson G é módulo d cisalhamnto. A figura 5- ilustra o ponto d aplicação do carrgamnto (ponto font) o ponto m qu s obtêm os rsultados d força d suprfíci dslocamnto (ponto campo) sus rspctivos ixos. ) 35

51 5- Figura 5-: (a) Componnts d dslocamnto da solução fundamntal (carrgamnto unitário na dirção x), (b) componnts d força d suprfíci da solução fundamntal (carrgamnto unitário na dirção x) A variávl r = r(, X) rprsnta a distância ntr o ponto font, d aplicação da carga o campo X. As drivadas são tomadas com rlação às coordnadas Xi. Assim, os componnts das quaçõs podm sr dfinido: r i / r r r i i Equação ( 5-6 r x r i x x r i r Equação ( 5-7 i, i Equação ( xi x r xi 5-8 ) ) ) 5.4. Cálculo das tnsõs dos dslocamntos para os pontos intrnos Sgundo Tlls [980], para o cálculo d pontos intrnos é usual comçar assumindo a dnominada Idntidad d Somigliana para quaçõs intgrais d contorno qu modlam problmas d lasticidad. Essa idntidad é dada m 5-9, qu nada mais é do qu a quação 5-3 para pontos font situados no intrior: 36

52 u * * u p ; X d p X u X d Equação ( 5-9 i j ij j ij ; Drivando-a sta última xprssão m rlação às coordnadas do ponto : ) du dx p * * X u ; X dx u X p X d X i j ij, k j ij, k ; k Equação ( 5-0 A quação 5-0 fornc as dformaçõs spcíficas qu, através da Li d Hook, prmitm ncontrar as tnsõs nos pontos intrnos. Então, pod-s scrvr dirtamnt qu a xprssão das tnsõs para os pontos intrnos é: ) * * p X u ; X d X u X p X d X ij k ijk k ijk ; Equação ( 5- Ond dfin-s como solução fundamntal: p * ijk r r r Equação ( 5-4 r * u ijk, j ik, i jk, k ij r, i r, j r, k G r r { n r r r r, k ij, j ik, i jk, k ij r r r, i, j, k n r r n r r n r r n n i, j, k j, i, k k, i, 4 n } k ij Ond as constants α, β γ aprsntam os sguints valors: j j ij j jk Equação ( 5-3 ) ) ) α =, β = 3, γ = 5, Procdimnto numérico gral A quação intgral d contorno para a lasticidad mostrada m 5-3 é rptida aqui por convniência: C ij * * u j u j xpij ; xdx p j xu ij ; xdx Equação ( 5- ) 3 Dvido ao fato dsta última xprssão tr um carátr vtorial, para um dado ponto 37

53 , duas quaçõs são gradas: C * * u C u uxp ; xdx uxp ; xdx p * * xu ; xdx p xu ; xdx 0 Equação ( 5-4 ) C * * u C u uxp ; xdx uxp ; xdx p * * xu ; xdx p xu ; xdx 0 Equação ( 5- ) 5 Para a rsolução no MEC, o próximo passo para a rsolução d um problma é a discrtização do contorno, m qu o msmo é dividido m um númro finito d lmntos uma hipóts sobr a variação das grandzas do problma ao longo dos msmos no caso: dslocamntos forças d suprfíci são admitidas.essa discrtização transforma a quação intgral m um sistma d quaçõs algébricas,qu dv sr rsolvido para obtr a solução do problma Aproximação do campo d variávis Dividido o contorno numa séri d lmntos, é prciso aproximar os dslocamntos (ui) as forças d suprfíci (pi) ao longo do lmnto, o qu é fito, inicialmnt, m trmos d intrpolação com bas nos valors nodais. u Equação ( 5- i N u i pi Equação ( 5- N pi Nas xprssõs antriors, N é o vtor das funçõs d intrpolação, ui pi são os vtors dslocamnto força do ponto nodal X. 6 7 ) ) 38

54 39 O tipo d lmnto adotado é linar. Logo, faz ncssário o uso d uma função d forma ϕ, xprssas m trmos d um sistma d coordnadas situado nas xtrmidads, conform : L x x ) ( Equação ( 5-8 ) L x x ) ( Equação ( 5-9 ) Ond L rprsnta o comprimnto do lmnto m qustão. Logo, para cada dirção, uma função é dfinida para xprssar os valors d cada parâmtro ao longo do lmnto: x u x u x u Equação ( ) x u x u x u Equação ( 5-3 ) x p x p x p Equação ( 5-3 ) x p x p x p Equação ( ) Aplicando ssa discrtização, a quação intgral fica: * * * * * * * * * * * * * * * * ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; p p p p d x u x u x u x u x u x u x u x u u u u u d x p x p x p x p x p x p x p x p u u c c c c N N Equação ( )

55 40 A quação 5-34, também pod sr scrita da sguint forma, considrando a intgração da solução fundamntal d sua drivada: p p p p G G G G G G G G u u u u H H H H H H H H u u c c c c N N Equação ( ) Assim, tomando como rfrência a matriz H, qu é obtida da intgração d pij* ao longo d um lmnto d contorno: K ij H Ond é o lmnto intgrado, K é o ponto nodal no lmnto (inicial ou final), i j são as dirçõs do diádico é o ponto font. O msmo ocorr para a matriz G. É important rssaltar qu há quaçõs singulars sndo intgradas nss procsso, porém, dmonstra-s qu ssas intgrais não são singulars. Alguns dtalhs do procdimnto d intgração não srão aprsntados nss trabalho, mas ls podm sr ncontrados na ts d VALOTO (0) Montagm do sistma matricial Substituindo m 5-3 tm-s a sguint xprssão: ) ( ) ( ) ( ) ( N j N j i i j j d d p N u u N p u C * * Equação ( ) Durant a montagm do sistma d quaçõs indicado m 5-36, cada uma das int-

56 grais srá calculada numricamnt. Est cálculo s dá através da intgração numérica unidimnsional d Gauss, qu stablc: P f ( ) d f ( i ) w i Equação ( 5-3 ) 7 i Ond ηi é a coordnada adimnsional do i-ésimo ponto d intgração, wi é o fator d pso associado ao ponto i, P é o númro total d pontos d intgração utilizado. Assim, cada intgral da quação 5-36 pod sr calculada como s sgu: j j p u * * N N NPI d * p N J d k j NPI d * u N J d k j w * J k k N k p k Equação ( w * J k k N k u k Equação ( ) ) Ond NPI são o númro d pontos d intgração d Gauss. A quação intgral discrtizada é aplicada rptidamnt, considrando o ponto situado coincidntmnt com todos os pontos nodais xistnts. Um sistma d t quaçõs algébricas é grado nvolv os t valors nodais d dslocamnto força d suprfíci. Agora, dfin-s: N j N j j j Substituindo m 5-36: N p * Nd u h u Equação ( 5-4 j 0 N u * Nd p g p Equação ( 5-4 j N C( i ) u( i ) h u g p Equação ( 5-4 j N j ) ) ) Pod-s, ntão rsumir as quaçõs d cada ponto numa forma matricial: C H ˆ u Gp Equação ( ) 4

57 Na xprssão antrior, os vtors u p contêm os valors d dslocamnto forças d suprfíci m todos os pontos nodais. A matriz C é quas diagonal (banda pquna), pod sr incorporada a H para formar: Hu Gp Equação ( Com t valors prscrito na quação 5-44 são obtidos os outros t dsconhcidos. ) 4

58 Capítulo 6- Estudo d Casos Nst capítulo srão aprsntados problmas d carrgamnto d vigas qu são comumnt ncontrados na ngnharia. Esss casos são rsolvidos analiticamnt usando a rsistência dos matriais a toria da lasticidad (caso for aplicávl). Toma-s nota qu nm todos os problmas podm sr simplsmnt simulados por um método numérico, visto qu forças como vtors não s manifstam d fato como tal numa situação ral. O qu s ncontra num contato ntr lmntos são tnsõs, como corpos, ls s dformam mutualmnt. Porém, para a anális m métodos numéricos, considra-s como s as forças d suprfíci manifstassm plo contato com um corpo infinitamnt rígido. E para simular um carrgamnto concntrado, normalmnt s considra uma força d suprfíci qu stá imposta m uma pquna ára. 6.. Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com flxão pura 6... Pla Rsistência dos Matriais Est é o caso mais simpls xaminado pla toria. A figura 6- ilustra o problma. Numa viga submtida a uma flxão pura obsrvam-s a sguints condiçõs d contorno: V(0) = 0 Condição ( 6- ) V(L) = 0 Condição ( 6- ) M(0) = M Condição ( 6-3 ) M(L) = M Condição ( 6-4 ) Também sab-s como condiçõs d dslocamnto: 43

59 6- Figura 6- Figura v(0) = 0 Condição ( 6-5 ) v(l) = 0 Condição ( 6-6 ) 6-: Viga bi apoiada com flxão pura Na figura 6- a sguir vê-s a distribuição do diagrama d momnto fltor. O diagrama d sforço cortant é nulo. 6-:Diagrama d momnto fltor para viga sob flxão pura. Rsolvndo as quaçõs 4-4-com ssas condiçõs, s obtém: V(x) = 0 Equação ( 6- ) M(x) = M Equação ( 6- ) É important dstacar qu xist um momnto constant distribuído ao longo da dirção horizontal a forma com qu l é imposto não é discutido na toria da Rsistência dos Matriais. Assim, já s prcb qu pod havr difrnças significativas ntr 44

60 o modlo matmático admitido o problma ral qu é xaminado, particularmnt no qu diz rspito à imposição d condiçõs d contorno carrgamntos localizados. Substituindo 6- m m 4-9, rspctivamnt: Substituindo 6- m 4-0: σ xx = My I Equação ( 6-3 ) σ xy = 0 Equação ( 6-4 ) y c σ yy = x V(x) 3 4bc 3 [c y ]dy ; ond x V(x) = 0 σ yy = 0 Equação ( 6-5 ) Com bas nos dados obtidos, apnas é possívl obsrvar carrgamnto horizontal sofrido pla viga. Para a flcha dss carrgamnto: Intgrando duas vzs: d v dx = EI (M) v = EI (Mx ) + C x + C Com bas nas condiçõs d contorno, obtém-s como constants: Logo: C = ML EI C = 0 v = EI (Mx MLx ) Equação ( 6-6 ) Essa quação xprim a flchas na situação proposta nssa sção. 45

61 6-3 Figura 6... Pla Toria da Elasticidad Na sção 6.. ss sistma foi analisado pla Rsistência dos Matriais. Porém, nssa sção, aplica-s o quacionamnto da Toria da Elasticidad para rsolvê-lo. O sistma consist numa viga carrgada com momntos fltors fixada m pinos localizados no mio da sção transvrsal. Not qu o sistma analisado tv suas coordnadas rfrnciais altradas facilitar a solução do problma. O sistma stá ilustrado na figura : Viga bi apoiada sujita a momntos fltors nas xtrmidads. Nss sistma são fitas as sguints condiçõs d contorno: σ y (x, c) = 0 Condição ( 6-7 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-8 ) σ y (x, c) = 0 Condição ( 6-9 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-0 ) σ xy (L/, y) = 0 Condição ( 6- ) σ xx (L/, y)ydy = M Condição ( 6- ) σ xy ( L/, y) = 0 Condição ( 6-3 ) σ xx ( L/, y)ydy = M Condição ( 6-4 ) 46

62 u( L/,0) = 0 Condição ( 6-5 ) u(l/,0) = 0 Condição ( 6-6 ) v( L/,0) = 0 Condição ( 6-7 ) Para obtr o carrgamnto dss problma, apnas é ncssário utilizar a quação 3-8, considrando a3=b3=c3=0. Obtêm-s, assim, as sguints quaçõs d distribuição d tnsõs: σ x = d 3 y Equação ( 6-7 ) σ y = 0 Equação ( 6-8 ) σ xy = 0 Equação ( 6-9 ) Aplicando a condição 6-, ncontra-s o valor d d3: d 3 = M I Equação ( 6-0 ) Lmbrando qu bc3 3 = I ond I é o momnto d inrcia. A distribuição d tnsõs horizontais fica igual à da rsistência dos matriais: σ x = My I Substituindo na quação as quaçõs obtêm-s: u = Mxy IE Equação ( 6- ) + f(y) Equação ( 6- ) v = νmy IE + g(x) Equação ( 6-3 ) Para obtr as funçõs f(y) g(x) substitui-s 6-, m 6-48: Mx IE + f y g x = 0 f y + g x = Mx IE Equação ( 6-4 ) Sparando os trmos dpndnts d x, d y indpndnts da quação 6-4 ralizando intgraçõs indfinidas chga-s a três conclusõs: f(y) = C Equação ( 6-5 ) g(x) = Mx IE + C Equação ( 6-6 ) Ond C C são constants qu srão dfinidas a sguir. 47

63 Substituindo a quação 6-5 na quação 6- substituindo a quação 6-6 na quação 6-3 ncontra-s: u = Mxy IE + C Equação ( 6-7 ) v = νmy IE + Mx IE + C Equação ( 6-8 ) Aplicando a condição 6-5 m 6-7: E finalmnt aplicando a condição 6-7 m 6-8: C = 0 Equação ( 6-9 ) Conclui-s qu: C = ML 8IE Equação ( 6-0 ) u(x, y) = M. x. y E. I Equação ( 6- ) v(x, y) = M y. (ν. E. I + x l ) Equação ( 6- ) 8 Assim, têm-s os valors d flcha dslocamnto horizontal obsrvadas m uma viga sob flxão pura. 6.. Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com carrgamnto constant 6... Pla Rsistência dos Matriais O problma stá ilustrado na figura 6-4. Em uma viga bi apoiada, xistm as sguints condiçõs d contorno: V(0) = ql Condição ( 6-8 ) 48

64 6-4 Figura V(L) = ql Também sab-s como condiçõs d dslocamnto: Condição ( 6-9 ) M(0) = 0 Condição ( 6-0 ) M(L) = 0 Condição ( 6- ) v(0) = 0 Condição ( 6- ) v(l) = 0 Condição ( 6-3 ) 6-4:Viga bi apoiada com carrgamnto constant. Os diagramas d sforço agora são dados por uma função quadrática, no caso do momnto fltor, nquanto o sforço cortant é linar, conform figura

65 6-5 Figura 6-5:Momnto fltor sforço cortant para viga biapoiada sob carrgamnto constant. Sgundo ODEN RIPPERGER (98), rsolv-s as quaçõs 4-4- com ssas condiçõs, obtndo: V(x) = ql M(x) = qlx qx Substituindo 6-4 m m 4-9, rspctivamnt: qx Equação ( 6-3 ) Equação ( 6-4 ) σ xx = 3qyL 4bc 3 (x L (x L ) ) Equação ( 6-5 ) σ xy = 3qL 4bc ( x L ) ( (y c ) ) Equação ( 6-6 ) Com bas nas quaçõs 4-, , o valor máximo das tnsõs σxx, σyy, σxy são: (σ xx )max = 3qL 6bc Equação ( 6-7 ) (σ yy )max = q b Equação ( 6-8 ) (σ xy )max = 3qL 8bc Com isso pod-s dtrminar a razão ntr as tnsõs máximas: ( σ xy σ xx ) max = c L ( σ yy σ xx ) max = 6 3 (c L ) Equação ( 6-9 ) Equação ( 6-30 ) Equação ( 6-3 ) Ao s considrar dsprzívis valors com difrnça d duas ordns d grandza ntr si, as tnsõs vrticais srão dsconsidradas quando a razão ntr altura comprimnto (c/l) for mnor qu 0,086. Para as tnsõs d cisalhamnto, ss valor srá d 0,0. Para o cálculo das dflxõs, utiliza-s a quação 4-5: Intgrando duas vzs: d v dx = EI (qlx qx 6-3 ) Equação ( ) 50

66 v = EI (qlx3 qx4 4 ) + C x + C Com bas nas condiçõs d contorno, ncontra-s: Logo: C = ql 3 EI 4 C = 0 v = EI (qlx3 qx4 4 ql3 x 4 ) Equação ( ) Essa fórmula dtrmina a flcha d uma viga biapoiada para um carrgamnto constant, conform a toria d rsistência dos matriais Pla Toria da Elasticidad Nssa sção, considra-s a toria da lasticidad. As coordnadas d rfrência foram altradas para facilitar os cálculos. O carrgamnto no qual stá submtido é constant ao longo da fac suprior possuirá uma intnsidad q. O problma foi ilustrado na figura

67 6-6 Figura 6-6: Barra biapoiada com carrgamnto constant sob novas coordnadas rfrnciais. Considra-s como condiçõs d contorno: σ y (x, c) = 0 Condição ( 6-4 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-5 ) σ y (x, c) = q Condição ( 6-6 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-7 ) σ x (L, y)dy = 0 Condição ( 6-8 ) σ xy (L, y)dy = ql Condição ( 6-9 ) σ x (L, y)ydy = 0 Condição ( 6-30 ) σ x ( L, y)dy = 0 Condição ( 6-3 ) σ xy ( L, y)dy = ql Condição ( 6-3 ) σ x ( L, y)ydy = 0 Condição ( 6-33 ) Também dv s considrar as sguints condiçõs d dslocamnto: u( L, 0) = 0 Condição ( 6-34 ) u(l, 0) = 0 Condição ( 6-35 ) 5

68 v( L, 0) = 0 Condição ( 6-36 ) Para dscobrir o comportamnto do sistma, srão utilizadas as sguints funçõs d tnsão aprsntadas na sção 3.: Utiliza-s a quação 3-7 considrando b=c=0. Assim ssa função é apnas capaz d grar comprssão ao sistma. Utiliza-s a quação 3-8 considrando a3=c3=d3=0. Isso causa um padrão d carrgamnto qu stá ilustrado na figura 3-. Utiliza-s a quação 3-0 considrando a5=b5=c5=0. Isso causa um padrão d carrgamnto qu stá ilustrado na figura Srão aplicadas nssas quaçõs as condiçõs d contorno para assim ncontrar a solução do problma. Conform as considraçõs fitas, chga-s a sguint distribuição d tnsõs: σ x = d 5 (x y 3 y3 ) Equação ( 6-34 ) σ y = d 5 3 y3 + b 3 y + a Equação ( 6-35 ) σ xy = d 5 xy b 3 x Equação ( 6-36 ) Aplicando as condiçõs 6-4 a 6-7 ncontra-s: a = q Equação ( 6-37 ) Lmbrando qu c3 3 nas quaçõs d 3-3 a 3-33 obtêm-s: b 3 = 3 q 4 c Equação ( 6-38 ) d 5 = 3 q 4 c3 Equação ( 6-39 ) = I ond I é o momnto d inrcia substituindo as constants σ x = q I (x y 3 y3 ) Equação ( 6-40 ) σ y = q I ( 3 y3 c y + 3 c3 ) Equação ( 6-4 ) σ xy = q I (c y )x Equação ( 6-4 ) As quaçõs 6-40 a 6-4 também satisfazm as dmais condiçõs d contorno, com xcção das condiçõs Para rsolvr ss problma é prciso suprpor as tnsõs da quação 3-8 novamnt, porém agora srá assumido apnas qu d3 sja difrnt d zro. 53

69 O valor dssa constant é obtido aplicando a condição 6-30: σ x ydy = [ q I (x y 3 y3 ) + d 3 y] ydy = 0 Equação ( 6-43 ) Logo: d 3 = 3 q 4 c (L c ) Equação ( 6-44 ) 5 σ x = q I (L x )y + q I ( 3 y3 5 c y) Equação ( 6-45 ) Com o valor das tnsõs obtidas, agora os dslocamntos podm sr stimados. Para isso usam-s as quaçõs 6-46 a 6-48: u y + v x = γ xy = u x = ε x = Φ E [ y ν Φ ] Equação ( 6-46 ) x v y = ε y = Φ E [ x ν Φ ] Equação ( 6-47 ) y ( + ν) ( + ν) σ E xy = E Φ x y Equação ( 6-48 ) Substituindo nas quaçõs as quaçõs 6-45, obtêm-s: u = q IE [(L x x3 3 ) y + x ( 3 y3 5 c y) + νx ( 3 y3 c y + 3 c3 )] + f(y) Equação ( 6-49 ) v = q IE {y4 c y + 3 c3 y ν [( 5 c L ) y c x + x y y4 6 ]} + g(x) Para obtr as funçõs f(y) g(x) substitui-s 6-4, m 6-48: ( + ν)q (c y )x = + δf IE δy + δg δx q IE (( 5 c L ) x + 3 x3 xy ν(c y )x) Equação ( 6-50 ) 54

70 f y + g x = q IE (c x ( 5 c L ) x 3 x3 ) Equação ( 6-5 ) A partir da quação 6-5 chga-s a duas conclusõs: f(y) = γ Equação ( 6-5 ) g(x) = q IE ((8 5 c + L ) x x4 ) + δ Equação ( 6-53 ) Aplicando a condição 6-34 na quação 6-49 substituindo na msma a quação 6-5 tm-s: q IE [(L ( L) ( L)3 3 ) 0 + ( L) ( c 0) + ν( L) ( 3 03 c c3 )] + γ = 0 γ = + qνlc3 3IE γ = qνl E Equação ( 6-54 ) 55

71 6-7 Figura Aplicando a condição 6-36 na quação 6-50 substituindo na msma a quação 6-5 tm-s: q IE {04 c c3 0 ν [( 5 c L ) 0 c ( L) + ( L) ]} q IE ((8 5 c + L ) ( L) ( L)4 ) + δ = 0 δ = 5 ql 4 4 EI c [ + 5 L (4 5 + ν )] Equação ( 6-55 ) 6.3. Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga ngastada com carrgamnto constant Pla Rsistência dos Matriais O problma pod sr rprsntado sgundo figura : Viga ngastada com carrgamnto constant. A rprsntação dss problma sgundo a distribuição dos momntos fltors sforços cortants é mostrado na figura

72 6-8 Figura 6-8: Momnto fltor sforço cortant para viga ngastada sob carrgamnto constant. Em uma viga ngastada, podm-s aplicar as sguints condiçõs d contorno: V(0) = ql Condição ( 6-37 ) V(L) = 0 Condição ( 6-38 ) M(0) = ql Também sab-s por sr uma viga ngastada: Condição ( 6-39 ) M(L) = 0 Condição ( 6-40 ) v(0) = 0 Condição ( 6-4 ) dv dx (0) = 0 Condição ( 6-4 ) Rsolvndo as quaçõs 4-4- com ssas condiçõs, s obtém: V(x) = ql qx Equação ( 6-56 ) M(x) = qlx qx ql Substituindo 6-57 m m 4-9, rspctivamnt: Equação ( 6-57 ) σ xx = 3qyL 4bc 3 ( x L (x L ) ) Equação ( 6-58 ) σ xy = 3qL 4bc ( x L ) ( (y c ) ) Equação ( 6-59 ) Com bas nas quaçõs 4-, , o valor máximo das tnsõs σxx, σyy, σxy 57

73 são: (σ xx )max = 3qL 4bc Equação ( 6-60 ) (σ yy )max = q b Equação ( 6-6 ) (σ xy )max = 3qL 4bc Com isso pod-s dtrminar a razão ntr as tnsõs máximas: ( σ xy σ xx ) max = c L ( σ yy σ xx ) max = 4 3 (c L ) Equação ( 6-6 ) Equação ( 6-63 ) Equação ( 6-64 ) Ao s considrar dsprzívis valors com difrnça d duas ordns d grandza ntr si, as tnsõs vrticais srão dsconsidradas quando a razão ntr altura comprimnto (c/l) for mnor qu 0,73. Para as tnsõs d cisalhamnto, ss valor srá d 0,0. Para o cálculo das dflxõs, utiliza-s a quação 4-5: Intgrando duas vzs: d v dx = qx (qlx EI ql ) v = EI (qlx3 qx4 4 ) + C x + C Com bas nas condiçõs d contorno, ncontra-s: Logo: C = 0 C = 0 v = EI (qlx3 6 qx4 4 ql x ) Equação ( 6-65 ) 4 Essa fórmula dtrmina a flcha d uma viga ngastada para um carrgamnto constant, conform a toria d rsistência dos matriais. 58

74 6.3.. Pla Toria da Elasticidad O problma aqui analisado foi rsolvido usando a rsistência dos matriais na sção acima. Para uma abordagm utilizando a toria da lasticidad, foram fitas algumas pqunas altraçõs na localização d algumas condiçõs d contorno, a fim d facilitar a rsolução. O problma modificado stá ilustrado na figura6-9. Obsrva-s as sguint condiçõs d contorno: σ y (x, c) = 0 Condição ( 6-43 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-44 ) σ y (x, c) = q Condição ( 6-45 ) σ xy (x, c) = 0 Condição ( 6-46 ) σ x (L, y)dy = 0 Condição ( 6-47 ) σ xy (L, y)dy = ql Condição ( 6-48 ) σ x (L, y)ydy = 0 Condição ( 6-49 ) σ x (0, y)dy = 0 Condição ( 6-50 ) σ xy (0, y)dy = 0 Condição ( 6-5 ) σ x (0, y)ydy = 0 Condição ( 6-5 ) Também dv s considrar as sguints condiçõs d dslocamnto: u(0, c) = 0 Condição ( 6-53 ) v(0,0) = 0 Condição ( 6-54 ) 59

75 6-9 Figura 6-9: Viga ngastada com carrgamnto constant. Para dscobrir o comportamnto do sistma, srão utilizadas as sguints funçõs d tnsão aprsntadas na sção 3.: Utiliza-s a quação 3-7 considrando b=c=0. Assim ssa função é apnas capaz d grar comprssão ao sistma. Utiliza-s a quação 3-8 considrando a3=c3=d3=0. Isso causa um padrão d carrgamnto qu stá ilustrado na figura3-. Utiliza-s a quação 3-0 considrando a5=b5=c5=0. Isso causa um padrão d carrgamnto qu stá ilustrado na figura As considraçõs fitas gram uma distribuição d tnsõs conform quaçõs subsqunts: σ x = d 5 (x y 3 y3 ) Equação ( 6-66 ) σ y = d 5 3 y3 + b 3 y + a Equação ( 6-67 ) σ xy = d 5 xy b 3 x Equação ( 6-68 ) Aplicando as condiçõs 6-43 a 6-46 ncontra-s: a = q Equação ( 6-69 ) b 3 = 3 q 4 c Equação ( 6-70 ) d 5 = 3 q 4 c 3 Equação ( 6-7 ) 60

76 Lmbrando qu c3 3 nas quaçõs d 6-66 a 6-68 obtêm-s: = I ond I é o momnto d inrcia substituindo as constants σ x = q I (x y 3 y3 ) Equação ( 6-7 ) σ y = q I ( 3 y3 c y + 3 c3 ) Equação ( 6-73 ) σ xy = q I (c y )x Equação ( 6-74 ) As quaçõs 6-7 a 6-74não satisfazm as condiçõs d contorno , mas satisfazm as dmais. Para rsolvr ss problma é prciso suprpor as tnsõs da quação 3-8 novamnt, porém agora srá assumido apnas qu d3 sja difrnt d zro. O valor dssa constant é obtido aplicando a condição 6-49: σ x ydy = [ q I (x y 3 y3 ) + d 3 y] ydy = 0 Equação ( 6-75 ) Logo: d 3 = 3 q 4 c (L c ) Equação ( 6-76 ) 5 σ x = q I (L x )y + q I ( 3 y3 5 c y) Equação ( 6-77 ) Com o valor das tnsõs obtidas, agora os dslocamntos podm sr stimados. Para isso usam-s as quaçõs 6-46 a Substituindo nas quaçõs as quaçõs 6-77, obtêm-s: u = q IE [(L x x3 3 ) y + x ( 3 y3 5 c y) v = q IE {y4 c y + 3 c3 y + νx ( 3 y3 c y + 3 c3 )] + f(y) ν [( 5 c L ) y c x + x y y4 6 ]} + g(x) Equação ( 6-78 ) Equação ( 6-79 ) 6

77 Para obtr as funçõs f(y) g(x) substitui-s 6-74, m 6-48: ( + ν)q (c y )x = + δf IE δy + δg δx q IE (( 5 c L ) x + 3 x3 xy ν(c y )x) f y + g x = q IE (c x ( 5 c L ) x 3 x3 ) Equação ( 6-80 ) A partir da quação 6-80 chga-s a duas conclusõs: f(y) = γ Equação ( 6-8 ) g(x) = q IE ((8 5 c + L ) x x4 ) + δ Equação ( 6-8 ) Aplicando a condição 6-53na quação 6-78 substituindo na msma a quação 6-8 tm-s: q IE [(L (0) (0)3 3 ) 0 + (0) ( c 0) + ν(0) ( 3 03 c c3 )] + γ = 0 γ = 0 Equação ( 6-83 ) Aplicando a condição 6-54 na quação 6-79 substituindo na msma a quação 6-8 tm-s: q IE {04 c c3 0 ν [( 5 c 0 ) 0 c (0) + (0) ]} q IE ((8 5 c + L ) (0) (0)4 ) + δ = 0 δ = 0 Equação ( 6-84 ) 6

78 6-0 Figura 6.4. Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga bi apoiada com carga concntrada Pla Rsistência dos Matriais O problma stá ilustrado na figura abaixo: 6-0: Viga bi apoiada comcarga constant Numa viga submtida a uma flxão pura obsrvar-s a sguints condiçõs d contorno: V(0) = P V(L) = P Condição ( 6-55 ) Condição ( 6-56 ) M(0) = 0 Condição ( 6-57 ) M(L/) = PL 4 Condição ( 6-58 ) M(L) = 0 Condição ( 6-59 ) Também ncontram-s as sguints condiçõs d dslocamnto: v(0) = 0 Condição ( ) 63

79 6- Figura v(l) = 0 Condição ( 6-6 A figura 6-ilustra os diagramas d sforço simpls, qu nst caso já são mais laborados. ) 6-: Momnto fltor sforço cortant para viga biapoiada sob carrgamnto concntrado. Com as funçõs são dscontinuas, srá ncssário usar as funçõs d Macaulay(HI- BBELER, 003) para xprssar o carrgamnto o momnto ao longo da horizontal: V(x) = P x 0 P x L 0 + P x L 0 Equação ( 6-85 ) M(x) = P x P x L + P x L Equação ( 6-86 ) Substituindo 6-86 m m 4-9, rspctivamnt: σ xx = Py I ( x x L + σ xy = 3P 4bc ( (y c ) ) ( x 0 x L 0 + Substituindo 6-85 m 4-0: σ yy = P b 3 4 (y c ) + 4 (y c ) 3 ( x x L + x L ) Equação ( 6-87 ) x L 0 ) Equação ( 6-88 ) x L ) Equação ( 6-89 ) 64

80 Com bas nas quaçõs 6-87, , o valor máximo das tnsõs σxx, σyy, σxy são: (σ xx )max = 3PL Equação ( 6-90 ) 8bc (σ yy )max = P L b (σ xy )max = 3P 8bc Equação ( 6-9 ) Equação ( 6-9 ) Obsrva-s qu apnas para a quação 6-9 a unidad d PL é força por comprimnto. Com isso pod-s dtrminar a razão ntr as tnsõs máximas: ( σ xy σ xx ) max = c L ( σ yy σ xx ) max = 8 3 c P L L P Equação ( 6-93 ) Equação ( 6-94 ) Ao s considrar dsprzívis valors com difrnça d duas ordns d grandza ntr si, as tnsõs d cisalhamnto srão dsconsidradas quando a razão ntr altura comprimnto (c/l) for mnor qu 0,0. Porém, com bas na quação 6-94, as tnsõs d comprssão não podm sr dsprzadas caso a distribuição da força P ao longo do comprimnto for muito concntrada. Srá ncssário, portanto, uma anális do comportamnto dssa carga ao longo do ixo horizontal. Para avaliar o dslocamnto da linha lástica, a quação 4-5 srá usada: Intgrando duas vzs: d v dx = EI (P x P x L + P x L ) v = EI ( P x 3 P 6 x L 3 + P x L 3 ) + C x + C Com as condiçõs d dslocamnto, chga-s a: C = PL 6EI C = 0 65

81 Então: v = EI ( P x 3 P 6 x L 3 + P x L 3 PL 6-9 x) Equação ( 6EI 5 Essa xprssão dfin a flcha sofrida por uma viga biapoiada submtida a um carrgamnto concntrado, sgundo a rsistência dos matriais. ) Pla Toria da Elasticidad Inflizmnt, não é possívl implmntar d modo viávl uma condição d carrgamnto concntrado na Toria da Elasticidad com condiçõs d contorno tais como s aprsntam no problma proposto. Na litratura ncontrada, a toria da lasticidad consgu avaliar os fitos localizados d uma força aplicada m arstas horizontais opostas, grando tnsõs infinitas m um ponto spcifico. A solução aprsntada por Timoshnko utiliza funçõs na forma d somatórios infinitos d snos cossnos, mas gra raçõs binárias nos apoios. Cab rssaltar qu é possívl fazr a anális para uma viga ngastada, visto qu é possívl prscrvr uma distribuição d tnsão cisalhant na fac livr qu irá simular satisfatoriamnt uma carga concntrada na vrtical Anális d tnsõs dslocamntos para uma viga ngastada com carrgamnto concntrado Pla Rsistência dos Matriais O problma stá ilustrado na figura 6-: Nssa situação, podm-s aplicar as sguints condiçõs d contorno: V(0) = P Condição ( 6-6 ) 66

82 6- Figura Também sab-s por sr uma viga ngastada: V(L) = P Condição ( 6-63 ) M(0) = PL Condição ( 6-64 ) M(L) = 0 Condição ( 6-65 ) v(0) = 0 Condição ( v x (0) = 0 Condição ( ) ) 6-: Viga ngastada com carrgamnto concntrado. Em trmos d sforços simpls, a distribuição dos momntos fltors sforços cortants é similar à do xmplo antrior, conform mostra a figura