Achar a solução geral de cada uma das seguintes equações, sendo dada uma solução particular:

Transcrição

1 3 ; Rs 9 ; 9 Rs _ Achar a solução gral d cada uma das sguints quaçõs sndo dada uma solução articular: ; solução articular ; ; solução articular 33 Equaçõs Difrnciais Linars d ª Ordm Equaçõs difrnciais linars d sgunda ordm são quaçõs da forma d d f h d d ond f g h são funçõs dfinidas num intrvalo I Para simlificar a scrita usarmos a notação f h Também vamos considrar o orador difrncial linar L f Em gral ara L f tmos i L L L ii L L ; or isso o orador é chamado linar Assim quando rsolvmos a quação f h dtrminamos as funçõs qu satisfazm L h Torma 33: Torma d Eistência Unicidad O roblma d valor inicial 95

2 " f ' h a ' b ara f g h contínuas no intrvalo abrto I intrvalo I a b rais tm uma única solução nss A dmonstração dss torma od sr ncontrada m KREIDER DL KULLER RG & OSTBERG DR Equaçõs Difrnciais Edgard Bluchr São Paulo Equaçõs linars homogênas Uma quação difrncial linar d sgunda ordm é homogêna EDOLH quando h isto é od sr scrita como L : f Obsrvação 33: É imortant obsrvarmos as sguints corrsondências: oscilaçõs livrs sm forças trnas quaçõs homogênas oscilaçõs forçadas quaçõs não homogênas Obsrvação 33: Toda EDOLH admit como solução Por sta razão é chamada d solução trivial Torma 33: Princíio d Surosição S são duas soluçõs d uma EDOLH ntão qualqur combinação linar com constants também é solução Dmonstração: Sjam soluçõs d uma EDOLH L Então L L Pla linaridad tmos L L L Logo também é solução d L ara quaisqur Obsrvação 333: aso articular do Princíio d Surosição S é uma solução d uma EDOLH ntão qualqur múltilo também o é Emlo 33: As funçõs 3 são soluçõs da EDOLH 3 Emlo 33: A artir das soluçõs do mlo antrior usando o Princíio d Surosição odmos construir uma família d soluçõs ara a quação 3 : 96

3 3 Emlo 333: onsidrando o PVI a família no PVI: 3 " ' 3 ' 3 odmos dtrminar d modo a satisfazr as condiçõs iniciais dadas Encontramos ; a solução do PVI é 9 3 > od : diff *diff 3*; d od : d d 3 > dsolvdo; _ 3 _ > ci : D-3; ics : D -3 > dsolv{doci}; 3 9 Obsrvação 33: D forma simlificada odmos dizr qu duas funçõs são ditas linarmnt indndnts s uma não for um múltilo da outra aso contrário são ditas linarmnt dndnts Obsrvação 335: S k ntão a combinação linar k é da forma ou sja a função é totalmnt dsncssária na combinação linar OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Um sistma fundamntal d soluçõs ara uma EDOLH d ª ordm é um ar d soluçõs linarmnt indndnts Emlo 33: O conjunto { cos sn} é um sistma fundamntal d soluçõs ara a EDOLH ; ortanto a artir d uma combinação linar obtmos a solução gral cos sn > do : diff; 97

4 > dsolvdo; d do : d _ sin _ cos Emlo 335: Dada a quação 6 vamos rocurar uma solução na forma sclarcido or qu na forma d onncial Substituindo na EDOLH obtmos: mais tard ficará 6 ou sja 6 ; como > a condição ara qu algébrica: sja solução da EDOLH 6 é qu sja raiz da quação 6 Assim um sistma fundamntal d soluçõs ara ssa quação é { - } Obsrvação 336: É imortant obsrvarmos qu o sistma fundamntal d soluçõs d uma EDOLH não é único No d soluçõs ara a msma EDOLH: mlo antrior odmos obtr outro sistma fundamntal { } 3 Emlo 336: O conjunto { } ntrtanto { snh} 3 cosh snh é um sistma fundamntal d soluçõs ara a EDOLH ; cosh é outro sistma fundamntal d soluçõs ara ssa msma EDOLH ois cosh snh Portanto tmos formas altrnativas d rrsntar a solução gral: cosh snh 98

5 Agora vamos gnralizar a situação do mlo 336 Dada uma EDOLH f s ncontrarmos duas soluçõs linarmnt indndnts ntão odrmos obtr todas as dmais soluçõs fazndo surosição Por isso é chamada d solução gral da EDOLH d ª ordm Sja uma solução articular da quação 3 Sjam as constants a b dfinidas or a b OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Vamos considrar o PVI rocurar s istm tais qu " ' 3 a ' b a ; 3 b ss sistma linar é comatívl dtrminado Rsolvndo o sistma ncontramos 3a b 3 a b Assim 3a b a b são soluçõs do PVI; mas lo Torma d Eistência Unicidad a solução do PVI é única Então concluímos qu 3 3a b a b qu toda solução articular da EDOLH 3 é da forma 3 Para um sistma linar sr ossívl dtrminado o dtrminant da matriz rincial dv sr difrnt d zro; ortanto conform mlificamos acima o dtrminant dt ' ' dsmnha um al fundamntal nssa toria El é conhcido or Wronskiano Então dadas duas funçõs o Wronskiano dssas funçõs é dfinido como o dtrminant W dt ' ' Emlo 337: Dadas t 3t o Wronskiano é: W t 3 t 3t 5t dt t 3t 99

6 Torma 33: S são linarmnt dndnts ntão o Wronskiano dssas funçõs é nulo Dmonstração: Suonhamos qu sjam linarmnt dndnts Suonhamos qu Dssa forma tmos qu a sgunda coluna do Wronskiano é um múltilo da rimira ortanto ss dtrminant s anula ara qualqur Obsrvação 337: O torma acima também od sr nunciado assim: s o Wronskiano d for difrnt d zro ntão são linarmnt indndnts Obsrvação 338: A rcíroca do torma 33 não é vrdadira: s duas funçõs são linarmnt indndnts nada odmos concluir sobr o Wronskiano OBSERVAÇÕES IMPORTANTES As funçõs são ditas linarmnt indndnts s somnt s a quação imlica qu Torma 333: Duas funçõs soluçõs d uma msma EDOLH são linarmnt dndnts s somnt s o su Wronskiano é nulo Dmonstração: Suonhamos soluçõs da EDOLH f tais qu W Prcisamos mostrar qu são linarmnt dndnts Fimos no intrvalo d dfinição das funçõs A hióts W imlica qu o sistma ' ' tm solução não trivial Agora suonhamos uma solução não nula dss sistma algébrico sja a função Plo Princíio d surosição tmos qu é uma solução d f Mas o sistma acima nos diz qu ' ntão como solução trivial é uma solução do PVI " f ' ' lo Torma d Eistência Unicidad Podmos assim concluir qu sm qu as constants sjam simultanamnt nulas Sgu daí qu são linarmnt dndnts

7 Obsrvação 339: Através dss torma dmonstramos qu s W m um onto do intrvalo d dfinição d duas funçõs ntão ssas funçõs são linarmnt dndnts omo consqüência s form duas soluçõs linarmnt indndnts d uma EDOLH o sistma algébrico ' é smr ossívl dtrminado ortanto toda solução do PVI é da forma ' " f ' a ' b Torma 33: S são duas soluçõs linarmnt indndnts d uma EDOLH f ntão toda solução dssa quação é da forma ou sja é a solução gral da EDO Dmonstração: Lista d rcícios 33 Torma 335: Torma d Abl Sjam duas soluçõs d uma EDOLH f sja W dt ' ' W f W o su wronskiano Então W satisfaz a EDOLH d ª ordm Dmonstração: Suonhamos qu sjam duas soluçõs da EDOLH f qu W sja o su wronskiano Então: W W Então W f W f f f orolário: Sjam duas soluçõs d uma EDOLH f o W su wronskiano ntão uma das sguints altrnativas é válida:

8 I ou W ; II ou W ara todo Não ist a ossibilidad do wronskiano s anular ara alguns valors d sr difrnt d zro ara outros valors d Dmonstração: W W f W Plo Torma d Abl é solução da quação Essa quação é uma quação d variávis f d sarávis cuja solução é W omo a função onncial é smr difrnt d zro tmos duas ossibilidads: I S ntão W ou II s ntão W ara todo ATIVIDADES Lista Vr mlos E57 ao E6 no aêndic V Dmonstrar o torma 33 S mostrar qu W 3 Provar qu são linarmnt indndnts smr qu são númros rais distintos Mostrar qu são soluçõs da quação ; mostrar também qu são linarmnt indndnts sn 5 Mostrar qu cos são soluçõs linarmnt indndnts da quação " ' 3 Dtrminação d uma Solução Linarmnt Indndnt a Outra Solução Não Trivial d uma EDOLH Dada uma solução ara a EDOLH f odmos dtrminar uma sgunda solução da forma v indndnt D fato tmos d modo qu { } sja linarmnt

9 v ' v ' ' v" v ' v ; " ' " substituindo sss rsultados na quação sgu qu: v" " v ' v f v ' v v ' " ' omo qurmos dtrminar v scrvmos ' v f v' " qu é uma EDOLH d sgunda ordm sm trmo m v ortanto od sr rdutívl à rimira ordm Emlo 3: S sn é uma solução da EDOLH " ' dtrminar uma sgunda solução linarmnt indndnt a A solução rocurada é da forma: v alculando as drivadas : v ' v ' ' v" v ' v " ' " substituindo na quação dada tmos: v" v ' v ' " ' Nssa quação o coficint d v é nulo ois é solução da quação dada Assim v" v ' ' Substituindo ou sn ' cos sn trmos cos sn sn sn v" v' sn v" cos v' 3

10 Assim foi obtida uma quação qu odrmos rduzir fazndo v z a uma quação d rimira ordm: sn z cos z Então sarando as variávis intgrando dtrminamos d z z cos d sn Escolhndo a constant arbitrária A tmos: lnz lnsn A finalmnt: z csc v csc v csc d tg B Escolhndo novamnt a constant d intgração B dtrminamos uma sgunda solução linarmnt indndnt à rimira: ATIVIDADES sn cos cos sn Lista 3 S é uma solução da EDOLH linarmnt indndnt a dtrminar uma sgunda solução Rs: ln S é uma solução da EDOLH dtrminar uma sgunda solução linarmnt indndnt a Rs: 3 Dtrminar a solução gral da quação sabndo qu é solução dssa quação Rs: Dtrminar a solução gral da quação sabndo qu é solução dssa quação

11 Rs: 5 Dtrminar a solução gral da quação d d sabndo qu dt dt t é solução dssa quação 6 As quaçõs d Eulr são quaçõs qu odm sr scritas como com a b constants Mostrar qu d a d b d tal qu d é uma solução da quação d Eulr s só s a b ; ssa quação é chamada quação indicial da quação d Eulr 35 EDOLH com oficints onstants Vamos considrar L com constants Então L Assim uma EDOLH com coficints constants L od tr solução da forma raiz da quação algébrica dsd qu sja chamada d quação caractrística Emlo 35: Dada a quação 3 a quação caractrística é 3 qu tm raízs rais Então trmos duas soluçõs linarmnt indndnts Torma 35: Para rsolvr uma EDOLH d sgunda ordm da forma L rimiro dtrminamos as raízs da quação caractrística A solução gral da quação L od sr rssa m trmos d conform sgu: 5

12 Raízs da Equação aractrística Solução Gral Rais distintas Rais rtidas omlas a bi a a bi cos b snb Obsrvação 35: S a quação caractrística tm raiz ral dula significa qu o discriminant dssa quação d º grau é nulo ou sja Portanto tmos uma solução onncial A sgunda solução linarmnt indndnt da rimira srá dada or v Substituindo na quação difrncial obtmos v d ond Escolhndo A B dtrminamos v A B Emlo 35: Rsolvr a quação D Essa quação od sr scrita como A quação caractrística é qu tm raízs caractrísticas Portanto a solução gral é > do : diff -*; > dsolvdo; d do : d _ _ Emlo 353: A quação D D tm or quação caractrística com raiz d multilicidad Portanto a solução gral é > do : diff*diff *; do : d d d 6

13 > dsolvdo; _ _ OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Rvisão sobr onnciais comlas Para z i / tmos inicialmnt z i Porém 3 i i i i! 3! d ond: Acima tmos nvolvidas as séris d 3 5 i i!! 3! 5! cos sn Assim obtmos a dnominada Fórmula d Eulr : i cos i sn Dfinimos a sguir a onncial ara z i / : z i i cos i sn cos i sn Obsrvação 35: S a quação caractrística tm raízs comlas a bi a bi odmos dfinir duas soluçõs linarmnt indndnts: a bi a ib a a cosb i snb a bi a ib a a cosb i snb Usando o Princíio d Surosição odmos tomar convnints combinaçõs linars obtr duas soluçõs linarmnt indndnts rais: a 3 cosb i snb a Emlo 35: Rsolvr a quação 3 A quação caractrística é 3 qu tm raízs comlas 3i 3i Portanto a solução gral é cos3 sn3 7

14 > do : diff*diff 3*; > dsolvdo; do : d d 3 d _ sin 3 _ cos 3 Obsrvação 353: Dvmos star atntos ao fato d qu as raízs comlas d um olinômio ral ocorrm smr aos ars conjugados Obsrvação 35: Uma solução cosb snb ond são constants arbitrárias od sr scrita m trmos d outras constants arbitrárias como snb ois sn b sn cosb cos snb sndo sn cos Essa rssão altrnativa é imortant ara algumas alicaçõs orqu nvolv uma snóid submtida a um dslocamnto horizontal ATIVIDADES Lista 35 - Vr mlos E6 ao E7 no aêndic V Dtrminar a solução gral d cada uma das sguints quaçõs difrnciais:

15 5 3 6 Rsostas: > do : 3*diff*diff ; > dsolvdo; do : 3 d d d 3 > do : diff*diff 8*; > dsolvdo; d do : d d 8 _ sin _ cos > do3 : diffdiff -*; > dsolvdo3; d do3 : d d d > do : diff*diff ; > dsolvdo; d do : d d > do5 : diff-*diff *; > dsolvdo5; do5 : d d d _ sin _ cos > do6 : diff*diff *; do6 : d d d 9

16 > dsolvdo6; _ sin 3 _ cos 3 > do7 : 9*diff6*diff ; > dsolvdo7; d do7 : 9 6 d d 3 3 > do8 : *diff-*sqrt*diff ; > dsolvdo8; d do8 : d d > do9 : *diff-*diff 3*; > dsolvdo9; d do9 : d d 3 _ sin _ cos > do : *diff-5*sqrt3*diff 6*; > dsolvdo; d do : 5 3 d d Dtrminar as soluçõs dos roblmas d valor inicial: ; 3 ; ; 3

17 ; 5 9 ; 7 Rsostas: > do : 6*diff8*diff5* ; d do : 6 8 d d 5 > ci : D-; ci : D - > dsolv{doci}; cos > do : diff*diff 3*; d do : d d 3 > ci : D-; ci : D - > dsolv{doci}; 3 sin 3 > do3 : diff-*sqrt5*diff 5*; d do3 : 5 d d 5 > ci3 : D3; ci3 : D 3 > dsolv{do3ci3}; 5 3 > do : diff* ; > ci : D*sqrt; d do : d ci : D

18 > dsolv{doci}; sin cos > do5 : *diff-*diff 9*; > ci5 : D7/; d do5 : d d 9 7 ci5 : D > dsolv{do5ci5}; 3 3 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES No comço do caítulo fizmos rfrência a algumas alicaçõs das quaçõs difrnciais; como foi ossívl obsrvar algumas quaçõs qu dscrviam dtrminados fnômnos ram quaçõs linars d ª ordm Assim agora farmos algumas considraçõs sobr a modlagm d três sistmas muito imortants ond dois dos três são govrnados la msma quação difrncial d ª ordm Pêndulo Simls d Vlocidad angular dt d L dt Vlocidad

19 d Enrgia cinética: m L dt Enrgia otncial: L L cos mg Princiio d consrvação d nrgia: ENERGIA INÉTIA ENERGIA POTENIAL TE Drivando ssa rssão trmos: ml cos Lmg TE dt Lm d Lmgsn d d dt dt dt Para oscilaçõs d quna amlitud tmos quação não linar dt L d g sn sn : d dt g L quação linar ircuito RL dq I Q carga I corrnt variam com o tmo dt Q difrnça d otncial ntr as lacas do caacitor 3

20 Alicando a rgra das malhas ao circuito rcorrndo-o no sntido horário a artir da batria: dq di Et L R I dt dt d I di L R I Et dt dt Sistma Massa Mola F m F t d v força d rsistência dt F cos t força trna F k força rstauradora d um sistma harmônico simls omo ss sistma é mais comlo dvmos somar à força rstauradora d um SHS uma força trna a força d rsistência: d F cos rst k F t i dt Pla ª Li d Nwton tmos: F ma ii omo i ii: d d cos m k F t dt dt

21 d d m k F cos t Assim o PVI dt dt ' v tm solução única OBSERVAÇÕES IMPORTANTES omo o sistma massa mola o circuito RL são govrnados matmaticamnt la msma quação difrncial odmos fazr simulaçõs d oscilaçõs mcânicas m circuitos létricos com as corrsondências: m L R k OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Todas as noçõs studadas nst caítulo odm sr gnralizadas ara EDOLH d ordm maior qu dois Por mlo o wronskiano d n funçõs n é dfinido or 3 n ' ' ' ' 3 n " " " " W dt 3 n : : : : n n n n 3 n As funçõs n são ditas linarmnt indndnts s somnt s a quação nn imlica qu n As n funçõs srão ditas linarmnt dndnts s não form linarmnt indndnts isto é s uma dlas for combinação linar das dmais O Princíio d Surosição fica assim nunciado: S são n soluçõs d uma EDOLH d n -ésima ordm n n n fn f ' f ntão qualqur combinação linar n n também é solução dssa quação 5

22 Torma d Abl : Sjam n n soluçõs d uma EDOLH d ordm n f f ' f n n n Então o W satisfaz a EDOLH d ª ordm W f W ATIVIDADES Dtrminar a solução gral d cada uma das sguints quaçõs difrnciais: iv 5 D Rsostas: > do : diff3*diff-*diff-3* ; d 3 d do : d 3 3 d d d 3 > dsolvdo; _3 3 > do : diff5*diff-8*diff-* ; > dsolvdo; d 3 d do : d d d 6 _3 > do3 : diff3*diff*diff3* ; d 3 d do3 : d 3 3 d d d 3 6

23 > dsolvdo3; _ 3 _ sin _3 cos > do : diff ; > dsolvdo; d do : d _ 3 3 _ 6 > do5 : diff ; > dsolvdo5; d do5 : d _ sin _ sin _3 _ cos cos 7

24 36 Equaçõs Linars não Homogênas Sja o orador difrncial linar L f ' a quação difrncial linar d sgunda ordm não homogêna L q A quação difrncial homogêna associada à quação L q srá: L Sjam uma solução articular da quação não homogêna homogêna corrsondnt Então a solução gral da quação L L L L q q Portanto odmos concluir qu são soluçõs da quação não homogêna Rcirocamnt qualqur solução da quação não homogêna é uma solução da quação homogêna D fato: L L L L q q Assim odmos afirmar qu istm constants arbitrárias tais qu: consqüntmnt é a família das soluçõs da quação não homogêna Essas considraçõs são scritas formalmnt através da dmonstração do torma abaio Torma 36: Sja uma solução da quação não homogêna f ' q Sjam soluçõs fundamntais da quação homogêna corrsondnt Então a solução gral da quação não homogêna f ' q é Dmonstração: Sja uma solução qualqur da quação f ' q uma solução articular dssa quação Então Y é solução da quação homogêna associada f ' 8

25 ois Y f Y Y f f f q q Assim s soluçõs fundamntais da quação f ' istm constants tais qu Y ou sja Obsrvação 36: Para dtrminarmos a solução gral d uma quação linar d ª ordm não homogêna rcisamos d uma solução articular dssa quação duas soluçõs fundamntais da quação homogêna corrsondnt Obsrvação 36: A solução da quação homogêna associada também od sr chamada d função comlmntar Torma 36: Princíio d Surosição ara Equaçõs Não homogênas Sja uma solução da quação f ' q uma solução da quação f ' g q Então é solução da quação f ' q q Dmonstração: Sja com solução d f ' q solução d f ' g q ntão f f f f q q 36 Dtrminação d soluçõs articulars d quaçõs não homogênas com coficints constants lo método dos coficints a dtrminar O método dos coficints a dtrminar é um método ara ncontrar uma solução articular d um EDO linar não homogêna com coficints constants; assim odmos dizr qu uma das limitaçõs dss método é a rstrição qu a quação dv sr uma EDOL com coficints constants Além disso o trmo não homogêno dv sr uma 9

26 combinação d olinômios onnciais snos /ou cossnos Porém asar dssas rstriçõs smr qu for alicávl é rfrívl aos dmais or sr um método qu não nvolv intgraçõs uramnt algébrico Dada uma quação da forma q com R ss método od sr rsumido como sgu: n a i S q a a a ond a a i R dvmos rocurar uma solução articular da forma: n r n a K K K n com r o mnor intiro não ngativo tal qu nnhuma arcla d sja solução da quação homogêna associada K i n são coficints a srm dtrminados com a substituição d na quação dada i ii S q n a a a n ond i R a dvmos rocurar uma solução articular da forma r n K K K n com r o mnor intiro não ngativo tal qu nnhuma arcla d sja solução da quação homogêna associada K i n são coficints a srm dtrminados com a substituição d na quação dada i n a m a iii S q a a an cos b b b bm snb ond a i b i R dvmos rocurar uma solução articular da forma [ A A A cos b B B B snb] r s a s a s s com s ma{ n m} r o mnor intiro não ngativo tal qu nnhuma arcla d sja solução da quação homogêna associada A i n são coficints a srm dtrminados com a substituição d na quação dada i Bi Obsrvação 36: Podmos dizr qu o método consist: rimiramnt na dtrminação d uma rlação básica com os trmos d q os qu aarcm or drivação dos msmos; dois a dtrminação dos coficints da rlação básica através da idntidad rsultant com a substituição da rlação básica na quação Obsrvação 36: A rlação básica dv sr modificada quando um trmo d q é também um trmo da função comlmntar Por mlo s um trmo v d q também é um trmo da função comlmntar corrsondnt a uma raiz d multilicidad dvmos acrscntar na rlação básica v mais os trmos qu aarcm or drivação dst Obsrvação 363: Quando um trmo d q é r v v é um trmo da função comlmntar corrsondnt a uma raiz d multilicidad dvmos acrscntar na rlação básica r v mais os trmos qu aarcm or drivação dst

27 Obsrvação 36: Ess método também é chamado método dos coficints indtrminados Emlo 36: Rsolvr a quação difrncial 5 ' 6 5 A quação caractrística é 5 6 cujas raízs são 3 ara a qual duas soluçõs linarmnt indndnts da quação homogêna associada são 3 Vamos dtrminar uma solução articular da forma K ond K é um coficint a sr dtrminado Substituindo suas drivadas na quação difrncial tmos K 5 K ' 6K 5 Assim K uma solução articular da EDO é K K 6K 5 ; a solução gral é > q:diff5*diff6*5**; 3 > dsolvq; d q : 5 d d _ _ t Emlo 36: Dtrminar uma solução articular ara a quação difrncial ' 3 Agora dvmos ncontrar: tal qu Pla linaridad tmos: L t tal qu L 3 ; dois fazmos t L L L L 3 Quando rocuramos da forma K t Substituindo na quação L t tmos K t K K k at Na EDO L 3 qt é da forma qt K a Assim dvmos rocuramos uma solução articular

28 da forma K Substituindo na quação L 3 tmos K 3 ou sja 3 k 3 Finalmnt uma solução articular da EDO é t 3 > q:diffttt-difftt-*t*t-3; > dsolvqt; d q : t d dt t t t 3 dt t t _ t _ t 3 Emlo 363: Achar a solução da quação difrncial 5 ' 5 3 A quação caractrística é 5 qu tm raiz dula 5 Dvmos dtrminar uma solução 5 articular tal qu K Tmos: ' K 5K K K K 3 Substituindo na quação dada ncontramos K ; ortanto obtmos: > q3:diff-*diff5*3*5*; > dsolvq3; d q3 : d d _ 5 3 _ 5 Emlo 36: Rsolvr a quação difrncial 3t ' 3 t A quação caractrística 3 tm raízs 3 Duas soluçõs linarmnt indndnts da quação homogêna associada são 3t ara ' 3 t : 3t t Inicialmnt vamos dtrminar uma solução articular Drivando obtmos: Kt K t Kt Kt 3 t 3t ' 3Kt K 3K t K 3t

29 9 Kt K 9 K t K 6 K 3t Substituindo na quação dtrminamos K K Portanto: 3t t t Agora dvmos achar uma solução articular ara a quação ' 3 Tomando K com K constant ncontramos 3 Dsta forma uma solução articular ara a quação dada inicialmnt é: 3t t t 3 Finalmnt a solução gral srá: t t > q:diffttt-*difftt3*tt*3*t; 3 3t t 3t > dsolvqt; d q : t dt t dt 3 t t 3t t t _ 3t _ 3 6t 3 6t 3t > simlif%; t t _ 3t _ 3t 3t 3 t 8 t 3t Emlo 365: Encontrar uma solução articular ara a quação difrncial t 3 ' A quação caractrística é 3 cujas raízs são A função comlmntar é dada t t or Pla obsrvação 36 trmos com Kt K t t K 3 t 3

30 > q5:diffttt-3*difftt*t*t; > dsolvq5t; d q5 : t 3 dt t dt t t t t _ t _ t Emlo 366: Rsolvr a quação difrncial ' 3 sn Tmos q sn Também sabmos qu q é a art imaginária d uma onncial comla: i i cos i sn Assim é convnint considrarmos uma nova quação: z i z' z 3 a fim d tornarmos os cálculos mais ráticos A quação caractrística tanto da quação dada quanto dssa nova quação é a msma : com raízs ± i A raiz i é um raiz simls da quação caractrística ortanto odmos rocurar uma solução articular da forma alculando as drivadas d K z z substituindo na nova quação obtmos: 3 K K 3 omo é raiz da quação caractrística o coficint d acima é nulo rsultando: Substituindo i 3 K 3 K 3 i i

31 Logo 3i 3i cos sn i z i onsidrando o orador linar L D D associado a EDO tmos: 3 sn 3 cos L i 3 cos 3i sn ois la roridad d linaridad: 3 sn 3 cos L il 3 cos 3i sn omo a igualdad acima é uma igualdad ntr númros comlos obtmos: 3 sn L 3 cos Dssa sgunda igualdad 3 cos L 3 sn 3 cos 3 cos ortanto a solução gral é cos sn Emlo 367: Dtrminar a solução gral d ' t Nss caso forma q t t t mas zro é raiz simls da quação caractrística Então srá da t Kt K t K t Kt K t K t substituindo suas drivadas na quação agruando os trmos obtmos: 5

32 6K t t K 3Kt K t K 3 3K 6K K K K 3 A solução dss sistma algébrico é K K K 3 3 Uma solução articular da EDO é 3 3 t t t a solução gral: 3 3 t t t t > q7:diffttt-diffttt^; > dsolvq7t; d q7 : t d dt t t dt t t t 3 t _ t _ 3 3' 5 Emlo 368: Rsolvr o roblma d valor inicial ' 3 > q8:diffttt3*difftt*t5; > ci:-d-3; > dsolv{q8ci}; d q8 : t 3 dt t dt t 5 ci : - D -3 5 t 3 t t 6

33 ATIVIDADES Lista 36 Dtrminar uma solução articular ara as sguints quaçõs usando do método dos coficints a dtrminar: t t t ' 5 cos t t snt Rs: t t ' 5 5 cost snt Rs: t t 5t snt t cos t 3 ' t cos t Rs: t snt t cos t sin 3 _ cos 3 _ 3 Rs: 5 3sn cos Rs: 7 sin cos sin 5 5 cos Rsolvr os roblmas d valor inicial a sguir: n t t t t sin t cos t 8 Rs: 3 5 t t ' 5 cost t t sin t t cos t Rs: t cos t sin t t 7

34 8 36 Dtrminação d soluçõs articulars d quaçõs não homogênas lo método d variação dos arâmtros Est método od sr alicado a qualqur quação linar d sgunda ordm ' q g f ara a qual s conhça a solução gral da quação homogêna corrsondnt: com [ ] W ara no intrvalo d validad d O método consist m dtrminar uma solução articular da quação não homogêna qu tnha a forma da solução gral da quação homogêna associada; ara tal substituímos os arâmtros constants or funçõs a srm dtrminadas Assim vamos rocurar uma solução articular da forma com a condição ou quivalntmnt Então Substituindo na quação tmos: f q g qu odmos scrvr g f q g f ; ortanto também satisfazm a quação

35 q Assim obtmos o sistma d quaçõs linars ara : q Ess sistma od sr scrito matricialmnt na forma q com solução: q W[ ] q W[ ] q Dsta forma obtmos duas quaçõs difrnciais d ª ordm com soluçõs substituídas m rsctivamnt qu nos rmitm scrvr uma solução articular: Emlo 36: Rsolvr a EDO D D A quação caractrística é cujas raízs são Então a função comlmntar od sr scrita como: Assim vamos rocurar uma solução articular da forma: Nss caso é obtido o sistma d quaçõs: 9

36 com solução: Intgrando as igualdads acima obtmos: d d ln d d d ond ln A solução da quação od sr scrita como ln ln Emlo 36: Rsolvr 3 > do:diff-*diff3*-^-; > dsolvdo; d do : d d 3 3 ln 3 ln 3 ln ATIVIDADES Lista 36 Dtrminar uma solução articular ara as sguints quaçõs através do método d variação dos arâmtros: sc Rs: cosln cos sn 3 D D csct 3

37 Rs: cost lnsnt tsnt lncsctcott 3 sn Rs: sn D Rs: 3t 6D 9 t 3t lnt 5 6 Rs: OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Os métodos studados acima odm sr gnralizados ara EDO não homogênas com ordm maior do qu dois A EDO D D 5 7sn t qu rrsnta oscilaçõs forçadas num sistma massa-mola tm solução cos 3 t cos t t sn t t sn t ; ssa solução é a rsosta do sistma à força trna 7sn t ; as constants dndm das condiçõs t t iniciais; o trmo t snt é chamado d art transint da solução; dvido à rsnça cos da onncial a art transint tnd a zro quando t ; assim aós crto tmo odmos afirmar qu cos t 3sn t rsosta ; or sta razão ss trmo é chamado d art stacionária da 3