Funções Trigonométricas

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1 Funçõs Trigonométricas META: Introduzir as principais funçõs trigonométricas: sno, cossno tangnt. AULA 7 OBJETIVOS: Dfinir as funçõs sno, cossno tangnt. Mostrar algumas idntidads trigonométricas. Calcular os valors das funçõs sno, cossno tangnt para alguns ângulos. PRÉ-REQUISITOS O aluno para acompanhar sta aula, é ncssário qu tnha comprndido todos os casos d smlhança d triângulos as propridads d ângulos inscritos m um círculo.

2 Funçõs Trigonométricas 7.1 Introdução Olá caro aluno, spro qu stja curtindo a litura. Nsta aula irmos iniciar nosso studo da funçõs trigonométricas. O studo dstas funçõs d suas aplicaçõs é dnominado trigonomtria. A trigonomtria iniciou-s como studo das aplicaçõs, a problmas práticos, das rlaçõs ntr os lados d um triângulo. Algumas funçõs ram historicamnt comuns, mas agora são raramnt usadas, como a corda, qu m notação atual é dada por crdθ =2sin(θ/2). Hoj as funçõs trigonométricas mais conhcidas são as funçõs sno, cossno tangnt. D fato, as funçõs sno cossno são as funçõs principais, visto qu todas as outras podm sr colocadas m trmos dstas. Nsta aula vrmos como utilizar smlhança d triângulo para dfinir as funçõs trigonométricas, bm como provrar algumas d suas principais propridads. Vrmos também como calcular alguns valors dstas funçõs tomando triângulo rtângulos particulars. 7.2 Funçõs Trigonométricas Considr um smicírculo d cntro P diâmtro AB. Tom um ponto C do smicírculo faça α = C ˆPB. Sja D um ponto d AB tal qu CD sja prpndicular a AB. Dfinição 7.1. a) Chama-s sno do ângulo α, dnotamos por sn α, ao quocint sn α = CD PC. b) Chama-s d cossno do ângulo α, dnotamos por cos α, ao quocint cos α = PD s 0 α 90 PC ou cos α = PD PC s 90 α

3 Gomtria Euclidiana Plana c) Chama-s d tangnt do ângulo α, dnotamos por tan α ao quocint tan α = sn α cos α. AULA 7 Figura 7.1: Obsrvação: D acordo com as dfiniçõs acima podmos dduzir os sguints valors sn 0 =0, sn 90 =1, sn 180 =0, cos 0 =1, cos 90 =0, cos 180 = 1 tan 0 = tan 180 =0. Além disso, a tangnt não stá dfinida para α =90. Proposição O sno cossno indpndm do smi-círculo utilizado para dfiní-los. Dmonstração D fato, s tmos dois smi-círculos como na figura abaixo tomamos C C tais qu C ˆPD = C ˆP D = α, ntão os triângulos PDC P D C, rtângulos m D D, rspctivamnt, são smlhants (Por quê?). Assim, Portanto, C P CP = C D CD = P D PD. sn α = CD CP = C D C P cos α = PD PC = P D P C. 135

4 Funçõs Trigonométricas Figura 7.2: Torma 7.1. Para todo ângulo α tmos sn α 2 +cosα 2 =1. Dmonstração S α =0, , o rsultado é imdiato, plo qu vimos antriormnt. Nos outros casos, considr a figura 7.2. Assim, ( ) 2 ( ) 2 PD CD sn 2 α +cos 2 α = + = PD2 + CD 2 PC PC PC 2 = PC 2 PC 2. Nsta trcira igualdad usamos o Torma d Pitágoras. Logo, sn 2 α +cos 2 α = Fórmulas d Rdução Os próximos rsultados irão nos prmir calcular os valors d alguns ângulos a partir d outros. Torma 7.2. S α é um ângulo agudo, ntão a) sn (90 α) =cosα b) cos(90 α) =sn α c) tan(90 α) = 1 tan α 136

5 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.3: Dmonstração Considr a figura abaixo. Como os triângulos PFE PDC são rtos m F D, a soma dos ângulos agudos d um triângulo rtângulo é 90, sgu qu PFE CDP são congrunts. Em particular, PD PE = PC PE = DC PF. Logo, sn (90 α) = EF PE = PD PC =cosα, cos(90 α) = PF PE = DC PC = sn α, tan(90 α) = sn (90 α) cos(90 α) = cos α sn α = 1 tan α. Torma 7.3. Para todo α tmos a) sn (180 α) =sn α b) cos(180 α) = cos α Dmonstração Para α =0, 90 ou 180, sgu dirtamnt. Considr a figura abaixo. Como ants, mostramos qu PDC = 137

6 Funçõs Trigonométricas Figura 7.4: PFE, o qu implica qu sn (180 α) = EF PE = CD PC = sn α cos(180 α) = PF PE = PD = cos α. PC Como α 90, ntão α ou 180 α é agudo o outro obtuso. Isto implica qu cos α cos(180 α) têm sinais contrários. Exrcício 7.1. Mostr qu s ABC é um triângulo rtângulo m C, ntão BC = ABsn Â, AC = AB cos  BC = AC tan Â. Proposição a) sn 45 = 1 2, cos 45 = 1 2 tan 45 =1 b) sn 30 = 1 2, cos 30 = Dmonstração 3 2 tan 30 = 1 3. a) Sja ABC um triângulo rtângulo m Ĉ com AC = BC. Então  = ˆB =45, já qu a soma dos ângulos intrnos d um triângulo é 180. O Torma d Pitágoras implica qu AB 2 = AC 2 + BC 2 =2AC 2 138

7 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.5: assim, AC = AB 2. Logo, sn 45 = cos 45 = CB AB = AB/ 2 AB = 1. 2 A tangnt é obtida pla simpls divisão dos valors do sno cossno. b) Sja ABC um triângulo quilátro. Considr D o ponto médio d AC. Daí, D ˆBC =30, plo Torma d Pitágoras CD = BC 2. Portanto, sn 30 = CD BC = BC/2 BC = 1 2, cos 30 = 1 (sn 30 ) 2 = tan 30 = =

8 Funçõs Trigonométricas Usando o Torma 7.28 as fórmulas d rdução, podmos calcular os valors do sno cossno dos ângulos 60, 120, Dixamos como xrcício. 7.4 Li dos Cossnos Torma 7.4. Sja ABC um triângulo. Então AB 2 = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Dmonstração S Ĉ =90, ntão não tmos nada a fazr, já qu cos 90 =0, nst caso, a fórmula rduz-s ao Torma d Pitágoras. Suponha qu Ĉ 90. Sja D o pé da prpndicular da altura do vértic A. Como Ĉ 90, ntão C D. S D = B, ntão ˆB =90. Nst caso cos Ĉ = BC AC AC 2 = AB 2 + BC 2, o qu implica qu AB 2 = AC 2 BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC 2 = AC 2 + BC 2 2BC AC cos Ĉ, qu é o rsultado dsjado. Suponha agora qu D B C. Nst caso, ADB ADC são triângulos rtângulos m ˆD. Plo Torma d Pitágoras, AB 2 = AD 2 + DB 2 140

9 Gomtria Euclidiana Plana AC 2 = AD 2 + DC 2. AULA 7 Subtraindo, obtmos AB 2 AC 2 = DB 2 DC 2 qu é quivalnt a AB 2 = AC 2 + DB 2 DC 2. (7.5) Tmos três casos a considrar. Caso 1: B C D. Figura 7.6: Nst caso, BD = BC + CD. Assim, da quação (7.5), obtmos AB 2 = AC 2 +(BC + CD) 2 DC 2 Além disso, = AC 2 + BC 2 + CD 2 +2BC CD CD 2 = AC 2 + BC 2 +2BC CD. CD cos AĈD = AC cos AĈB = cos(180 AĈB)= cos AĈD. Logo, AB 2 = AC 2 + BC 2 +2BC AC cos Ĉ. 141

10 Funçõs Trigonométricas Figura 7.7: Caso 2: B D C. Nst caso, BC = BD + DC cos Ĉ = DC AC. Assim, a quação (7.5) implica qu AB 2 = AC 2 +(BC DC) 2 DC 2 Caso 3: C B D. = AC 2 + BC 2 + DC 2 2BC DC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC DC = AC 2 + BC 2 2AC BC cos Ĉ. Nst último caso, tmos qu CD = CB + BD CD = AC cos Ĉ dond, da quação (7.5) sgu qu AB 2 = AC 2 +(CD BC) 2 DC 2 = AC 2 + CD 2 + BC 2 2CD BC DC 2 = AC 2 + BC 2 2BC CD = AC 2 + BC 2 2ACBC cos Ĉ. 142

11 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.8: Portanto, fica dmonstrada a Li dos Cossnos. 7.5 Li dos Snos Torma 7.5. Sja ABC um triângulo. Então sn  sn ˆB = BC AC = sn Ĉ AB = 1 2R, ond R é o raio do círculo circunscrito no triângulo ABC. Dmonstração Considr o círuclo d cntro P raio R qu circunscrv o triângulo. Sja D um ponto do círculo tal qu BD é um diâmtro. Tmos dois casos, A C stão no msmo lado d BD ou m lados opostos. S A C stão m lados opostos d BD, ntão BÂC = B ˆDC, por srm ângulos inscritos no círculo qu subntnd o msmo arco. S A C stão no msmo lado d BD, ntão ABDC é um quadrilátro inscrito no círuclo. Então, pla Proposição 6.24, tmos CÂB + C ˆDB = 180. Em ambos os casos, sn BÂC = sn B ˆDC. Como BCD é rtângulo m C, já qu stá inscrito m um smi-círculo, sgu qu sn  = sn BÂC = sn B ˆDC = DC BD = DC 2R. 143

12 Funçõs Trigonométricas Figura 7.9: Da msma forma, mostramos qu sn ˆB = AC 2R Disto sgu o rsultado. DC sn Ĉ = 2R. Torma 7.6. Sjam α β ângulos agudos. Então a) cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β b) sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. Dmonstração a) Considr um ângulo d mdida α+β vértic P. Trac uma smi-rta S PH qu divid o ângulo m dois ângulos d mdidas α β. Trac uma prpndicular a S PH qu intrcpta os lados do ângulo α + β m A B. Sjam PH = h, PB = b, PA = a, BH = n AH = m. Pla Li dos Cossnos tmos qu (m + n) 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α + β), (7.6) 144

13 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Figura 7.10: m 2 = a 2 + h 2 2ah cos α (7.7) n 2 = b 2 + h 2 2bh cos β. (7.8) Além disso, cos α = h a cos β = h b. Portanto, h 2 = ab cos α cos β ah cos α = bh cos β = ab cos α cos β. Logo, d (7.7) (7.8) obtmos m 2 = a 2 ab cos α cos β (7.9) n 2 = b 2 ab cos α cos β. (7.10) 145

14 Funçõs Trigonométricas Além disso, sn α = m a sn β = n b qu junto com (7.9) (7.10), implica m (m + n) 2 = m 2 + n 2 +2mn = a 2 ab cos α cos β + b 2 ab cos α cos β +2absn αsn β = a 2 + b 2 2ab cos α cos β +2absn αsn β. Comparando com (7.6) obtmos qu cos(α + β) =cosαcos β sn αsn β. b) Nas condiçõs do ítm a), obtmos qu  =90 α. Isto implica qu, plo Torma 7.2, sn  = sn (90 α) =cosα. (7.11) Pla Li dos Snos, tmos sn (α + β) m + n o qu implica m = sn  b sn α m = sn  h, sn (α + β) = m b sn  + n sn  (7.12) b sn  = h sn α. (7.13) m Substituindo (7.13) no primiro trmo do sgundo mmbro d (7.12) (7.11) no sgundo trmo do sgundo mmbro d (7.13), obtmos sn (α + β) = h b sn α + n b cos α. (7.14) Porém, sn β = n b cos β = h b, qu substituindo m (7.14), obtmos sn (α + β) =sn α cos β +cosαsn β. 146

15 Gomtria Euclidiana Plana AULA 7 Corolário 7.1. S α>β,ntão a) cos(α β) =cosα cos β + sn αsn β. b) sn (α = β) =sn α cos β cos αsn β. Dmonstração No torma antrior, faça α + β = a α = b. Rsolva o sistma cos a =cosb cos(a b) sn b sn (a b), sn a = sn b cos(a b)+cosb sn (a b) para ncontrar cos(a b) sn(a b). 147

16 Funçõs Trigonométricas RESUMO Nsta aula nós vimos como dfinir as funçõs trigonométricas como utilizar smlhança d triângulos para mostrar qu las stão bm dfinidas. Mostramos algumas fórmulas d rdução, as Lis dos Cossnos a Li dos Snos, idntidads trigonmétricas muito útil nas aplicaçõs. Além disso, também calculamos alguns valors das funçõs trigonométricas, por xmplo, para os ângulos 30, PRÓXIMA AULA Na próxima aula irmos dfinir a noção d ára mostrar como calcular a ára d algumas figuras gométricas. ATIVIDADES 1. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB, rspctivamnt, ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CD sabndo qu AD =1, qu α =30 β = Quando o sol stá 30 acima do horizont, qual o comprimnto da sombra projtada por um difício d 50 mtros? 3. Um barco stá ancorado no mio d um lago. Uma longa strada rtilína acompanha part d sua margm. Dois amigos m passio turístico obsrvam o barco d um ponto na strada anotam qu a rta daqul ponto ao barco forma um ângulo d 45 com a strada. Após viajarm 5 km ls 148

17 Gomtria Euclidiana Plana param anotam qu agora podm vr o barco sgundo um ângulo d 30 com a strada. Com sta informação calcul a distância do barco à strada. AULA 7 4. Um parqu d divrsõs dsja construir um scorrgador gigant cujo ponto d partida fiqu a 20m d altura. As normas d sgurança xigm qu o ângulo do scorrgador com a horizontal sja d, no máximo, 45. Qual srá o comprimnto mínimo do scorrgador? 5. Achar o comprimnto da corda d um círculo d 20cm d raio subtndida por um ângulo cntral d Do topo d um farol, 40m acima do nívl do mar, o faroliro vê um navio sgundo um ângulo (d dprssão) d 15. Qual a distância do navio ao farol? 7. Mostr qu o prímtro d um polígono rgular inscrito m um círculo d raio R é p n =2Rnsn ( ) 180 n. 8. Num triângulo ABC tm-s AC =23, Â =20 Ĉ = 140. Dtrmin a altura do vértic B. 9. O qu é maior: (a) sn 55 ou cos 55? (b) sn 40 ou cos 40? (c) tan 15 ou cot 15? 10. As funçõs scant, coscant cotangnt d um ângulo α são dfinidas por sc α =1/ cos α, csc α =1/sn α cot α = 1/ tan α. Para qualqur ângulo α difrnt d zro 180 mostr qu: (a) sn α csc α + cos α sc α =1. (b) tan α +cotα = sc α csc α. (c) sc α = sn α(cot α +tanα). 149

18 Funçõs Trigonométricas (d) sc 2 α csc 2 α =tan 2 α cot 2 α. cos α () 1 sn α = 1+sn α cos α. (f) sn 4 α cos 4 α =2sn 2 α Calcul cos 105, cos 15 sn Mostr qu s α β são ângulos agudos ntão tan α +tanβ (a) tan(α + β) = 1 tan α tan β cot α cot β 1 (b) cot(α + β) = cot α +cotβ. 13. Em um triângulo ABC, m qu todos os ângulos são agudos, a altura do vértic C forma com os lados CA CB rspctivamnt ângulos α β. Sja D o pé da altura do vértic C. Calcul AD, BD, AC CB sabndo qu AD = Mostr qu cos θ 1+cosθ 2 = Mostr qu tan θ 2 = 1 cos θ sn θ. LEITURA COMPLEMENTAR 1. BARBOSA, J. L. M., Gomtria Euclidiana Plana. SBM. 2. EUCLIDES, Os Elmntos. Unsp. Tradução: Irinu Bicudo. 3. GREENBERG, M. J., Euclidan and Non-Euclidan Gomtris: Dvlopmnt and History. Third Edition. W. H. Frman. 4. POGORELOV, A. V., Gomtria Elmntal. MIR. 5. MOISE, E. E., Elmntary Gomtry from an Advancd Standpoint. Third dition. Addison-Wsly. 150