FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

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1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO º GRAU OU FUNÇÃO AFIM - Dfinição Dnoina-s função o º grau ou afi) a toa função o tipo f) = a+b co a * b. Eplos a) f) = 6 a = b = -6) b) = - + a = - b = ) c) f) = 5 a = 5 b = -) ) 5 a = /5 b = -/) Notas: ª) Doínio a função afi é o conjunto os rais. ª) Conjunto iag é o conjunto os rais. ª) O gráfico é ua rta. ª) O gráfico intrcpta o io as abscissas, 0) o io as ornaas 0, ). 5ª) Quano b = 0, a função o º grau é noinaa particularnt função linar [f) = a] cujo gráfico passa pla orig os ios cartsiano. Eplos: a) f) = a = b = 0) b) = -5 a = -5 b = 0) c) f) = / a = / b = 0) - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM OU DO º GRAU O gráfico ua função o º grau é rprsntao por ua rta.

2 - CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM Coo o gráfico a função afi é ua rta, prcisaos apnas ois pontos istintos para construir a sa, pois, ao stuaros gotria, vrificaos qu, ois pontos istintos trina ua única rta, logo, atribuíos ois valors arbitrários para a variávl inpnnt, sguia, obtos os valors a variávl pnnt. Obsrv o plo abaio: - Construir o gráfico a função f) =., ) 0-0, -), ) f) = f0) =.0 = - f) =. = EXERCÍCIO 0- E caa função abaio, trin: a) O oínio. b) O conjunto iag. c) O gráfico. ) Os pontos qu o gráfico intrcpta os ios os os. a) f) = b) = - + c) f) = ) = - Solução: a) f) = -

3 a.) D = a.) I = a.), ) 0-0, -) -, -) f) = f0) =.0 = 0 = - valor nuérico a função) f) =. = = - p p a.) f 0 ).0 rais a função p 0, ) ) p, 0 ) b) = - + b.) D = b) I =

4 b.), ) 0 0, ), ) f) = - + f0) = 0 + = 0 + = f) = - + = p P 0 b.) f 0 ) 0 raiz a função p 0, ) ) p, 0 ) c) f) = função intia) c.) D = c) I = c.), ) 0 0 0, 0), ) f) = f0) = 0

5 f) = 0.) P0, 0) orig os ios) ) f) = -.) D =.) I =.) f) = - f0) = -.0 = 0 f) = -. = -, ) 0 0 0, 0) -, -) p 0 -.) P0, 0) orig os ios)

6 Obsrvaçõs: ª) Na rta f) = a + b, o valor o coficint a variávl inpnnt, no caso a, é noinao Coficint Angular, sno trinao pla tangnt o ângulo qu a rta fora co o io positivo os a = tg ) no sntio antihorário. Est coficint rprsnta ua variação na variávl pnnt ) ocasionao por ua oificação ocorria na variávl inpnnt ). O valor b é noinao Coficint Linar, qu quival à istância a orig ao ponto on o gráfico intrcpta o io-. ª) E rlação à rta f) = tos a = b = * Coo a = tg, tos: tg = = arctg 6º ª) E rlação à rta f) = - + tos a = - b =. 0 * Coo a = tg, tos: tg = - = arctg -) 5º ª) A função f) = aprsnta o coficint angular positivo a = ), logo, é ua função crscnt [ > f ) > f ) ou < f ) < f )]. Já, a função f) = - +, aprsnta o coficint angular ngativo a = -), logo, é ua função crscnt [ > f ) < f ) ou < f ) > f )].

7 - ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO º GRAU Já vios qu stuar o sinal ua função significa ncontrar os valors qu a torna positiva, ngativa ou nula. Então, vaos rsolvr o sguint probla: - Estu o sinal caa função abaio: a) f) = b) f) = - + Solução: a) f) = - Vrifica-s s o valor a é positivo ou ngativo. Nst caso, a é positivo a = ). - Calcula-s a raiz a função. f) = - = 0 =

8 E outras palavras, izos qu, s assuir qualqur valor aior qu ois, a função f) srá spr positiva; s assuir qualqur valor nor qu ois, a função srá spr ngativa, s assuir o valor, a função srá nula. b) f) = - + Mso procinto o antrior. ) a < 0 ) =

9 - INEQUAÇÕES DO º GRAU.- Dfinição É toa sntnça atática abrta o tipo a + b > 0, a + b < 0, a + b 0 a + b 0 co a b a 0. Eplos: a) 6 > 0 b) - + < 0 c) 0 ) ) + ).- + ) 0 f) 0.- Rsolução Já rsolvos alguas inquaçõs o º grau quano o stuo o oínio ua função, ntão, ncontros o conjunto solução as inquaçõs acia. a) 6 > 0 > 6 > S = { / > } ou ], +) O Outra anira rsolvr 6 > 0 - Transfora-s nua função o º grau, sguia, stua-s o sinal a sa. f) = Dtrina-s o sinal a.

10 a = a > 0 - Calcula-s a raiz: 6 = 0 = - Esquatiza-s o rsultao: c/a -) /a +) O Obsrva-s qu a função aprsnta rsultao positivo f) > 0), quano assuir qualqur valor aior ou igual a. Então, o conjunto solução é S = { / > } ou ], +). b) - + < 0 Sno a ngativo -), v-s ultiplicar toa a inquação por -, consqüntnt, troca-s toos os sinais, inclusiv a inquação. - + < 0 -) > 0 > > / > / S = { / > /} ou ]/, +) / 0 c) 0 0/ 0 S = { / 0} ou -, 0]

11 - 0 ) ) X 5 S = { / 5} ou -, 5] - 5 ) + ).- + ) 0 Inquação prouto) - Spara-s uas funçõs, sguia stua-s o sinal caa ua. f) = + g) = - + ) a = a > 0 ) a = - a < 0 ) + = 0 ) - + = 0 = - = c /a - /a ) f) g) f.g) Coo os valors a inquação vrão sr positivos ou nulos 0), tos:

12 V = { / - } ou [-, ] 8 f) 0 Inquação quocint) - Utiliza-s o so procsso a inquação prouto, isto é, spara-s uas funçõs, sguia stua-s o sinal caa ua. f) = + g) = ) a = a > 0 ) a = - a < 0 ) + = 0 ) = - = * Sno raiz o noinaor vos cluí-la a rsposta ). ) - f) g) f/g) Coo os valors a inquação vrão sr ngativos ou nulos 0), tos: V = { / - ou } ou -, -] U ], +)

13 ESTUDO DA RETA Introução Obsrvaos no stuo sobr função o º grau qu, através ois pontos istintos, construíos o gráfico a sa, no caso, ua rta. Agora, utilizano sss pontos, vaos ncontrar a quação qu rprsnta ssa rta. Contuo, ants trinaros a quação a rta, vaos vrificar coo s calcula a istância ntr ois pontos P, ) P, ), sguia, o ponto éio u sgnto. Obsrv o gráfico abaio: P = - P = - A 0 var iação var iação Nl, surg u triângulo rtângulo P ÂP. Logo, utilizano o Tora Pitágoras o quarao a hipotnusa é igual a soa os quaraos os cattos), ncontraos a fórula qu possibilita o cálculo o valor a istância) ntr os pontos P P :

14 Eplos: 0- Encontrar a istância ntr os sguints pontos: a), ) B0, 6) b) C-, 5) D, -) c) E6, ) F-, ) Solução: a) 8 ) ) 0, ), AB AB AB AB B A b) ) 6 ) ) 5 5 ), 5 ), CD CD CD CD D C

15 E 6, ) F, ) 6 EF c) EF ) 6 EF ) 8 ) EF Daos os pontos P, ), Q, ) S0, ): a) Vrifiqu s PQ + QS > PS + QS. b) Traçar as rtas qu passa plos pontos P Q, plos pontos P S, no so plano catsiano. Solução: a) PQ QS PS PQ + QS = 5 PS + QS = Logo, PQ + QS é nor qu PS + QS..

16 b) Q S PQ P PS 0 0- U inivíuo prograou ua viag férias co a faília saino a cia A para a cia C co paraa obrigatória na cia B. Vrificou no apa a localização caa cia figura abaio). Sabno qu co o tanqu cobustívl su carro chio 70 litros) consgu roar torno 80 k. Prgunta-s: o inivíuo po fazr a viag s abastcr na cia B? k) 50 0 C70,0) 0 0 B0,0) 0 k) A 0, 0) Solução:.) Cálculo a istância o ponto A até o B.

17 A 0,0 ) B 0,0 ) CD CD CD 0 ) 0 ) CD k.) Cálculo a istância o ponto B até o C. B 0,0 ) B 70,0 ) CD CD CD 0 ) 0 ) CD k.) Soano as istâncias, tos, aproiaant, 8 k..) Plo rsultao total 8 k), vrifica-s qu o inivíuo t qu abastcr na cia B. 0- Suponha qu na figura acia, AB BC rprsnta cabos létricos instalaos o ponto A ao ponto C passano por B. S o prço cobrao por tro linar A até B for R$,50 B até C R$ 6,0. a) Qual o custo total a instalação o cabo?

18 b) S a ívia for paga à vista, há u sconto 5%. Então, qual srá o custo total a instalação s a ívia for quitaa ants o inicio a obra? c) Sguno o contrato, s acontcr atraso no paganto srá cobrao ua ulta,5% cia o total. Então, caso acontça o atraso, qual srá o valor a ívia? Solução: a) a.) Coo a istância A até B é, aproiaant, 6 k, tos: 6 k = tros,50 = 6.000,00 a.) A istância B até C é, aproiaant, 5 k, tos: 5 k = tros 6.0 = ,00 a.) O custo total Ct) srá, Ct = C AB + C BC = ,00 b) ,5 = ,00 sconto) , ,00 = 8.500,00 custo total após o sconto) c) ,5 = 56.50,00 ulta) , ,00 = ,00 custo total co atraso) 0- Calcul o prítro a figura abaio.

19 Solução: Para ncontrar o prítro ua figura, vos soar os valors sus laos, logo, nss caso, vaos ncontrar a soa as ias os laos o triângulo qu aparc na figura. Para isso, ncssitaos calcular as istâncias ntr os vértics o triângulo AB, BC CA. Sno A, ), B6, ) C, 5) os vértics, tos: Após o aprnizao o cálculo a istância ntr ois pontos, vaos vrificar, através o gráfico abaio, coo s trina o ponto éio u sgnto. Plo tora Tals, tos: MP M P MP M P, coo MP M P =, tos: k k k BC AC AB 5 ) 5 6 )

20 Logo, o ponto éio é, M. * Nota-s qu os valors a abscissa a ornaa o ponto éio o sgnto AB, são calculaos pla éia aritética as abscissas as ornaas sss pontos. Eplos: 0- Encontr o ponto éio o sgnto A6, 5) B-, ), rprsntano-o graficant. Solução: ), 5 6 5, 6, M 0- Calcul os valors p q, sno M, -) o ponto éio o sgnto Ap, ) B-6, q). Solução:

21 :,, 6 6,, tos Coo q p q p 8 6 q q p p EQUAÇÕES DE RETA A partir ss onto, vaos utilizar alguns procssos para ncontrar a quação ua rta. Priirant, partios para as finiçõs Inclinação Dclivia Coficint Angular) ua rta não paralla aos ios. Obsrv o gráfico abaio. Dnoinaos Inclinação ua rta ao ângulo ) forao pla intrscção la, co o io-, no sntio anti-horário. Chaa-s Dclivia ou Coficint Angular a) o valor a tangnt ss ângulo a = tg ). S o ângulo prtncr ao º quarant 0 o 90 o ), o valor a

22 clivia srá positiva, ntrtanto, s stivr no º quarant 90 o 80 o ), srá ngativa. Obsrv no gráfico o surginto u triângulo rtângulo ACB. E gotria, ao stuaros as razõs trigonoétricas, constataos qu a tangnt u ângulo aguo u triângulo rtângulo é a razão ntr o catto oposto o catto ajacnt a ss ângulo, logo, o Coficint Angular é ao pla fórula: a Tg BC AC Eplos: 0- Ua trinaa rta fora u ângulo 60º co o io-, no sntio antihorário. Dtrin: a) O valor a inclinação. b) O valor o coficint angular. Solução: a) A inclinação é o ângulo qu a rta fora co o io-, ou sja, 60º. b) O coficint angular é a tangnt a inclinação, nss caso, a = tg 60º =. 0- Calcul o coficint angular clivia) a rta abaio:

23 Solução: Coo a inclinação é 5º, a clivia a rta r é a = tg 5º = -tg 5º a = Dtrin o coficint angular a inclinação caa rta trinaa plos pontos abaio: a) A, 6) B-, ) b) C-, ) D-, 8) Solução: a) A, 6) B-, ) ),6 º 6 ) 6 6 inclinação arctg tg invrsa rica trigonoét função arctga tg a clivia ou angular coficint a b) C-, ) D-, 8) ) º 0 º 76 ) ) 8 8 inclinação arctg tg invrsa rica trigonoét função arctga tg a clivia a

24 A partir ss onto, vaos ncontrar as quaçõs rta. Equação a rta qu passa por u ponto t a, coo clivia coficint angular). Iagin ua rta r, prtncnt a u sista coornaas cartsianas ortogonais, qu passa por u ponto A, ) aprsnta o coficint angular tg = a, confor o gráfico abaio. Ao stuaros Gotria, vrificaos qu ua rta é trinaa por ois pontos, portanto, utilizos u ponto B, ifrnt A, prtncnt à rta, para ncontraros a quação a sa. Pla rlação trigonoétrica no triangulo rtângulo, tos: Tg Tg, coo tg a coficint angular ), tos : a. ) a ) a ) A quação acia rprsnta a quação a rta qu passa por u ponto A, ) t, tg = a, coo clivia coficint angular) a sa.

25 Eplo: - Encontr a quação a rta qu passa plo ponto P,) aprsnta coficint angular igual a. Solução: Utilizano a fórula = a. - ), tos: =. - ) = 6 + = ) Igualano a zro a quação acia, tos: = = 0 ou - - = 0 ) A quação ) é noinaa quação ruzia a rta = A + B) a ), quação gral a rta A + B + C = 0). Equação a rta qu passa por ois pontos Obsrv o gráfico abaio. Para ncontrar a quação a rta qu passa plos pontos A, ) B, ), vos calcular, inicialnt, o valor o coficint angular através a fórula a, sguia, substituir na fórula a ) ou aplicar a.. fórula )

26 Eplo: - Dtrinar a quação a rta rprsntaa plo gráfico. Obsrv qu a rta passa plos pontos A, ) B, 6), logo: ) 0 ) ). ). ). 6 ) gral quação ou ruzia quação

27 Equação sgntária ua rta Agora qu vrificaos coo s trina a quação a rta nas foras ruzia gral, vaos vrificar os procintos para trinar a quação a rta na fora sgntária. Sja r, ua rta não paralla aos ios qu passa plos pontos A, 0) B 0, n), on 0 n 0. Vaos trinar a quação gral a sa utilizano a fórula - = a. ). - Calculano o coficint angular. a n 0 0 n - Encontrano a quação gral a rta. 0 a. ) n. ) n n n n 0 quação gral a rta ) - A partir a quação gral ncontraa, vaos trinar quação sgntária a sa. n n 0 n n n ) n quação sgntári a a rta )) Eplo: Encontr a quação sgntária a rta r: = 0. Inicialnt, vos trinar a intrscção a sa co os ios, coo sgu:

28 ) Quano a rta intrcpta o io-, o valor a abscissa val zro = 0), logo: = = 0 = - 0, -) ponto qu a rta intrcpta o io-. ) Quano a rta intrcpta o io-, o valor a ornaa val zro = 0), logo: = = 0 = / /, 0) ponto qu a rta intrcpta o io-. A quação sgntária é. n Obsrv qu n é a ornaa o ponto on a rta intrcpta o io-, é a abscissa o ponto on a rta intrcpta o io-. Graficant tos: Equaçõs paraétricas ua rta Quano ncontraos ua quação a rta na fora sista at ct b co a 0 ou c 0, noinaos quaçõs paraétricas ua rta. Eplo - Vrificar s o sista t t Isolano t na quação = t. rprsnta a rta r: - 7 = 0.

29 t t t Substituino o valor t na quação = t t Coo, o sista rprsnta a rta r, aos o no, ao so, quaçõs paraétricas a rta. 0- Dê a quação a rta qu passa plo ponto A-, ) fora co o io-, no sntio anti-horário, u ângulo 0º. Solução: Utilizano a fórula ) a, tos: ) 0 ). ) ). )) º. 0 gral fora ou ruzia fora tg 0- Os pontos A0, 5) B-, ) prtnc a rta r. Dtrin sua quação.

30 5 Solução: ) ) ) 5 0 ou a 0- Os pontos A-, ) B0, 5) prtnc a rta r. Encontr sua inclinação. Solução: angular coficint a ) Agora, s ua rta stivr paralla a u os ios cartsianos, coo ficará sua quação?

31 Para rsponr ss qustionanto, vaos vrificar os ois casos: º- Quano a rta r stivr paralla ao io- ou prpnicular ao io-): nss caso, o coficint angular é b finio su valor é igual a 0 tg 0 = 0). Logo, poos aplicar a quação a ). º- Quano a rta r stivr paralla ao io- ou prpnicular ao io-): nss caso, o coficint angular não stá finio tg 90º). Logo, não poos aplicar a quação a ). Poré, ua rta vrtical ao io-, caractrizas por aprsntar toos os sus pontos a sa abscissa, logo, sua quação é aa por =.

32 Rspostas: a) = b) = - c) = ) = - Notas: ª) para vrificar s u ponto prtnc a ua rta, vos substituir suas coornaas na quação constatar s a iguala prvalc. Eplo: - Vrifiqu s os pontos A, -) B-, 5), prtnc à rta + = 0. Solução: Substituino A, -) na quação + = 0, tos: -) + = = 0 = 0 F) Obsrv qu a proposição é falsa, logo, A, -) não prtnc à rta. Substituino B-, 5) na quação + = 0, tos: = = = 0 0 = 0 V) Nss caso, a proposição é vraira, logo, B-, 5) prtnc à rta. ª) Para ncontrar o ponto intrscção ntr uas rtas, vos rsolvr o sista forao plas quaçõs as sas. Eplo: - Encontr o ponto on as rtas + = 0 = - 6 s intrcpta.

33 Solução: Rsolvno o sista. 6 0 ) ) Substituin o, tos : 6 ) Substituino = ) ou ), ncontraos = 0, logo,, 0) é o ponto on as rtas s intrcpta. Graficant, tos: EXERCÍCIOS 0- E rlação aos pars pontos abaio, trin:.) A istância ntr ls;.) A quação a rta qu passa plos sos;.) Rprsnt graficant os itns a b. a) P, ) Q, ) b) P-, 5) Q, -) c) P-, 0) Q-, -5) ) P/, -) Q/, 0)

34 0- Daos os pontos A, ) B, 5): a) Calcul a istância ntr os pontos A B. b) Trac a rta qu passa por A B. c) Encontr o coficint angular. ) Dtrin a quação a rta qu passa por A B. 0- U fabricant obtv os sguints aos rlacionano o custo C unia ilhar) ao núro unias prouzias Q crto b. Q C,5,0,8,0,5 a) Rprsnt graficant o Custo C) função a quantia prouzia Q). b) Trac a rta qu passa plos pontos 0; ) 50;,5). c) Dtrin a quação a rta qur passa plos pontos o it b. ) Consirano sta quação coo ua aproiação a rlação ntr custo total o nívl proução, sti o custo s prouzir 5 unias o b qustão. 0- Daos os pontos P, ), Q, ) S0, ): a) Vrifiqu s PQ + PS > QS. b) Trac as rtas PQ PS. c) Encontr o coficint angular caa rta. ) Dtrin a quação na fora gral ruzia caa rta acia.

35 MODELO MATEMÁTICO Agora, vaos vrificar através plos, a anira ncontrar u olo atático. 0- Constituir a quação = A + B ua rta qu aproia o sguint conjunto pontos P={,),, ),, 8), 5, 5)}. Solução A quação a rta qu aproia u conjunto pontos através o critério os ínios quaraos é: = A + B On, A B A n n ) = soa os proutos n = núro pontos obsrvaos = soa os quaraos os valors n n éias aritética s ) Para facilitar os cálculos construíos ua tabla..

36 ,5 8 A 6 0 B 7,5,8 0,9 Logo, 0,9,8,8 * = -09 +,8 ou =,8 0,9 rprsnta o olo procurao. 0- Ua psquisa sobr a ofrta rcao crto prouto M, lvou à sguint scala ofrta: Escala Ofrta Mrcao o Prouto M P = Prço S = Quantia Ofrtaa R$/unia) unias/ês) Intificar o olo linar qu lhor s ajusta à scala ofrta o prouto M. Rprsnt graficant no plano cartsiano. 0- U fabricant obtv os sguints aos rlacionano o custo C unia ilhar) ao núro unias prouzias Q crto b. Q C,5,0,8,0,5 a) Rprsnt graficant o Custo C) função a quantia prouzia Q). b) Trac a rta qu passa plos pontos 0; ) 50;,5). c) Dtrin a quação a rta qur passa plos pontos o it b.

37 ) Consirano sta quação coo ua aproiação a rlação ntr custo total o nívl proução, sti o custo s prouzir 5 unias o b qustão.