Modelagem Matemática de Sistemas Elétricos. Analogias Eletromecânicas

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1 08 Modlagm Matmática d Sistmas Elétricos nalogias Eltromcânicas INTODUÇÃO Os sistmas létricos são componnts ssnciais d muitos sistmas dinâmicos complxos Por xmplo, um controlador d um drivr d disco d um computador ou o controlador da vlocidad d um automóvl ncssitam d crtos circuitos létricos para funcionar Usarmos os trmos sistmas létricos circuitos létricos como sinônimos Tndo m vista qu xist no currículo uma disciplina d ircuitos Elétricos, ond o studo é fito com muito mais profundidad, aqui farmos apnas uma abordagm qu sja suficint para a comprnsão das analogias qu xistm ntr crtos sistmas dinâmicos (analogias ltromcânicas, ltro-hidráulicas, ltro-pnumáticas, ltrotérmicas, tc), assim como dos sistmas ltromcânicos a srm studados postriormnt ELEMENTOS ELÉTIOS PSSIVOS Para modlar um sistma létrico prcisamos conhcr os sus componnts létricos passivos s rlaçõs lmntars d voltagns são: sistor (Li d Ohm) () i Indutor () apacitor (3) - - dil L t 0 i ond, L são a rsistência, a indutância a capacitância, rspctivamnt

2 s rlaçõs lmntars d corrnts são: sistor (Li d Ohm) (4) i - Indutor (5) i L t ( L 0 ) apacitor (6) i L d( ) 3 MODELGEM DE IUITOS ELÉTIOS LEIS DE KIHHOFF modlagm matmática d um sistma létrico simpls é fita aplicando-s as Lis d Kirchhoff: a Li dos Nós /ou a Li das Malhas Modlagm Matmática plo Método dos Nós plica-s a Li dos Nós a cada nó do circuito létrico: soma das corrnts qu ntram m um nó d um circuito létrico é igual à soma das corrnts qu sam do msmo nó Exmplo No circuito da fig, o intrruptor S é fchado no instant t 0 char o modlo matmático, sndo E a ntrada as tnsõs as saídas onsidrar: 3 3 E v Fig

3 3 Solução frência para voltagm: no nó D D 0 Li dos Nós aplicada ao nó : (a) i i + i 3 Usando as quaçõs das corrnts: E i D i i 3 3 Lvando ssas três últimas quaçõs na q (a): (b) E + 3 Por outro lado, tmos no ponto : d( D ) d i3 logo (c) d 3 Substituindo os dados do nunciado na q (b), chgamos a (d) 4 4 nalogamnt, lvando na q (c): () Eliminando nas qs (d) (), chgamos à EDOL d primira ordm (f) + 0,75 6 ssim, o modlo matmático é composto pla EDOL (f) pla quação algébrica (d) Modlagm Matmática plo Método das Malhas plica-s a Li dos Malhas a cada malha do circuito létrico: soma das qudas d voltagm m uma malha d um circuito létrico é igual à soma das voltagns qu são introduzidas na msma malha

4 4 Exmplo No circuito L séri da fig o intrruptor S é fchado no instant t 0 char o modlo matmático, sndo E a ntrada i(t) a saída Fig Solução Li das Malhas: L + E Usando as quaçõs das voltagns, chgamos a (a) di L + i E Vmos qu s trata d uma EDOL d primira ordm bastant simpls 4 NLOGIS ELETOMEÂNIS té agora, studamos os sistmas mcânicos os sistmas létricos, aprsntando suas modlagns matmáticas Vamos, a sguir, stablcr crtas caractrísticas comuns aos dois tipos d sistmas, o qu prmit dfinir o qu chamamos analogia ltromcânica Dois sistmas físicos são análogos (duais) quando são dscritos plo msmo modlo matmático, ou sja, plo msmo conjunto d quaçõs difrnciais ou pla msma função d transfrência Os sistmas análogos caractrizam-s por aprsntarm a msma forma d rsposta quando submtidos a xcitaçõs do msmo tipo Ess fato é d xtrma importância, pois prmit, nas fass d anális projto, trabalhar xprimntalmnt com o circuito létrico (mais barato) análogo do sistma mcânico qu stá sndo projtado, ants da implmntação do protótipo do sistma mcânico (muito mais caro) O dimnsionamnto do circuito létrico análogo é fito com bas na Toria da nális Dimnsional Smlhança O concito d sistmas análogos é bm mais amplo: podmos tr analogias ltro-hidráulica, ltrotérmica, ltropnumática, tc No qu diz rspito à analogia ltromcânica, tmos dois tipos: a analogia força-corrnt, com bas na Li d Kirchhoff dos nós, a analogia força-voltagm, amparada na Li d Kirchhoff das malhas

5 5 5 NLOGI FOÇ-VOLTGEM Vamos considrar o sistma mcânico massa-mola-amortcdor com um GDL o sistma létrico rsistor-indutor-capacitor séri, mostrados na fig 3: Sistma mcânico ircuito létrico Fig 3 Os modlos matmáticos dos dois sistmas, conform já vimos, são: Sistma Mcânico Sistma Elétrico (a) (b) Sistma translacional: m x + c x + kx f(t) Sistma rotacional: J θ + θ + Kθ T(t) ou, como L di t + i + i (t) 0 dq di d q i q d t t i q 0 ntão L q + q + q (t) Examinando os modlos matmáticos dos sistmas mcânico létrico, vrificamos qu os msmos são compostos plas msmas quaçõs difrnciais, a mnos dos símbolos utilizados Pla posição qu ocupam nas quaçõs, podmos facilmnt stablcr as quantidads análogas dos dois sistmas:

6 6 Sistma Mcânico Sistma Elétrico Força f (ou Torqu T) Massa m (ou Inércia J) of mortcimnto Viscoso c (ou ) igidz k (ou K) Dslocamnto x (ou θ), Vlocidad x ou θ clração x ou θ, Voltagm Indutância L sistência Invrso da apacitância / arga létrica q orrnt létrica i Variação di/ 6 NLOGI FOÇ-OENTE Vamos considrar, agora, o msmo sistma mcânico massa-mola-amortcdor com um GDL o sistma létrico rsistor-indutor-capacitor parallo, mostrados na fig 4: Sistma mcânico ircuito létrico Fig 4 Smlhantmnt ao caso antrior, podmos tr os dois modlos matmáticos:

7 7 Sistma Mcânico Sistma Elétrico (a) (b) Sistma translacional: m x + c x + kx f(t) Sistma rotacional: J θ + θ + Kθ T(t) ou, como d dψ i + i + i L i t + + L 0 i ond ψ fluxo magnético d ψ t ψ 0 ntão ψ + ψ + ψ i(t) L nalogamnt, podmos facilmnt stablcr as quantidads análogas dos dois sistmas: Sistma Mcânico Sistma Elétrico Força f (ou Torqu T) Massa m (ou Inércia J) of mortcimnto Viscoso c (ou ) igidz k (ou K) Dslocamnto x (ou θ), Vlocidad x ou θ clração x ou θ, orrnt létrica i apacitância Invrso da sistência / Invrso da Indutância /L Fluxo magnético ψ Voltagm Variação d/ Portanto, podmos concluir qu: sistmas análogos msma quação difrncial msma função d transfrência 7 OTENÇÃO DO IUITO ELÉTIO NÁLOGO PO INSPEÇÃO omparando as figuras antriors, podmos obsrvar qu: () nalogia força-voltagm: k c m parallo análogos m séri k c m séri análogos m parallo () nalogia força-corrnt: k c m parallo análogos /L / m parallo k c m séri análogos /L / m séri

8 8 Os fatos acima prmitm construir o circuito létrico análogo a um dado sistma mcânico simplsmnt por inspção ssim, na figura do sistma mcânico colocamos um ponto (P, Q, S, tc) m cada um dos sguints locais: massas, pontos d aplicação d forças pontos d ligação ntr lmntos flxívis (molas amortcdors) quantidad d pontos assim dfinidos nos informa a quantidad d GDL do sistma mcânico Para a construção do circuito létrico lvamos m conta qu a quantidad d GDL do sistma mcânico é igual à quantidad d malhas do circuito létrico qu cada ponto do sistma mcânico (P, Q, S, tc) corrspond a uma malha do circuito létrico om ssas informaçõs, podmos construir o circuito létrico análogo, conform ilustram os xmplos das figs 5 6: Exmplo 3 (fig 5): Fig 5 Exmplo 4 (fig 6): Fig 6

9 9 8 OTENÇÃO DO IUITO ELÉTIO NÁLOGO PTI DS EQUÇÕES DIFEENIIS Mostrarmos a sguir, através d um xmplo, uma manira mais rigorosa d obtr o circuito létrico análogo a um dado sistma mcânico, a partir do modlo matmático dss último Exmplo 5 Usando a analogia força-voltagm, obtr o circuito létrico análogo do sistma mcânico da fig 7 Fig 7 Solução Inicialmnt, vamos achar o modlo matmático do sistma mcânico Para isso, construímos o diagrama d corpo livr (fig 8) aplicamos a Sgunda Li d Nwton: Fig 8 massa m : massa m : Ordnando: (x x ) + c (x x ) kx c x m x k m (x x ) c (x x ) m x k m x + c x + k x + c (x x ) + k (x x ) 0 x + c (x x ) + k (x x ) 0

10 0 Usando a analogia força-voltagm, obtmos as quaçõs do circuito létrico análogo: Vmos, nas quaçõs acima, qu o trmo d acoplamnto, i - i, stá prsnt nas duas quaçõs Logo, l dv prtncr simultanamnt às duas malhas do circuito létrico, ou sja, dv star prsnt no ramo comum a ambas as malhas ssim, podmos construir o circuito létrico análogo: Fig 9 omparando as figs 7 9, podmos comprovar qu a cada grau d librdad no sistma mcânico corrspond uma malha no circuito létrico

11 EXEÍIOS prsntar o modlo matmático do Exmplo do txto plas funçõs d transfrência E (s) E (s) G (s) G(s) E(s) E(s) Dado o circuito L séri da figura, dtrminar: (a) modlo matmático; (b) frqüência natural; (c) fator d amortcimnto; (d) função d transfrência E (s)/e(s), ond (t) é a saída (tnsão no capacitor) (t) é a ntrada sp: (a) d i di d + + i (b) L L L ω n L (c) ς L (d) E (s) E(s) L(s + s + L ) L 3 Dado o circuito da figura, dduzir o modlo matmático obtr as funçõs d transfrência I (s)/e(s) I (s)/e(s) sp: Modlo matmático: i + (i i di L + i + ) E (i i ) 0

12 4 Obtr o circuito létrico análogo do sistma mcânico da figura, usando a analogia força-voltagm as quaçõs difrnciais do sistma mcânico (a srm dduzidas prviamnt) 5 solvr o Exrcício 4 por inspção Du o msmo rsultado? 6 Obtr o circuito létrico análogo do sistma mcânico da figura, usando a analogia força-voltagm as quaçõs difrnciais do sistma mcânico (a srm dduzidas prviamnt) 7 solvr o Exrcício 6 por inspção Du o msmo rsultado?