Aula 16 - Circuitos RC

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1 Univrsidad Fdral do Paraná Stor d iências Exatas Dpartamnto d Física Física III Prof. Dr. icardo Luiz Viana frências bibliográficas: H S T Aula 16 - ircuitos São circuitos ond um rsistor d rsistência é associado m séri a um capacitor d capacitância, assim como uma batria d fm ε. É prciso lmbrar u não passa corrnt contínua ntr as placas d um capacitor, d modo u o tipo d corrnt u s vai studar é variávl com o tmpo ("comportamnto transitório"). Voltarmos a studar st tipo d circuito mais tard, uando considrarmos corrnts altrnadas. Em primiro lugar vamos lmbrar como s carrga o capacitor (sucndo por nuanto a rsistência). uando o circuito stá abrto, a ddp ntr as placas do capacitor é V = 0. Fchando o circuito com a batria, cargas positivas + flum do pólo positivo da batria para uma das placas, ao passo u cargas ngativas - flum do pólo ngativo para a outra placa. om as placas carrgadas, a ddp ntr las aumnta para V = /. Nst procsso a carga aumnta com o tmpo, é uma função do tmpo = (, assim como a ddp no capacitor. O carrgamnto do capacitor só trmina uando a ddp ntr as placas for igual à fm da batria: V = / = ε. Vja u é o valor máximo da carga do capacitor. S abrirmos a chav S do circuito o capacitor continua carrgado, msmo sm a batria (lmbr u l funciona como um acumulador d nrgia létrica). S tirarmos 1

2 agora a batria, conctarmos o capacitor a um rsistor, l irá s dscarrgar, ou sja diminuirá agora com o tmpo; pois as cargas acumuladas nas placas do capacitor flum novamnt plo circuito, formando uma corrnt létrica (i = d/) u passa plo rsistor. uando corrnt passa plo rsistor há uma convrsão m calor (Efito Joul), d modo u toda a nrgia acumulada no capacitor vai sr dissipada plo rsistor. A longo prazo, tanto a carga no capacitor uanto a corrnt no rsistor srão nulas. O papl da rsistência é "amortcr" st procsso. Por xmplo, s não houvss rsistência, o capacitor iria s carrgar instantanamnt. Dvido à rsistência, no ntanto, l lva algum tmpo para atingir a carga máxima. Da msma forma, o capacitor não s dscarrga imdiatamnt, mas aos poucos. Essa é a principal utilidad do circuito, o u faz com u sja usado m ltrônica. Por xmplo, a lâmpada do flash da máuina fotográfica ncssita para funcionar d uma corrnt alta por um tmpo muito curto. Ants do flash disparar, duas pilhas d 1,5 V carrgam um capacitor através d um rsistor. Trminada a carga o flash stá pronto para o disparo. uando s bat a foto, o capacitor dscarrga através da lâmpada do flash. Tratamnto matmático do circuito 1o. caso: apacitor carrgando: uando a chav S stá ligada no ponto a, o capacitor é ligado à batria ao rsistor m séri. Aplicando a 1a. Li d Kirchhoff na malha tmos u a soma das ddp s é nula. Adotando o sntido horário tanto para o prcurso como para a corrnt i, partindo do ponto a, tmos i V i 0 Por outro lado, i = d/ (pois a carga no capacitor stá aumntando com o passar do tmpo). Multiplicando tudo por (-1) tmos d 0 u é uma uação difrncial, ond a variávl indpndnt é o tmpo t, a variávl dpndnt é a carga no capacitor. solvr sta uação significa ncontrar a função = ( para uma dtrminada condição inicial, a sabr, a carga para o tmpo t = 0, u dnotamos (0). S inicialmnt o capacitor stá dscarrgado, ntão (0) = 0. Você não prcisa conhcr a toria complta do cálculo para rconhcr uma solução da uação difrncial acima. Ela é dada por 2

3 ( 1 t S colocarmos t = 0, trmos (0) = ε(1-1) = 0, d fato, como supusmos. A corrnt létrica é d d i d t t d t t i( t Substituimos ( sua drivada na uação difrncial, para mostrar u la rduz-s a uma idntidad: t 1 t 0 i 1 t t 1 0 alculando o valor da corrnt no tmpo t = 0 tmos i(0) = ε/, u é a corrnt u passa plo rsistor no instant m u ligamos o capacitor à batria. A anális física dsts rsultados pod sr fita a partir do gráfico da carga da corrnt m função do tmpo: a carga no capacitor, inicialmnt nula, aumnta com o tmpo suavmnt. S tomarmos o limit da carga uando o tmpo vai a infinito, trmos lim t ( u é o valor máximo da carga no capacitor: = ε. 1 A corrnt no rsistor, por outro lado, é a taxa com u aumnta a carga no capacitor com o passar do tmpo. Podmos obsrvar no gráfico u la diminui xponncialmnt com o tmpo a partir do su valor inicial i(0)=ε/; tnd a zro uando o tmpo vai a infinito. Isso é razoávl, já u o capacitor pára d s carrgar, dond não havrá mais corrnt. S um capacitor stivr nrgizado você tocar os sus dois trminais, vai fazr o papl do rsistor crtamnt lvar um chou rápido! 3

4 Problma rsolvido: Uma batria d 6V, d rsistência intrna dsprzívl, é usada para carrgar um capacitor d 2 μf através d um rsistor d 100 Ω. Achar: (a) a corrnt inicial, (b) a carga final no capacitor (c) o tmpo ncssário para a carga atingir 90 % do su valor final. Solução: (a) i(0)= ε / = 6 / 100 = 0,06 A (b) = ε = 2 x 10-6 x 6 = 12 x 10-6 t 90 0,9 1 (c) 100 Dividindo por ε tmos uma uação xponncial Aplicando logaritmos a ambos os mmbros 1 - -t/ = 0,9 -t/ = 1-0,9 = 0,1 ln -t/ = - t = ln 0,1 = -2,3 t = 2,3 = 2,3 x 100 x 2 x 10-6 = 4,6 x 10-4 s = 460 μs Problma proposto: No circuito do problma antrior, uanto tmpo lvará o capacitor para ficar: (a) com uma carga d 1 μ? (b) com uma corrnt d 0,01 A? spostas: (a) 17,4 s; (b) 0,36 ms. ddp ntr as placas do capacitor: crsc com a carga nas placas V 1 t ddp no rsistor: diminui com a corrnt no rsistor V i t Tanto a ddp no rsistor como no capacitor não alcançam imdiatamnt sus valors finais. Podmos mnsurar st fito dfinindo uma constant d tmpo (vrifiu u a unidad da combinação, Ω.F, ralmnt é o sgundo!) 4

5 Problma rsolvido: Mostr u, após uma constant d tmpo, a carga no capacitor alcança 63 % do su valor final. Solução: Fazndo t = τ tmos ( ) , Problma proposto: uantas constants d tmpo dvm dcorrr até u um capacitor num circuito stja carrgado com mais d 99% do su valor final? sposta: cinco 2o. caso: apacitor dscarrgando: uando a chav S stá ligada no ponto b, o capacitor é dsconctado batria fica ligado apnas ao rsistor m séri. Nst caso ε = 0, a Li das malhas fornc a uação difrncial: d 0 omo, dsta vz, inicialmnt o capacitor ncontra-s totalmnt carrgado com carga, a condição inicial srá (0) = = ε. A solução da uação difrncial é ( t 5

6 omo a carga agora diminui com o tmpo, a corrnt létrica srá dfinida como i( d d t t Vrificação da solução na uação difrncial d 0 t 1 t t t 0 A carga diminui xponncialmnt com o tmpo, tndndo a zro uando o tmpo vai a infinito. Por outro lado, a corrnt inicialmnt é i(0), uando o tmpo t aumnta, também a corrnt cai xponncialmnt para zro. Problma rsolvido: Um capacitor d 4 μf stá carrgado a 24 V é ligado a um rsistor d 200 Ω. Achar: (a) a constant d tmpo; (b) a carga inicial do capacitor; (c) a corrnt inicial no rsistor; (d) a carga após 4 ms. Solução: (a) τ = = 200 x 4 x 10-6 = 0,8 x 10-3 s = 0,8 ms (b) (0) = = ε = 24 x 4 x 10-6 = 9,6 x 10-7 = 96 μ (c) i(0) = ε / = 24 / 200 = 0,12 A (d) t = 4 ms: (4) = xp(-t/τ) = 96 xp(-4/0,8) = 0,647 μ Problma proposto: No circuito do problma antrior, (a) ach a corrnt m t = 4 ms; (b) calcul o tmpo ncssário para u a carga no capacitor atinja 50% do su valor inicial; (c) ach as ddp s sobr o rsistor o capacitor após 1,5 constants d tmpo. spostas: (a) 0,81 ma; (b) 0,55 ms; (c) 5,35 V m ambos. Enrgia no circuito 1. Potência = taxa d variação da nrgia létrica: 2. Potência forncida pla batria: P E i du P 6

7 3. Potência no capacitor: P V i i 4. Potência dissipada no rsistor: P 2 Vi i (calor = fito Joul) 5. onsrvação d nrgia no circuito: P E = P + P Problma rsolvido: onsidr o circuito acima, ond = 1,0 μf, = 3,0 MΩ, ε = 4,0 V. Fchamos a chav. alcul as potências: (a) forncida pla batria, (b) no capacitor (c) dissipada plo rsistor após 1,0 s d fchada a chav. Solução: Fchando a chav o capacitor stá carrgando (us as fórmulas do 1o. caso). constant d tmpo: τ = = 3,0 x 10 6 x 1,0 x 10-6 = 3,0 s carga após t = 1,0 s: t 6 1/ 3 6 (1) 1 1x10 x4(1 ) 1,13x10 ) corrnt após t = 1,0 s: i( 4 3,0x10 9,55x10 t 1/3 7 6 A (a) (b) P E P 7 6 i 4x9,55x10 3,82x10 W 3, 82W V i i ,13x10 x9,55x10 6 1,0 x10 1,08x10 W 1,08W (c) P i 3,0x10 x9,55x10 2,74x10 W 2,74 W 2 P E - P - P = 3,82-1,08-2,74 = 0 Problma proposto: onsidr o circuito antrior, muito tmpo dpois do capacitor tr sido carrgado. movmos a batria. alcul, agora, as potências no rsistor no 7

8 capacitor t = 1,5 s após a batria tr sido rmovida do circuito. A consrvação d nrgia continua vrificada? sposta: 1,96 W m ambos. Problma suplmntar: Um capacitor d 1,0 μf com uma nrgia inicial armaznada d 0,50 J é dscarrgado através d um rsistor d 1,0 MΩ. (a) ual é a carga inicial do capacitor? (b) ual a corrnt inicial plo rsistor? Após uma constant d tmpo, (c) uais as ddp s sobr o capacitor o rsistor? (d) uais as potências no rsistor capacitor. spostas: (a) 1,0 m; (b) 1,0 ma 8