Norberto Mangiavacchi UERJ - Departamento de Engenharia Mecânica , Rio de Janeiro, RJ

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1 Simulação Numérica do Transport da Tmpratura d Espécis Constituints m Rsrvatórios Hidrlétricos Utilizando Método d Elmntos Finitos m Malhas Não-Estruturadas Ana Cristina Pivm, Antonio Castlo Filho, Luis Gustavo Nonato, Adnilso da Silva Simão, Fabricio Simoni d Sousa Dpto d Matmática Aplicada Estatística, ICMC, USP, , São Carlos, SP anapivm@icmc.usp.br, castlo@icmc.usp.br, gnonato@icmc.usp.br, adnilso@icmc.usp.br, fsimoni@icmc.usp.br Norbrto Mangiavacchi UERJ - Dpartamnto d Engnharia Mcânica , Rio d Janiro, RJ norbrto.mangiavacchi@gmail.com. Rsumo O nchimnto d rsrvatórios hidrlétricos provoca impactos ambintais, intrfrindo nos cossistmas nos modos d vida das populaçõs nvolvidas, pois durant st procsso a biomassa trrstr é dcomposta lançando substâncias qu s concntram nos volums dos difrnts compartimntos do rsrvatório. Nstas condiçõs, algumas rgiõs do rsrvatório passam por príodos m qu os tors d oxigênio dissolvido a concntração d matéria orgânica compromtm o quilíbrio da flora fauna locais, aftando tanto a qualidad das águas como também os cótonos vizinhos. Nst trabalho srá tratado o problma do transport da tmpratura das concntraçõs das spécis constituints durant o nchimnto d compartimntos d rsrvatórios utilizando o Método d Elmntos Finitos m malhas computacionais não-struturadas. 1 Introdução As qustõs voltadas a disponibilidad ao uso da água no planta, comçou por volta do século XX têm grado procupaçõs, dsprtando assim a ncssidad d s ralizar studos projtos voltados à qustão ambintal [2. As vidências d qu a água não é um rcurso insgotávl, sobrtudo a sua porção dnominada água doc ou continntal gram procupaçõs quanto ao uso a ocupação das bacias /ou microbacias hidrográficas, pois sss agnts são capazs d altrar a qualidad da água, msmo qu sts fitos impactos ambintais possam vir a acontcr daqui a dznas d anos, como é o caso da construção d barragns hidrlétricas, ond com o nchimnto dos compartimntos, a qualidad da água pod sr compromtida dvido a vários fators tais como dtritos orgânicos inorgânicos a srm incorporados no rsrvatório. Sndo assim, é ncssário conhcr os fnômnos qu ocorrm nsss corpos d água para fazr um studo da qualidad dssa água, para tanto, a simulação do transport das propridads é important para qu possa sr diagnosticado como ficará a qualidad da água dos rsrvatórios lvando-s m considração a distribuição da tmpratura, oxigênio dissolvido, a biomassa as concntraçõs prsnts. A simulação d scoamnto d fluidos é uma ára d fundamntal importância nas simulaçõs numéricas. A modlagm matmática das lis d consrvação, no studo dos scoamntos d fluidos incomprssívis, é stablcida plas quaçõs d consrvação d massa d Navir-Stoks qu srá utilizada aqui como uma frramnta fundamntal juntamnt com a formulação Smi-Lagrangana

2 para a simulação dos transports da tmpratura das concntraçõs d spécis constituints. Srá utilizada também uma strutura d dados topológica para manipulação das quaçõs dmais dados do problma. As malhas não-struturadas utilizadas nas simulaçõs aqui aprsntadas foram gradas plo Easymsh [1. 2 Equação do transport da tmpratura das concntraçõs d spécis constituints 2.1 Equação do transport da Tmpratura A forma gral da quação do transport da tmpratura é dada por: DT Dt = (α T (1 qu é a quação d consrvação d nrgia, na qual, T: é a tmpratura, α = κ ρ c p : é o coficint d difusividad térmica do fluido, no qual: κ: é o coficint d condutividad térmica, c p : o calor spcífico a prssão constant, ρ: é a dnsidad do fluido. 2.2 Equação do transport das concntraçõs A forma gral da quação do transport das concntraçõs d spécis constituints a sr considrada é dada por: Dc i Dt = (λ Di c i + na qual NP n c j=1 π j Π n γ ij i µ ij n p=1 n max n=1 ( NP n µ j=1 π j Π n ij n p=1 c α jπ jp π jp c β π jp j π jp + S i, (2 c i : são as concntraçõs d spécis constituints, ond i varia d acordo com o númro d concntraçõs; λ Di : srá um scalar ou tnsor no caso isotrópico; µ ij µ ij : são as constants cinéticas; α jπjp, β πjp j γ ij : são os xponts qu aparcm nas concntraçõs d spécis constituints; Srá tratado aqui o transport d duas concntraçõs d spécis constituints, mais spcificamnt, cujas quaçõs são obtidas a partir da forma gral são dadas por: Dc 1 Dt = (λ D 1 c 1 µ 11 cγ 11 1 c β S 1 (3 Dc 2 Dt = (λ D 2 c 2 µ 21 cγ 21 2 c β S 2 (4 Estas são as duas quaçõs para duas concntraçõs, considrando a forma gral. Para s obtr uma formulação spcífica para um dtrminado modlo d qualidad d água, basta spcificar cada um dos parâmtros qu aparcm nas quaçõs. 3 Mtodologia A solução da quação do transport da tmprtatura da quação do transport das concntraçõs das spécis constituints obdcm os sguints procdimntos d rsolução: Substituir a drivada matrial prsnt na quação, pla formulação Smi-Lagrangana; Discrtizar a quação através do Método d Elmntos Finitos, isto é, scrvê-la na formulação variacional rsolvê-la plo Método d Galrkin; Rsolvr o sistma linar rsultant. 3.1 Formulação Smi- Lagrangana A formulação Smi-Lagrangana é utilizada aqui para discrtizar o trmo convctivo ou drivada matrial, qu aparcm nas quaçõs (1, (3 (4 dado por:

3 Dϕ i Dt = ϕ i t + u ϕ i (5 ond u = (u,v, com u v sndo as vlocidads nas dirçõs x y rspctivamt. Através da formulação Smi-Lagngana, discrtiza-s (5 no tmpo para cada ponto p do domínio utilizando um squma implícito d primira ordm, ou sja: m qu ϕ (n+1 ip Dϕ i Dt = ϕ (n+1 ip ϕ (n ip, (6 t : é a variávl i no ponto p no tmpo (n + 1; ϕ (n ip : é a variávl i no ponto p no tmpo (n; p = p t u p com u p sndo a vlocidad no ponto p. Ond u p é obtida da rsolução das quaçõs d Navir-Stoks. 3.2 Método d Elmntos Finitos O método d Elmntos Finitos (MEF é uma técnica gral para construir soluçõs aproximadas para problmas d valor d contorno. Est método nvolv a divisão do domínio d solução m um númro d subdomínios simpls, os lmntos finitos, usa concitos variacionais para construir uma aproximação da solução sobr uma colção d lmntos finitos [3. Os procdimntos ssnciais para rsolvr um problma utilizando o método d Elmntos Finitos são: 1. Escrvr o problma m sua formulação variacional na qual o spaço apropriado H d funçõs admissívis é idntificado. 2. Discrtizar o domínio, no qual s prtnd rsolvr o problma, m lmntos finitos poligonais rgulars, construindo assim uma malha grando um subspaço d dimnsão finita H h. 3. Construção d uma aproximação da formulação variacional do problma m lmntos finitos no subspaço H h d H. Cálculo das matrizs dos lmntos a gração d um sistma sparso d quaçõs algébricas linars os valors das soluçõs aproximadas nos pontos nodais da malha. 4. Solução algébrica do sistma rsultant Formulação Variacional Uma Formulação Variacional é uma forma d rprsntar, por mio d uma única xprsssão, os lmntos rlvants d um problma. Como sta técnica gralmnt conduz a uma formulação dnominada fort, utiliza-s o torma da divrgência para rduzir a ordm da função assim, rlaxa-s a xigência d continuidad das drivadas d maior ordm do problma. Para a obtnção da formulação fraca, utilizam-s funçõs tst ou pso, tais qu: v(xr(xd = 0 v(x H (7 ond, r(x é a função rsíduo, v(x é a função tst H é o spaço das funçõs. Substituindo a formuação Smi- Lagrangana scrvndo as quaçõs (1, (3 (4, m sua formulação variacional, tm-s: Tmpratura: [ t (α T (n+1 p + T p (n+1 v d = Concntraçõs: [ (λ D1 (c 1p (n+1 ( + c (n+1 1 1p = + c (n+1 2p = (8 t k 11(c (n 1 γ 11 1 (c β21 2 vd (n [ c (n 1p t + S 1 v d (9 [ (λ D2 (c 2p (n+1 ( 1 t k 21 (c(n 2 γ 21 1 (c β11 1 vd (n [ c (n 2p t + S 2 v d (10 v H 1, ond H 1 é o spaço d Sobolv dado por: T (n p v d

4 H 1 ( = {v L 2 ( : 1,...,m} v x i L 2 (,i = sndo L 2 ( um spaço d dimnsão infinita dfinido por: L 2 ( = {v : R, v2 d < } Método d Galrkin No método d Galrkin, a discrtização da forma fraca das quaçõs são fitas considrando um spaço d dimnsão finita, grado plas funçõs d intrpolação ψ m, ond ψ m = ψ (11 U(x,y = N S(m ψ N (x,yu N. (12 m qu S(m é o conjunto d todos os lmntos qu contém o nó m, é um lmnto da malha u N é o valor da variávl u avalida no nó N. As intgrais são avaliadas m cada lmnto, ψ m rstrito ao lmnto é xatamnt ψm N ψ mu (n+1 N rstrito ao lmnto é j ψ j u(n+1 j, logo as quaçõs (8, (9 (10 λ D1 (ψj c(n+1 1j ψm d + ( 1 = j j ψj c(n+1 1j ψm t k 11 (cγ (n (c β21 2 d (n ( (n c 1 t + S 1 ψm d (13 Para a quação da tmpratura tm-s: t α (ψj T (n+1 j ψ m d + = j j T n p ψ m ψj T (n+1 j ψm d d (15 Das quaçõs (13, (14 (15 obtém-s sistmas linars da forma: N j=1 k ij u j = f i Ond K é a matriz d massa, f o vtor d carga u a variávl procurada, ou sja, T para a tmpratura c i para as concntraçõs c 1 c 2. 4 Simulação numérica do transport da tmpratura 4.1 Exmplo considrado na simulação Para simular numricamnt o transport da tmpratura foi considrado o sguint problma [4: Um líquido viscoso scoa ntr duas placas parallas horizontais (Canal. Sndo qu uma dlas é mantida à tmpratura T1 a outra à tmpratura T2, como mostra a Figura abaixo: + ( 1 = j j λ D2 (ψjc (n+1 2j ψm d ψjc (n+1 2j ψm t k 21 (cγ (n (c β22 1 d (n ( (n c 2 t + S 2 ψm d (14 Figura 1: Escoamnto d um fluido ntr duas placas parallas. As quaçõs da continuidad, d Navir- Stoks da Tmpratura aplicávis ao problma tomam a forma: u x + v y = 0 (16

5 u u ( 2 x +v u y = 1 ρ +ν u x u y 2 u v x + v v y = 1 ρ + ν u T x + v T y = α ( 2 v x v y 2 ( 2 T x T y 2 (17 (18 (19 tmpratura é mnos lvada, no mio do canal. Aplicando as hipótss do problma às quaçõs da continuidad d Navir- Stoks, juntamnt com as condiçõs d contorno, sgu qu a quação do prfil da tmpratura na dirção y é dada por: T(y = T1 q ( (y 2y3 κ L 2 + y4 T2 T1 L 3 + y L (20 ond q é o fluxo d calor. O prfil d vlocidad dfinido no inflow, ntrada d fluido no canal, é do tipo parabólico, por s tratar nst caso do canal totalmnt dsnvolvido. Figura 2: Transport d Tmpratura T1=T2=30. Figura 3: Transport d Tmpratura T1=T2= Rsultados obtidos para a simulação do transport da tmpratura Foram ralizadas três simulaçõs, a primira m um canal considrando valors iguais da tmpratura nas placas T1 T2, a sgunda a trcira considrando malhas não-struturadas gradas plo Easymsh mostradas na Figuras (4 (6. Na primira simulação considrous as placas T1 T2 mantidas a uma tmpratura constant d 30 0 C na sgunda na trcira simulação foi considrada uma tmpratura T = 25 0 C nos contornos rígidos. Os rsultados dssas simulaçõs podm sr visualizados nas Figuras (2, (3,(5 (7, ond na Figura (2 é aprsntado o prfil, no outflow, saída do fluido no canal, da solução numérica juntamnt com a solução analítica dada pla quação (20 as Figuras (3, (5 (7 qu mostram a solução m todo o domínio. Na Figura (3, nota-s qu ao ntrar no canal, a tmpratura das camadas d fluido mais próximas das pards sobm mais do qu as das camadas próximas ao ixo do scoamnto qu s ncontram mais long da font d calor o msmo acontc para gomtrias difrnts, como mostram as Figuras (5 (7. A cor vrmlha indica a rgião ond a tmpratura é mais lvada, próximo as pards, a cor azul ond a Figura 4: Malha não struturada grada plo Easymsh. Figura 5: Transport d Tmpratura. Figura 6: Malha não struturada grada plo Easymsh. Figura 7: Transport d Tmpratura.

6 5 Simulação numérica do transport das concntraçõs 5.1 Modlo OD-DBO Para simular numricamnt o transport das concntraçõs d spécis constituints, dados plas quaçõs (3 (4, foi considrado um modlo matmático com duas concntraçõs OD-DBO (Oxigênio Dissolvido Dmanda Bioquímica d Oxigênio, com soluçõs analíticas conhcidas, qu considram apnas a oxidação da matéria orgânica, como consumo a raração atmosférica, como produção d oxigênio. Est modlo dscrv o lançamnto d uma font pontual d DBO m um corpo d água é dado por [5: Dc 5 Dt = D 2 c 5 xx x 2 krc 5 (21 Dc 6 Dt = D 2 c 6 xx x 2 + ka(c s c 6 k D c 5 (22 ond, c 5 é a dmanda bioquímica d oxigênio, c 6 é a concntração d oxigênio dissolvido, kr é uma taxa d dcaimnto da matéria orgânica, k D é o coficint d dsoxignação, k a é o coficint d raração c s é a concntração d saturação d oxigênio dissolvido é dada por: c s = T T T 3 ; (23 ond T é a tmpratura. Para obtr as quaçõs (21 (22, qu modlam o ciclo OD-DBO, das quaçõs (3 (4, basta atribuir cada trmo prsnt nas quaçõs (3 (4 aos trmos corrspondnts m (21 (22. A solução analítica para o oxigênio dissolvido (OD a dmanda bioquímica d oxigênio (DBO são dadas rspctivamnt por: [ U c 5 = c 5,0 xp (1 α r x (24 2D xx k D c 6 = c 6,0 k a k r [ xp [ (xp U 2D xx (1 α a x α a U 2D xx (1 α r x α r (25 ond α r = 1 + 4k rd xx U 2 α a = 1 + 4k ad xx U 2 ( Rsultados obtidos para a simulação do transport das concntraçõs d spécis constituints Para o problma considrado, adotou-s os sguints parâmtros: Vlocidad U = 0.03m Tmpratura da água T = 5 0 C Coficint d dsoxignação K D = 0.50/dia Coficint d raração K a = 0.90/dia Taxa d dcaimnto da matéria orgânica K r = 0.30/dia Condição inicial para OD C 5,0 = 10mg/l Condição inicial para DBO C 6,0 = 8mg/l Para ss modlo, os rsultados numéricos stão ilustrados nas Figuras 8, 9, A Figura 8 mostra a comparação ntr os rsultados obtidos através do método d Elmntos Finitos a solução analítica para o Oxigênio Dissolvido a Dmanda Bioquímica d Oxigênio. Pod-s obsrvar através do gráfico qu há uma xclnt concordância ntr os rsultados forncidos plo método a solução analítica tanto para a DBO como para o OD. Utilizando a malha mostrada na Figura 6 para simular o msmo problma, obtv-s os sguints rsultados, mostrados nas Figuras Obsrva-s nas Figuras 10 12, qu rprsntam o consumo d oxigênio dissolvido ao longo do corpo d água, qual é o trcho qu sofr as consquências da poluição m qual rgião o curso d água volta a rstablcr as condiçõs antriors, podndo assim tr uma prvisão da qualidad da água. As Figuras 9 11 mostram a dcomposição da matéria orgânica ao longo do corpo d água.

7 10 9 DBO numrica DBO xata OD numrica OD xata 8 7 concntracos Figura 8: Comparação ntr os rsultados obtidos a solução analítica no mio do canal. Figura 9: Solução numérica m todo o canal para a DBO. x Figura 12: Solução numérica para o OD. da ordm d 10 4 para o modlo considrado. 7 Agradcimntos Os autors agradcm a Furnas Cntrais Elétricas ao Gsar (Grupo d Ensaios Simulaçõs Ambintais para Rsrvatórios plo apoio contribuição no dsnvolvimnto dst trabalho. Rfrências Figura 10: Solução numérica m todo o canal para o OD. [1 B. Nicro, Easymsh: a fr twodimnsional quality msh gnrator basd on dlaunay triangulation, [2 C.P.B. Soars, Modlagm Simulação d Sistmas Aquáticos m Ambint d Goprocssamnto, Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, Figura 11: Solução numérica para a DBO. 6 Conclusão Nst trabalho foi aprsntado os rsultados obtidos na simulação d um problma d transport da tmpratura d um problma d transport d duas concntraçõs com o modlo OD-DBO via Método d Elmntos Finitos usando malhas não-struturadas. No caso do transport da tmpratura obsrva-s através dos rsultados obtidos, qu o método utilizado fornc bons rsultados, visto qu a solução numérica aprsnta uma xclnt concordância com a solução analítica. Nssa simulação o rro absoluto foi da ordm d 10 5 para o problma considrado. Para o transport das concntraçõs d spécis constituints também foi vrificado bons rsultados, visto qu o rro absoluto foi [3 E.B. Bckr, G.F. Cary, and J.T. Odn, Finit Elmnts An Introduction, Prntic-Hall, Inc., Englwood Cliffs, Nw Jrsy Vol. 1, [4 J. Ponts, and N. Mangiavacchi, Fnômnos d Transfrência, UFRJ, [5 P.C.C. Rosman, Rfrência Técnica do Sisbahia, Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, 2006.