Formas simplificadas das equações de Navier-Stokes

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1 Formas simplificadas das qaçõs d Navir-Stoks Eqaçõs d camada limit o camadas d cort dlgadas (Bondar lar, tin sar lar qations) Prssão dtrminada plo scoamnto xtrior à rgião viscosa, p Difsão na dircção principal do scoamnto dsprzada, ν x

2 Formas simplificadas das qaçõs d Navir-Stoks Eqaçõs d Navir-Stoks parabolizadas (Parabolizd Navir-Stoks qations) Prssão na dircção principal do scoamnto imposta a partir das condiçõs xtriors à rgião viscosa, p p x x Difsão na dircção principal do scoamnto dsprzada, ν x

3 Formas simplificadas das qaçõs d Navir-Stoks Eqaçõs d Navir-Stoks rdzidas (Rdcd Navir-Stoks qations) Difsão na dircção principal do scoamnto dsprzada, ν x

4 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán Intgrar qaçõs d camada limit na dircção normal à pard > ( ) Eqação da continidad v + x v x

5 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán Escoamnto xtrior (flido prfito) 1 p + ρ const. 1 dp d ρ dx dx

6 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán Eqação d balanço/transport d qantidad d movimnto na dircção x x + v 1 dp + ρ dx ν

7 w w τ ρ τ ρ τ τ ρ τ ρ ν 1 1 Tnsão d cort na pard Para >, τ Trmo difsivo Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán

8 [ ] w g f g f g f x dx d x x ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( () ρ τ Intgração por parts do trmo Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán

9 x x x x x x g x f ) '( ) ( Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán

10 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán tilizando a igaldad x sbstitindo m () x d τ w + x dx x ρ (3)

11 ( ) x x Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán ( ) x x + + x ( ) + ( ) d dx d dx d dx d dx τ w ρ τ w ρ

12 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán O limit d intgração não dpnd d x plo q as drivadas m ordm a x podm prmtar com a intgração m d ( ) d τ + w ( ) dx dx ρ Adimnsionalizando a variávl com d dx 1 + d dx 1 τ w ρ

13 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d dslocamnto, * (Displacmnt ticknss) * 1 Para, / 1, plo q * 1

14 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d dslocamnto, * (Displacmnt ticknss) Cadal na scção 1 m condiçõs d flido prfito Q& idal Cadal na scção 1 m condiçõs d flido prfito Q & ral

15 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d dslocamnto, * (Displacmnt ticknss) A spssra d dslocamnto stá rlacionada com o dficit d cadal dvido à prsnça da camada limit * Q& idal Q& ral

16 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d dslocamnto, * (Displacmnt ticknss) * 1 qival à distância q as linas d corrnt do scoamnto xtrior (flido prfito) são dslocadas, dvido ao fito da camada limit.

17 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d dslocamnto, * (Displacmnt ticknss) Dfinindo obtm-s η * 1 1 dη xclsivamnt fnção do prfil adimnsional d vlocidad f

18 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d qantidad d movimnto, θ (Momntm ticknss) θ Para, / 1, plo q 1 θ 1

19 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d qantidad d movimnto, θ (Momntm ticknss) Cadal d qantidad d movimnto na scção 1 m condiçõs d flido prfito (massa ral) M& idal Q& Cadal d qantidad d movimnto na scção 1 m condiçõs d flido prfito (massa ral) M& ral ral

20 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d qantidad d movimnto, θ (Momntm ticknss) A spssra d qantidad d movimnto stá rlacionada com o dficit d qantidad d movimnto dvido à prsnça da camada limit. θ tm d sr calclado para o cadal ral q atravssa a scção 1, tndo m considração o valor d * θ M& idal M& ral

21 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d qantidad d movimnto, θ (Momntm ticknss) θ 1 Sndo θ m dficit d qantidad d movimnto a sa variação tm d star rlacionada com as forças aplicadas

22 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Espssra d qantidad d movimnto, θ (Momntm ticknss) Dfinindo obtm-s η θ 1 1 dη xclsivamnt fnção do prfil adimnsional d vlocidad f

23 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Factor d Forma, H (Sap Factor) * * H dpnd apnas d f θ θ H qantifica a forma do prfil d vlocidad. Como a fnção intgranda da dfinição d θ é smpr infrior à d *, H 1, sndo 1 no caso limit d m prfil niform.

24 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Parâmtros Intgrais Factor d Forma, (Sap Factor) H * θ Coficint d tnsão d cort sprficial, C f τ w C f 1 ρ

25 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán Sbstitindo os parâmtros intgrais d camada limit obtm-s d dx ( θ ) + * d dx τ w ρ dθ H + + θ dx d dx C f

26 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Escoamntos smlants m rgim laminar Caso gral ( x, ) Escoamnto m condiçõs d smlança νx F( η) com η O [ ] F O[ ] ( x, ) ( x) F( η)

27 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Escoamntos smlants m rgim laminar Nstas condiçõs, factor d forma H é constant H * θ * O[ ] θ O[ ]

28 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Escoamntos smlants m rgim laminar Vlocidad xtrior obdc a ma qação do tipo m Cx Solção do scoamnto d flido prfito m torno d ma cna d abrtra πβ β m m + 1 m β β

29 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Escoamntos smlants m rgim laminar Cx m m Escoamnto m gradint d prssão nlo m1 Escoamnto d ponto d stagnação m-.94 Prfil d vlocidad com τ w β m m + 1 m β β

30 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Solçõs d camada limit smlants m rgim laminar

31 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Eqação Intgral d von Kármán Gradint d prssão nlo d θ dx C f Prfil adimnsional d vlocidad é sficint para obtr a solção f

32 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Gradint d prssão nlo Solçõs aproximadas xacta ( ) ( ) ( ) l dx C C l R x R H d d f l w D w f l x * 1 1 * 1, 1,, 1, 1, ρ τ ρ τ ν ν θ η θ η η η com

33 Aproximaçõs d Camada Limit (Bondar-Lar) Gradint d prssão nlo Solçõs aproximadas xacta f ( ) η η x R x * x R x x R 3,464 1,73,578 3,,578 1,16 C θ H x f R x C D R x 3 3 η 1 η 3 4 η η + η π sin η xacto 4,64 1,74,646,7,646 1,9 5,84 1,75,687,55,687 1,37 4,791 1,741,655,66,655 1,31 (5) 1,71,664,59,664 1,33