Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I

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1 Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa nº 16 VECTRES N PLAN E N ESPAÇ 1. No rfrncial ortonormado da figura, cada quadrícula corrspond a uma unidad. a. Dtrmin mntalmnt u = QR + RS + ST + TQ. b. Quais são as coordnadas dos vctors QR, RS, ST TQ? Confirm analiticamnt qu a rsposta qu du na alína antrior stá corrcta. c. Vrifiqu s o quadrilátro [RSTQ] é um R 4 Q trapézio. d. Dois dos lados do quadrilátro são iguais. Quais são ls? 5. Quais são os lados m qu o comprimnto d um é o dobro do comprimnto do outro. f. s pontos S, Q são colinars? Prov-o. g. S o quadrilátro sofrr uma translação sgundo o vctor RQ, quais vão sr as coordnadas dos vértics do novo quadrilátro? S - -4 T. A pirâmid quadrangular rcta [VMNP] tm a bas assnt no plano, a arsta da bas md 6 unidads z V a altura da pirâmid é 7. a. Quais são as coordnadas dos pontos P, M V? b. Quais são as coordnadas são: PM, MV V? c. Quanto mdm as arstas latrais da pirâmid? N d. A pirâmid sofru uma translação o vértic V ficou a ocupar a posição. Qual é o vctor u qu dfin a P M translação quais são as novas coordnadas dos vértics? Profssora: Rosa Canlas 1 Ano Lctivo 009/010

2 3. s pontos K L são os pontos médios dos lados não parallos do trapézio [EFGH] num rfrncial o.n. m qu uma quadrícula corrspond a uma unidad. a. Escrva as coordnadas dos vértics do trapézio calcul as coordnadas d K L. b. Mostr qu o vctor KL é parallo aos vctors EF GH. c. Mostr qu a norma d KL é a média aritmética das normas d EF GH. d. Vrifiqu s o ponto J(0,4), qu não é visívl na figura, é colinar com E G. Profssora: Rosa Canlas Ano Lctivo 009/010

3 Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa nº 16 Proposta d Rsolução VECTRES N PLAN E N ESPAÇ 1. No rfrncial ortonormado da figura, cada quadrícula corrspond a uma unidad. a. u = QR + RS + ST + TQ = 0 porqu a soma dos vctors qu constitum uma cadia é o vctor nulo. QR = 3, 1 b. d Q para R andamos três quadrículas para a squrda uma para R 4 Q baio. RS = 1, 4 d R para S andamos uma 5 quadrícula para a dirita quatro para baio ST = 4, 1 d S para T andamos quatro S - quadrículas para a dirita uma para baio TQ =,6 d T para Q andamos duas -4 T quadrículas para a squrda sis para cima. u = 3, 1 + 1, 4 + 4, 1 +,6 = 0,0 Podmos agora vrificar qu: c. [RSTQ] é um trapézio s tivr dois lados parallos. Como [RQ] [ST] não são parallos como s vê na figura dsnhada m rfrncial ortonormado vamos avriguar s [RS] RS = 1, 4 TQ =,6 qu srão [QT] são parallos, analisando os vctors parallos s as coordnadas form proporcionais não são parallos portanto o quadrilátro não é trapézio. o qu prova qu os vctors d. Para sabr quais os lados qu são iguais vamos calcular as normas dos 4 vctors. QR = = 10 RS = = 17 ST = = 17 TQ = + 6 = 40 = 10 Concluímos qu os lados qu são iguais são [RS] [ST]. Profssora: Rosa Canlas 3 Ano Lctivo 009/010

4 . s lados m qu o comprimnto d um é o dobro do comprimnto do outro são [TQ] [QR]. f. Para sabrmos s S, Q são colinars vamos vr s os vctors S Q são parallos. ra S = ( 1, ), Q = ( 1,3 ) 1 logo os vctors não são parallos os 1 3 pontos não são colinars. g. S o quadrilátro sofrr uma translação sgundo o vctor RQ, as coordnadas dos vértics do novo quadrilátro obtêm-s adicionando às coordnadas dos vértics iniciais as do vctor RQ. Assim R = R + RQ = Q = (1,3) T = ( 3, 3) + ( 3,1) = ( 6, ) Q ( 1,3 ) ( 3,1) ( 4, 4) = + =. ; S = ( 1, ) + ( 3,1) = (, 1) ;. A pirâmid quadrangular rcta [VMNP] tm a bas assnt no plano, a arsta da bas md 6 unidads z V a altura da pirâmid é 7. a. As coordnadas dos pontos P, M V são: P(6,0,0); M(6,6,0) V(3,3,7) b. As coordnadas são: PM = ( 0,6,0 ) - d P para M N andamos sis unidads para a dirita, MV = V M = 3,3,7 6,6,0 = 3, 3,7 V = V = 3, 3, 7. P M c. A mdida das arstas latrais é dada pla norma d um dos vctors MV ou V. MV = = 67 8,. d. S V vai ocupar a posição o vctor é V as coordnadas d cada vértic obtêm-s somando às suas coordnadas as d V. V (0,0,0) ; (-3,-3,-7); P (3,-3,-7); M (3,3,-7) N (-3,3,-7). 3. s pontos K L são os pontos médios dos lados não parallos do trapézio [EFGH] num rfrncial o.n. m qu uma quadrícula corrspond a uma unidad.. As coordnadas pdidas são: E(-1,1); H(-1,-); F(5,4) G(7,) K, = 1, L, = ( 6,3). Profssora: Rosa Canlas 4 Ano Lctivo 009/010

5 1 7 KL = 6,3 1, = 7, ; EF = ( 5,4) ( 1,1 ) = ( 6,3) GH = 1, 7, = 8, 4. Vrifiqumos s são parallos: EF é parallo a GH porqu f. Comcmos por calcular 6 ( 4) = 3 ( 8) 4 = 4 KL é parallo a GH porqu 7 7 ( 4) = ( 8) 8 = 8. Logo os três vctors são parallos. g. Comcmos por calcular EF = = = 45 = 3 5 GH = = = 80 = KL = = + = = ; 4 4 Vrificando qu = podmos concluir qu a norma d KL é a média aritmética das normas d EF GH. h. Para vrificar s J(0,4) é colinar com E G vamos calcular as coordnadas dos vctors JE JG JE = 1,1 0,4 = 1, 3 para vrificar s são colinars. JG = 7, 0,4 = 13,. Como ( 1) ( ) ( 3) ( 13) 4 39 podmos concluir qu os vctors não são parallos por isso os pontos não são colinars. Profssora: Rosa Canlas 5 Ano Lctivo 009/010