Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 7 GRUPO I 1. Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. Quantas faces e quantas arestas tem esse prisma? (A) n faces e n arestas (B) n faces e 3n arestas (C) n + faces e n arestas (D) n+ faces e 3n arestas. Em referencial o.n. Oxyz, considere: a esfera E definida pela condição x + y + z 4 a recta r definida pela condição x = 0 z = A intersecção da esfera E com a recta r é: (A) um segmento de recta de comprimento (B) um segmento de recta de comprimento 4 (C) (D) um ponto o conjunto vazio. 3. Num referencial o.n. Oxyz, a condição ( ) x + y + z 4 define uma esfera. Qual das equações seguintes define um plano que divide essa esfera em dois sólidos com o mesmo volume? (A) x = 0 (B) x = 1 (C) x = (D) x = 3 Professora: Rosa Canelas 1

2 4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta. a face [ABCD] está contida no plano xoy a aresta [DC] está contida no eixo Oy o ponto D tem coordenadas ( 0,,0 ) Os pontos de coordenadas (,,0 ) e ( 0,4,0 ) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de recta cujos extremos são estes dois vértices? (A) ABC (B) ACG (C) BDH (D) BCF 5. Na figura 1 está representada, em referencial o.n. xoy, uma circunferência de centro no ponto P(, 1) Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? (A) ( ) ( ) x + y x 0 (B) ( ) ( ) x + y y 0 (C) ( ) ( ) x + + y 1 4 y 0 (D) ( ) ( ) x + + y 1 4 x 0 GRUPOII 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas (,,0 ) Professora: Rosa Canelas

3 O volume do sólido é igual a Determine a cota do ponto E. 1.. Defina por uma condição a recta QU Determine uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T e que contém o ponto C O plano BDE intersecta o sólido da figura, desenhe a secção produzida pelo plano no sólido e determine a sua área.. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular não regular [ABCDEF] as bases são triângulos isósceles ( AB = AC e DE = DF) a base [ABC] está contida no plano xoy as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases o ponto A tem coordenadas ( 4,0,0 ) o ponto E tem coordenadas ( 0,3,8 ) o ponto F é simétrico do ponto E, relativamente ao plano xoz.1. Indique as coordenadas de B, C, D e F... Defina por uma equação o plano que contém a base [DEF].3. Determine a área lateral do prisma. 1 AC + DB = AB 3. Considere um paralelogramo [ABCD]. Mostre que ( ) A B M D C Professora: Rosa Canelas 3

4 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 7 Proposta de resolução GRUPO I 1. (D) Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. O número de faces e de arestas nesse prisma é n+ faces ( as n faces laterais e as duas bases) e 3n arestas ( n de cada uma das bases e n das arestas laterais). (C) Em referencial o.n. Oxyz, consideremos: a esfera E definida pela condição x + y + z 4 a recta r definida pela condição x = 0 z = A intersecção da esfera E com a recta r é um ponto porque a recta é tangente à esfera no ponto de coordenadas ( 0,0, ) pois a esfera tem centro na origem e raio. 3. (A) Num referencial o.n. Oxyz, a condição ( ) x + y + z 4 define uma esfera. Um plano que divide essa esfera em dois sólidos com o mesmo volume é o plano de equação x = 0 porque passa no centro da esfera que é o ponto de coordenadas ( 0,0, ). 4. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta. a face [ABCD] está contida no plano xoy a aresta [DC] está contida no eixo Oy o ponto D tem coordenadas ( 0,,0 ) Os pontos de coordenadas (,,0 ) e ( 0,4,0 ) são vértices do cubo respectivamente os vértices A e C. O plano mediador do segmento de recta cujos extremos são estes dois vértices é o plano mediador do segmento de recta [AC] que é BDH. 5. (B) Na figura 1 está representada, em referencial o.n. xoy, uma circunferência de centro no ponto P(, 1) x + y y 0 A condição que define a região sombreada é ( ) ( ) Professora: Rosa Canelas 4

5 GRUPO II 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy. Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR]. O ponto Q tem coordenadas (,,0 ) O volume do sólido é igual a Determinemos a cota do ponto E. Do enunciado concluímos ser a aresta do cubo pelo que o volume do cubo é então que o volume da pirâmide é 10 8 =. de E é 3. 3 = 8 fica Por observação da figura ao lado podemos concluir que a base da pirâmide tem área igual a metade da área da face do cubo ou seja como a área da face do cubo é 4 a área da base da pirâmide é e utilizando a fórmula do volume da pirâmide podemos obter a altura que é a cota de E. 1 = h h = 3. A cota Para definirmos por uma condição a recta QU vamos ter em conta que a recta é a intersecção de dois planos o plano que contém a face [PQTU] de equação x = com o plano que contém a face [QRVU] que tem equação y =, então a equação da recta QU é x = y = Uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T (,0, ) e que contém o ponto C( 1,,0 ) ou seja tem raio igual a: ( ) ( ) ( ) TC = = = 3 Uma equação da superfície esférica é ( ) ( ) x + y + z + = O plano BDE intersecta o sólido da figura, a secção produzida pelo plano no sólido está desenhada na figura e para determinar a sua área vamos calcular a área do quadrado de lado e a área do triângulo de base igual a e altura igual a 3: 3 A = + = = 7 Professora: Rosa Canelas 5

6 . Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma triangular não regular [ABCDEF] as bases são triângulos isósceles ( AB = AC e DE = DF) a base [ABC] está contida no plano xoy as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases o ponto A tem coordenadas ( 4,0,0 ) o ponto E tem coordenadas ( 0,3,8 ) o ponto F é simétrico do ponto E, relativamente ao plano xoz.1. As coordenadas de B, C, D e F são B( 0,3,0 ), C( 0, 3,0), D( 4,0,8 ) e F( 0, 3,8).. Uma equação que define o plano que contém a base [DEF] é z = 8.3. A área lateral do prisma é igual à área das faces [ABED], [ADFC] e [CBEF], as duas primeiras são rectângulas iguais, mas diferentes do rectângulo que é a terceira face. Calculemos AB : AB = AB = AB = 5 Então a área lateral é A = = = 18 1 AC + DB = AB 3. Consideremos um paralelogramo [ABCD]. Mostremos que ( ) Ora ( AC + DB) = AC + DB = AM + MB = AB A B M D C Professora: Rosa Canelas 6

7 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Geometria no Plano e no Espaço I Trabalho de casa nº 7 Critérios de correcção Grupo I D C A C B Grupo II Calcular o volume do cubo.. 5 Calcular a área da base da pirâmide Calcular a cota de E Escrever x = y = Calcular o raio TC Escrever a equação ( ) ( ) x + y + z + = Desenhar a secção. 5 Calcular a área da secção Escrever as coordenadas dos 4 pontos (x4). 8.. Escrever a equação z = Calcular AB ou AC Calcular a área de [ABED] ou [ADFC] Calcular a área de [CBEF] Calcular a área lateral Total 100 Professora: Rosa Canelas 7