Resoluções de Exercícios

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1 Rsoluçõs d Exrcícios MATEMÁTICA II Conhc Capítulo 07 Funçõs Equaçõs Exponnciais; Funçõs Equaçõs Logarítmicas 01 A) log 2 16 = log = 4 log 2 2 = 4 B) 64 = 2 6 = 2 6 = 6 log 2 2 = 4 C) 0,125 = = 2 3 = 3 log 2 2 = D) log 0,0001 = log10 4 = 4 log10 = 4 E) colog = log = log10 3 = 3 log10 = 3 F) n 7 = 7 n = 7 G) log = 3 1 = = = 01 D Rsolvndo a quação, ncontramos Por consguint, tmos m n = 7 2 = 5 02 D Pod-s rscrvr a quação 3 x 3 x x 3 3 x 4 = 56 utilizando as propridads da potnciação: Fazndo 3 x = y, pod-s scrvr: Como 3 x = y tm-s: y = 3 x = 81 x = 4 02 E 03 C H) = 2 10 = 2 10 = 10 = I) n = n 2 = 2 n = 2 J) log 25 0,2 = = 5 1 = 1 = Multiplicando-s a primira quação por 3 somando com a sgunda, tmos: ou sja, uma solução srá o par ordnado (2; 8), portanto, a b = 2 8 = 256. Qurmos calcular t, para o qual s tm Daí: 03 A 3 2x 4 3 x 45 = 0 Fazndo 3 x = y > 0 y 2 4y 45 = 0 y = 5 ( convém) y = 9 3x = 9 x = 2 01 log 10 = log 10 + log10 = = log 10 4 log [log log 10 10] = 01 C Para Logo, Para = 2log log = = log 10 2 = (0, 30) 0,50 = 0,75 0,50 = 0,25 02 log 3 = log 3 (b 2 a) log 3 ( ) = log 3 b 2 + log 3 a log 3 c = 2log 3 b + log 3 a log 3 c 12 MATEMÁTICA Volum 04 MATEMÁTICA II

2 03 B Condição d Existência m R 3x + 4 > 0 y 1 > 0 x > y > 1 Rsolvndo o sistma, tmos: 3x + 4 = 10x 10 7x = 14 x = 2 y = 2 Logo, (a; b) = (2; 2) a b = 4 04 D O tmpo ncssário para qu um capital C tripliqu, aplicado a uma taxa d 12% capitalizado mnsalmnt, é dado por: isto é, 9 mss 0,4 30 = 12 dias. 01 D Do gráfico, tmos 01 D Fazndo x = 12,5, tmos: Logo,, portanto, s o modlo stivr corrto, o aumnto na quantidad d micro-organismos ntr t = 4 t = 8 horas dv tr sido d 02 B L = 32, (log 20 + log600) L = 32, (log 2 + log 10 + log3 +log2 + log100) L = 32, (4,08) L = 114,04 db Em 2 horas trmos: Na tabla, o bacilo qu causa a diarria é o Eschrichia coli. 50 = 10 2 n 02 E 2 n = 5 log 2 n = log 5 n log 2 = log 10 log 2 n 0,3 = 1 0,3 n = Logo, horas, aproximadamnt, 26 minutos. t = 1, rprsnta t = 16, rprsnta o ano d Para x > 0 x 1, tmos: 4 8 log 2 x 9 = 0 (log 2 x) 2 8(log 2 x) 9 = 0 Fazndo log 2 x = y y 2 8y 9 = 0 = MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volum D 2 x = 2 3y+3 3 2y = 3 x 9 Substituindo I m II, 2y = 3y y = 6 x = 21 Logo, x + y = x x x = x 27 3 x 3 x = x = x = 9 x = 2 S = {2}

3 03 B = x Portanto, = E 2 2 x + = 12. Faça 2 x = y (não convém) 10 B Sja n o númro d acrtos do aluno. A cada acrto, o aluno fica com sus pontos multiplicados por a cada rro, fica com sus pontos multiplicados por Dss modo, sabndo qu o aluno ficou dvndo 13 pontos, tmos qu Portanto, o aluno acrtou 5 prguntas rrou 8 5 = 3. 2y + = 12 2y 2 12y + 16 = 0 y 2 6y + 8 = 0 y = 2 2 x = 2 x = 1 y = 4 2 x = 4 x = 2 S = {1; 2}. 05 C m 0 = 10 m = 2,5 m = 2 x = 2x = 2 2 x = 2 mias-vidas. Logo, a idad do sr vivo é igual a: = anos. 06 E m = 0,03125 m 0 m = 0,03125 = 2 x = 32 x = 5 mias-vidas. 07 C i(t) = 240 a t 08 D 09 B 1 o ) 80 = 240 a 15 a 15 = 2 o ) i(7,5) = 240 a 7,5 = 240 (a 15 ) = 240 i(7,5) = = a Part: Ao chgar m B, l tinha N = 2 x passagns. O barco sai com passagiros. 2 a Part: Ao chgar m C l dixou mtad do qu tinha saiu com: N = + = 28 = 28 + N + 2 N = N = 56 N + 6 N = N = 112 N 36N = N + N 2 N 2 260N = 0 Logo, N é divisor d 128. D acordo com as informaçõs, vm 01 E Fazndo os cálculos: 02 C Do gráfico, tm-s qu o saldo dvdor inicial é R$ 500,00 Além disso, como a capitalização é composta, podmos concluir qu a parcla mnsal d juros é variávl. Finalmnt, supondo uma taxa d juros constant igual a 10% ao mês, tríamos, ao final d 6 mss, um saldo dvdor igual a Portanto, comparando ss rsultado com o gráfico, podmos afirmar qu a taxa d juros mnsal é suprior a 10%. 03 D 04 C A mtad da quantidad inicial s dsintgrará quando S = 05 C 06 E = 2 0,25. t 1 = 2 1 0,25 t 1 0,25 t = 0 0,25 t = 1 t = = t = 4 anos S(t) = 2 0,5 t H(t) = 2 t A B ncontram-s quando:. Então: 2 0,5 t = 2 t 1 7 = 8 2 t 8 2 t + 7 =1 Sja = y y 2 = 2 t. Substituindo na quação, obtmos: 8 y 2 + 7y 1 = 0 = = 81 y = y = 1 não convém, pois y = > 0. Logo, y = 2 3 = 2 3 = 3 t = 6 Portanto, t é divisor d a Part: Após 20 h a massa do matrial srá após 40 h a massa srá igual a. Então: = ( ) 40 2 a Part: Cálculo do 40 Q(20) = Q ( 20 ) 2 = 40 = 07 Sabndo qu V 0 = , tmos qu o valor d vnda daqui a três anos é igual a 14 MATEMÁTICA Volum 04 MATEMÁTICA II

4 08 C A ára do trapézio ABCD é dada por: 07 E 80 = log 10 l log 10 l = 4 I = 10 4 W/m A população d bactérias após 10 minutos é dada por P(10) = P 0 k 10, supondo t m minutos. Logo, = 10k = Q. Após 60 minutos, a população d bactérias é dada por P(60) = P 0 k 60. Portanto, 08 E S = 18 log(t + 1) + 86 S = 18 log(9 + 1) + 86 S = S = 68 Rsposta: O xpont é D Na função tmos qu m é a população inicial (para t = 2011) n = 1 + i é o fator d crscimnto, sndo i a taxa d crscimnto na forma dcimal. Dss modo, 09 A Quando o bloco stivr totalmnt drrtido, sua massa srá M = 0. Dtrminando, agora a altura, para M = 0. Dtrminando o tmpo d quda: Portanto, o rsultado pdido é: 01 A) log 100 = log 10 2 = 2 B) = 32 C) n = log = 1 D) n 6 = 6 E) log 2 = log = 10 F) log = log = 5 G) 8 = 2 3 = 3 10 A 90 = 10log log = 9 = 10 9 I 1 = 10 9 I 0 60 = 10log log = 6 = 10 6 I 2 = 10 6 I 0 logo: = I 1 = I 2. H) 3 = 3 log = 3 = 16 I) log 0,001 = log 10 3 = 3 02 C J) log 2 0,25 = log 2 = log = 2 03 D Fatorando o primiro mmbro da quação, tm-s: 04 A) S = 18 log(t + 1) + 86 S = 18 log(9 + 1) + 86 S = S = 68 Rsposta: 68% B) 50 = 18 log(t + 1) = 18 log(t + 1) log (t+1) = 2 t + 1 = 100 t = 99 minutos = 1 hora 39 minutos. 05 B R B = (12 + log 10 l) bl R db = (12 + log 10 l) 10 dcibéis R db = ( log 10 l) dcibéis 06 C Motor d um avião 160 = log 10 l 1 10log 10 l 1 = 40 log 10 l 1 = 4 I 1 = 10 4 W/m 2 Esquina movimntada I = 10 4 W/m 2 Então, = = = C log a = p log x log a = log x p a = x p log b = q log x log b = log x q b = x q log c = r log x log c = log x r c = x r 02 C Daí: = x y = x y x 2q p r = x y y = 2q p r. x = log2 x = log x = y. (I) 10 x 1 = 15 = x = 150 (II) Logo, substituindo II m I, tmos: 150 = y y = A) Qurmos calcular o valor d t para o qual Assim, B) Qurmos calcular o valor d t para o qual f(t) = 40. Logo, MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volum 04 15

5 04 A 1 o ) Condição d xistência: x > 0 y > 0 Logo, = 16 y = 2 (y ) 2 = 2 2 y 0 = x 0 = E Cálculo d Juros Compostos Portanto: Qurmos calcular o valor d t para o qual s tm D(t) = 2 D(0). Portanto, tmos: O valor d 2x 0 + 4y 0 = = 2 (32) + = = C 05 B Sja n = (209) logn = log209 logn = 2,320 logn = 0,4640 n 2,910 (pois na tabla, quando n = 2,910, trmos logn = 0,464). 06 C log 8 (1 + t) 6 = log 2 (4t + 4) (1 + t) 6 = log 2 (4t + 4) 07 D log 2 (1 + t) 6 = log 2 (4t + 4) log 2 (1 + t) = log 2 (4t + 4) (1 + t) 2 = 4(t + 1) t = 1 (qu não convém) ou t = 3. Logo, a fsta acontcrá após 3 anos. 03 B Também sabmos qu: Ou sja, t = 15 minutos. 04 A Lmbrando qu com a, b, c rais 08 C Qurmos calcular o valor d t para o qual Então, sabndo qu k = 0,04 considrando obtmos 05 B n = 0,2t = 0,2t t = n 09 C A quantidad Q da substância no organismo, m g/ml após t minutos, pod sr dada por Q = Q 0 k t, com sndo o númro d Eulr. Logo, s a concntração inicial é 6 g/ml 48 min dpois passa a sr d 2 g/ml ntão: Portanto, a mia-vida da Cisplatina é tal qu: t = n 5 16 MATEMÁTICA Volum 04 MATEMÁTICA II 06 A ph = log ph = log = log10 8 = 8 log10 = 8 07 D N = log 10 I N 1 N 2 = 20 db ( log 10 I 1 ) ( log 10 I 2 ) = 20 [log 10 I 1 log 10 I 2 ] = log 10 = 2 = 100

6 08 C 1 + log 3 = 0 log 3 = 1 = 3 y = 6 2 log 2 = 0 log 2 = 2 = 4 = 16 y = C P(t) = (1 19%) t = (1 19%) t = (0,81) t 09 A 10 B 2 log 2 = t log 2 = 2 t = 2 2 t = 2 4 2t y = t O gráfico qu rprsnta y m função d t é o gráfico xponncial do itm A. t = 1 + log t = log 3 = t y = t 2 1 = log 10 2 = [4 log3 log ] t t 3,28 06 D Q(t) = 1 = (0,64) t (0,64) t = 2 1 t = t = 2 1 log 2 t = log2 1 2 log 2 = t log 2 = 2 t = 2 2 t = 2 4 2t y = t O msmo númro d bactérias ocorrrá quando: t = t log ( t ) = log ( t ) log2 + (1 + t) log3 = log3 + (4 2t) log2 t = = = horas 51 min 2 t log = log 2 2t [3 log 2 log10] = log 2 2t [0,90 1] = 0,30 2t ( 0,10) = 0,30 t = = = 1,5 h 07 A F(5) = 100 (1,2) 5 = 248,83. O númro N d bactérias após t príodos d 12 horas é igual a 10 2 t. Logo, m uma smana, trmos Portanto, 02 D Dados: S(x) = 4 x + 2 x + 1 D(x) = 2 x x + 2 x + 1 = 2 x x x + 2 x 40 = 0 (2 x ) x 40 = 0 Fazndo 2 x = y, tmos: y y 40 = 0, ond as raízs são: 03 C y 1 = 5 2 x = 5 x = log 2 5 = x = = = y 2 = 8 (não convém, pois 2 x > 0). 3 = 2 (0,05)x log = log 2 2 (0,05)x log log = (0,05) x log 2 2 1,6 + log 2 (5 2 4) = (0,05) x 1,6 + 2 log = x 3,6 + 2 (2,3) = x 8,2 20 = x x = 164 anos. Então, a tmpratura média da Trra aumntará 3 o C, no ano d ( ) = A P(t) = (1 19%) t V P(t) = (0,81) t V 08 D Sja a função R R dfinida por com p(m) sndo a capacidad d produção, m tonladas, no mês m. O valor d m para o qual é tal qu 09 E Fazndo M w = 7,3, tmos: 7,3 = 10,7 + log 10 M 0 18 = log 10 M 0 27 = log 10 M 0 M = E Sja k, com 0 < k < 1, a abscissa do ponto para o qual s tm ou sja, Assim, tmos isto é, Daí, vm Portanto, tmos MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volum 04 17

7 07 A Valor inicial é 5, = 5. Rduzindo à mtad, tmos: 01 E 5 = = n = n n = n1 n2 = n2 t = n2 2 t = n4 milissgundo. Logo, 08 D 1 o ) Condição d xistência: 1 y > 0 log y 49 log y 7 = log 2y 7 log y = log 2y 7 log y 7 7 = log 2y 7 02 B Logo, o produto das raízs srá dado por 1 ( 1) = o ) Condição d xistência: 1 x > 0 log x = 2x 3 = x 2x 3 log 7 y = log 7 2y log 7 y = log 7 2y y = 2y y = 0 não é solução ou y = 2 y = 2 y = 2 3 y = 09 E Qurmos calcular t para o qual s tm Sabndo qu a mia-vida do césio-137 é 30 anos, ncontramos x 4x = 2 x 2x 3 (x 2x 3 ) 2 2 x 2x = 0 2 o ) Fazndo x 2x 3 = a a 2 2a + 1 = 0 a = 1 x 2x 3 = 1 x 2x 3 = 1 2x 3 = 0 x = (x 1) S = Assim, tomando 0,3 como aproximação para log 10 2, vm 04 B Para qu a população brasilira sja 90% da suposta população d stabilização, dvrmos tr: 0,9 280 = ,019(t 1970) 0,019(t 1970) = n 0,019(t 1970) = n 0,019(t 1970) = 1,9 t 1970 = t = 2070 ou sja, o rsultado procurado é, aproximadamnt, 100 anos. 10 D log 10 E = 1,44 + 1,5M 1 a ) M = 9 log 10 E = 1,44 + 1,5 9 = 14,94 E = 10 14,94 2 a ) M = 8 log 10 E = 1,44 + 1,5 8 = 13,44 E = 10 13,44 = = 10 1,50 = /2 = /2 05 A 1 a Part: Tmpo total para o transport da torr: T = 10 min + 30 sg = 600 s + 30 s = 630 sg = E Chil = 31 E EUA. Daí, o númro d jogadas srá: = a Part: 2 n 1 = 63 2 n = 64 n = C k ( ) 8 = 7 8 = 7 14k = 14 k n = n 14 k 14 k = n8 n7 k = 9 = 7 k(t 2011) n n k(t 2011) (t 2011) n9 n7 k n n9 n7 = k (t 2011) n9 n7 = (t 2011) 14 = t ,88 = t 2011 t = 2037,32 Portanto, a altrnativa C é a corrta. 01 A) = 1 000( ,003x ) 6 = 24 0,003x = 0,003x n2 2 = n 0,003x 2 n2 = 0,003x n 2 0,69 = 0,003x x = 460 B) 1 000( ,003x ) > ,003x > 0 0,003x 0 (impossívl) Logo, a afirmação do dirtor stá corrta. 18 MATEMÁTICA Volum 04 MATEMÁTICA II

8 01 A) x 4 = 14 x 4 = 14 ou x 4 = 14 x = 18 ou x = 10 S = {18, 10} B) 2x + 8 = 20 2x + 8 = 20 ou 2x + 8 = 20 x = 6 ou x = 14 S = {6, 14} C) x 10 7 = 4 x 10 7 = 4 ou x 10 7 = 4 x 10 = 11 ou x 10 = 3 x 10 = 11 ou x 10 = 11 x = 21 ou x = 1 3 o ) Exist x, x 8, qu sja raiz? Sndo k a distância d x até 8, tmos: x 5 + x 8 = 11 k k = 11 2k = 8 k = 4 Logo x = = 12 x = 12 é raiz S = {1; 12} x 10 = 3 ou x 10 = 3 x = 13 ou x = 7 S = {13, 7, 1, 21} D) x 5 + x 8 = 11 1 o Modo: Análiss plas dfiniçõs: Cálculo auxiliar: x 5 = Anális: 1 o o ) S x 5, tmos: ( x + 5) + ( x + 8) = 11 2x = x = 2 x = +1 Como 1 < 5 ntão x = +1 x 8 = 2 o ) Para 5 < x < 8. x 5 + ( x + 8) = 11 3 = 11, absurdo. Logo, não xist x, 5 < x < 8, qu satisfaça. 3 o ) Para x 8 x 5 + x 8 = 11 2x = 24 x = 12 As raízs são x = 1 ou x = 12 S = { 1, 12} 01 C Dados: Somnt 1 das afirmaçõs abaixo é vrdadira. I) B não é azul. II) A é azul. III) C não é amarla. A) Supondo qu a afirmação I é vrdadira, a bola B podria sr amarla ou vrd. No ntanto, as afirmaçõs II III sriam falsas. Daí, tmos dois casos a analisar: 1 a ) B sndo amarla, implicaria m A vrd C azul, qu tornaria a afirmação III vrdadira, contradizndo a hipóts inicial. 2 a ) B sndo vrd, implicaria m A amarla C azul qu tornaria a afirmação III vrdadira isso novamnt não satisfaz à hipóts inicial. Diant disso a afirmação I não pod sr a vrdadira. B) Supondo qu a afirmação III é vrdadira, a bola C podria sr vrd ou azul as afirmaçõs I II sriam falsas. Not qu: 1 a ) s C for vrd, trmos A amarla, pois a afirmação II é falsa, B sria azul. 2 a ) s C for azul, trmos B também azul, pois a afirmação I é falsa. Duas bolas com a msma cor não convêm. Conclusão: A é amarla, B é azul C é vrd. 2 o Modo: Saída Vip: (usando o concito d distância) x 5 = distância d x até 5 x 8 = distância d x até 8 1 o ) Srá qu xist raiz mnor qu 5? Suponha qu xista um númro ral x qu sja raiz x < 5. Sndo d a distância d x até 5, tmos: x 5 + x 8 = 11 d + d + 3 = 11 2d = 8 d = 4 S d = 4, ntão x = 5 4 = 1 x = 1 é raiz 2 o ) Suponha qu xista uma raiz x ral, 5 x < 8. Daí: 01 C Rh + Rh -- TOTAL Tipo O TOTAL Ára máxima = = cm 2 Rh Rh ) = = = = E S o trabalho E dv sr o trciro a sr ralizado os trabalhos B D dvm sr ralizados ants do A, por lógica, pod-s concluir qu o quarto trabalho só pod sr o B ou o D, conform figura a sguir. x 5 + x 8 = 11 d + 3 d = 11 3 = 11. (Absurdo!) Logo, não xist x, 5 x < 8, qu satisfaça. MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volum 04 19

9 02 B Sndo x um númro ral maior do qu 1, tmos 03 C Logo, sgu qu o discriminant do trinômio dv sr mnor do qu ou igual a zro. Daí, vm implicando m Portanto, o maior valor d k é 2. y < y > (6y 1) 5y 10 6y 1 5y 10 6y + 1) 5y 10 6y 1 5y 10 11y 11 y 9 y 1 S 1 = {y R/y 1} S 2 = {y R/y 1/6} 07 C Quando a cooprativa rcb uma fruta d 320 gramas, ssa fruta trá um, somnt um, dos dstinos abaixo: I. S a aparência da casca a rigidz da fruta stivrm normais, ntão la srá nviada para comrcialização no mrcado intrno. II. S a aparência da casca ou a rigidz da fruta não stivrm normais, a fruta stivr podr, ntão la srá nviada para compostagm. III. S a aparência da casca ou a rigidz da fruta não stivrm normais, a fruta não stivr podr, ntão la srá nviada para a fábrica d glias. Portanto, ncssariamnt, a fruta não srá nviada para comrcialização no mrcado intrno. 08 S 1 U S 2 = R 04 C Domínio da função: R Dvmos ntão considrar a altrnativa [C] como vrdadira. 05 D Supondo M(t) > N(t) para algum t ral positivo, vm Portanto, após 3 anos, a população da cidad M srá smpr maior do qu a da cidad N. 06 Cláudio studa administração: Informática Mio Ambint Música Administração Cláudio Sim Albrto Ana Carol R 09 D Plas condiçõs d xistência dos logaritmos, dvmos tr x < 2. Logo, R 10 C 1 a psagm: Colocam-s 6 quijos m cada prato, o mais lv contém o quijo com mnos d 1 kg. Tomamos sts 6 quijos vamos para a 2 a psagm. 2 a psagm: Colocam-s 3 quijos m cada prato, o mais lv contrá o quijo com mnos d 1 kg. Sparamos sts 3 quijos ftuamos a 3 a psagm do sguint modo: 3 a psagm: Coloca-s 1 quijo m cada prato dixamos 1 quijo d fora. Então, s a balança s quilibrar, o quijo com mnos d 1 kg é o qu ficou fora. Caso contrário, é óbvio qu o qu psar mnos é o quijo procurado. Qum faz Mio Ambint não studa na msma scola com os outros três alunos. Portanto, Ana não faz Mio Ambint. Informática Mio Ambint Música Administração Cláudio Sim Albrto Ana Carol Ana Carol não fazm Informática, pois s conhcm. Portanto, Albrto faz Informática, Ana faz Música Carol faz Mio Ambint. Informática Mio Ambint Música Administração Cláudio Sim Albrto Sim Ana Sim Carol Sim Trmos ntão: Cláudio faz Administração. Albrto faz Informática. Ana faz Música. Carol faz Mio Ambint. 20 MATEMÁTICA Volum 04 MATEMÁTICA II