3. Distribuição espacial aleatória

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1 3. istribuição spacial alatória Em divrsos procssos logísticos d colta distribuição é important stimar a quantidad d pontos d colta ou distribuição d uma ára d atndimnto, a fim d qu s possa dimnsionar alocar suprimntos, frotas, custos pssoal a sts pontos. Essas stimativas rqurm um tratamnto probabilístico qu rlacion a quantidad d pontos à sua dnsidad média ou às dimnsõs d uma ára d atndimnto. OVAES [989] comnta qu o procsso d Poisson, já muito utilizado por suas propridads d alatoridad m problmas d transports como, por xmplo, o númro d vículos m posto d pdágio, númro d acidnts m rodovias, a chgada d passagiros ao chck-in d um aroporto, sria o mlhor procsso probabilístico a sr aplicado para stimar o númro d pontos m uma ára d atndimnto. Portanto, a fórmula clássica d Poisson para qu s obtnha a probabilidad d ocorrr K vntos m um intrvalo fixo d tmpo [0,t] é: ond: [ X t) K ] P [ X ( t) K] k λt ( λt), para t 0, K 0,,,... K! P ( Probabilidad d ocorrr K vntos no intrvalo [0,t]; λ Constant positiva qu rprsnta a taxa média d ocorrência d vntos por unidad d tmpo. LARSO & OOI [98] aprsntam a distribuição d Poisson para um procsso spacial da sguint forma: k λa( S ) ( λa( S)) P[ X ( S) K ] para A ( S) 0 K0,,,... K! ond: S Uma rgião dlimitada; X (S) O númro d vntos contidos m S; K úmro d vntos; λ nsidad média d vntos por ára A(S) Ára da rgião S, ond ocorrm os vntos.

2 44 o caso d uma distribuição d Poisson, as msmas proposiçõs utilizadas na forma tmporal podm sr rptidas na forma spacial, ou sja: X(S) 0 P s A ( S) > 0 ; 0< [ X ( S) > 0] < S ( S) 0 A ntão { X ( S) } 0 P ; S os vntos m A ( S) A( S) são rgidos plo procsso d Poisson, ond: P P [ X ( S) K] [ X ( S ) K ] K λa( S ) ( λa( S)) K! ( λa( S)) K! K λa( S ) para A( S) A ( S) {Ø}, A ( S) + A ( S) A (S) K K + K. Pod-s afirmar qu: P [ X ( S) K ] ( λa( S)) K! k λa( S ) { } { } P X ( S) Alim0 ( S ) P X ( S) E(X) λ A(S) ; VAR(X) λ A(S) ; ; Outra propridad intrssant na distribuição d Poisson é a sua rlação com a distribuição ormal ou Gaussiana. SPIEGEL [003] mostra qu s X é a variávl d Poisson, formulada antriormnt, ( X λ) / λ é a corrspondnt variávl alatória padronizada, ntão: ond: lim P( a λ X λ b) λ b π a µ / du

3 45 µ A média d vntos para uma distribuição ormal. Isto significa qu a distribuição d Poisson tnd para a distribuição ormal, quando λ ou qu ( X λ) / λ é assintoticamnt normal. OVAES [989] acrscnta qu, na prática, para E(X) 5, pod-s aproximar a distribuição d Poisson por uma distribuição ormal com média variância iguais. LEAL [003] aprsnta um xmplo para a stimativa d númro d pontos d atndimnto m uma ára com uma distribuição spacial alatória, ond mostra as propridads d uma distribuição d Poisson. Tm-s, ntão: sja-s calcular a variação dos númros d pontos srvidos m uma distribuição d garrafõs d água ralizada uma vz por smana, ond a dnsidad média populacional é d 000 habitants por Km, o consumo médio é d 0,0 garrafão d água por habitants por mês a ára d ntrga é d 4 Km. O númro d garrafõs,e(), srvidos por smana é: E() λ At, para λ (000hab / km ) 0,0garrafão /( hab ms) ; A4Km ; t7 dias. 000hab 4km 0,0garrafão 7dias E( ) 373, 33garrafõs km. hab.30dias Est é o númro médio d garrafõs qu dvrão sr srvidos para uma viagm smanal d atndimnto à ára. Considrando a variância( ) igual à média (propridad d Poisson), tm-s: 373,33 9,3garrafõs

4 46 Como E()373,33 garrafõs é maior qu 5, pod-s aproximar a distribuição d Poisson por uma função ormal. Então, para um intrvalo d confiança d 95%, tm-s como limits da variação d E(): E ) (, ond: E( ),96 E( ) +,96 Portanto, E() varia no intrvalo[335,46;4,]. 3.. A distância ntr pontos próximos Um problma típico d Logística é avaliar a distância ntr pontos próximos d uma rgião qu stão distribuídos por um procsso d Poisson. Essa avaliação ocorr no dimnsionamnto d srviços d mrgência públicos, quips d manutnção técnica patrulhamntos. Essa distância é calculada d acordo com as métricas uclidiana rtangular. Para a métrica uclidiana LARSO & OOI [98] xmplificam st problma logístico, concbndo uma rgião d ára A com pontos d rspostas d mrgência com um dnsidad dγ pontos por unidad d ára. Os autors dtrminam a distância ntr um ponto d incidnt qualqur o ponto mais próximo d rsposta. A solução sgu os sguints passos: Considr o ponto d incidnt com coordnadas (x,y); Construa um círculo d raio r m torno do ponto d incidnt (x,y); A probabilidad qu haja xatamnt K unidads d rsposta dntro do círculo d raio r é: P{ X ( círculo) K} ( γπr ) K γπr K! K 0,,,...

5 47 A probabilidad d não havr outro ponto no círculo, além do ponto cntral é: P{ X ( círculo) 0} γπr Sndo a distância do ponto cntral do círculo ao ponto mais próximo, tm-s a sguint função d distribuição acumulada: F F () r P{ r} P{ > r} γπr () r para r 0 A função dnsidad d probabilidad é: f d P{ X ( círculo) 0} d r ( r) F ( r) rγπ γπ r 0 dr Esta função é conhcida como uma istribuição d Rayligh com parâmtro γπ, tndo sua média dsvio padrão iguais a : π πγ E [ ] γ 0,5γ 0,6γ O coficint d variação da distribuição é: C v E[ ] π π 0,53 LARSO & OOI [98] stimam para a métrica rtangular, sguindo os sguints passos: Considr o ponto d incidnt com coordnadas (x,y); Construa um quadrado girado m 45, com a distância do ponto cntral dst quadrado a uma d suas arstas igual a r. A ára dst quadrado é igual a r ;

6 48 A probabilidad qu haja xatamnt K unidads d rsposta dntro do quadrado ond a mtad da diagonal é r, portanto o su lado é r pod sr scrita como: ( γ r ) γ r P{ X ( quadrado) K} K 0,,,... K! A probabilidad d não havr outro ponto no círculo, além do ponto cntral é: K P{ X ( quadrado) 0} γ r Sndo a distância do ponto cntral do quadrado ao ponto mais próximo, tm-s a sguint função d distribuição acumulada: F F () r P{ r} P{ > r} γ r () r para r 0 P{ X ( círculo) 0} A função dnsidad d probabilidad é: f d ( r) d dr r F ( r) 4rγ γ r 0 Esta função é conhcida como uma distribuição d Rayligh com parâmtro 4 γ, tndo sua média dsvio padrão iguais a : 4 π γ π 4γ E [ ] 0,67γ 0,37γ O coficint d variação da distribuição é: C v E[ ] 4 π 0,53 π OVAES [989] dstaca a igualdad dos coficints d variação das métricas rtangular uclidiana para distâncias ntr pontos próximos,

7 49 mncionando qu a variação rlativa m torno da média C v indpnd da métrica sguida. Adotando um xmplo d LEAL [003] para a stimativa d númro d pontos d atndimnto m uma ára com uma distribuição spacial alatória, tms: sja-s calcular a distância média o dsvio padrão d um ponto para o ponto mais próximo, para um srviço d rparação m uma ára d malha urbana mais ajustada para a métrica rtangular, ond a dnsidad d chamadas por km,γ, é d 0,7 o coficint d corrção da distância,k, ) é,3. A distância média na métrica rtangular é: E[ ] πγ π 0,7 0, 749Km 4 4 O dsvio padrão é: π π 0, 390km 4γ 4 0,7 Para um coficint d corrção(k) igual a,3, tm-s: E[ ],3.0,749Km 0,973Km,3.0,390 Km0,508 Km LARSO & OOI [98] rlatam qu, na prática, a maioria dos sistmas não s amolda intgralmnt aos postulados d uma distribuição d Poisson. Por isso, cab ao modlador d um sistma psar os bnfícios d utilizar um modlo simpls com uma distribuição d Poisson contra o custo d rsultados não prcisos o custo d dsnvolvimnto d modlos mais complxos. Os autors, ntão, aprsntam altrnativas d distribuição spacial para casos ond não s vrifica a propridad d falta d mmória d Poisson, isto é, ond a xistência ou não xistência d um procsso d distribuição m uma rgião não influncia um outro procsso d Poisson m áras próximas. Por xmplo, há casos ond a xistência d crtos pontos d comércio, indústria ou srviços atram para pontos próximos o msmo tipo d atividad. Obsrvam-s, ntão, ruas com

8 50 divrsas oficinas d carro, ou lojas d matriais para construção stors d bairro com um bom númro d clínicas médicas. Est procsso é conhcido como d Clustring. Por outro lado, há crtas atividads qu provocam a não ou pouca xistência d outras m áras próximas. Est procsso é conhcido como sprad ocorr com bibliotcas, suprmrcados fastfoods. A modlagm dos procssos d clustring sprad não é fácil d sr utilizada algumas adaptaçõs, portanto, são praticadas para contornar as dificuldads. Uma adaptação praticada plos psquisadors é considrar uma cidad ou rgião como um conjunto d células d msma dimnsão procurar dimnsionar o númro d pontos m uma particular célula. S os pontos stão distribuídos por um procsso d Poisson sab-s qu a média é igual à variância isso pod sr rprsntado por: ond: Variância; E [] Média. r, E[ ] Essa distribuição pod sr ilustrada dsta forma: Figura 9 - Ilustração d uma distribuição d Poisson Para o procsso d sprad, pod-s sprar qu mantida a média com os valors do Procsso d Poisson, havria mnos valors mais afastados mais

9 5 valors uniformmnt distribuídos m torno da média. Isto rsultaria m tr a variância mnor qu a média portanto: r < E[ ] Caso s tnha uma prfita distribuição, ond para cada célula há uma prfita rgularidad d pontos um msmo númro, a variância sria zro, o msmo ocorrndo com r. LARSO & OOI [98] comntam qu muitas vzs o procsso d sprad é chamado d procsso rgular. El pod sr ilustrado pla figura a sguir: Figura 0 - Ilustração d uma distribuição sprad Para o procsso d Clustring, havria muitas células sm algum ponto outras com maior númro d pontos qu a média prvista plo procsso d Poisson. Portanto nst caso a variância sria maior qu no procsso d Poisson ntão: r > E[ ] o caso xtrmo dst procsso, havria todas as células vazias xcto uma qu tria todos os pontos stimados, isto é, E[].

10 5 Est procsso pod sr ilustrado, dsta forma: Figura - Ilustração d uma distribuição clustring ROGERS [974] studou particulars procssos d sprad clustring, ligados ao procsso d Poisson qu são útis para a logística d varjo. O procsso d sprad d Rogrs é um procsso binomial. O procsso s dsnvolv, considrando a ntrada d pontos m uma célula d intrss num intrvalo d tmpo [0,t], sndo qu no instant 0 não há algum ponto. O qu s qur dtrminar é o númro d pontos qu havrá num instant t qualqur. A suposição inicial é qu os pontos comçam a ntrar na célula num procsso d Poisson, com uma taxa c por unidad d tmpo. Então, após o primiro ponto ntrar na célula, a célula s torna mnos atrativa, a ntrada do próximo ponto s dará a uma taxa c-b por unidad d tmpo (c>0, b>0). O procsso s dsnvolv tal qu após k chgadas a taxa é rduzida para c-kb. ROGERS [974] assum qu c/b é o númro intiro para o maior valor d k qu, portanto, a taxa d ntrada d pontos na célula para k max é c- k max b0. ROGERS [974] ilustra st procsso com o sguint diagrama:

11 53 c c-b c-b c-(k-)b c-kb c-(c/b-) b 0... k mc/b Figura - Procsso d sprad d Rogrs LARSO & OOI [98] aprsntam as sguints fórmulas para ss procsso: P c / b m bt m bt ( c / b) m m ( t) ( ) ( ) para m0,,,...,c/b t 0 ond: P m (t) a probabilidad d m pontos num instant t; c a taxa positiva inicial d ntrada plo procsso d Poisson; b a taxa positiva d prda d atratividad d ntrada na ára ou célula; E[ ] ( t) ond: [ ] ( t) c bt ( ) b c b bt ( t) ( ) E a média d pontos no instant t; (t) a variância. bt bt A razão r da variância pla média é r, um valor smpr mnor qu a unidad, concordando com as dduçõs d r para um procsso sprad aprsntadas antriormnt. Para o procsso clustring d ROGERS [974] a distribuição é binomial positiva. O modlo assum qu uma célula s torna mais atrativa com cada ntrada d pontos na célula. S a ntrada na célula comça com um procsso d Poisson a uma taxa c por unidad d tmpo. Então, após o primiro ponto ntrar na célula, a célula s torna mais atrativa, a ntrada do próximo ponto s dará a

12 54 uma taxa c+b por unidad d tmpo. E assim o procsso s dsnvolv tal qu após m chgadas a taxa srá d c+mb (c>0, b>0).. ROGERS [974] ilustra st procsso com o sguint diagrama: c c+b c+b c+(k-)b c+kb c+(n-)b c+nb 0... k... n Figura 3 - Procsso d clustring d Rogrs LARSO & OOI [98] aprsntam as sguints fórmulas para ss procsso: P ( t) m ond: c / b + m ( m ) ( ) bt m bt c / b para m0,,,...,c/b t 0 P m (t) a probabilidad d m pontos num instant t; c a taxa positiva inicial d ntrada plo procsso d Poisson; b a taxa positiva d ganho d atratividad d ntrada na ára ou célula; c bt E [ ] ( t) ( ) b ond: [ ] ( t) c ( b bt ( t) E a média d pontos no instant t; (t) a variância. ) bt A razão r da variância pla média é bt r, um valor smpr mnor qu a unidad, stando d acordo com as dduçõs d r para um procsso clustring aprsntadas antriormnt.