g) Faça o gráfico da média condicional de X dado Y = y versus y (a curva de regressão).

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1 ENCE CÁLCULO DE PROBABILIDADE II Smstr 9 Proa Monia Barros Lista d ríios SOLUÇÕES (PARTE) Problma Sjam X Y va ontínuas om dnsidad onjunta: (, ) +, a) Enontr a onstant qu a dsta prssão uma dnsidad b) Enontr a dnsidad marginal d X ) Enontr a dnsidad marginal d Y d) Enontr a dnsidad ondiional d X dado Y ) Enontr a média ondiional d X dado Y ) Enontr a variânia ondiional d X dado Y g) Faça o gráio da média ondiional d X dado Y vrsus (a urva d rgrssão) h) X Y são indpndnts Problma Considr a sguint dnsidad onjunta: 4 / (, ), >, >

2 a) Ah a dnsidad marginal d X b) Ah a dnsidad marginal d Y ) Calul Pr( X > Y < 4) Dia: u au du a au u a Problma 3 Suponha qu a dnsidad onjunta d X Y é dada por: k(4 ) s < < < < (, ) do ontrário a) Ah k qu torna sta prssão uma dnsidad b) Calul a média ondiional d X dado Y ond < < ) Faça o gráio da média ondiional d X dado Y d) Calul a variânia ondiional d X dado Y ond < < Problma 4 A dnsidad onjunta d X Y é: 3 (, ) k s < < 3 >

3 3 a) Ah k qu a dsta prssão uma dnsidad b) Ah a dnsidad ondiional d Y dado X ) Ah a média ondiional d Y dado X d) Ah a variânia ondiional d Y dado X ) Ah a dnsidad ondiional d X dado Y ) Calul a média ondiional d p(ty) dado X Sob qu ondiçõs st momnto ist? Problma 5 Sjam X, X, X 3 X 4 iid Epo() Usando os rsultados da aula 4 a órmula da onvolução, nontr a dnsidad d Y X + X + X 3 d W X + X + X 3 + X 4 Problma 6 Sjam X, X iid Epo() Qual a dnsidad d X dado a soma d X X? Solução Sja Z X + X Pla órmula do onvolução:

4 4 { } { } { } { } para p p p p > Z d d d Not qu a intgral na órmula da onvolução s transormou numa intgral m (, ) pois s uma das variávis ultrapassass (o valor da soma), a outra s tornaria ngativa, o qu não pod oorrr quando ambas as variávis são Eponniais A dnsidad d X ondiional ao valor da soma é: Z Z Z Z < < para,, Ou sja, DADO o valor da soma Z, X é Uniorm no intrvalo (, ), ond é o valor da soma Z Problma 7 Sjam X, X iid Poisson() Qual a unção d probabilidad d X dado a soma d X X? Problma 8 Sjam X, X iid Binomial(n,p) a) Mostr qu a soma d X X é Binomial(n, p) b) Qual a unção d probabilidad d X dado a soma d X X?

5 5 Problma 9 Sja X uma va Gom(p) om unção d probabilidad dada por: Pr( X ) q p para,, ond q - p Enontr Pr(X 4 X ) Problma A unção d probabilidad onjunta d X Y é dada na tabla a sguir: X 3 Y /8 6/8 /8 /8 /8 3 3/8 /8 a) Calul E(X Y j) para j,,3 b) Calul E (Y X i) para i,,3

6 6 ) X Y são indpndnts? S não, alul a ovariânia o oiint d orrlação ntr X Y Problma Sja X uma va Epo() Mostr qu E(X X > ) + / Dia: Solução Em primiro lugar é priso dtrminar qum é a dnsidad dinida apnas no intrvalo (, ) Not qu sta prisa sr uma dnsidad propriamnt dita, ou sja, intgrar a um Então prisamos ahar uma onstant tal qu: + > X d d / Pr Logo, a dnsidad Eponnial dinida a partir d é: para ) ( > Para nontrar o valor sprado dsjado: > d d X X E a u a du u au au

7 7 Problma Sja X uma va Uniorm(,) Ah E(X X < /) Solução A solução é análoga à do problma antrior Qual srá a nova dnsidad, agora rstrita ao intrvalo (,/)? A dnsidad original é s < < A nova dnsidad, rstrita a (, ½), é tal qu: / / () d Logo, a nova dnsidad (rstrita ao intrvalo (,/)) é: () s < < ½, ou sja, é a dnsidad Uni(, ½) A média ondiional dsjada é apnas: / / / E(X X < /) d 4 Problma 3 A dnsidad onjunta d X Y é dada por: (, ) s < < > a) Ah a média ondiional d X dado Y b) Ah a variânia ondiional d X dado Y

8 8 Solução O domínio da dnsidad onjunta é a rgião mostrada a sguir: O primiro passo é nontrar a dnsidad ondiional d X dado Y Esta é dada pla raão da onjunta pla marginal d Y A marginal d Y é: Y d para > Ou sja, a marginal d Y é uma Eponnial om média A dnsidad ondiional d X dado Y é: (, ) / ( ) para < < Y Ou sja, DADO Y, X é Uniorm no intrvalo (,) E qual a sua média ondiional? Plos rsultados da Uniorm, é / Faça as ontas para onirmar! Ou sja, E(X Y ) / Analogamnt, plas propridads da dnsidad Uniorm,

9 9 VAR(X Y ) / (omprov!) Problma 4 Sjam X, X, X 3 iid Uni(,) a) Usando os rsultados da aula 5 a órmula da onvolução, ah a dnsidad d Y X + X + X 3 b) Calul Pr(X + X + X 3 < ) Problma 5 Suponha qu X é solhido alatoriamnt m (,), X é solhido alatoriamnt m (,X ) X 3 solhido alatoriamnt m (, X ) a) Ah a dnsidad onjunta d X, X, X 3 b) Ah a dnsidad marginal d X 3 Problma 6 Sjam X Y iid Uni(,) Mostr qu a dnsidad ondiional d dado Z X + Y é Uni(,) s < Uni(-, ) s < <

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