Questão. Sinais periódicos e não periódicos. Situação limite. Transformada de Fourier de Sinais Contínuos

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1 Qusão Srá possívl rprsnar sinais não priódicos como soma d xponnciais? ransformada d Fourir d Sinais Conínuos jorg s. marqus, jorg s. marqus, Sinais priódicos não priódicos Siuação limi Um sinal não priódico é o limi d um sinal priódico ~ quando o príodo nd para infinio. ~ coficin da séri d Fourir L j k c d k k) séri d Fourir m qu L d Podmos xpandir o sinal priódico m séri d Fourir jorg s. marqus, j k x~ ( c k k E dixar qu o príodo nda para infinio. A frquência fundamnal nd para as frquências das xponnciais ocupam oda a rca ral. j k j k c k j k) L k k No limi quando L jorg s. marqus, d pod-s inrprar como soma d Rimann O sinal não priódico (d duração finia) pod sr sinizado como a soma (ingral) d um númro infinio d xponnciais complxas d frquência ] -,[.

2 Rprsnação d Fourir Espcro d fas d ampliud ransformada d Fourir j ) + d é o spcro do sinal A ransformada d Fourir d um sinal é um sinal complxo qu pod sr caracrizado por duas funçõs rais spcro d ampliud spcro d fas θ( ) ransformada invrsa d Fourir j d ou par ral do spcro { j )} X r ( R par imaginária do spcro { j )} X i ( Im A ransformada invrsa prmi sinizar o sinal como a soma d xponnciais complxas. A ransformada d Fourir calcula a ampliud (complxa) d cada xponncial. jorg s. marqus, jorg s. marqus, Sinal d fala (vogal /a/, masculina) Convrgência sinal no mpo príodo 8ms Quando é qu a ransformada d Fourir xis? Há vários ormas d convrgência com hipóss criérios d convrgência difrns: ) θ () X rad/s - spcro d Fourir harmónicas m múliplos d 5Hz X -5-4 jorg s. marqus, rad/s s s prncr a L, ou sja, s ivr norma limiada, não m ransformada d Fourir s s vrificarm as condiçõs d Dirichl sguins, m ransformada d Fourir i) é absoluamn ingrávl x ( d < ii) é d variação limiada m qualqur inrvalo finio iii) m um númro finio d dsconinuidads d ª ordm m qualqur inrvalo finio odas as funçõs gnralizadas êm ransformada d Fourir jorg s. marqus,

3 ransformada da xponncial muliplicada por scalão ransformada d um dla d Dirac a u(, a > a + j δ ( a j + a ( ) d d ( a+ a+ j ) δ ( d Val a pna calcular a ransformada d -a u(-, com a<, comparar. jorg s. marqus, A ransformada d uma função dla d Dirac é uma consan. O spcro d um Dla dá igual pso a odas as frquências. jorg s. marqus, ransformada da consan ransformada do scalão δ( ) u( ( ) j + δ aplicando a ransformada invrsa, vm Pod provar-s usando a propridad do primiivação. ( ) ( ) ( ) x δ d δ d A ransformada d uma consan é um dla d Dirac na frquência. O spcro d uma consan só m uma única frquência: a frquência. jorg s. marqus, jorg s. marqus,

4 ransformada do impulso rcangular ransformada do impulso rcangular como varia a ransformada com? δ ( ) -/ / aplicando a ransformada invrsa, vm X ( j ) x ( ) j d / j j d / j / j j j / / / sin( ) X ( j ) sinc( ) mpo A ransformada d impulso rcangular é uma função sinc. quando o impulso s alarga no mpo, a ransformada concnram-s m orno da origm. jorg s. marqus, jorg s. marqus, ransformada da xponncial complxa ) ransformada do cosno sno cos( ) δ ( + ) + δ ( ) ) δ ( ) ) sin( ) jδ ( + ) jδ ( ) x ( ) δ ( ) d δ ( ) d { F {sin( )} F { F {cos( )} F A ransformada d uma xponncial complxa d frquência é um dla d Dirac cnrado m. j j jorg s. marqus, largura do impulso frquência largura do impulso } F { }+ F { } δ ( ) + δ ( + ) } F { } F { } jδ ( ) + jδ ( + ) + j j j A ransformada d uma sinusóid d frquência são dois impulsos na frquência localizados m.-. jorg s. marqus,

5 ransformada d um sinal modulado m ampliud Propridads d dslocamno cos( ) )) + )) ) Y() ) j )) - ) ) propridad do dslocamno na frquência. α + { ( )} ( ) ( ) ) F x x d x α dα jα d α ) dα Muliplicar um sinal por um cosno (poradora) é conhcido m lcomunicaçõs por modulação m ampliud. O spcro do sinal dsloca-s passa a sar cnrado na frquência da poradora. jorg s. marqus, Um dslocamno no mpo corrspond a muliplicação da ransformada por uma xponncial complxa qu não alra o spcro d ampliud jorg s. marqus, orma da convolução Rsposa m Frquência Qu rlação xis nr os spcros da nrada da saída d um SLI? h( y( A rsposa m frquência d um SLI inha sido dfinida arás com bas na rsposa do SLI a uma xponncial complxa d frquência Y ( H( H ( F{ h( } rsposa m frquência do SLI H( roca ordm dos ingrais Y( F{ * h( } h( α ) α ) dα d h( α ) α ) ddα jα jα h( α ) α ) ddα h( α ) dα h( α ) dα H( propridad do dslocamno A rsposa m frquência aparc agora como o quocin nr as ransformadas d Fourir da nrada da saída d um SLI (dsd qu o quocin xisa) Y( H ( O SLI compora-s como um filro qu alra a ampliud d cada frquência d nrada por um facor H(. jorg s. marqus, jorg s. marqus,

6 Propridad da drivada Aplicação m quaçõs difrnciais d j d d d d d d j d d d d logo d F j d Considrmos uma quação difrncial linar d y dy y( ) d d dx d + ) Apliqumos a ransformada d Fourir a ambos os mmbros dy 3 y( ) F{ dx + + )} [( j ) + 3 j+ ] Y ( ( j+ ) d y F + d d d Função d ransfrência j + H( ( + 3 j + Drivar um sinal no mpo corrspond a muliplicar a ransformada por j. jorg s. marqus, jorg s. marqus, Sinais rais orma d Parsval S o sinal for ral a ransformada d Fourir goza d algumas propridads d simria X ( * x, y X, Y x y X Y d * Porano o spcro d ampliud é uma função par o spcro d fas é ímpar. jorg s. marqus, x, y y( * d d y( * d y( * dd j j ) y( * dd j ) Y( j ) * d X, Y A ransformada d Fourir prsrva o produo inrno nr dois sinais ( a norma d sinais) à par d um facor d. O facor d pod sr incluído na dfinição d produo inrno nr duas ransformadas. jorg s. marqus,

7 ransformada d sinais priódicos Propridads xnsão priódica? ~ + X ( j ) X ( j k ) ( δ k ) x ~ F ( ) ~ k X ( j ) x ~ ( ) jorg s. marqus, F X ( j ) ~ X ( j ) Sjam x,y sinais com ransformada d Fourir X,Y a + by( y ) j a d d α ) dα - j * y( y( Par{} Impar IR jorg s. marqus, a + by( )) ( ) X j a a j + ) δ ( ) j d d Y( ( ) * ( ) X j Y j Ral { } { } jimag{ } * linaridad dslocamno no mpo dslocamno na frquência scalamno drivação no mpo primiivação no mpo drivação na frquência convolução modulação simria simria sinais ral Da oria à práica A aplicação da ransformada d Fourir a sinais rais (sinais mulimédia, médicos, d radar, d comunicaçõs, c) lvana duas dificuldads: a ransformada admi qu o sinal m duração infinia; não é possívl guardar um sinal d duração infinia nm é úil r uma caracrização global qu dscrva odo o sinal. não pod sr calculada num compuador digial. A primira dificuldad ulrapassa-s usando a ransformada d Fourir localizada. A sgunda dificuldad ulrapassa-s i) amosrando o sinal conínuo ii) usando uma ransformada d Fourir d comprimno finio (DF / FF). jorg s. marqus,