3.5 Métodos Numéricos para a Solução de Problemas de Contorno

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Francisco Fontes Teixeira
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1 3.5 Métd Numéric ara a Sluçã d Prblma d Cntrn Equaçõ difrnciai rdinária Eml 3.7. Difuã-raçã m uma artícula catalítica ra: Figura 3.6. Partícula catalítica férica. Balanç d maa: (tad tacinári, itérmic) d dc r dr dr Dr r, < r < dc dr r (imtria) C ( ) C (cncntraçã fia na urfíci) Outra cnidraçõ: D cntant r k.f(c), nd k é a cntant da raçã. d dc D r k f( C) r dr dr Pd- ainda dfinir um fatr d ftividad da artícula (frma intgral): r C dv V k f C r dr r( C) dv ( ) V kf C rdr ( ) ( ) taa d raçã média na artícula η taa da raçã máima baada na urfíci Φ k D, cnhcid cm módul d Thil raçã difuã ara uma raçã d rimira rdm, u kf( C ) Φ ara uma raçã d qualqur rdm. DC Outra dfiniçã ara Módul d Thil é a ua vrã gnralizada: 3

2 Φ ˆ L r ( C ) C D r ( C) dc (Módul d Thil Gnralizad) nd L é cmrimnt caractrític da artícula, dfinid cm vlum da artícula dividid la ua urfíci trna, qu ara ca da fra L /3. Cm ta dfiniçã tm- Φ 3Φ ˆ ara uma raçã d rimira rdm na fra. -crvnd a quaçã difrncial: ( ) dc kf Crdr Dd r dr dc dc D d r r dr D dr D dc η 3 3 kf( C) rdr k f( C ) k f( C ) dr 3 3 r (frma difrncial) [ r η r ( C )] 3 dc η Φ C dr r Φ 3 d dc dr d r?? Dfinind: C ; C r g( ) f ( C ) f ( C ) d + Φ g( ), < < d d d () Prblma d valr d cntrn g() Sluçã: quaçã d Bl mdificada (luçã analítica): nh( Φ) 3 η nh( Φ) Φ tgh( Φ) Φ Nta: () é finit, nh( Φ) lim Φ Φ () nh( Φ) η < mtra fit da tranfrência d maa. Φ : η Φ : η 3 η Φ g() n raçã d rdm n u. 3

3 N + N + quaçõ variávi i i i + i+ +Φ h i i + i h h h N + Qu é um itma d quaçõ linar m trutura tridiagnal, qu d r rlvid l métd d Thma. Para ca d raçõ d rdn difrnt d zr u um tm- um itma nã-linar d quaçõ algébrica, qu d r rlvid l métd numéric já vit na çã 3.. Vlum finit frência: Tranfrência d Calr Mcânica d Fluid Cmutacinal, C.. Malika, 995. Cnit na ralizaçã d balanç d rridad m vlum lmntar (vlum finit), u d frma quivalnt na intgraçã br vlum lmntar da quaçã difrncial na frma cnrvativa (u frma divrgnt, nd flu aarcm dntr da drivada). W E Δ Δ Figura 3.8. Vlum finit. 35

4 Eml: Φ τ ; (, τ ) (,) [ ( )] m Vlum lmntar: β dv β d β π β 4π Cm m d Φ d τ valr médi n vlum: d ( + ) d ( ) + + d ( + ) Φ + dτ + ( ) difrnça cntrai: ; Δ Δ E W ( ) ( ) ( + ) E W Φ dτ ( + + ) Δ Δ dτ + + Φ W W E E ( + ) Δ + ( + ) W ; ( + ) + Δ Δ ( + + ) ( + ) Δ ( + + ) E 36

5 Balanç ara vlum da frntira: : P E Δ f Δ Figura 3.9. Frntira cm flu cificad. ( + ) Φ + dτ + ( ) ; ( E ) Δ ( + ) E dτ ( Δ ) Φ : W P Δ Δ f Figura 3.. Frntira cm variávl cificada. ( W) ; Δ Δ Δ f f ( + ) ( W) d ( + Φ τ ) Δf Δ 37

6 Sitma rultant: dτ + b, nd é uma matriz tridiagnal. Nta: Difrnça-finita: malha... N+ Vlum-finit: malha... N Elmnt finit frência: Numrical Mthd and Mdling fr Chmical Enginring, M. E. Davi, 984. rima a variávl dndnt r um linômi cntínu r art: n ( ) αiφi( ) (tacinári), [,] i nd φ i ( ) ã funçõ cnhcida (ba) cntinuamnt difrnciávi qu atifazm a cndiçõ d cntrn, α i ã cficint a dtrminar. (, τ) αj( τ) φj( ) (dinâmic), [,] j frma da dtrminaçã dt cficint é qu caractriza métd d lmnt finit utilizad, tai cm: métd d Galrkin métd da clcaçã Eml: ( ) ( ) (mudança d variávl) d m [ ( ) ] (,) dt d + Φ d () 38

7 Multilicand a quaçã r φ i () intgrand m [, ]: d + Φ φ d d ( ) m id i,,..., n Intgrand r art rimir trm: d φ i φi φ i d d d d d ( ) d Cm φ i (), i,...,n, atifaz a cndiçõ d cntrn: φ () ; φ () ( ) i d i () φ () i φ i d tm- qu ntã: Cm d φ d φ i( ) d d d d i ( ) ( ) m i d id d φ + Φ φ ( ) αjφj( ), tm- ara m j αj φ j φ i + α jφ φ j φ i Φ φ i j j ( ) ( d ) ( ) ( d ) ( d ) Dfinind: quaçã difrncial. abd ( ) ( ) ( ab, ), rulta m: α j ( φ j, φ i) + α jφ ( φj, φ i) Φ (, φi), chamada d frma fraca da j j j ( φ j, φ i) +Φ ( φj, φi) α j Φ (, φi) i,,..., n 39

8 α b Cntrn: Funçõ ba linar ϑ ( h ) : α φ ( ) α αφ () +αφ () α α φ ( ),, j, j j j j φ, j, j+ j+ j ( ), j j+ j+ j, n φ ( ) n, n n φ() φ j- φ j φ φ... j- j j+... n Figura 3.. Funçõ ba linar. utra funçõ ba : cúbica d Hrmit (ª drivada cntínua), ϑ ( h 4 ) B-lin, tc. 4

9 Para m : m α j( φ j, φ i) Φ α jφj, φ j i,,..., n j j F( α ) itma nã linar α φ () ; αφ () +αφ () Valr inicial tranfrma rblma d valr d cntrn m um rblma d valr inicial (P.V.I.) atribui um valr inicial ara a variávi cm valr inicial dcnhcid rlv P.V.I. vrifica a cndiçõ finai fram atifita rtrna a a antrir até ta rm atifita. Para ml da artícula catalítica: v, u d du v d dv Φ g( u) v d v() u() Métd: tntativa--rr u hting múltil hting uriçã (linar) 4

10 ) Equaçõ difrnciai linar: hting uriçã Eml: + f( ) + g( ) r( ) ( a, b) a ( ) α ; b ( ) β L [ ] + f ( ) + g( ) (radr linar) L [ c + c ] cl[ ] + cl[ ] a) hting : L [ ] ( a) ( a) L [ ] r ( ) ( a) α ( a) uriçã: () c () + c () L[] r() cl [ ] + c L [ ] c r( ) () c () + () ; (a) α c (a) + c (a) (b) β c (b) + (b) β ( b) + ( b) ( b) c β ( b) ( ) ( ) ( ) b) hting : L [ ] r ( ) ( a) α ( a) γ L [ ] r ( ) ( a) α ( a) γ γ γ tai qu (b) (b). uriçã: L[] r() c L[ ] + c L[ ] γ ( ) r( ) c + c (a) α c (a) + c (a) (b) β c (b) + c (b) c+ c ( b) c+ ( b) c β c β ( b) ( b) ( b) ( b) β ( b) ( b) ; c 4

11 ( ) β ( b) ( ) + ( b) β ( ) ( b) ( b) ) Equaçõ difrnciai nã-linar d F,,, d d a ( ) α ; b ( ) β {[ ] [ ] } a) hting : ( ) F, k, k, k k ( a) α k ( a) γk k,,,... β α β β β a b Figura 3.. Métd d hting. Prblma: g(γ) (b;γ) β E.: Ntn-cant γ k+ ( k( b) β)( γk γk ) γk ( b) ( b) k k 43

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