Geração de calor em sólidos

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1 3/09/06 ranferência de calr Geraçã de calr em ólid º. emetre, 06 Geraçã de calr em ólid Divera aplicaçõe prática de tranferência de calr envlvem a cnverã de aluma frma de eneria em eneria térmica n mei. Dizem que nee mei há eraçã interna de calr, que e manifeta cm um aument de temperatura. Exempl: Fi de reitência: eneria elétrica eneria térmica; Reaçõe química extérmica em um ólid: eneria química eneria térmica; Reaçõe nucleare em patilha de cmbutívei (nucleare): eneria nuclear eneria térmica; A abrçã de radiaçã pr um vlume de um mei tranparente (cm a áua), também pde er cniderada cm eraçã de calr n mei.

2 3/09/06 Geraçã de calr em ólid A eraçã de calr, nrmalmente, é exprea pela unidade de vlume d mei (W/m 3 ) e é chamada de. Pr exempl, calr erad em um fi elétric de rai extern r e cmpriment pde er expre cm: E& er,elétric I Re (W/m 3 ) V πr nde Ié a crrente elétrica, R e a reitência elétrica d fi e V fi vlume d fi. Obviamente que a temperatura d mei aumenta durante a eraçã de calr (devid à abrçã d calr erad n períd traniente inicial), aumentand a tranferência de calr para a vizinhança. I acntece até atinir a cndiçã de reime permanente. fi 3 Geraçã de calr em ólid A temperatura máxima ( max ) em um ólid cm eraçã de calr unifrme crre n pnt mai ditante da uperfície externa, quand ea é mantida a uma temperatura cntante. Ou eja: N plan central de uma parede plana; N eix central de um cilindr ln; N centr de uma efera. Nee ca, a ditribuiçã de temperatura n ólid é imétrica em relaçã a eix de imetria. 4

3 3/09/06 Geraçã de calr em ólid Cnidere um mei ólid qualquer, cm área uperficial de A, vlume V e cndutividade térmica cntante, k. Nee ólid, calr é erad a uma taxa cntante iual a pr unidade de vlume. O calr é tranferid d ólid para mei vizinh, cm temperatura e cm um ceficiente de tranferência de calr pr cnvecçã iual a h. Em cndiçõe de reime permanente, balanç de eneria é dad pr: axa de tranferência axa de eraçã de calr d ólid de eneria d ólid q & entra ai 0 q & & V ha( ) q ai Deprezand-e a radiaçã u incrprand n h cmbinad V ha 5 Geraçã de calr em ólid Para uma parede plana de epeura : e,parede plana A A ev A parede parede V Aparede ha ha parede h Para um cilindr ln de rai extern r : e,cilindr A π r ev πr V πr ha hπr r h Para uma efera ólida de rai extern r : e 4 3 A 4π r ev πr 3 q V q 4 3 & & πr 3 ha h4πr,efera r 3h 6 3

4 3/09/06 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr (cnduçã cm eraçã) axa de calr que entra n v.c axa de calr que ai d v.c axa de eraçã de axa de variaçãda calr n v.c eneria n v.c Equaçã da cnduçã de calr unidimeninal em reime permanente: Ca de uma parede plana de epeura A d dx kd( A dx x,t ) 0 d q & Cniderand que a 0 cndutividade térmica, dx k k, é cntante. 7 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr A luçã eral dea equaçã é dada pr: ( x) x Cx C k nde C e C ã a cntante de interaçã. Para ca analiad, a temperatura em x- é (-) e para x é (), end que. ( ) C( ) C k ( ) C( ) C k q & C e C k Subtituind a cntante na primeira equaçã, a ditribuiçã de temperatura fica: ( x ) q & ( k x ) x OBS.: ntar que cm a eraçã interna, flux térmic nã é mai independente de x. 8 4

5 3/09/06 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr Quand a dua temperatura frem iuai, x- é (-) e para x é (), reultad anterir é implificad e a ditribuiçã de temperatura é imétrica em relaçã a plan central. ( x ) ( x ) k 9 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr temperatura máxima Para ca de imetria n plan central, pr exempl, um cab cndutr de eletricidade expt a ar, a temperatura máxima crre n centr d cndutr, i é, em x0. Subtituind ee valr na equaçã abaix: ( x ) ( x ) k ( 0 ) k O máxim, btid da equaçã anterir é dad pr: max k A ditribuiçã de temperatura n ólid é dad pr: ( x ) 0 0 x 0 5

6 3/09/06 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr temperatura máxima Para um cilindr: Para uma efera: max,cilindr max,efera r 4k r 6k Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr temperatura máxima É imprtante ntar que n plan de imetria da fiura abaix, radiente de temperatura é nul (d/dx) x0 0. Dea frma, nã há tranferência de calr cruzand ee plan e ele pde er repreentad pr uma uperfície adiabática. Superfície adiabática ( d / dx) 0 e 0 x 0 q Ou eja, que a equaçã de ditribuiçã de temperatura mtrada anterirmente também e aplica em parede plana nde uma de ua uperfície (x0) é perfeitamente ilada, enquant a utra (x) é mantida na temperatura fixa de. 6

7 3/09/06 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr Para uar reultad anterire, a temperatura deve er cnhecida. Uma ituaçã cmum é aquela nde um fluid circula em cntat cm uperfície, cm temperatura cnhecida e decnhecida. Nee ca: k d dx x h ( ) Subtituind radiente de temperatura em x: h Ea mema equaçã pde er btida aplicand-e um balanç de eneria na uperfície de cntrle a redr da parede, cnfrme fiura acima, nde a eneria erada n interir da parede deve er iual à taxa de eneria que cruza a uperfície, pr cnvecçã. Aim: Para uma uperfície de área unitária: & E & & E ai ( ) q h h 3 Exempl : Uma parede plana é cmpta de materiai, A e B. A parede d material A tem eraçã de calr unifrme de,5 x 0 6 W/m³, k A 75 W/mK, e epeura de 50 mm.a parede d material B nã tem eraçã de calr cm k B 50 W/mKe epeura de 0 mm.a uperfície interna d material é bem ilada e a uperfície externa d material B é refriada pr uma crrente de áua a 30 ºCe h 000 W/m²K. a. Equematizar a ditribuiçã de temperatura que exite na parede cmpta em cndiçõe de etad permanente; b. Determine a temperatura da uperfície ilada e a temperatura da uperfície refriada. 4 7

8 3/09/06 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr itema radiai Ca de um cilindr ln (unidimeninal) cm eraçã interna. Cniderand que a d d r 0 cndutividade térmica, r dr dr k k, é cntante. Separand a variávei e upnd eraçã unifrme, ea expreã pde er interada, reultand em: d r dr r k C (I) Utilizand a cndiçõe de cntrn: Na eunda interaçã: ( r ) r 4k C ln r C (II) d -Em r0, cndiçã de imetria (I): 0 dr r C C 0 5 Ditribuiçã de temperatura n ólid cm eraçã de calr itema radiai Utilizand a cndiçõe de cntrn: -Em rr : (r ) em(ii): r 4k C C r 4k Cuj reultad final é: r r ( r ) k 4 r De frma anála a ca de parede plana, para relacinar a temperatura da uperfície d cilindr,, cm a temperatura d fluid,, πr h r ( ) { π A 3 V r h 6 8

9 3/09/06 Exempl : Em um reatr nuclear, batõe cilíndric de urâni de 0 mm de diâmetr ã uad cm cmbutível e refriad externamente em áua a 0 ºC. Calr é erad unifrmemente n batõe a uma taxa de 4 x 0 7 W/m³. Qual é a temperatura da uperfície d batã? Qual é a temperatura em eu centr? Cnidere kd material iual a 9,5 W/mK. -Se ceficiente de tranferência de calr cnvectiv é 500 W/m²K, qual a ditribuiçã de temperatura dede centr até a uperfície? - Onde e lcaliza a temperatura máxima? Pltar. 7 9