Transferência de Calor

Transcrição

1 Transferência de Calor Condução Unidimensional, em Regime Permanente e Sem Geração Interna de Calor Filipe Fernandes de Paula [email protected] Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica Faculdade de Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora Engenharia Mecânica 1/28

2 Introdução 2/28

3 Introdução Para problemas unidimensinais e em que se pode considerar o regime permanente, a equação do calor pode ser simplifica da seguinte forma: ( d k dt ) + q = 0 (1) dx dx Inicialmente vamos assumir que não há geração interna de energia no sistema e a condutividade térmica é constante. Dessa forma, a equação do calor toma a seguinte forma: k d 2 T dx 2 = 0 (2) 2/28

4 A Parede Plana 3/28

5 A Equação do Calor para Parede Plana Para condução unidimensional em uma parede plana, temperatura é função da coordenada x, e calor é transferido apenas nessa direção; Calor é transferido por: Convecção de um fluido a temperatura T,1 para uma superfície da parede; Condução na parte interna da parede; Convecção da outra superfície da parede para um fluido a temperatura T,2. 3/28

6 A Equação do Calor para Parede Plana A distribuição de temperatura na parede pode ser encontrada resolvendo a seguinte EDO de segunda ordem Resolvendo a equação 3, tem-se k d 2 T dx 2 = 0 (3) T (x) = (T s,2 T s,1 ) x L + T s,1 (4) Da equação 4 podemos perceber que para condução unidimensional, em regime permanente, em uma parede plana, condutividade térmica constante e sem geração interna de calor, a temperatura varia linearmente com x. 4/28

7 A Equação do Calor para Parede Plana Utilizando a Lei de Fourier e a equação 4, é possível obter a taxa de transferência de calor e o fluxo de calor; q x = ka dt dx = ka L (T s,1 T s,2 ) (5) q x = q x A = k L (T s,1 T s,2 ) (6) 5/28

8 A Equação do Calor para Parede Plana 6/28

9 Resistência Térmica 7/28

10 Resistência Térmica Para o caso unidimensional, sem geração interna de calor e propriedades constantes, um importante conceito é sugerido pela equação 5, a idéia de resistência térmica; Como resistência elétrica está associada à condução de energia elétrica, a resistência térmica está associada à transferência de calor, nos seguintes sentidos, Energia fluindo; Uma força motriz que mantém o fluxo; Uma resistência ao fluxo; Utilizando a equação 5 podemos definir a resistência térmica de condução como R t,cond T s,1 T s,2 q x = L ka [K/W ] (7) 7/28

11 Resistência Térmica Utilizando a definição de taxa de troca de calor dada em função da resistência térmica, q = T s,1 T s,2 R t (8) é possível escrever uma relação para resistência térmica de convecção. R t,conv = 1 ha (9) 8/28

12 Resistência Térmica 9/28

13 A Parede Composta 10/28

14 Parede Composta É uma parede formada por camadas de diferentes materiais; Pode-se analisar tais estruturas como várias resistências térmicas em paralelo e em série; Assim, a taxar de calor pode ser escrita como q x = T Rt (10) Onde T é a diferença global de temperatura. 10/28

15 Parede Composta 11/28

16 Parede Composta Em termos de sistemas compósitos, é útil trabalhar com o coeficiente global de transferência de calor U, que é definido em termos da seguinte equação, q x UA T (11) R tot = R t = T q = 1 UA (12) 12/28

17 Parede Composta Utilizando o conceito de parede composta, pode-se tratar problemas como os da figura abaixo; Apesar de o fluxo de calor ser bidimensinal, pode-se assumir unidimensionalidade; No caso a assumi-se que as superfícies normais à direção x, são isotérmicas; No caso b assumi-se que as superfícies paralelas à direção x, são adiabáticas; 13/28

18 Parede Composta Os resultados para R tot serão diferentes; Os valores de q a e q b diferem entre si e entre o valor real de transferência de calor; A medida que o valor de kf k g aumenta, essas diferenças aumentam. 14/28

19 Resistência de Contato 15/28

20 Resistência de Contato Apesar de ignorada até o momento, a queda de temperatura entre as interfaces das camadas de uma parede composta pode assumir valores consideráveis; Essa queda de temperatura é devido à resistência de contato, que e definida como, R t = T A T B q x (13) Alguns métodos podem ser utilizados para diminuir a resistência de contato: Para sólidos com condutividade térmica maior que a do fluido interfacial, pode-se aumentar a área de contato do sólido, aumentando a pessão de contato e/ou diminuindo a rugosidade superficial; Também é possivel utilizar fluidos interfaciais de alta condutividade térmica. 15/28

21 Resistência de Contato 16/28

22 Exemplo Exemplo 1 - Um fino circuito integrado (chip) de siĺıcio e um substrato de alumínio de 8 mm de espessura estão separados por uma junta de 0, 02 mm de epoxy. O chip e o substrato possuem 10 mm de lado e suas superfícies expostas são resfriads a ar, com um coeficiente de convecção 100 W /m 2 K. Se o chip dissipa 10 4 W /m 2 em condições normais, ele irá operar abaixo da temperatura máxima permitida de 85 C? 17/28

23 Exemplo 18/28

24 Exemplo Exemplo 2 - Uma casa possui uma parede compósita de madeira (k m = 0, 12W /m K), isolamento de fibra de vidro (k f = 0, 038W /m K) e placa de gesso (k g = 0, 17W /m K). Em um inverno gelado, os coeficientes de convecção são h o = 60W /m 2 K e h i = 30W /m 2 K. A área total da parede é 350m 2. (a) Determine uma expressão simbólica para a resistência térmica total do sistema; (b) Determine o perda de calor pela parede; (c) Se o dia está com ventos fortes, aumentando h o para 300W /m 2 K, determine a porcentagem de aumento da perda de calor; 19/28

25 Sistemas Radiais 20/28

26 Coordenadas Ciĺındricas Para um sistema em coordenadas ciĺındricas, a equação do calor unidimensional, sem geração interna de calor fica na seguinte forma, ( 1 d kr dt ) = 0 (14) r dr dr Resolvendo a EDO 19 tem-se, T (r) = T ( ) s,1 T s,2 r ln(r 1 /r 2 ) ln + T s,2 (15) r 2 q r = 2πLk(T s,1 T s,2 ) ln(r 2 /r 1 ) R t,cond = ln(r 2/r 1 ) 2πLk (16) (17) 20/28

27 Coordenadas Ciĺındricas 21/28

28 Coordenadas Ciĺındricas 22/28

29 Coordenadas Esféricas As equações para coordenadas esféricas são, q r = 4πk(T s,1 T s,2 ) 1 1 (18) r 1 r 2 R t,cond = 1 4πk ( 1 r 1 1 r 2 ) (19) 23/28

30 Exemplo Exemplo 3 - Uma tubulação é composta de duas camadas de meteriais com k A e k B, que são separados por um fino aquecedor elétrico em que a resistência de contato é despresível. Líquido é bombeado pelo tubo a uma temperatura T,i e com h i. A superfície externa está a T,o e com h o. Em condições de regime permanente, o aquecedor dissipa q h. (a) Desenhe o circuito térmico do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes; (b) Obtenha uma expressão que pode ser usada para determinar a temperatura do aquecedor; (c) Obtenha uma expressão para q o /q. i 24/28

31 Resumo dos Resultados para Condução Unidimensional 25/28

32 Resumo dos Resultados 25/28

33 Raio Crítico de Isolamento 26/28

34 Raio Crítico de Isolamento Um cilindro que dissipa calor sujeito a convecção externa e envolto por um isolante térmico pode apresentar comportamentos diferente dependendo da espessura do isolamento: Um isolamento muito com alta espessura pode aumentar a troca de calor por convecção devido ao aumento da área superficial; O aumento do isolamento pode diminuir a transferência de calor. 26/28

35 Raio Crítico de Isolamento dr tot dr R tot = R cond + Rconv (20) R tot = ln(r/r i) 2πkL + 1 2πrLh (21) = 1 2πkrL + 1 2πr 2 Lh = 0 (22) r cr = k h (23) 27/28

36 Raio Crítico de Isolamento 28/28