O raio crítico. Problema motivador 01: Problema motivador 02: Problema motivador 03: Portfolio de:

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1 Problema motivador 01: qual a função da camada de material polimérico colocada sobre fios elétricos de cobre ou de alumínio? Problema motivador 02: qual a espessura da camada de tijolos de uma parede de modo a melhor isolar termicamente uma casa? Problema motivador 03: qual a espessura de isolamento térmico sobre uma linha de vapor de modo a minimizar perdas energéticas? O raio crítico (adaptado do exemplo 3.4 de Incropera & De Witt, p a Edição, p a edição) A possível existência de uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico em sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento dessa espessura. Em particular, embora a resistência à condução de calor aumente com a adição de isolamento térmico, a resistência térmica à convecção de calor diminui devido ao aumento da área superficial externa. Dessa forma, deve existir uma espessura da camada de isolamento térmico que minimize a perda de calor pela maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esse problema levando em consideração o seguinte sistema. 1. Considere um tubo delgado de cobre com raio r i cuja superfície se encontra a uma temperatura T i menor do que a temperatura do ambiente T ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de isolamento térmico sobre o tubo? 2. Confirme o resultado acima calculando a resistência térmica total, por unidade de comprimento do tubo em um tubo com 10 mm de diâmetro que possui as seguintes espessuras de isolamento térmico: 0, 2, 5, 10, 20 e 40 mm. O isolamento é composto por vidro celular, e o coeficiente de transferência de calor por convecção em sua superfície externa é de 5W/m 2 K. 93

2 solução figura esquema do problema (Incropera & De Witt, p. 51) das condições do problema (sem geração de calor e regime permamente) q r =constante hipótese adicionais: desprezada troca de calor por radiação donde: 1 qr = Ti T R tot ( ) com: para uma espessura r-r i : R tot r ln ri 1 = + 2πk 2πrh espessura ótima dq = 0; < 0 = 0; > 0 dr dr dr dr 2 2 r d qr drtot d Rtot 2 2 logo: k = 0 r = 2πkr 2πr h h condição de 2 a ordem verificação de máximos/mínimos: k 2 r= h tot h dr = + = dr 2πkr πr h 2πk > 0 trata-se de ponto de máxima taxa de transferência de calor (ponto de mínimo na curva R tot r) Ou seja, a máxima perda de calor se dá para k r = rc =, rc é chamado de raio crítico. h 94

3 Assim, em termos de uma perda de calor, não existe uma espessura ótima de isolamento, uma vez que o que se deseja é que não haja perda de calor! Temos as seguintes características no sistema radial: aumentando-se r até r c a perda de calor aumenta até o valor máximo aumentando-se r após r c a perda de calor diminui até zero para r se r c < r i o aumento do isolamento traz sempre uma diminuição da perda de calor para o problema em pauta: r c = 0.011(m) > r = 0.01(m) - logo teremos o seguinte comportamento: i figura comportamento da resistência térmica de transferência de calor em função da espessura (Incropera & De Witt, p. 52) figura comportamento do fluxo/taxa de calor (extraída das notas de aula do Prof. Oliveira) 95

4 Observações: 1. para fios/cabos elétricos o revestimento funciona como um dissipador de calor, assim é de interesse que r i < r c de modo que se escolha uma espessura de revestimento tal que se tenha r = rc, quando a máxima dissipação de calor irá ocorrer. 2. Para o projeto do revestimento de cabos elétricos, têm-se como parâmetros o material do isolamento (que afeta o valor de k) e o coeficiente de troca térmica (modificação do fluido em contato com o ar ou a introdução de convecção forçada ao invés da natural) 3. "A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção da transferência de calor é constante, não havendo uma espessura crítica para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o aumento da espessura do isolamento)." (Incropera & De Witt, p a edição, p.73-5 a edição) leitura recomendada: Kreith: Braga: p Exemplo recomendado para leitura: Brodkey & Hershey: exemplo 11.4, p. 503 Incropera & De Witt: exemplo 3.4 (comentários) Kreith: Braga: exercício resolvido 3 (p ) Exercícios básicos recomendados da lista: 3.43; 3.47; 3.53 (Incropera ; De Witt, 5 edição) Exercícios: Exercício 01: mostrar que a expressão para o raio crítico em um sistema composto de duas esferas concêntricas (a externa sendo o isolante) é r c =2k/h Este raio crítico se refere a um ponto de máxima, mínima transferência de calor ou a um ponto de inflexão? Qual a sua utilidade? 96

5 Exercício 02: Existe uma espessura ótima de um isolamento térmico? Justifique. Exercício 03: Um material B de condutividade (SI) e espessura 1mm é colocado externamente a um cilindro de 4mm de diâmetro externo, cuja superfície está a 60 o C. O arranjo troca calor com ar ambiente e sabe-se que o coeficiente de convecção com o ar é de 10 (SI). O material B está atuando como um isolante térmico ou como um dissipador de calor? Justifique. Exercício 04: Um condutor elétrico é constituído por longo cilindro de cobre recoberto por uma camada de isolamento. O fio de cobre tem 3mm de diâmetro. O isolamento tem uma temperatura máxima permissível de 90 o C e uma condutividade térmica de 0.251W/m o C. O ar circunjacente está a 58 o C de temperatura média (coeficiente de convecção de 15 W/ m 2o C). Pede-se: a-) Para o sistema descrito, calcular a espessura do isolamento que permite a máxima perda de calor, bem como o calor dissipado. Justificar a resposta. b-) Para o sistema descrito em 1, descrever o que deveria mudar no sistema para que o isolamento funcione efetivamente como um isolante térmico e não como um dissipador de calor. 97

6 Exercício 05: (3.47 Incropera) Uma corrente elétrica de 700A flui através de um cabo de aço inoxidável de diâmetro 5 mm e resistência elétrica de 6x10-4 Ω/m. O cabo encontra-se em um ambiente que está a uma temperatura de 30 C e o coeficiente total de transferência de calor (associado à convecção e à radiação) entre o cabo e o ambiente é de 25 W/m 2.K. Pede-se: a) se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura na superfície do cabo? b) se um revestimento delgado de um isolante elétrico for aplicado sobre o cabo com uma resistência térmica de 0,02m 2.K/W, quais serão as temperaturas das superfícies do cabo e do isolamento? serão iguais? c) Há uma preocupação com relação à capacidade do isolamento de suportar elevadas temperaturas. Qual deve ser a espessura do isolamento que fornecerá a menor das temperaturas máximas possíveis para o isolamento? E qual será o valor dessa temperatura? e da superfície do cabo? dado: condutividade térmica do isolante k=0,5 W/m.K Resp. a)t c =778,7 C b)t c =1153 C;T isol =778,7 C c)e=0,0175m;t isol =318,2 C;T c =692,5 C; 98