Capítulo 8: Transferência de calor por condução

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1 Capítulo 8: ransferência de calor por condução Equação da condução de calor Condução de calor unidimensional e em regime permanente

2 Condução Um corpo sólido isolado está em equilíbrio térmico se a sua temperatura for a mesma em qualquer parte do corpo. Se a temperatura no sólido não for uniforme, calor será transferido por atividade molecular das regiões de temperaturas elevadas para as de baixas temperaturas. Este processo de transferência de calor por condução é dependente do tempo e continuará ocorrendo até que um campo uniforme de temperatura exista em todo o corpo isolado.

3 Condução A transferência de energia ocorre por interação molecular (associada a energia cinética entre as partículas individuais ou em grupo, etc...) e não há transporte de massa (sistema): Exemplos: ferro elétrico, moldes de fundição, parede com isolamento, etc. Sua contribuição para o processo global de transferência de calor pode ser bastante significativa, dependendo do material usado.

4 Modelo de condução térmica O mecanismo de transferência de calor por condução térmica consiste de um processo de difusão. Uma espécie (normalmente temperatura) é transportada da região de maior concentração para a de baixa concentração. Joseph Fourier modelou a difusão em função do gradiente de temperatura e de uma constante de proporcionalidade.

5 Modelo de condução térmica O taxa de calor por unidade de área, ou fluxo de calor ( q& " ), depende da área em que ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial! Y q y q x r q & " i. q& + " x r j. q& " y X

6 Modelo de condução térmica Fourier postulou que a taxa de transferência de calor por unidade de área da superfície é proporcional ao gradiente de temperatura normal à superfície (d/dn). A cte de proporcionalidade corresponde à condutibilidade térmica do material(k): r uur Q & q & k A n (a) q& " viz d/dn n " q& n k n (a) Perfil de temperatura ao longo da linha a-a, paralela ao vetor normal n n

7 Modelo de condução térmica r uur Q & q k A n & " q& viz Por que o sinal negativo na lei de Fourier?? Por que o fluxo de calor é positivo quando flui na direção do decréscimo da temperatura (segunda lei da termodinâmica). (a) d/dn n " q& n k n (a) n

8 Condutibilidade térmica (k) É uma propriedade termofísica do material através do qual o calor flui. Usualmente refere-se a um material com comportamento isotrópico e homogêneo Comportamento isotrópico: quando não há variação de propriedade com a direção. Comportamento homogêneo: quando a propriedade é constante em toda a superfície do material.

9 Condutibilidade térmica (k) Unidades: W/m. o C ou Btu/h.ft. o F. Em muitos materiais apresenta uma grande dependência da temperatura e uma pequena da pressão. Para o mesmo fluxo de calor, quanto maior for k menor é a variação de temperatura ao longo da superfície. k (W/ m. o C) a 300K Alumínio Cobre Aço carbono Manta (fibra de vidro) Areia Madeira (carvalho) Vidro Pele (tecido humano) ,5 0,046 0,07 0,19 1,4 0,37

10 Modelo de condução térmica O fluxo de calor na direção x: O fluxo de calor na direção y: x ( ) q& k d dx y ( ) q& k d dy Y q y uur r r q& i q + j q x y q x X uur r r q& i k j k x y uur &q k k grad

11 Exemplo: Uma lona de freio é pressionada contra um tambor rotativo de aço. Calor é gerado na superfície de contato tambor-lona na taxa de 00 W/m. 90% do calor gerado passa para o tambor de aço, o restante passa pela lona. Determine os gradientes térmicos no ponto de contato tambor-lona. & l 0 W/m " q 0,1* 00 r & t 180 W/m " q 0,9* 00 q& " l k d dr d dr q& k " l - 0 0, ,5 o C/m q& " t k d dr d dr q& k " t ,5,975 o C/m

12 Exemplo: O fluxo de calor na superfície diagonal da cunha de baquelite é de 680 Btu/h.ft. Determine o fluxo de calor e o gradiente de temperatura nas direções x e y. Y Fluxo calor x: q q y 30 o q x X Grad, x: Fluxo calor y: q y q.cos30 o 589 Btu/h.ft d/dx -q x /k -340/0, ,3 o F/ft Grad, y: q x q.sin30 o 340 Btu/h.ft d/dy -q y /k -589/0, ,15 o F/ft

13 Formulação Sistema infinitesimal ou elemento do sólido z y Q& z z + z x Q& y y + y Q & x x Q & y y d d x z Q & z z d y Q& x x + x Considerando que a conversão de alguma forma de energia (elétrica, química) em energia térmica pode ocorrer dentro do sistema.

14 Primeira Lei da ermodinâmica A taxa de transferência de calor do elemento é a soma da taxa de transferência de calor através das fronteiras do elemento e a taxa na qual energia térmica é gerada internamente. Aplicando a 1ª lei e considerando que não há realização de trabalho e nem variação de energia cinética e potencial, pode-se escrever que: Q é a taxa de energia que atravessa a superfície; Q & + Q & g U t ( Q & ) Q g é a taxa de energia gerada dentro do sistema; U é a energia interna do sistema. g

15 axa de troca de energia interna A única forma de energia presente no elemento é a energia interna do material e pode-se escrever que: U t t Admitiu-se que o calor específico é constante, pois as variações de temperatura na barra é pequena. ρc ambém foi admitido que o sistema é incompressível.

16 axa líquida de condução A lei de Fourier é utilizada para determinar a taxa líquida de transferência de calor por condução (material) através das seis superfícies planas do elemento. Considerando a condutibilidade térmica do material constante, a forma diferencial da taxa líquida de condução: " c " c " c z y x k z q y q x q & & &

17 axa de calor gerada internamente O calor gerado dentro do elemento é expresso em termos de volume: ( q& "' ) Ou seja, refere-se à energia interna específica gerada por unidade de volume.

18 Equação da condução de calor No sistema de coordenadas cartesianas, a equação da condução de calor é: Ou: t ρc q z y x k "' & t ρc q k "' + &

19 Equação da condução de calor No sistema de coordenadas cilíndricas, a equação da condução de calor é: t ρc q r r k "' & z r r θ 1 1

20 Condições de contorno Para determinar a distribuição de temperatura em um meio é necessário resolver a formulação correta da equação de calor. Esta solução depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio e, se a situação for dependente do tempo, das condições existentes no meio em um determinado instante (t). As condições de fronteira são chamadas de condições de contorno.

21 emperatura especificada

22 Parede Finas Considerando uma camada de material que apresenta um condutibilidade térmica constante k, espessura L e temperaturas superficiais impostas 0 e L. A solução deste problema é simples quando as camadas podem ser consideradas finas, em consideração as dimensões do corpo que está sendo isolado.

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24 Condução de calor unidimensional k x + em RP y + z + q& Para um elemento unidimensional em que não haja geração de calor interna e em regime permanente, da equação da condução de calor pode-se escrever que: x 0 "' ρc t A solução geral: Ax + B Perfil linear de temperatura

25 Condução de calor unidimensional em RP Para o caso em que os dois lados da placa infinita estão em temperaturas uniformes as condições de contorno são: Para x 0 > 0 Para x L > L Resolvendo a equação diferencial com estas condições de contorno obtém-se: x + L ( ) L o o

26 Fluxo de Calor O fluxo de calor pode ser calculado através da Lei de Fourier como: q& " x + L k ( ) L o o d dx k L ( ) o L Q& q& " * A ka L ( ) o L

27 Analogia: transferência de calor (RP) e fluxo de corrente V I Q& R ka L Fluxo elétrico: I Fluxo de calor: Q Potencial elétrico: V emperatura: Resistência elétrica: R Resistência térmica: R L/kA

28 Analogia: transferência de calor (RP) e fluxo de corrente Q R k ka Q & R L ( ) 1

29 Condução de calor unidimensional em RP Caso uma condição de contorno de convecção esteja presente em x 0, as condições de contorno são: Para x 0 > h( -) -k(d/dx) Para x L >

30 Condução de calor unidimensional em RP Para a condição de contorno de convecção: Ax + Neste caso: L + k/h A B + L L k/h + B E a expressão para a distribuição de temperaturas: x + 1 k/lh + + L 1

31 Condução de calor unidimensional em RP Para a condição de contorno de convecção, a taxa de transferência de calor através da placa é: & 1/hA + L/kA Q E a temperatura na superfície do sólido em contato com o fluido é: + 1 k/lh + 1

32 Condução de calor unidimensional em RP A taxa de transferência de calor também pode ser determinada na fronteira com convecção: Q& 1 ha( 1) 1/hA

33 Condução de calor unidimensional em RP A taxa de transferência de calor também pode ser determinada na análise do circuito térmico equivalente: R c R k A resistência total oferecida pelo sistema é a soma das resistências oferecidas pela fronteira com convecção e pelo sólido: 1 R + ha L ka

34 Condução de calor unidimensional em RP A taxa total de transferência de calor pela placa é: & R L/kA + 1/hA Q

35 Condução de calor unidimensional em RP No caso de parede compostas, o conceito de resistência térmica pode ser utilizado de forma análoga a circuitos elétricos série/paralelo

36 Exemplo: Uma fita de aquecimento é fixada a uma face de uma grande placa de liga de alumínio 04-6 com 3 cm de espessura. A outra face da placa é exposta ao meio circunvizinho, que está a uma temperatura de 0º C. O lado de fora da fita de aquecimento está completamente isolado. Determinar a taxa de calor que precisa ser fornecida para manter a superfície da placa que está exposta ao ar a uma temperatura de 80º C. Determinar também a temperatura da superfície na qual a fita de aquecimento está fixada. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície da placa e o ar é de 5 W/m.ºC. Isolamento térmico Liga de alumínio 04-6 Ar: h 5 W/m. o C 0 ºC p 80 ºC Elemento de aquecimento

37 Isolamento térmico Liga de alumínio 04-6 Ar: h 5 W/m. o C 0 ºC p 80 ºC Elemento de aquecimento q L/kA p 1/hA q& " & A condutibilidade da placa de alumínio a 80º C é: k181,8 W/m o C. A transferência de calor é unidimensional e com temperatura de parede uniforme. O fluxo de calor pode ser determinado pela condição de contorno de convecção: " q h(p ) 5(80 0) 300 W/m A temperatura q pode ser determinada pela condição de contorno de condução da placa: Q& ka " L 0,03 (q p ) q q& + p 300* + 80 L k 181,8 80,05 o C

38 Cilindro oco O circuito térmico também pode ser usado ara determinar a taxa de transferência de calor unidimensional em RP em cilindro oco ou composto. Neste caso a direção do fluxo será puramente radial. Considere um cilindro com raio interno r i e externo r o, comprimento l e temperaturas internas i e externa o.

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40 Distribuição de temperatura - unidimensional Considerando que não há geração interna de calor e que o regime é permanente, a equação diferencial apropriada para o cilindro oco é: r As condições de contorno são: Para r r i > i + 1 r r 0 Para r r o > o Integrando a equação: i i o ln( ro / ri ) ln( r / r i )

41 axa de transferência de calor A expressão para a taxa total de transferência de calor é: Q& A resistência equivalente oferecida pelo cilindro à transferência de calor é: R i ln(ro /r πkl ln(r o o i /r πkl ) i )

42 Exemplo: Um tubo liso de aço carbono com diâmetro interno de 5,5 cm e espessura de 0,78 cm, é recoberto com seis camadas de papel corrugado de asbesto com cm de espessura no total. A temperatura do vapor de água no lado interno do tubo é de 150 o C e o ar no lado externo é de 5 o C. Estime: i) a temperatura da superfície do lado externo do isolamento e ii) a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo. Dados: h vapor 1500 W/m o C & h ar 5 W/m o C k papel 0,078 W/m o C k aço 60,5 W/m o C abs. A-15.4 A-14 Circuito Equivalente d 1 5,5 d 3 10,81 d 6, o C Rc HO Rk aço Rk papel Rc ar? 5 o C

43 k papel 0,078 W/m o C k aço 60,5 W/m o C Circuito Equivalente h vapor 1500 W/moC & h ar 5 W/moC d 1 5,5 150 o C d 3 10,81 d 6,81 1 Rc HO d L. h 0, 004 L 5 o C 150 o C R eq 1,5370 L Rc HO Rk aço 1 Rc ar π d L. h Rk papel Rc ar 0, 589 L 5 o C π 1 vap ext,papel ar Q & ( ) papel Q* & Rcar + ln( d d Rc ar ar / 1), Rk aço πk L aço L ln( d / d ) Rk papel π k L 3 3, papel Q& L 0,589 ext, papel 81,33L* + 5 L ar L 1, , 33W 7,9 C o / m

44 FIM!