FÍSICA. Prof. SÉRGIO GOUVEIA PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MÓDULO 3 SUMÁRIO

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2 SUMÁRIO 1. MODELO DE UM CONDUTOR 3 2. EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO 3 3. TEOREMA DE FARADAY 3 4. O ELETROSCÓPIO UM INSTRUMENTO DE GRANDE SENSIBILIDADE PARA DETECTAR A PRESENÇA DE CARGAS ELÉTRICAS 4 5. PROVA EXPERIMENTAL DO TEOREMA DE FARADAY 6 6. LEI DE COULOMB E LEI DE GAUSS 7 7. TEOREMA 8 8. CAMPO DE UM CONDUTOR ESFÉRICO EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO 9 9. CAMPO ENTRE DUAS PLACAS METÁLICAS PLANAS E PARALELAS 1 1. CAMPO ENTRE DOIS CILINDROS CO-AXIAIS 11 EXERCÍCIOS DE COMBATE 13 GABARITO 16 2

3 PROPRIEDADES DOS CONDUTORES 1. MODELO DE UM CONDUTOR Em um cndutr admitirems a presença de elétrns tã fracamente ligads as núcles ds átms que pdem ser cnsiderads livres. Significa admitir que mesm camps elétrics muit fracs sã capazes de arrastá-ls. Estes elétrns livres sã denminads elétrns de cnduçã. Em um metal, pr exempl, s átms frmam uma estrutura regular. N cbre s núcles se distribuem cupand s vértices de pequens cubs, s elétrns mais interns permanecem ligads as núcles, elétrn mais extern vagueia entre s íns que cnstituem esta rede cúbica. A figura mstra um plan desta estrutura. Tda a estrutura scila (agitaçã térmica) e quand em equilíbri eletrstátic, numa regiã qualquer d interir da estrutura nº de elétrns livres é igual a númer de íns. Se um camp elétric extern é aplicad a cndutr s elétrns livres sã arrastads n sentid cntrári a d camp, frmand uma crrente elétrica. Em utrs metais frmam-se também estruturas regulares (denminadas redes cristalinas) que nã sã necessariamente cúbicas e tais que cada átm pde cntribuir cm um, dis u três elétrns livres. 2. EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO Um crp carregad está em equilíbri eletrstátic quand ttal de carga numa pequena regiã d crp nã varia cm temp e nã há mviment de arrastament das cargas. 3. TEOREMA DE FARADAY A carga de um cndutr carregad em equilíbri eletrstátic se distribui pela superfície externa d cndutr. Cnsidere um cndutr carregad cm uma carga + Q em equilíbri eletrstátic. N interir d cndutr camp elétric é nul, pis se nã fsse s elétrns livres estariam send arrastads, frmand uma crrente, que cntraria a hipótese de equilíbri eletrstátic. 3

4 Tmems agra duas superfícies Gaussianas, uma interna a cndutr e utra externa, muit próximas da superfície d cndutr. Tem-se: Q Q int sext ext Q int Mas int Q int sint E interir S cs u Q int sint Q int sint E tda a carga d cndutr está fra da superfície Gaussiana interna e n interir da superfície Gaussiana externa e, prtand, na superfície externa d cndutr. 4. O ELETROSCÓPIO UM INSTRUMENTO DE GRANDE SENSIBILIDADE PARA DETECTAR A PRESENÇA DE CARGAS ELÉTRICAS. O aparelh é cnstituíd pr uma caixa cilíndrica metálica prvida de uma janela. Pr um rifíci praticad na superfície lateral da caixa passa uma haste metálica sem cntat cm metal da caixa. A haste passa pr dentr de um islante (pde ser de brracha) encaixad n rifíci. N exterir da haste clca-se uma esfera metálica e n extrem inferir um pnteir que pde girar, aprximand-se u afastand-se da haste. 4

5 Simblicamente representarems aparelh cm a figura abaix. Cm eletrscópi detecta se um crp tem carga u nã? Se aprximarms, sem tcar, um crp carregad da esfera de um eletrscópi, surgirã cargas induzidas n cnjunt hasteesfera-pnteir. O pnteir se afastará da haste devid à frça de repulsã eletrstática. Também surgem cargas induzidas na caixa, mas atingid equilíbri eletrstátic as cargas da caixa nã afetam pnteir vist que n interir de um cndutr (a caixa) em equilíbri eletrstátic camp elétric é nul. Se tcarms crp carregad na esfera e depis afastarms eletrscópi se carregará cm carga de mesm sinal que a d crp. 5

6 Se, cm indutr próxim (mas sem tcar a esfera) ligarms eletrscópi à terra (terra é cndutra) pr mei de um fi cndutr e desfizerms a ligaçã, afastand psterirmente indutr, eletrscópi se carrega cm carga de sinal pst à d indutr: 5. PROVA EXPERIMENTAL DO TEOREMA DE FARADAY Imagine uma rede caça-brbletas feita cm arame metálic pres a um ar prvid de cab de material islante. N vértice da rede prende-se um fi de nyln (islante), de tal frma que puxad este fi se pssa virar a rede pel avess. Carreguems a rede e usems dis eletrscópis, um em cntat cm a superfície exterir a rede e utr em cntat cm a superfície interir. Puxems fi de nyln e nvamente usems s eletrscópis. 6

7 O experiment mstra que a carga se lcaliza na superfície externa d cndutr. Nte que a superfície cndutra nã precisa ser cntínua. 6. LEI DE COULOMB E LEI DE GAUSS A lei de Culmb é btida da mediçã direta da frça entre cargas elétricas e, cm tda a lei experimental, cntém uma imprecisã. Levand esta imprecisã em cnta a fórmula de Culmb pde ser escrita na frma qq 1 2 abaix: F K r 2. Quand se fazem medições diretas da frça entre cargas a impressã ε é da rdem de alguns centésims. N Cap. II 14 1º Exempl, mstrams cm, a partir d terema de Gauss, estabelecer camp criad em um pnt distante r de uma carga. O valr encntrad fi E = k q 1 r 2. E, prtant, se uma carga q 2 fr clcada em P sfrerá a frça: F = q 2 E F = k q 1q 2 que é a fórmula de r2 Culmb. O terema de Faraday decrre diretamente da lei de Gauss, e a prva experimental d terema de Faraday se faz cm precisã imensamente mair que a prva experimental da lei de Culmb. Experiments cuidadss realizads sbre a afirmaçã d terema de Faraday levam-ns à cnclusã que a imprecisã ε é menr que 1,3 1-16! Pr esse mtiv estud teóric da eletrstática é mais bem fundamentad na afirmaçã de Gauss (e sua cnsequência, terema de Faraday) que na afirmaçã de Culmb (lei d invers d quadrad). Dravante cnsiderarems terema de Gauss cm uma lei física fundamental A lei de Gauss e a lei d invers d quadrad cm uma cnsequência (u seja, um terema). 7

8 7. TEOREMA O camp, em pnt muit próxim de um cndutr em equilíbri eletrstátic é dad pr σ ε, nde σ é a densidade superficial de carga na regiã d cndutr próxima a pnt cnsiderad. E Observarems primeiramente que na superfície de um cndutr camp tem de ser perpendicular à superfície, se nã fsse sua cmpnente tangente à superfície deslcaria as cargas da superfície e cndutr nã pderia atingir equilíbri eletrstátic. E E E t n n t E O Equilíbri eletrstátic E E Cnsidere agra um pnt muit próxim da superfície de um cndutr em equilíbri eletrstátic: q s s 1 Lei de Gauss E S cs E S cs E S cs / 2 int inferir s E S 2 def. de flux q q E S E E S superir 8

9 8. CAMPO DE UM CONDUTOR ESFÉRICO EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO Vams tmar dis pnts, um intern a cndutr e utr extern, M e P. Lembrem-ns que tda a carga se distribui pela superfície externa d cndutr. Vams calcular camp num pnt intern, cm M. Passems pr M uma superfície esférica, de rai r, r < R, cncêntrica cm cndutr para servir cm superfície gaussiana. n s nã há cargas n interir s E S def. flux n n E s E resultad já esperad... Passems pr P uma superfície gaussiana esférica de rai r, r > R, cncêntrica cm cndutr. sp Q 1 Lei de Gauss sp ES cs sp 2 E S Qsp E 4 r 2 Q 1 Q Q 2 E 4 r E E k r r r 9

10 Para pnts exterires à esfera ela se cmprta cm se tda a sua carga estivesse cncentrada em seu centr. Observaçã: Afirmarems, sem demnstrar, que na superfície d cndutr esféric camp é dad pr E sup = 1 2 k Q r CAMPO ENTRE DUAS PLACAS METÁLICAS PLANAS E PARALELAS Cnsiderems duas placas metálicas planas e paralelas, muit próximas, carregadas cm cargas +Q e -Q e cm densidades superficiais de carga +σ e -σ cnstante. q 1 T. Gauss E S 2 Def. flux q q E S E E S 1

11 O camp é unifrme e de intensidade E = σ ε, lnge das brdas. 1. CAMPO ENTRE DOIS CILINDROS CO-AXIAIS Cnsidere dis cndutres cilíndrics muit lngs, caxiais, de rais a e b, a < b, cm densidades lineares de carga cnstantes, +λ e -λ. Determinems camp entre eles. q 1 T. Gauss lat base base E S E s cs E S cs 2 2 lat 11

12 lat E S E2r 2 q E 2r 1 q E 2 r Mas q 1 E 2 r N interir d cilindr intern camp é nul e n exterir d cilindr extern também. O camp é radial e está cntid na regiã entre s cilindrs. 12

13 1. Duas esferas metálicas, uma maciça, de rai a e utra ca, de rai b, b > a, sã cncêntricas. A esfera interna tem carga +Q e a externa -Q. Mstre cm varia camp elétric cm a distância r a centr das esferas, para r <. 2. Quand uma frça atua sbre uma partícula de massa m ela cmunica a esta partícula uma aceleraçã em sua própria direçã e sentid tal que F = ma. Cnsidere as duas placas planas e paralelas, cm cargas +σ (densidade superficial) e -σ, da figura abaix. Send d a distância entre as placas calcule a velcidade mínima v cm que um prótn deve ser lançad da placa negativa para atingir a placa psitiva. Cnsidere m a massa d prótn e +p a sua carga. 3. Entre duas placas planas e paralelas distantes 1 mm uma da utra, há um camp unifrme de intensidade 1 3 N/C. Um elétrn é ejetad da placa negativa cm velcidade inicial nula. Cm que velcidade atinge a placa psitiva? Dads: e = C m = 9, kg 13

14 4. Cnsidere a seguinte experiência: Aprxima-se um crp negativamente carregad de um cndutr neutr e islad. Tca-se cm a mã n cndutr, retira-se a mã e depis afasta-se crp negativamente carregad. O cndutr fica carregad? Justifique a respsta. 5. Uma lata (metálica) cilíndrica está apiada num pis de brracha (islante). Uma esfera de crtiça cm carga psitiva, pendurad pr um fi de nyln é intrduzid na lata, tca-a e é retirada, cm que carga fica a esfera? A lata fica carregada? Cm? Justifique. 6. A figura mstra um blc metálic cm um c esféric. N centr d c há uma carga negativa de -2, μc. Ilustre as cargas que se frmam n blc. O que vcê pde afirmar sbre camp elétric ns pnts A, B e C? 7. N cas d exercíci anterir, quants elétrns fram deslcads n blc? 8. Cm api na infrmaçã cntida n exercíci 9, justifique fat cnhecid cm pder das pntas : nas prximidades de uma pnta metálica em um crp carregad camp elétric é muit mais intens que em regiões d cndutr de curvatura suave. 9. Carrega-se uma placa metálica plana cm densidade de carga superficial cnstante +σ. Qual camp nas prximidades da placa? 14

15 1. A figura mstra uma pequena esfera metálica clcada entre duas placas metálicas planas e paralelas cm densidades de carga +σ e -σ. Faça um esbç das linhas de frça d camp. 15

16 1. N interir da esfera interna nã há carga e, prtant camp é nul. N exterir da esfera externa nã haverá flux através de uma superfície esférica envlvend td cnjunt e, prtant nã haverá camp. Entre as esferas camp é determinad apenas pela esfera interna. r a E 1 Q Respsta: a r b E 2 4 r r b E p 2. A frça sbre prótn será igual pe e F u. p p Cm F ma vem ma a. m Esta aceleraçã freia prótn, tem-se: O V 2ad V 2ad V 2pd m RESPOSTA: V 2pd m 16

17 2 V 2ad V V V 2ad V 2ad 1 F ee ee ma ee a 2 F ma m De (1) e (2): ee V 2 d m , V 3i 9,11 6 5,9 1 m s 6 Respsta: 5,9 1 m s 4. Fica cm carga psitiva. O crp human é cndutr. As cargas negativas que surgem na induçã sã cnduzidas para a terra. 5. Quand a esfera é intrduzida na lata induz cargas negativas na superfície interna e cargas psitivas na superfície externa. A tcar a superfície interna a esfera se neutraliza. A ser retirada a esfera estará descarregada e a lata psitivamente carregada cm a carga distribuída em sua superfície externa. 6. RESPOSTA: EA ; EB ; EC ; 17

18 7. q q ne n e 6 2,1 n 19 1, ,25 1 elétrns 8. Cnsidere duas esferas de rais r e R, r<r, carregadas cm carga ttal Q e ligadas pr um fi cndutr. Supnha as esferas cndutras. Seja q 1 a carga de esfera menr e q 2 a carga da mair. Tem-se: q1 q2 Q r R r R Assim: Qr q1 r R QR q2 r R As densidades superficiais de carga σ 1 e σ 2 serã: q1 q 1 e u 4 2 r 4 R Q 1 e 4 r r R Q 4 R r R 2 Prtant, σ 1 >σ 2 e cm camp nas prximidades é dad pr vem E 1 >E q s 1 18

19 s E S 2 q q ES E S E RESPOSTA: 1. 19