Capítulo VII. Elementos Armazenadores de Energia

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1 Capíul VII Elemens Armazenadres de Energia 7. Inrduçã Nese capíul serã esudads dis elemens armazenadres de energia cnhecids cm indur e capacir. O primeir cnsise em um elemen que armazena energia em camp magnéic e segund armazena energia em camp eléric. Será vis equações e cnceis que envlvem funcinamen desses elemens que sã uilizads cm freqüência em rádis, elevisões, radares, ransfrmadres, micrndas e uma prçã de urs equipamens elerelerônics. Prém, anes de apresenar esses elemens, faz-se uma sucina explicaçã de alguns cnceis físics relevanes cm lei de Culmb, camp eléric e magnéic, efei Oersed e lei de Faraday. 7. Lei de Culmb A lei de Culmb descreve a frça múua que uma carga casina em ura, cm msra a figura 7.. Figura 7.: Frça elérica enre duas cargas punifrmes. O equacinamen dessa lei é: Kqq F = (7.) d Onde F é a inensidade da frça e k é uma cnsane de prprcinalidade cuj valr é dad pr: 9 9 k = 8, Nm C 9,0 0 Nm C (7.) 7.3 Camp Eléric A ineraçã elérica (equaçã 7.) enre parículas carregadas pde ser refrmulada uilizand cncei de camp eléric. Supnha que uma carga Q eseja a uma disância r de uma carga q 0 cm msra a figura

2 Figura 7.: Camp eléric em q 0 devid à carga Q. O camp eléric a que a carga q 0 esá sujeia é dad pela equaçã 7.3. F kq0q ρ kq ρ E = = ax = a x [N/m] (7.3) q r q r Onde a ρ x é a direçã de F ρ. 7.4 Camp Magnéic 0 0 A diferença fundamenal enre camp eléric e camp magnéic é que camp eléric se refere a camp gerad pr cargas em repus já camp magnéic se refere a camp gerad pr cargas em mvimen u pr imãs permanenes. Supnha uma carga sujeia a um camp magnéic cm msra a figura 7.3. Figura 7.3: Carga sujeia a um camp magnéic. Verificu-se experimenalmene que: F ρ αq; F ρ α v ; Para uma deerminada direçã de v F = 0 ; Se a velcidade nã esiver rienada nessa direçã mencinada anes, há uma frça que é perpendicular à rea e à velcidade; F ρ α senθ; send θ ângul enre a direçã em que F = 0 e a velcidade. A parir da análise deses fas experimenais frmulu-se a seguine equaçã: F = qv B (7.4) Onde B é ver camp magnéic, v é a velcidade da carga e q é valr da carga. Cm na equaçã 7.4 há um prdu verial, ela pde ser reescria da seguine maneira: F = q v B senθ (7.5) Pran, s veres dessa equaçã frmam riedr cm msra a figura

3 7.5 Efei Orsed e Lei de Faraday Figura 7.4: Triedr que represena a equaçã 6.4. Em 80, Hans Chrisian Orsed, bservu que a aprximar uma bússla de um fi percrrid pr uma crrene, há deflexã da agulha da bússla. Observu ambém que a inverer senid da crrene a bússla girava 80. A esse fenômen chamu de efei rsed. A figura 7.5 msra as linhas de densidade de camp magnéic que aparecem em rn de um fi cndur percrrid pr crrene bem cm camp magnéic que surge em uma bbina ambém percrrida pr crrene. Figura 7.5: a) camp magnéic em rn de um fi percrrid pr crrene. b) camp magnéic gerad em uma bbina devid a crrene i. Mais arde, em 83, Michael Faraday realizu experimens para a Ryal Sciey e a parir de suas bservações cncluiu que uma variaçã de flux magnéic n inerir de uma espira pde gerar uma fem em seus erminais. A equaçã que relacina a variaçã de flux magnéic cm a ddp gerada em uma espira é: dφ fem = [Lei de Faraday-Lenz] (7.6) d Esa lei será imprane para expliciar a relaçã enre crrene e ensã n indur. O sinal negaiv dessa equaçã, psulad pr Lenz, indica que há cnservaçã de energia, u seja, se uma variaçã de camp magnéic crre em um senid, a fem induzida e cnseqüene crrene, geram um camp de senid ps. (veja Física, P. ª Tipler, 3 a ediçã, vlume 3, 995, capíul 6). 7.6 Indur O indur é um dispsiiv de dis erminais cmps pr um fi cndur enrlad em espiral cm msra a figura

4 Figura 7.6: Aspecs cnsruivs d indur. Cm indur é cmps pel equivalene de várias espiras, a ensã em seus erminais, pela lei de faraday, é: dφ dnφ v = N = d d (7.7) Onde N é númer de espiras d indur. Experimenalmene verifica-se que: L i = N φ (7.8) Onde L é a induância d indur. Enã, cnjunamene, as equações 7.7 e 7.8 resulam em: di( v = L d (7.9) O sinal negaiv da equaçã 7.9 depende d senid de enrlamen da bbina e, para a análise de circuis elérics, ese sinal será descnsiderad e a equaçã ficará da seguine frma: di( v = L d (7.0) Para equacinar a crrene em funçã da ensã basa seguir s seguines passs: i di = i v ( ) d 0 L 0 (7.) i( i( ) = v( d L 0 (7.) i ( = v( d i( ) L + 0 (7.3) A parir da análise da equaçã 7.0 é pssível cncluir que em níveis de crrene cnínua indur se cmpra cm um cur-circui (v = 0) e, ainda, pde-se dizer que a crrene n indur nã pde variar abrupamene, pis cas cnrári nã haverá derivada nese pn. A induância L de um indur pde ser calculada a parir da seguine expressã: N A L = µ l 0,45d [H] (7.4) Onde: 7 µ = 4π0 H m (permeabilidade d vácu); / N é númer de espiras; l é a exensã da bbina; d é diâmer d núcle; A é a área da secçã ransversal d núcle. 68

5 A expressã 7.4 é válida smene para l >> d e cnsidera-se que nã há núcle (vácu). Exempl 7.: A ensã em um indur de H é 6cs5. Esabeleça uma expressã para a crrene, se em = π i = A Pência e Energia Armazenada n Indur Cm fi di na inrduçã, indur é capaz de armazenar energia num camp magnéic. Is crre prque, quand indur é percrrid pr uma crrene elérica, a lei de Faraday prvidencia um acúmul de cargas psiivas na enrada d indur e negaivas na saída. É ese acúmul de cargas que represena um armazenamen de energia em camp magnéic. Sabe-se que: dw p( = = v( i( (7.5) d Ou: p ( d dw (7.6) di( Li( d = w w (7.7) d Supnd cndições iniciais nulas: w = Li ( ) (7.8) A equaçã 7.8 se assemelha a equaçã de energia cinéica (mv²/) que leva a inferir que, n indur, i( é cnservaiv. Iss realmene acnece, pis mand uma crrene i ( = I, bém-se uma energia E e mand uma crrene i ( = - I, bém-se uma energia E = -E. Desa maneira, smaóri das energias é igual a zer, msrand que há uma cnservaçã de energia que, n cas, é em camp magnéic, cnfrme já descri. Além diss, bserva-se que uma quanidade finia de energia pde ser armazenada em uma induância, mesm que a ensã na mesma seja nula (cas em que a crrene é cnsane). = w w 69

6 7.6. Assciaçã de Indures em Série Cnsidere uma assciaçã de n indures em série cm msra figura 7.7. Enã: Figura 7.7: Assciaçã série de indures. v = v + v v n (7.9) L di di di di = L + L +... Ln (7.0) d d d d eq + Pran: L eq = L + L L n (7.) Pde-se bservar que a assciaçã série de indures se cmpra cm um divisr de ensã. Assim, numa cnfiguraçã cm a msrada na figura 7.8, a ensã n indur será: L v = v (7.) L + L Assciaçã de Indures em Paralel Figura 7.8: Divisr induiv de ensã. Cnsidere uma assciaçã de n indures em paralel cm msra a Figura

7 Figura 7.9: Assciaçã de indures em paralel. Enã: i = i + i i n (7.3) i eq n ( = v( d + ii ( ) (7.4) L L L i= Pran: L = (7.5) L L eq L n Pde-se nar que uma assciaçã de indures em paralel se cmpra cm um divisr de crrene. Assim, numa cnfiguraçã cm a msrada na Figura 7.0, a crrene n indur será: L i = i (7.6) L + L Figura 7.0: Divisr induiv de crrene. 7.7 Capacir O capacir é um elemen passiv de dis erminais cnsiuíd de duas placas meálicas cm área exensas e mui próximas uma da ura cm msra a Figura 7.. 7

8 Figura 7.: Aspecs cnsruivs d capacir (esquemáic). A relaçã enre a carga n capacir e a ensã aplicada em seus erminais é: q ( = Cv( [F] (7.7) Onde C é uma cnsane de prprcinalidade denminada capaciância e é calculad a parir da equaçã: A C = ε (7.8) d Onde: ε a permissividade d dieléric (mei islane); A a área de cada uma das placas; d a disância enre as placas. A equaçã 7.7 pde ser reescria em funçã da crrene, u seja, cm: dq( i( = (7.9) d Enã: dv( i( = C (7.30) d Ou: v ( = C i( d + v( ) (7.3) De acrd cm a equaçã 7.30, quand capacir esá sujei a uma crrene dv( cnínua ele se cmpra cm um circui aber = 0. Além diss, pde-se d cncluir que a ensã n capacir nã pde variar abrupamene, cas cnrári nã haverá derivada nesse pn. 7

9 Exempl 7.: Calcule V n circui da Figura 7. admiind que circui já eseja em regime permanene. Figura 7.: Exempl Pência e Energia Armazenada n Capacir Cm fi di na inrduçã, capacir é capaz de armazenar energia num camp eléric. Iss crre prque, quand capacir esa sujei a uma diferença de pencial, haverá um acúmul de cargas nas placas d capacir. É ese acúmul de cargas que represena um armazenamen de energia em camp eléric. Sabe-se que: dw p( = = v( i( (7.3) d Ou: p ( d dw (7.33) = w w dv( C v( d = w w (7.34) d Supnd cndições iniciais nulas: w = Cv ( ) (7.35) 7.7. Assciaçã de Capacires em Paralel Cnsidere uma assciaçã de capacires em paralel cm msra a figura 7.3. Figura 7.3: Assciaçã de capacires em paralel. Enã: i =... + i + i + in (7.36) 73

10 C dv dv dv dv = C + C +... Cn (7.37) d d d d eq + Pran: C = C... + eq + C + Cn (7.38) Cm era de se esperar a capaciância equivalene da assciaçã de capacires em paralel é igual a sma das capaciâncias assciadas. Iss crre prque as áreas das placas de cada um ds capacires se smam Assciaçã de Capacires em Série Cnsidere uma assciaçã de capacires em série cm msra a figura 7.4. Figura 7.4: Assciaçã de capacires em série. Enã: v = v v + vn (7.39) n n v = i( d vn ( 0 ) C + (7.40) i= i i= Pran: C = (7.4) C C eq C n 74

11 Resum: - di v L ( = L - d i L( = vl( d + il(0) L0 - dv i c ( = C - d v C ( = i ( ) 0 L d + C v C (0) As rês caracerísicas principais d indur sã: Armazena energia em seu camp magnéic; Cmpra-se cm um cur-circui para níveis cc; A crrene que aravessa nã pde variar abrupamene. As rês principais caracerísicas d capacir sã: Armazena energia em seu camp eléric; Cmpra-se cm um circui aber para níveis cc; A sua ensã nã pde variar abrupamene. 75

12 Exercícis E7. Qual é a diferença enre camp magnéic e camp eléric? E7. Qual é a relaçã enre ensã e crrene n indur? Dê a frma diferencial e inegral dessa relaçã. E7.3 Qual é a relaçã enre ensã e crrene n capacir? Dê a frma diferencial e inegral dessa relaçã. E7.4 A frma de nda da figura E7.4 pde ser assciada a um capacir? Jusifique. Figura E7.4: Gráfic para exercíci. E7.5 Se i( = cs4 e v( = sen4, qual é elemen x da figura E7.5? Figura E7.5: Circui para exercíci. E7.6 A crrene em um capacir de 4F inicialmene descarregad é msrada na figura E7.6. Deermine a ensã n capacir para 0 < < 3. Figura E7.6: Gráfic para exercíci. 76