Exercícios de Cálculo Numérico - Erros

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1 Ercícios d Cálculo Numérico - Erros. Cosidr um computador d bits com pot máimo ( a rprstação m aritmética lutuat a bas. (a Dtrmi o mor úmro positivo rprstávl sta máquia a bas. (b Dtrmi o maior úmro positivo rprstávl sta máquia a bas. (c Rprst o úmro ( 7 sta máquia calcul o rro da rprstação a bas. (d Dtrmi o mor valor d ɛ tal qu 7 ɛ 7.. Numa calculadora aproima-s o valor d para todo [ ] plo valor do poliômio d Taylor d grau obtido através da pasão d m séri d Taylor m toro do poto. (a Qual a aproimação d. orcida pla calculadora? (b Utilizado a prssão do rro comtido ao s aproimar a ução pla sua pasão m séri d Taylor orça um limitat suprior para o rro comtido o itm (a.. Usado a séri d Taylor dtrmi o valor aproimado o limitat suprior do rro utilizado dígitos sigiicativos para o cálculo d s(7 m toro do poto ( com poliômios d grau (a η (b η (c Usado o poliômio d grau η o rro associado calcul sabdo qu o valor ato é.69. Cosidr a itgral abaio: d Fazdo uso da itgral por parts obtém-s a rcorrêcia: 7 s( d ; ( (a Calcul o valor d usado ( para sabdo qu /. (b Calcul o valor d usado ( utilizado a aproimação /. para 99 (c abdo-s qu /( compar os dois rsultados vriiqu m qual dls o rro é maior. Qual é a mlhor maira d calcular? Justiiqu a rsposta.

2 . Cosidr a séri Harmôica dada por. Mostra-s qu portato é divrgt. No tato s calcularmos usado o algoritmo: k k k obtmos um rsultado k iito. Epliqu o qu ocorr. 6. Vriica-s qu a séri d Taylor da ução m toro d é: i i i!!!...!... ( i As somas parciais podm sr usadas para calcular aproimaçõs i i! para o valor d d dois modos: (a Tomado m (; (b Tomado m ( lmbrado qu / ; (c Compar sts dois procdimtos com. Compar também sus rsultados com o valor d da calculadora.

3 Gabarito Erros Ercício : (a Como o pot máimo é ( tão o úmro d bits para o pot é (lmbrado qu o úmro d bits do pot abrviado por.. é cotrado através da rlação má... Assim motamos a sguit tabla qu rlacioa os bits com os pots: O mor úmro positivo rprstávl sta máquia a orma ormalizada dv tr o mor pot ( zros a matissa além do bit para o sial do úmro qu é positivo. Etão tmos: { s.. pot matissa O mor úmro msmo stá a orma dsormalizada dv tr como mor pot. Assim tmos: { s.. pot matissa - - (b O maior úmro positivo rprstávl sta máquia dv tr o maior pot ( s a matissa além do bit para o sial positivo do úmro. Etão tmos: { s.. pot matissa ( (c 7 7 Bits Epot - (orma dsormalizada NaN ou dtrmiação art itira: art racioária: Em rprstação biária: 7

4 Mas sta máquia qu possui apas dígitos para a matissa tmos: 7 bits p/ matissa { s.. pot matissa Erro da rprstação: ε (d 7 ε - 7 ε Limit da matissa Ercício : oliômio d Taylor d Grau [-] ( (a ( ( ( ( ( ( ( (! quado. : (.. (. (. 6 ( (b Limitat suprior para o rro: E ( iv ( má! Lmbrado qu ε. iv iv ( ( (. E (..9 (logo ss vai sr o valor usado para o limitat

5 Ercício : (a s( - ( cos( ( s( ( rad rad 7 7 ( ( ( ( ( ( o o ( (b azr com η (c.7 ( s( E : Erro associado.66 d ( : Usado poliômio d Grau

6 Ercício : (a!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! - -! -! 96! 9!! 97! 99! -!! 97! 9! 99! -! Etão (! (! (! (! (! : é qu a órmula para dduzimos Assim.6(a calculadora.7 (a calculadora (b.97 (/ (/ 9 99

7 (c. porqu m todas as itraçõs o rsultado smpr covrg para ( A mlhor maira d calcular tão é usar portato o rro é maior m (a. como m (b - Ercício : Fot: Howard Ato Cálculo um ovo horizot Vol. 6 a Edição Ed. Bookma pág. 6. Uma das mais importats d todas as séris divrgts é a séri harmôica k k A séri harmôica surg m coão com os sos harmôicos produzidos pla vibração d uma corda musical. Não é vidt qu sta séri divrg. Etrtato a divrgêcia s torará apart quado armiarmos as somas parciais m dtalh. Como os trmos da séri são todos positivos a soma parcial orma uma sqüêcia stritamt crsct ; ; ; ; odmos provar a divrgêcia dmostrado qu ão há huma costat M (cota suprior para a sqüêcia qu sja maior ou igual qu suas somas parciais (vja o torma o ial do rcício. ara st im cosidrarmos algumas somas parciais slcioadas isto é 6 Not qu os ídics são potêcias sucssivas d d modo qu ssas são as somas parciais da orma. Essas somas parciais satisazm as dsigualdads: 7 6

8 M é uma costat qualqur podmos achar o itiro positivo tal qu (/ M. No tato para st M d modo qu huma costat M é maior ou igual qu cada soma parcial da séri harmôica. sso prova a divrgêcia. Torma: uma sqüêcia { } or crsct a partir d um crto trmo tão istm duas possibilidads: (a Eist uma costat M chamada d cota suprior para a sqüêcia tal qu s M para todo a partir d um crto trmo st caso a sqüêcia covrg a um limit L satisazdo L M. (b Não ist cota suprior st caso lim Ercício 6: rocdimto (a: - i i ( ( ( ( i! (!!! rocdimto (b: i i!!!! i O procdimto (b é o mlhor!