Sucessões e Frações Contínuas

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1 Sucssõs Fraçõs Contínuas JOÃO CARREIRA PAIXÃO Escola ES/3 d Maria Lamas jcpaixao@gmail.com GAZETA DE MATEMÁTICA 166

2 Atualmnt a rprsntação d númros rais na notação dcimal parc sr a mais óbvia, mas nm smpr foi assim. Uma outra forma d rprsntar númros rais, qu rcorr a uma sucssão d fraçõs ncaixadas umas nas outras, stv m particular dstaqu nos Embora mnos conhcida, a rprsntação m forma d fração contínua é ainda utilizada m studos trabalhos rcnts. Nst artigo, fundamntando rsumidamnt do ponto d vista tórico as tarfas propostas, irmos aprsntar uma forma d trabalhar com fraçõs contínuas no nsino scundário m conxão com o studo das sucssõs altrnadas convrgnts. Enquanto s studam as sucssõs no 11º ano podmos confrontar os alunos com uma intrrogação: Não havrá outro tipo d sucssõs altrnadas convrgnts para além daqulas cujo trmo gral aprsnt uma potência d bas -1?. Uma possívl rsposta rsid no studo d um tipo d rprsntação dos númros rais, pouco conhcida mas muito intrssant. Essa rprsntação dsigna-s por Fração Contínua toma a forma d: ou scrita d forma compacta, Há rgistos dsd o séc. V do dsnvolvimnto m fração contínua d númros. Em particular, o matmático hindu rsolvr quaçõs diofantinas (ncontrar as soluçõs intiras d quaçõs com uma ou mais incógnitas), assim dsignadas m homnagm ao matmático grgo Diofanto d Al- nas a partir d um dsnvolvimnto smlhant a uma fração Álgbra, Rafal ízs quadráticas (por xmplo ). Também Pitro Cataldi. Contudo, nnhum dos dois aprofundou a gnralização m fração contínua. sntado o dsnvolvimnto d 1 m fração contínua, qu surg pla primira vz o trmo, in no su livro Opra Mathmatica I 2. Nst príodo, mais pr- fraçõs contínuas no cálculo da razão ntr rodas dntadas D Fractionibus Continuis, provou qu qualqur irracionalidad quadrática (uma raíz d um poli- - um método para ncontrar as fraçõs contínuas d raízs º aprsntou também a xprssão para o númro m fração para provar qu s x foss um racional difrnt d 0, ntão x tan x contínuas foram aplicadas para dduzir algoritmos computacionais, dstacando-s o trabalho d Danil Shanks qu, m abril d 1954, dscrv um método para calcular logaritmos a partir do dsnvolvimnto m fraçõs contínuas, tirando partido da rapidz d cálculo dos computadors da altura. Também qurmos vidnciar o trabalho d M. A. Morrison fatorização prima, basado no dsnvolvimnto m fraçõs contínuas, o mais rápido até 1981, ano m qu foi proposto o 1 A fracção contínua aprsntada por Brounckr não tinha st formato aprsnta-s apnas como xmplo. 2 Wallis Brounckr foram co-fundadors da Royal Socity. SUCESSÕES E FRAÇÕES CONTÍNUAS João Carrira Paixão 39

3 caóticos s tm rcorrido a propridads das fraçõs contínu- Sab-s qu qualqur númro ral pod sr rprsntado por uma fração contínua. Para ncontrar a fração contínua d um númro ral x, basta sguir o algoritmo sguint: 1) S mnto é análogo para os rais ngativos). x a sua part intira; s o rsto for zro, o Os númros intiros qu s vão obtndo ao longo do procsso formam a fração contínua corrspondnt. Como xmplo, scrva-s a fração contínua para. qualqur fração contínua rprsnta, smpr no sntido qu srá abaixo prcisado, um númro ral ( é aqui qu s introduzm as sucssõs altrnadas). Juntando os dois factos, contínuas. Obsrv-s um concito fundamntal para st studo. S uma fração contínua for truncada a partir d crta nita corrspond ncssariamnt a um númro racional, como tal, s rprsnta por um númro fracionário. As fraçõs obtidas por sta via são dsignadas por fraçõs rduzidas. S truncarmos a fração a partir d crta ordm k, obtmos Por xmplo, tm como fraçõs rduzidas é a part intira d é a part intira d trmina o procsso. Subtraíram-s ao longo da itração do algoritmo os núm-. Proposta 1: Proposta 2: Escrva as fraçõs contínuas dos númros (us a calculadora para os irracionais):. Como vmos, a última rduzida coincid com a fração ini- sja, qu rprsnta um númro racional. d rduzidas. A título d xmplo, aprsntam-s as três primiras rduzidas d a) b) c) Como provavlmnt rparou, há norms difrnças ntr o primiro os rstants númros. Eulr sclarcu-nos sta qustão por complto quando provou o sguint torma. Torma: Um númro ral é racional s só s for rpr- Est torma prmit concluir qu os númros irracionais são ncssariamnt scritos na forma d uma fração contí- Qu a qualqur númro ral x s pod associar uma fração ritmo já aprsntado. No qu s sgu mostrarmos qu ssa fração rprsnta, num sntido técnico bm prciso qu srá sclarcido a sguir, ss númro ral x. Mas ants disso, provarmos qu Uma obsrvação: é notávl qu a fração tnha sido usada como aproximação d por Arquimds, não é conhcida a razão pla qual o sábio grgo trá utilizado st valor, mas, rcorrndo à toria das fraçõs contínuas, srá possívl comprndr qu sta aproximação é d um nívl d xatidão impossívl d obtr com uma outra fração com dnominador igual ou infrior ao dsta. É usual rfrir-s qu s trata d - Da construção das fraçõs rduzidas pod stablcr- -s uma rgra gral d cálculo do numrador do dnominador d cada fração. Por rcorrência tm-s qu: 40 GAZETA DE MATEMÁTICA 166

4 gomtria, como o GoGbra, podrá obtr rsultados como os sguints) Esta rlação d rcorrência prova-s facilmnt por indução, bastando para tal tr m atnção qu para s obtr a fração rduzida d ordm, substitui-s na antrior por. A partir daqui pod construir-s um quadro gral qu facilita o cálculo d cada uma das rduzidas: No qu s sgu, provarmos qu a sucssão das rduzidas é uma sucssão convrgnt. Comçamos por obsrvar sguint rlação: Continuando com a prova da convrgência das fraçõs rduzidas d uma dada fração contínua, comparamos duas fraçõs rduzidas conscutivas com a msma paridad: Logo, sndo por construção Também daqui rsulta a propridad fundamntal das rduzidas (ii) Proposta 3: Calcul as cinco primiras rduzidas d. Proposta 4: Rprsnt num rfrncial ortogonal, para cada um dos valors antriors, os pontos d coordnadas. O qu é qu obsrva? sta última igualdad rsulta d (ii). Dnotando, conclui-s qu ou sja, Gnralizando, (iii) Proposta 5: Rprsnt m cada rfrncial ortogonal, construído na proposta antrior, a quação sndo ou, rsptivamnt. (Usando um softwar d isto porqu da igualdad (iii) é possívl constatar qu a subsucssão d rduzidas d ordm par é crscnt a d ordm ímpar é dcrscnt. Também d (ii) s conclui qu as d or- SUCESSÕES E FRAÇÕES CONTÍNUAS João Carrira Paixão 41

5 dm par rprsntam númros mnors do qu as adjacnts d ordm ímpar. Tndo m conta qu já provámos qu a difrnça ntr rduzidas conscutivas tnd para zro, rcorrndo ao Axioma dos Intrvalos Encaixados d Cantor (na rta ral para cada sucssão d intrvalos fchados ncaixados cujo comprimnto tnda para zro, xist um um só ponto qu prtnça a todos os intrvalos), prova-s qu a sucssão das rduzidas d uma qualqur fração contínua tnd para um númro ral. Nst sntido, dizmos qu qualqur fração contínua rprsnta um númro ral. Contudo, é ainda ncssário sclarcr s a fração contínua obtida a partir d um númro ral, usando o algoritmo aprsntado acima, rprsnta msmo o númro qu lh du origm. Para provar qu é ss o caso, comparmos duas rduzidas adjacnts Conform s pod notar, as três xprssõs d têm m comum difrm nos trmos, rsptivamnt. É agora possívl concluir qu é o limit da sucssão. Com fito, por construção, com, dond. Mas por outro lado, também, com assim,, plo qu. Obtém-s o nquadramnto, qu aplicando nos trmos rfridos antriormnt, rsulta, Dsta forma, conclui-s qu, ou Tndo m conta a propridad, (i) concluímos qu o limit das rduzidas é msmo. Val a pna obsrvar qu um simpls cálculo mostra qu, pois, ao msmo tmpo,, com com o númro ral scrito d uma forma oportuna. Mais prcisamnt, vamos scrvr na forma ond é o invrso da part dcimal dpois da k-ésima itração do algoritmo para dsnvolvr a m fração contínua. Por xmplo, tmos qu: ou Como as fraçõs rduzidas d ordm par rprsntam smpr um númro infrior ao rprsntado plas d ordm ímpar, conclui-s qu, xplicando rigorosamnt o su comportamnto studado nas propostas 4 5. Ants d trminar, gostaríamos apnas d sclarcr o concito nunciado antriormnt d vantagm d uma aproximação. Diz-s qu uma aproximação d um númro ral por um númro fracionário é vantajosa s não for possívl mlhorar o rro da aproximação sm aumntar considravlmnt o dnominador da fração. D facto, para s mlhorar o rro da aproximação d usada por Arquimds, tr-s-ia d, s p q form intiros tais qu ntão o mnor rro d uma aproximação d um por um númro fracionário com dnominador q vai satisfazr 42 GAZETA DE MATEMÁTICA 166

6 Com fito, tm-s ou ou Contudo, utilizando um nquadramnto com duas rduzidas adjacnts da fração contínua associada a, obtém-s, por construção. Comprnd-s assim qu o rro dado pla aproximação d por sja infrior a por outra fração d dnomi-. Proposta 6: Exprimnt aproximar plas fraçõs d mtido? As implicaçõs dsta toria nos difrnts domínios da ma- surprndr, ao msmo tmpo a sua rlativa simplicidad prmit a sua xploração no âmbito dos divrsos contúdos º ciclo scundário com vantagns para a comprnsão das difrnts conxõs qu podm stablcr-s ntr difrnts objtos matmáticos qu os alunos tndm a compartimntar a sparar. Agradcimntos: Ao profssor Alssando Marghri plas opiniõs corrçõs propostas. BIBLIOGRAFIA continud fractions in Plus Magazin ( CONVERSA COM... Fraçõs Contínuas, Editora Mir Moscovo, 1980 Conway, John H. Guy, Richard K., O Livro dos Númros, Dvany, Robrt L., An Introduction to Chaotic Dynamical Systms Khinchin, A. Ya., Continud Fractions Klin, Morris, Mathmatical Thought from Ancint to Modrn Tims Olds, C.D., Continud Fractions Est artigo foi scrito ao abrigo das normas do Novo Acordo Orto- O AUTOR João Carrira Paixão é profssor contratado d Matmática do 3º ciclo do nsino básico do nsino scundário. Licnciou-s m Ensino da Matmática pla Univrsidad d Évora concluiu rcntmnt o mstrado m Matmática para Profssors pla Faculdad d Ciências da Univrsidad d Lisboa. O prsnt artigo prcorr uma das tarfas aprsntadas na dissrtação sobr Fraçõs Contínuas no Ensino Pré-univrsitário no âmbito do mstrado sob orintação do Prof. Doutor Pdro J. Fritas. SUCESSÕES E FRAÇÕES CONTÍNUAS João Carrira Paixão 43