UMA INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA

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1 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, UMA INTRODUÇÃO A TOPOLOGIA TÍTULO DO TRABALHO EM INGLES Mário Márcio dos Santos Palhars 1, Antonio Carlos Tamarozzi² Univrsidad Fdral d Mato Grosso do Sul UFMS, Três Lagoas, MS. -mail: mario-palhars@liv.com. 1 Bolsista do Grupo PET MATEMÁTICA Matmática/CPTL/UFMS. ²Tutor do Grupo PET MATEMÁTICA Matmática/CPTL/UFMS RESUMO - A topologia stá prsnt m divrsas áras da matmática, sndo indispnsávl para dar sntido à dfiniçõs básicas como o studo local, aproximaçõs vizinhanças. Em consquência prmit a dfinição prcisa d concitos fundamntais da Matmática como limits convrgências, primordiais para o dsnvolvimnto do Cálculo Difrncial Intgral. No prsnt trabalho, studamos uma gnralização da topologia da rta ral através do studo d distâncias m conjuntos arbitrários, possibilitando obtr a dfinição d spaços métricos. Enfatizamos o studo da topologia nos cursos d Licnciatura m Matmática, como um concito qu agrupa as áras matmáticas: Álgbra Anális qu gnraliza propridads básicas da Matmática. Palavras-chav: Vizinhanças; frontira; aproximaçõs; limits; nsino médio. ABSTRACT - Th topology is prsnt in svral mathmatics aras, bing ncssary to giv maning to th basic sttings such as local study, approachs and nighborhoods. Consquntly allows th prcis dfinition of fundamntal mathmatics concpts as limits and convrgnc, of primary importanc for th dvlopmnt of th Diffrntial and Intgral Calculus. In this work, w study a gnralization of th topology in th ral lin through th study of distancs on arbitrary sts, allowing gt th dfinition of mtric spacs. W mphasiz th study of topology courss in Mathmatics, as a concpt that brings togthr mathmatical aras: algbra and analysis which gnralizs th basic proprtis of mathmatics. Kywords: Topology; bordr; approachs; nighborhoods; basic ducation. Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp

2 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, INTRODUÇÃO 3 RESULTADOS Nst trabalho srá rssaltado o Srá fito um brv studo sobr studo no spaço uclidiano, ond a alguns concitos básicos d spaços topologia, prmit uma mlhor intrprtação métricos. Iniciamos pla idia d métricas, d concitos matmáticos como vizinhanças, qu é o sntido da distância ntr pontos d o spaço dos númros m uma rta um conjunto. distâncias ntr lmntos d um conjunto, Quando s fala na rta dos rais, da concitos sts, básicos para outras áras da distância ntr dois pontos dsta rta, xist Matmática, como o Cálculo a Anális. A uma métrica muito conhcida, sjam x y dspito da importância do tma para os sts pontos, ntão a distância ntr ls cursos d formação d profssors, as srá dada por x y. Para o spaço dirtrizs curriculars d um curso d uclidiano o raciocínio é análogo, ntão, Matmática licnciatura não xigm o tma dados dois pontos (,y ) y = (,y ) ntão a topologia nas grads curriculars dos cursos distância ntr sts pontos srá dado por d licnciatura. d = y y. Assim, pod-s Para uma introdução ao studo d tr uma visão mais ampla dstas distâncias, topologia, é ncssário tr o conhcimnto qu a partir d agora srá dnotado por sobr alguns concitos básicos d spaços métrica, ond s stablc uma dfinição métricos, tais como a dfinição d métrica, mais gral. bolas abrtas, conjuntos abrtos, qu srá Dfinição: Dado um conjunto M dfinido mais adiant. M M sja d: indiqumos por d(x, y) a Além do conhcimnto cintifico do tma, imagm o d um par gnérico (x, y) M M, objtivo dst trabalho foi idntificar concitos através da função d. Dizmos qu d é uma amplamnt utilizados no nsino, subntndidos m métrica sobr M s satisfazr as sguints concitos studados na disciplina d métricos. METODOLOGIA spaços condiçõs para quaisqur x, y, z ( ) d(x, y) = 0 ( ) d(x, y) = d(y, x) ( ) d(x, y) M: x=y d(x, z) + d(z, y) Est trabalho foi ralizado através Um spaço métrico é formado por um studos smanais com acompanhamnto do par (M, d), ond M é um conjunto arbitrário orintador, aprsntação d sminários, d uma métrica sobr M. rsoluçõs d xrcícios.. Outro ponto important a sr acntuado são as bolas abrtas, ond Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp

3 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, 014 possibilita formalizar apro imaçõs (x, y) = max{ vizinhanças sm as quais as noçõs d ; Sndo p = (a, b) um ponto fixo do limits convrgência não triam o rigor uma bola d cntro p raio matmático ncssário. métrica D, é o conjunto: Dfinição: Sja p um ponto d um spaço B p, x, y métrico (M, d). Sndo um númro ral, a bola d cntro p raio, qu indicarmos mais quaisqur x = (, conhcidas, ond y = (y, y ) d = x, y = x, y M d(x, p) < } No spaço uclidiano, xistm três métricas = x, y por B(p, ), é o sguint subconjunto d M : B(p, ) = {x } para são x a y b x a y b sgundo a x a y b, 1 x a y b 1 assim dfinidas: D (x, y) = (x, y) = + Concluindo assim qu o gráfico do conjunto B(p, Para a métrica tmos o sguint ) é um disco abrto, cujo cntro é p = (a, b) raio. a, b B p, x, y a x b y conjunto d bola abrta: a x b y a x b y b y a x b y, Como obtndo assim duas situaçõs: Primira: b y a x b y a x a x b y a x Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp

4 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, Assim, a x b y y b a x y x a b b y a x y x a b y x a b Sgunda: a x b y b y a x a x b y a x Logo, a x b y y x a b y x a b b y a x y x a b y x a b Concluindo assim a xistência d lados, d cntro p = (a, b) com as diagonais quatro rtas,, pla dsigualdad, tmos qu parallas aos ixos x y com o gráfico é um quadrado abrto, sm os comprimnto. Por último, a métrica, o conjunto B(p, ) = {(x, y) d bola abrta srá: d max{a x, b y} < } Assim, tanto a x b y são mnos qu. Logo, Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp

5 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, a x a x x a x a x a b y b y y b y b y b. Formando assim quatro rtas,, plas dsigualdads trmos um quadrado abrto, coordnadas, com lado d d comprimnto cntro (a, b). com os lados parallos aos ixos das Proposição 1: Dados B(p, ) B(p, ), s, ntão B(p, ) B(p, ). (iii) S ( ) é uma família d conjuntos abrtos d M, ou sja, s cada A. Dmonstração: Sja x um ponto arbitrário d B(p, ), ntão d(x, p) <. Como tmos qu, logo d(x, p) <, assim, x B(p, ). A partir dsts concitos, irmos A, ntão Dmonstração: Como não contém pontos, portanto, não pod contrariar a dfinição dada, logo é abrto. Para mostrar qu M é agora dfinir conjuntos abrtos. abrto, basta visualizar qu toda bola abrta Dfinição: Sja (M, d) um spaço métrico. d cntro p Um subconjunto A M s diz abrto s, para qu é dado por dfinição. todo p A, xist um númro ral > 0 tal M é um subconjunto d M, o Sja p A B, ntão p A qu B(p, ) A. ntão xistm Proposição : Sja A colção dos conjuntos B(p, abrtos d um spaço métrico (M, d). Então: proposição 1, tmos qu B(p, ) (i), M A; B, assim, B(p, ) (ii) A, B A A B ) p B, > 0 tais qu B(p, ) B. Supondo A B. A; Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp A > 0, pla B(p, )

6 Encontro d Ensino, Psquisa Extnsão, Prsidnt Prudnt, 0 a 3 d outubro, Sja p tal qu p i. Então xist um índic t B, como > 0 tal qu B(p, ) t t, é abrto, xist construção dos númros rais a disposição dos msmos na rta ral. assim, B(p, ). Essas dfiniçõs possibilita dfinirmos 5 CONCLUSÃO uma strutura d conjunto mais gral, qu A noção d métrica stnd o sntido forma uma topologia. Dado um conjunto comum d mdida qu tmos m conjuntos E uclidianos, sndo important intrssant sja uma colção d subconjuntos d E, ntão dirmos qu é uma topologia obsrvar qu as propridads técnicas sobr E s: inrnts a sts spaços podm sr (i), M stndidas a spaços arbitrários: noçõs d E; (ii) A, B A B ; vizinhanças m consquência, (iii) S ( i ) é uma família d conjuntos d, convrgências a dscrição d conjuntos ntão abrtos. No trabalho vimos qu a dfinição. i O par (E, ) é um spaço topológico. d spaços métricos é uma abstração Assim podmos concluir qu A é uma fundamntada, quas qu totalmnt, na topologia sobr M, (M, A) é um spaço xpriência com númros rais spaços topológico. Logo, todo spaço métrico é um uclidianos, porém é suficintmnt flxívl spaço topológico. para incluir uma grand varidad d outros conjuntos, com propridads comuns. 4 DISCUSSÃO Com st trabalho studamos os spaços métricos como uma introdução aos spaços principais topológicos. dfiniçõs Aprsntamos concitos as REFERÊNCIAS LIMA, Elon Lags, Espaços Métricos, Ed. Instituto d Matmática Pura Aplicada, CNPq, qu gnralizam noçõs matmáticas básicas, como vizinhanças aproximaçõs. Ests assuntos rprsntam os alicrcs para o avanço m áras da matmática importants VOMERO, Maria Frnanda, Mdidas xtrmas. Disponívl m <prvstibular.artblog.com.br/54350/historiadas-medidas-spaco-volum--massa/> SILVA, Gntil Lops da, Espaços Métricos (Comntado), Ed. UNB, 008. como a Anális, para o qual formalizam-s a noção d limits. Por outro lado, contribum para a formação do profssor d Matmática com o ntndimnto sgurança ncssários para a abordagm d contúdos como a Colloquium Exactarum, vol. 6, n. Espcial, Jul Dz, 014, p ISSN: DOI: /c.014.v6.nsp