TRANSFORMADA DE LAPLACE: ALGUMAS APLICAÇÕES

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Programa d Pó-Graduação m Mamáica Aoio Luiz Schalaa Pachco TRANSFORMADA DE LAPLACE: ALGUMAS APLICAÇÕES Moografia ubmida à Uivridad Fdral d Saa Caaria para obção do grau d Epcialia m Mamáica Oriador: Dr. Jol Sao Souza Floriaópoli, 4 d março d.

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3 Ofrço rabalho a Du; a mu pai, Aôio Luiza; à miha poa, Diriv; a mu filho, Aoio Luiz, Alic Luiz Flip; a mu irmão Ezquil Flip, Luiz Aoio Maria Luiza. Sm l, o brilho d qualqur coquia aria ofucado.

4 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS...I LISTA DE TABELAS...III LISTA DE SÍMBOLOS...IV RESUMO...VI. INTRODUÇÃO.... TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUÇÃO RESUMO HISTÓRICO DEFINIÇÃO CONVERGÊNCIA E EXISTÊNCIA LINEARIDADE UNICIDADE OPERADOR LINEAR INVERSO PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Primira propridad d ralação ou dlocamo Sguda propridad d ralação ou dlocamo Propridad da mudaça d cala Traformada d Laplac da drivada d primira ordm Traformada d Laplac da drivada d ordm Drivada da Traformada d Laplac (muliplicação por ) Traformada d Laplac da igral Igral da Traformada d Laplac (divião por ) Fuçõ priódica Covolução ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS A fução dgrau uiário O dla d Dirac A fução gama A fução ba Fuçõ d Bl A fução rro A fução rro complmar... 5

5 .9.8. A igral xpocial A igrai o coo A igrai o coo d Frl Fuçõ ula TABELAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES EDO liar homogêa d ordm EDO liar homogêa d ordm EDO liar homogêa d ordm uprior EDO liar ão homogêa d ordm EDO liar ão homogêa d ordm EDO liar ão homogêa d ordm uprior OBTENÇÃO DE UMA FUNÇÃO TRANSFERÊNCIA APLICAÇÃO À CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES EDO LINEARES SIMULTÂNEAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Codução d calor Corda Vibra CONCLUSÃO... 6 REFERÊNCIAS... 6 APÊNDICE... 6

6 i LISTA DE FIGURAS Figura Rolvdo um PVI por Traformada d Laplac - adapada d Kryzig (6).... Figura Fução g() od f() = co().... Figura Fução oda d d rra - adapada d Spigl (965)... 6 Figura 4 Rgião d igração - Plao Figura 5 Fução dgrau uiário Figura 6 u( )f() od f() = co() Figura 7 Gráfico d ( ).... Figura 8 Circuio RL Figura 9 Forma d oda da fo d alimação () da corr i() do circuio RL, obida a parir do Driv (a) do Orcad (b), para =, V = V, R = L = mh Figura Circuio RLC... 4 Figura Rpração da alimação do circuio RLC da figura Figura Forma d oda da corr i() do circuio RLC (fig. ), obida por mio d (4.), (4.) (4.) do uo do Driv, para =, E = V, R = L = 5 mh C = 4 mf (Cao ) mf (Cao ) mf (Cao ) Figura Forma d oda da corr i() do circuio RLC (fig. ), obida do Orcad, para =, E = V, R = L = 5 mh C = 4 mf (Cao ) mf (Cao ) mf (Cao ) Figura 4 Viga bi-gaada - adapada d Spigl (965) Figura 5 Circuio RLC Figura 6 Circuio RC Figura 7 Pulo f() Figura 8 Forma d oda da ão v o () do circuio RC (fig. 6), obida por mio do Orcad... 5 Figura 9 Forma d oda da ão v o () do circuio RC (fig. 6), obida por mio do Driv Figura Fuçõ f(-) (a) f( - ) (b)... 5 Figura Fução h() (a) fuçõ h() f(-) (b)... 5 Figura Fuçõ h() f( - ) para < < (a) para > (b) Figura Malha lérica - adapada d Spigl (965)... 54

7 ii Figura 4 Forma d oda da corr do circuio da figura, obida a parir do Orcad (a) da aplicação da quaçõ (4.49), (4.5) (4.5) o Driv (b) Figura 5 Corda vibra ifiiam loga - adapada d Spigl (965) Figura 6 Fução oda riagular - adapada d Spigl (965) Figura 7 Fução oda quadrada - adapada d Spigl (965)... 7 Figura 8 Fução oda oidal rificada - adapada d Spigl (965) Figura 9 Fução oda oidal mi-rificada - adapada d Spigl (965)... 7 Figura Fução oda d d rra - adapada d Spigl (965)... 7 Figura Fução pulo - adapada d Spigl (965) Figura Fução caloada - adapada d Spigl (965)... 7 Figura Fução caloada II - adapada d Spigl (965)... 7 Figura 4 Fução caloada III - adapada d Spigl (965)... 7 Figura 5 Fução pulo oidal - adapada d Spigl (965).... 7

8 iii LISTA DE TABELAS Tabla Tabla d propridad grai d Traformada d Laplac (SPIEGEL, 965) Tabla Tabla d Traformada d Laplac pciai (SPIEGEL, 965).... Tabla Tabla d Traformada d Laplac adicioai (SPIEGEL, 965).... 6

9 iv LISTA DE SÍMBOLOS EDO EDP PVI PA f f() Equação Difrcial Ordiária Equação Difrcial Parcial Problma d Valor Iicial Problma algébrico Fução Variávl mpo Fução m Cojuo do úmro rai L f Traformada d Laplac d f() Variávl complxa F() Fução m L - F Traformada ivra d Laplac - f L L Traformada ivra d Laplac g() Fução m f g Covolução da fuçõ f g m u Fução uiária d Haviid Dla d Dirac Fução Gama B Fução Ba J Fução d Bl d ordm m rf rfc Ei Si Ci Fução rro Fução rro complmar Igral xpocial Igral o Igral coo

10 v S C Igral o d Frl Igral coo d Frl N Fução ula R L C Rior Iduor Capacior d. d. p. Difrça d pocial () i() R Tão lérica m Corr lérica m v Quda d ão o rior R m L v Quda d ão o iduor L m C v Quda d ão o capacior C m V A H F x y(x) m(x) (x) q(x) h() u(x, ) Uidad d ão lérica Uidad d corr lérica Uidad d riêcia lérica Uidad d iduâcia Uidad d capaciâcia Variávl comprimo Fução m x Momo d flxão m x Força d cialhamo m x Carga m x Fução m Tmpraura m x

11 vi RESUMO Equaçõ qu volvm fuçõ ua drivada ão dia difrciai. Problma dcorr do movimo d fluido, da vlocidad d raçõ química, do fluxo d corr lérica m circuio, da diipação d calor m objo ólido, da propagação dcção d oda ímica, bm como da variação do amaho d uma população, ão algu xmplo da abragêcia do uo d quaçõ difrciai. Toda a gama d uilização coribui para qu la rprm um ramo da mamáica qu grad úmro d aplicaçõ cora a ciêcia fíica. O aparcimo d ai quaçõ á aociado ao dvolvimo da ciêcia dura o éculo XVIII, m paricular, ao dvolvimo da fíica da aroomia. Dd ão, corar méodo para a obção da olução d uma quação difrcial m ido um problma qu vm dafiado a comuidad ciífica, razão pla qual o méodo auai razm a coribuição d célbr colaborador daqula época, como Laplac. O méodo d rolução podm r umérico ou aalíico, rulado, rpcivam, m oluçõ aproximada ou oluçõ xaa. O méodo da Traformada d Laplac é um procdimo aalíico vm coolidado como uma impora frrama para a rolução d quaçõ difrciai, m paricular, da quaçõ liar com cofici coa do corrpod problma d valor iicial.

12 . INTRODUÇÃO Equaçõ Difrciai Ordiária (EDO ) Equaçõ Difrciai Parciai (EDP ) dcrvm o modo como cra gradza variam com o mpo, al como a corr m um circuio lérico, a ocilação d uma mmbraa vibra ou o fluxo d calor aravé d um coduor iolado. Ea quaçõ gralm ão aociada à codiçõ iiciai qu dcrvm o ado do ima o ia d mpo iicial (SCHIFF, 999), ou d maira mai gral, à codiçõ d cooro. O méodo da Traformada d Laplac é uma impora frrama para a rolução d quaçõ difrciai, m paricular da EDO liar com cofici coa do corrpod problma d valor iicial (PVI ), bm como do ima d EDO, qu ão baa frqu a ára da gharia. Da mma forma, a Traformada d Laplac pod r mprgada para a rolução da EDP. O procdimo para a obção da olução d um problma coi, baicam, m rê pao (KREYSZIG, 6) (figura ): Pao. Com o objivo d dimiuir o grau d dificuldad do problma implificá-lo, a EDO dada é raformada m uma quação algébrica (quação ubidiária); Pao. A quação ubidiária é rolvida aravé d maipulação algébrica; Pao. A olução obida, aravé d maipulação, é raformada ovam, via oprador ivro, para obr a olução do problma. Figura Rolvdo um PVI por Traformada d Laplac - adapada d Kryzig (6). Na codiçõ, rolvr uma EDO é (além da raformaçõ) rduzi-la a um problma algébrico. A primira rcira apa ão faciliada com o uo d abla pcífica d Traformada d Laplac a guda apa rqur, apa, alguma capacidad d maipulação algébrica. Pirr-Simo Laplac acu m d março d 749, a localidad d Baumo--Aug, a Normadia (Fraça). Laplac publicou vária obra obr mcâica, álgbra, aáli gomria; r la: L loi du yèm plaair (788), Expoiio du yèm du mod (796), Traié d mécaiqu cél (799-85), Théori aalyiqu d probabilié (8) Eai philoophiqu d probabilié (84). Além d r um promi ciia, Laplac v uma vida políica aiva, a poo d r ido Miiro do Irior d Napolão Boapar omado Marquê Par da Fraça. Laplac falcu m 5 d março d 87, m Pari (GILLISPIE, 997).

13 A opração d raformação d um problma do cálculo para a álgbra é chamada d cálculo opracioal. A Traformada d Laplac é um impora méodo opracioal para a gharia. O méodo m dua vaag pricipai obr o dmai procdimo uuai Méodo da variação d parâmro, Fução d Gr, Rdução d ordm, Equação d Eulr Méodo do cofici a drmiar, r ouro: A. A primira é qu o problma ão rolvido mai diram. O problma d valor iicial ão rolvido m qu ja cário drmiar-, iicialm, uma olução gral. Adicioalm, a EDO ão-homogêa ão rolvida m a cidad d obrm- a corrpod EDO homogêa. B. A guda, cram mai impora vaagm, é dvida ao uo da fução uiária (fução d Haviid ) do dla d Dirac. Ea frrama oram méodo paricularm podroo para problma o quai o dado iiciai (força moriz mcâica ou lérica) êm dcoiuidad, rpram pquo impulo d grad ampliud, ou ão fuçõ priódica mai laborada (ão apa óid coóid). A liraura dipõ d muia publicaçõ obr o méodo da Traformada d Laplac, dada a imporâcia pocialidad do méodo. D maira gral, a dimiação da iformaçõ dá aravé da apração d dfiiçõ, propridad abla, além d xrcício práico para a aplicação da frrama. O objivo do pr rabalho é ruir xmplo d aplicaçõ do méodo da Traformada d Laplac m problma fíico, qu irvam d marial didáico para a coula d uda d ára da ciêcia corrlacioada. D igual forma, bucou- compilar um úmro coidrávl d iformaçõ prlimiar, viado- uma abordagm do méodo dro d um raamo mamáico uiform com cro rigor. Para ao, o rabalho foi dividido m cico capíulo. No capíulo, aprou- a Traformada d Laplac, iiciado com um brv hiórico da raformação igral, guido da dfiição do oprador d Laplac, dpoi dicorrdo obr alguma propridad lmar da Traformada, m guida, iroduzido alguma fuçõ pciai. Olivr Haviid acu m 8 d maio d 85 m Lodr (Iglarra) falcu m d fvriro d 95 m Torquay. Haviid foi um iovador ghiro lricia, qu ambém fz igificaiva coribuiçõ à Toria do Elromagimo (NAHIN, 987). Paul Adri Mauric Dirac acu m 8 d agoo d 9 m Briol (Iglarra) falcu m d ouubro d 984 m Tallaha. Dirac foi mamáico fíico órico, domíio da ciêcia qu lh rdu o Nobl m 9 (FARMELO, 9).

14 No capíulo, coruíram- abla baa laborada d fuçõ pciai o domíio do mpo com ua corrpod Traformada d Laplac. No capíulo 4, ruiram- xmplo cláico baa rpraivo d problma qu volvm a aplicação do méodo da Traformada d Laplac. Fialm, o capíulo 5, apraram- alguma coidraçõ fiai cocluõ.

15 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE.. Irodução O méodo da Traformada d Laplac é, rumidam, caracrizado pla aplicação d um oprador d igração a uma fução f, gralm, o domíio mporal - f(). Por mio d procdimo, a fução f() é coduzida ao domíio da frquêcia, od a maipulaçõ algébrica, ormalm, ão mai impl. Como a oluçõ do problma propoo ão o domíio mporal, faz- cário rorar a l aravé da uilização do oprador ivro da Traformada d Laplac. A apração do méodo, bm como a propridad cária à ua aplicação, ão complado o pr capíulo... Rumo hiórico Apar d rcbr o om d Traformada d Laplac, oprador carrga a coribuição d célbr colaborador dd o éculo XVIII. O próximo parágrafo da ção foram ddicado a uma apração cocia obr o dvolvimo da frrama dura príodo, gudo a coribuiçõ d Schiff (999). A daa d urgimo da raformação igral rmoa à obra d Léohard Eulr 4 (76 769), qu coidrava, cialm, a forma da Traformada ivra d Laplac a rolução d EDO liar d guda ordm. O próprio Laplac, m u grad rabalho Théori aalyiqu d probabilié (8), crdiou a Eulr a irodução da raformação igral. Foi Spizr (878) qum aociou o om d Laplac à xprão b y x d a mprgada por Eulr. Na forma, la é aplicada a quação difrcial od y paa a r a fução dcohcida a variávl x. No fial do éculo XIX, a Traformada d Laplac foi dida para ua forma complxa por Poicaré Pichrl, rdcobra por Pzval, dida a dua variávi por Picard, com oura ivigaçõ coduzida por Abl muio ouro. 4 Léohard Paul Eulr acu m 5 d abril d 77, próximo a Bailéia (Suíça), falcu m 8 d mbro d 78, m São Prburgo (Rúia). Eulr foi mamáico, arôomo, químico, ghiro fíico. O próprio Laplac dizia: Lia Eulr, lia Eulr. El é o mr d odo ó (DUNHAM, 999).

16 5 A primira aplicação da modra Traformada d Laplac ocorru o rabalho d Bama (9), o qual raformam quaçõ dcorr do rabalho d Ruhrford m dcaimo radioaivo por mio d dp d i P, x px Pd, obdo- a quação raformada. Bri (9) uou a xprão u F udu, chamado-a d raformação d Laplac, m u rabalho obr a Fução Tha. Um impulo à abordagm modra foi dado por Doch, a década d (éculo XX); l aplicou a Traformada d Laplac à quaçõ difrciai, igrai ígro-difrciai. E rabalho culmiou m u xo ba d 97, Thori ud Awdug dr Laplac Traformaio. A hiória da Traformada d Laplac aria icompla, ão fo ciado o rabalho d Olivr Haviid, qu produziu (pricipalm o coxo da gharia lérica) um vao rabalho do qual driva o cálculo opracioal. E rabalho á diribuído m rê volum, Elcromagic Thory (894, 899, 9), m muia mlhaça com o méodo da Traformada d Laplac. Embora o cálculo d Haviid ão ha ido oalm rigoroo, l bucou auxiliar o ghiro lricia com uma écica úil para a rolução d u problma. Pquia coidrávi aram orar rigoroo o cálculo d Haviid cocá-lo à Traformada d Laplac. Um d forço foi o d Bromwich 5, qu, r ouro, dcobriu a raformação ivra x i Xd, (.) i i od é um úmro ral colhido d forma qu = ja à diria d oda a igularidad da fução X()... Dfiição A maioria do problma qu poibilia a aplicação do oprador d Laplac á o domíio do mpo, od o valor da variávl ão odo ão gaivo, ou 5 Thoma Joh L Ao Bromwich acu m 8 d fvriro d 875, m Wolvrhampo, falcu (por uicídio) m 6 d agoo d 99, m Nohampo (Iglarra). Bromwich foi um do mai promi mamáico igl.

17 6 ja, prcm ao irvalo [, +). Coqum, a fuçõ qu poum Traformada d Laplac ão dfiida domíio. Dfiição.. Sja uma fução f :,. A Traformada d Laplac d f, doada uualm por L f ou L f, é uma fução F dfiida por F f d, (.) dd qu a igral covirja. A variávl é complxa é dada por = + i, od,. Ou aida, como a igral rprada m (.) é imprópria, pod- caracrizar a Traformada d Laplac d f como do uma fução F() dfiida plo limi F lim f d, (.) dd qu limi xia ja fiio. Alguma fuçõ ão poum a codiçõ ufici à covrgêcia da igral. Exmplo.. Coidr- a fução f. Pod- obrvar qu d lim d (SCHIFF, 999). lim Tal comporamo é d cra forma prado, poi, m gral, é grad a poibilidad d ão r fiio o rulado d uma igral qu d aé o ifiio. Para vrificar a viabilidad da uilização do oprador, xim criério qu prmim obrvar a igral covrg ou ão, o quai rão aprado a guir..4. Covrgêcia xiêcia O igrado m (.) é o produo d f() por uma fução qu dclia a parir d um fixado, >, ou ja, - camiha aioicam para zro quado d ao ifiio. Quado - é ufici para fazr com qu o igrado

18 7 corrpoda a uma fução xpocial com xpo gaivo, ão (.) dv covrgir. Dfiição.. Diz- qu f :, é d ordm xpocial, xim M, com M >, ai qu f M, para odo >. (.4) Coidrado- a digualdad m (.4), obrva- qu lim, para odo, om. N cao, a fuçõ d ordm xpocial admim Traformada d Laplac para, do domiada abcia d covrgêcia. Exmplo.. A fução f() = ( ) é d ordm xpocial, poi <!, para odo >. (M =! a abcia d covrgêcia é ). A digualdad <! provém da éri d MacLauri d :......, logo!!!. Exmplo.. A fução f ão é d ordm xpocial, poi xiim M ai qu M, para odo >, xiiria M, o qu é um aburdo, poi lim, para odo fixado. Como já foi ciado iroduoriam, o oprador d Laplac é aplicávl a problma m qu f() ão ja uma fução coíua. Erao, admiir--á qu f() ja ccioalm coíua m cada irvalo fiio m [, +). Dfiição.. Uma fução f() é ccioalm coíua m um irvalo fiio a b, f() é dfiida irvalo al qu o irvalo poa r ubdividido m um úmro fiio d irvalo, m cada um do quai f() é coíua m limi fiio quado d para qualqur poo xrmo do irvalo d ubdivião a parir do irior.

19 8 Ruida a codiçõ qu garam a xiêcia da Traformada d Laplac d uma fução, quai jam, r d ordm xpocial ccioalm coíua, pod- uciá-la aravé do Torma.. A fuçõ qu adm a ai codiçõ ão dia aifazrm a codiçõ d Dirichl. Torma.. Sja uma fução ccioalm coíua obr qualqur irvalo fiio m, aifazdo a codição (.4), para odo, para algum M. Eão a Traformada d Laplac xi para odo (KREYSZIG, 986). Obrvação: A codição da fução é mai for qu r implm ccioalm coíua. Dmoração: Da dfiição m (.), por f() r coíua m irvalo, - f() r igrávl obr qualqur irvalo fiio obr o ixo, m- L f f d f d M d M M d, (KREYSZIG, 986)..5. Liaridad Uma da propridad mai impora do oprador d Laplac é a liaridad. Como frrama, la ajuda a obr par d raformada m a uilização dira da quação (.). L f f Torma.. S Laplac d f () f (), ão com coa. L ão, rpcivam, a Traformada d L f f Lf L f, (.5) Dmoração: Sgu, diro da dfiição (.), qu L f f f f d

20 9 f d f d Lf L f..6. Uicidad O xmplo.4, a guir, dv rvir d moivação para o Torma.. Exmplo.4. Sjam f g k, od k = {,, }. k Para > >, obêm- a Traformada d Laplac d f() g(), F() G() rpcivam, como: F d d d. lim lim ;... lim.. G d d d d Obrva- qu, apar d f() g() rm fuçõ diia, la êm a mma Traformada d Laplac. No ao, pod- obrvar qu o poo qu a difrciam ão aqul o quai g() é dcoíua. Torma.. S f() g() êm a mma Traformada d Laplac, ão f() = g() o poo m qu f g ão coíua. E rulado, aumido m dmoração, prmiir-o-á coidrar a xiêcia do oprador ivro. Obrvação: No- qu, d fao, ão m a uicidad da Traformada d Laplac, logo ão pod dfiir um oprador ivro. No ao, corrig- fao aravé da cla d quivalêcia d fuçõ qu ão iguai qua mpr, ou ja, fuçõ qu ão iguai a mo d um cojuo d mdida ula. Aim, pod- dfiir o oprador ivro, poi paou- a r a uicidad da Traformada d Laplac obr ai cla d quivalêcia..7. Oprador liar ivro Uma vz corada a olução f F L = d um problma, faz- cário rorar- a olução da quação difrcial o domíio do mpo. O

21 oprador qu raliza al opração é a Traformada ivra d Laplac, doada por L - F ou L - L f d forma qu - - f =L F L L f. Como dua fuçõ coíua qu êm a mma Traformada d Laplac ão iguai, ão F() ó m uma raformada ivra coíua para odo. A raformada ivra pod r obida com auxílio d abla, mlha à aprada o capíulo, pquo arifício mamáico. A fórmula d Bromwich (.) prmi obê-la d forma aalíica, o ao, para al faz- cário o uo d igração complxa, procdimo qu ão rá xplorado o pr rabalho. O lior irado o uo da fórmula d igração complxa pod bucar iformaçõ m MARSDEN HOFFMAN (999). D maira gral, pod- rprar o oprador u ivro, rpcivam, como - L: f F L : F f i - L Lf f d F F F d f i i O orma a guir gara a liaridad do oprador ivro.. Torma.4. S F L f F L f do coa., ão L - F F f f, (.6) Dmoração: Sgu diro da dfiiçõ do oprador do u ivro, ambém, do Torma. qu - - L F F L f d f d - L L f L f f f. Em Spigl (965), ão dipoívi propridad impora da Traformada ivra d Laplac, o ao, o limiarmo a aprar om a propridad rlaiva à L f.

22 .8. Propridad da Traformada d Laplac Com o qu foi vio aé ão, já ria poívl corar a Traformada d Laplac d um úmro coidrávl d fuçõ. Erao, com aplicação da propridad qu gum, ora- poívl dr a frrama para a obção d um uivro muio maior d raformada. Obrvação: Na propridad abordada daqui m dia, admiir--á qu a fuçõ coidrada aifazm à codiçõ d Dirichl..8.. Primira propridad d ralação ou dlocamo O orma a guir é cohcido como orma do dlocamo m frquêcia ou orma da ralação a frquêcia. Torma.5. S L f F, ão para oda coa, m-: F f L. (.7) Dmoração: Sja, do a abcia d covrgêcia d f, ão L. F f d f d f.8.. Sguda propridad d ralação ou dlocamo O próximo orma á aociado ao dlocamo ou ralação o mpo. El ablc uma rlação r a raformada d f() a da ua ralação g(), ilurada pla figura. Figura Fução g() od f() = co(). Torma.6. S f F, m- L f g, ão, para odo

23 L g F (SPIEGEL, 965). (.8) Dmoração: Sja, do a abcia d covrgêcia d f, ão L g d f d f d. Fazdo-, obém- g f d f d F L. Obrvação: No- qu gu f, do Haviid (a r) dfiida m.9.. u a fução d.8.. Propridad da mudaça d cala O orma gui á rlacioado ao rcaloamo d uma fução o mpo. El é ambém cohcido como orma da imilaridad. Torma.7. S L f F, ão L f F, (.9) Dmoração: Sja =, pod- crvr, do a abcia d covrgêcia d f. Aumido d L f f d f f d F Traformada d Laplac da drivada d primira ordm O orma.8 ambém é cohcido como do da difrciação o mpo. Torma.8. S L f F, ão L f ' F f (.)

24 f é coíua para N d ordm xpocial para > N, quao é ccioalm coíua para N. f ' Dmoração: Sja igração por par, od u = -, do a abcia d covrgêcia d f. Por mio da dv f ' d, pod- crvr ' ' lim ' lim f f d f d f L f d lim f f f d f f d F f. Ma, como f é coíua m =, gu qu f() = f( + ); coqum L f ' F f (SCHIFF, 999) Traformada d Laplac da drivada d ordm E orma d o rulado arior para L f. Torma.9. Sjam f ua drivada ', '',..., f f f fuçõ coíua para, qu aifazm (.4), para cro valor d M, ja a drivada f parcialm coíua obr qualqur irvalo fiio da faixa. Eão, a Traformada d Laplac d f xi quado, é dada por L f F f f '... f f. (.) Dmoração: A parir do rulado arior (orma.8), pod- crvr Lf L f ' Lf f L f ' f Lf f f L f f f. Coiuado o proco aé qu rabalhm a drivada d mor ordm: L f L f ' '... f f L f f f f ' '...

25 4 L f ' f '... f f F f f f f '... F f f f f. ' Drivada da Traformada d Laplac (muliplicação por ) O orma. ambém é cohcido como do da difrciação m frquêcia. Torma.. S L f F, ão L f F'. (.) Dmoração: Dv- aumir qu é poívl drivar ob o ial d igração: L. F' f( ) d f( ) d f Rpido- a opração, obém- L f F'', (.) d maira mai gral L f F L f. (.4).8.7. Traformada d Laplac da igral O rulado qu gu é cohcido como orma da igração o domíio do mpo. Torma.. S L f F, ão F L f udu (.5)

26 5 Dmoração: D g f udu, obém- g' f g. Aim Lg' L f, logo L g gf L g F F L g. Porao F L f u du Igral da Traformada d Laplac (divião por ) O orma. ambém é cohcido como do da igração m frquêcia. Torma.. S L f F dd qu lim f xia., ão f L Fudu, (.6) Dmoração: Dcorr da dfiição da poibilidad d ivrão da ordm d igração, qu u u u F u du f ddu f dud f dud f f f d d L (KREYSZIG, 986) Fuçõ priódica A fuçõ priódica coium uma cla d aplicaçõ qu aparc com frquêcia como força xra m ima mcâico ou lérico. Dfiição.4. Uma fução f : f T f para odo. O mor príodo poiivo é chamado d príodo fudamal. é priódica d príodo T >

27 6 Torma.. S f é uma fução coíua por par, d ordm xpocial priódica d príodo T, ão a Traformada d Laplac d f xi para > é dada por F f d T (SPIEGEL WREDE, ). (.7) T, Dmoração: Vm da dfiição qu T. T F f d f d f d Fazdo a mudaça d variávl T, a úlima igral, obém- T T T f d f Td f d F T pla priodicidad d f. Porao, logo, T, T F f d F T F f T d (SCHIFF, 999). Exmplo.5: Coidr- o problma d obr a Traformada d Laplac da fução d oda d d rra, f ilurada pla figura. f f, para odo, Figura Fução oda d d rra - adapada d Spigl (965). N cao, T. Uado- (.7), obém-. F d d Por mio d igração por par, od u dv d, obém-

28 7 F d d, logo, F..8.. Covolução A covolução é uma opração qu prmi rlacioar alguma fuçõ com a raformada ivra do produo da ua raformaçõ. Dfiição.5. Sjam f g fuçõ coíua por par. A covolução da fuçõ f g é doada dfiida para por (SILVA, 5). (.8) f g f g d Propridad da covolução. Com a aplicação da dfiição, podm- morar alguma propridad dcorr da covolução. Fazdo- a mudaça d variávl x m (.8), obém-, f g f xgxdx f xgxdx f gd gf qu é a propridad comuaiva. Da mma forma:. f g g f g f g. f g v f g v. f f (propridad diribuiva) (propridad aociaiva) (propridad do lmo uro) Torma.4. S f g ão fuçõ coíua por par d ordm xpocial, ão a raformada da covolução f g xi para é dada por f g f g FG L L L (SILVA, 5). (.9) Equivalm,

29 8 L - F G f g. (.) Dmoração: Vm da dfiição qu L f g f g d d f g dd. Ea igração ocorr o plao, rprado pla figura 4. L Logo, Figura 4 Rgião d igração - Plao. L f g f g d d f g dd. Fazdo a mudaça d variávl u : u u f g f g u dud f d g u du Lf L g F G (SILVA, 5)..9. Alguma fuçõ pciai A fuçõ qu gum coribum para qu a Traformada d Laplac ja a mai impora frrama para o raamo d problma fíico..9.. A fução dgrau uiário Em problma fíico é muio comum corar fuçõ qu rprm dualidad, como a prça ou a auêcia d uma força moriz, lérica ou mcâica. A fução dfiida a guir, ajuda a dcrvr mamaicam a iuação (figura 5). Dfiição.6. Dfi- a fução dgrau uiário, ambém chamada d fução uiária d Haviid ou fução calão uiário, por

30 9 Obrvação: Também é comum uar a oaçõ u =,. (.) u H. Figura 5 Fução dgrau uiário. Da mma forma, f é uma fução dfiida para, ão coform ilura a figura 6. u f = u f, (.) f Figura 6 u( )f() od f() = co(). A ralação d uma fução f, dfiida para, m uidad para a diria, ambém pod r obida com o auxílio da fução dgrau uiário, baa omar u = u, (.) f g f f procdimo mlha ao aprado m.8. ilurado pla figura. Por moivo, é comum corar a liraura o Torma.6 rdigido como gu. Torma.5 (guda vrão do Torma.6). S a Traformada d Laplac F() xi para odo > é uma coa ral poiiva, ão f F L u. (.4) Como rulado já foi aprado, o Torma.5 ão rá dmorado.

31 Obrvação: Dcorr diram da dfiição m (.) qu L u d d d u (SPIEGEL, 965)..9.. O dla d Dirac Circuio lérico ou ima mcâico ão ujio a ação d força impuliva, ou ja, força qu agm m um curo paço d mpo poum grad ampliud. A fução dcria por / ou pod rvir d modlo mamáico para ai força, ilurada pla figura 7. (.5) Adicioalm, obrva- qu Figura 7 Gráfico d ( ). d,. (.6) Ea idéia lvou algu ghiro fíico a parm uma fução limi doada por, qu fo aproximada por quado. Dfiição.7. Dfi- o dla d Dirac como lim. (.7)

32 Não xi aplicação qu aifaça a dua propridad qu caracrizam o dla d Dirac, d =, logo l ão é uma fução. Uma propridad adicioal do dla d Dirac é qu para qualqur fução coíua g() para qualqur val gd g. (.8) Obrvação: A igral d (.8), é por vz, chamada d propridad da filragm da fução dla. O aua como um filro, lcioado r odo o valor poívi o u valor o poo = (BUTKOV, 978). Aim, Em paricular Da forma Paricularm,.,,, C,. L d. L d..9.. A fução gama Muia fuçõ impora o domíio da ciêcia aplicada ão dfiida aravé d igrai imprópria. A fução gama é um do xmplo mai impora. Dfiição.8. S >, dfi- a fução gama por u u du. (.9) Sgum alguma propridad da fução gama.

33 .., > Aim como () =, m- () =, () =!, (4) =!, d um modo mai gral, (+) =!, é iiro poiivo. Por a razão a fução é alguma vz chamada fução faorial (SPIEGEL, 965).. p p 4., < p < p Aqui ~ igifica aproximadam igual a para grad (SPIEGEL, 965). 5. Dmoração: L, > -, >. L d. Fazdo- = u, upodo >, obém- L uu du u u du, > -,. Corolário: Dmoração: Vm da propridad 6, qu Para vm L, >. L, >. L. Uado- a propridad, obém-

34 L. Obrvação: A fução f ão aifaz a codiçõ dcria m.4 (Codiçõ d Dirichl), porém a ua raformada xi. Supoha- qu lim f ão é limiado, ão xi L f, : i) f é ccioalm coíua m qualqur irvalo a b, od a > ; ii) lim f, para alguma coa, al qu < < ; iii) f é d ordm xpocial para,. Coiuar--á lcado alguma fuçõ pciai adicioai, a íulo d complamo da abla d Traformada d Laplac A fução ba Dfiição.9. Dfi- a fução ba por qu é covrg para m > >., (.) m, B m x x dx A fução ba é uma fução riam rlacioada com a fução gama. A quação qu ablc a rlaçõ r a fuçõ ba gama (SPIEGEL WREDE, ) é Dmoração: Coidr- m od g B m, m m. (.) m m f x x dx gh h. g x hx,

35 4 Eão, plo orma da covolução, mo m L f =L L. Pla propridad 6 m.9., vm qu Aim, m m L f m m. m - - f L m m L m m m m m m Fazdo =, obém- o rulado rqurido m, m. B m x x dx Fuçõ d Bl A fuçõ d Bl ão a oluçõ caôica da quação '' ''. (.) y y y Tai oluçõ podm r obida por mio da aplicação do méodo d Frobiu 6, ao ubiuir uma éri da forma m, m, y c c com cofici idrmiado ua drivada, a quação difrcial (.) (KREYSZIG, 6). Dfiição.. Dfi- a fução d Bl d ordm por J (.).44 6 O méodo d Frobiu é um procdimo para rolvr quaçõ difrciai liar com cofici variávi (KREYSZIG, 6).

36 5 Na quêcia, gum alguma propridad impora da fução d Bl (SPIEGEL, 965).. J J, é iiro poiivo. J J J d J J d. ; =, m- J ' J 4. u u J u. É covi dfiir J i i I Bl modificada, d ordm (SPIEGEL, 965)., od I é chamada d fução d.9.6. A fução rro A fução rro foi criada para podr calcular a igral da curva d diribuição ormal. Ela ambém é chamada d fução rro d Gau. Dfiição.. Dfi- a fução rro por rf u du. (.4).9.7. A fução rro complmar A fução rro complmar á dfiida a parir da fução rro. Dfiição.. Dfi- a fução rro complmar por u rfc rf du. (.5) Sabdo- qu u du, obém- u rfc du. (.6)

37 A igral xpocial Dfiição.. Dfi- a igral xpocial por u Ei du. (.7) u.9.9. A igrai o coo Dfiição.4. Dfim- a igrai o coo, rpcivam, por Si Ci u du (.8) u cou du. (.9) u.9.. A igrai o coo d Frl Dfiição.5. Dfim- a igrai o coo d Frl, rpcivam, por S u du (.4) co C u du. (.4).9.. Fuçõ ula Dfiição.6. S N é uma fução d al qu, para odo > chamamo N d fução ula. udu N (.4)

38 7 Obrvação: Baa qu a fução ja ula a mo d um cojuo fiio d poo. Em oura palavra, uma al fução ão prcia r ula, para odo,, baa apa qu ja ula a parir d um cojuo umrávl d poo. Exmplo.6:,, \ N.,

39 8. TABELAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE Exim divro méodo para drmiar Traformada d Laplac (SPIEGEL, 965): méodo diro (uo diro da dfiição); méodo da éri (quado f m xpaão m éri d poêcia); méodo da quaçõ difrciai (qu volv corar uma quação difrcial aifia por f); difrciação m rlação a um parâmro (uado a rgra d Libiz) o uo d abla (qu ão dcorr da propridad /ou da uilização da dfiição). No capíulo 4 rão aprada alguma aplicaçõ do oprador d Laplac. Na mdida do poívl, a drmiação da raformada ocorrrá por coa da uilização d abla. Para ao, bucou- ruir o pr capíulo um úmro coidrávl d fuçõ o domíio do mpo ua corrpod Traformada d Laplac. A abla raa d propridad grai, rgirado, r oura, aqula aprada a ão.8. Tabla Tabla d propridad grai d Traformada d Laplac (SPIEGEL, 965). f F F F f f (.) f F (.) F f (.) u f F ( ) (.4) f ' F f '' f F f f' f f (.5) (.6) '... (.7) F f f f ' F (.8) f F'' (.9)

40 9 f F (.) F f udu (.)... f udu u f udu! F (.) f u g udu F G (.) f Fudu (.4) T F u du T u f f T u F 4 f u du (.5) (.6) J u f u du F (.7) u J u f u du F (.8) J u u f u du F (.9) f 4 u u F u du (.) f u F du l u l (.) k P k Q' k k P Q P() = poliômio d grau mor qu Q() = ( ) ( )... ( ) od,,..., ão odo diio. (.)

41 A abla rgira Traformada d Laplac pciai. N cao, o rulado aprado ão dcorr da aplicação dira d (.) à f(). Tabla Tabla d Traformada d Laplac pciai (SPIEGEL, 965). f F (.) (.4),!!,,,... (.5) (.6) (.7),!!,,,... (.8) (.9) (.) (.) co (.) (.) co h (.4) (.5)

42 coh h (.6) (.7) coh (.8) (.9) (.4) co (.4) (.4) co co (.4) (.44) A abla, aprada o Apêdic, rgaa adicioalm um úmro coidrávl d Traformada d Laplac pciai, dado coiuidad à abla.

43 4. APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.. Irodução Uma EDO liar d ordm é uma quação da forma... ' a y a y a y a y g (4.) od a fuçõ g() a k () (k =,,,..., ) ão fuçõ cohcida, do a () ão idicam ula oda a fuçõ dpdm uicam da variávl. A fução icógia dcohcida é y(). Dfiir méodo para corar y() é um problma qu vm dafiado a humaidad dd muio mpo. Paricularm, a raformaçõ igrai vêm do ivigada dd o éculo XVIII (vid.). Na liha, o méodo da Traformada d Laplac vm coolidado como uma impora frrama para a rolução d quaçõ difrciai, m paricular aqula com cofici coa o corrpod PVI. Na pr ção, rão aprado vário rulado d aplicação da Traformada d Laplac, com pcial ir para aqul aociado a problma d aurza fíica. Adicioalm, rão morado doi xmplo d aplicação da Traformada d Laplac a rolução d problma d valor o cooro. 4.. Equaçõ difrciai ordiária liar com cofici coa Uma EDO liar d ordm com cofici coa é uma quação da forma... ' ay a y ay ay g (4.) od o cofici a i (i =,,..., - ) ão úmro rai quaiqur a é um ral ão ulo. Quado g() é uma fução idicam ula, ou ja, g() = para odo, a EDO é dia homogêa; cao corário, la é dia ão homogêa EDO liar homogêa d ordm Uma EDO liar homogêa d primira ordm com cofici coa é uma rrição da quação (4.), od = a é um úmro ral ão ulo. Adicioalm, g() = a é um ral qualqur. Logo, pod- rprá-la por mio d com codição iicial ay' ay, (4.) y y C.

44 Bucar uma fução y() qu aifaça (4.), por mio da Traformada d Laplac, é um procdimo baa impl. Aplicado- oprador a ambo o lado da igualdad, obém- L ay ' ay L. Aplicado- a propridad da liaridad (.5), vm qu rula, por mio d (.5) (.), m aly' al y, ay y ay. Evidciado- Y(), pod- crvr ay aa Y. Como o cofici a é difr d, gu qu y a a Y y. a a Aplicado- a raformada ivra, com uo d (.7), obém- a y() procurada y a a C. (4.4) 4... EDO liar homogêa d ordm Uma EDO homogêa d guda ordm com cofici coa é uma rrição da quação (4.), od = a é um úmro ral ão ulo. Adicioalm, g() = a a ão úmro rai quaiqur. Logo, pod- rprá-la por mio d ay ay' ay, (4.5) '' com codiçõ iiciai y y' y y. Rolvr uma quação d ipo, aravé da Traformada d Laplac, coi, iicialm, da aplicação do oprador a ambo o lado da igualdad ' L '' ay ay ay L.

45 4 Uado- a propridad da liaridad (.5), obém- '' a L y a L y' a L y. Uilizado- o rulado d (.5), (.6) (.), vm a Y y y ' ay y a Y. Evidciado- Y(), pod- crvr ay ay ay a aa Y. Como a é difr d, gu qu Y a y y y a a a a a. (4.6) Dvolvdo- o complamo do quadrado do domiador d (4.6), obém- a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Pla difrça d doi quadrado, gu qu a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. a 4a a a 4a a Aim, apó r- faorado o domiador d (4.6), obém- a.

46 5 Y a y y y a. a a a a a a a 4a a a 4a a a Fazdo- a a a 4a, pod- rcrvr Y() como a Y a y y y a (4.7) Agora faz cário rabalhar rê iuaçõ diia, aociada ao a valor do radicado m, cao : 4a a, cao : a a 4a a a cao : 4a a a. a Cao. Na codição, a quação poliomial m, a a a a, m dua raíz rai diia ( ) ( + ). Aim, rcrvdo- (4.7) covim, vm a Y y y y. a Aplicado- a raformada ivra, (.9) (.4), obém- a y y y y a qu pod r rcria como, a a y y y y y a a C C Quado ão vm acompahado da codiçõ iiciai, a olução d um problma aociada ao cao é No ao, dado o valor d y () y C C. (4.8) y ', pod- obr o valor d C C diram, m a cidad d calcular a drivada d (4.8) rolvr o vuai ima d quaçõ aociado..

47 6 a a Cao. Na codição, a a m dua raíz rai iguai. Logo, pod- crvr (4.7) como Y a a y y y y y y y y a a a y y y y y a Qu rcrio d maira covi rula m. Y y y y a a. Aplicado- o rulado aprado m (.7) (.8), obém- a fução y() procurada a y y yy a C Aim, como o cao arior, m a codiçõ iiciai, a olução aociada ao problma o cao é dada por C. (4.9) y C C Da mma forma, dado o valor d y () valor d C C diram.. y ', pod- obr o Cao. Na codição, ( i) ( + i) ão a raíz complxa diia d a a a a. Aim, a quação (4.7) pod r rcria como Y a a y y y y y y a a i i a a y y y y y y y y a a.

48 7 a Y y y y a. Aplicado- a raformada ivra, (.) (.4), obém- a y yy y co a a yy a C y co Como o cao arior, m a codiçõ iiciai, a olução aociada ao problma o cao é dada por co C y C C. (4.) EDO liar homogêa d ordm uprior O procdimo aplicado à EDO d primira guda ordm pod r dido para a obção d oluçõ d quaçõ d ord uprior, ou ja, od. Na quêcia rá aprada a rolução d um problma ugrido m Tag (7), od prd bucar a olução gral da quação difrcial com a codiçõ iiciai v y' 8 y'' 6 (4.) y y' y'' y''' y y y y Aplicado- a Traformada d Laplac, (.6) (.7), rula qu 4 Y y y y y Y y y Y () '() '' '''() 8 ( ) ' 6 4 Y 8 6 y y 8y y 8yy c c c c4 c c cc Y c c c c

49 8 Por mio do rulado (.4), (.4), (.4) (.44), qu caracrizam a aplicação da raformação ivra, obém- co y ccoc c 4 4 co c c c c c c y c c A 4 4 co co. B C D EDO liar ão homogêa d ordm No circuio RL, rprado pla figura 8, um iduor d H hry á dipoo m éri com um rior d R ohm com uma fo d alimação oidal, cuja forma d oda é dcria pla quação () = V(). Coidr- o problma d obr a corr para qualqur ia d mpo, i(), abdo qu a mma é ula o ia iicial. Figura 8 Circuio RL. Pla guda Li d Kirchhoff (Li da Tõ ou Li da Malha), a oma algébrica da difrça d pocial lérico (d.d.p.) m um circuio fchado é ula, logo, v v, (4.) R od v R () é a quda d ão o rior R v L () é a quda d ão o iduor L. A quda d ão o rior R é diram proporcioal a corr qu circula plo mmo, ão R L v Ri. (4.) Por ouro lado, para qualqur ia d mpo, a quda d ão um iduor é proporcioal à razão da variação da corr com rlação ao mpo, di. (4.4) vl L d

50 9 Aim, d (4.) (4.4) m (4.), vm di Ri L V, d qu pod r rcria aida como di Ri L V. d Aplicado- a Traformada d Laplac rmo a rmo, (.5) (.), obém- RI L I i V. Como i() = L, gu qu R V II. L L Coqum, V I, L R L qu, dcompodo- m fraçõ parciai, pod r rcria como d od obém I V A B C, L R L Porao, RL A, R L L B R L L C. R L V I R L L. R L R L Aplicado- a raformada ivra o rulado da abla, (.7), (.) (.), obém- a fução i(), qu rpra a corr do circuio para um ia d mpo qualqur, R V R L i () L co. (4.5) R L

51 4 A figura 9 prmi fazr uma comparação r a forma d oda obida a parir da olução (4.5), com uo d ofwar d compuação algébrica Driv (TEXAS INSTRUMENTS INCORPORATED, ), a curva rula da imulação do circuio com o uo d ofwar pcífico para a ára da Egharia Elérica Orcad (CADENCE, ). Para ao, foram uado o gui valor: =, V = V, R = L = mh. (a) (b) Figura 9 Forma d oda da fo d alimação () da corr i() do circuio RL, obida a parir do Driv (a) do Orcad (b), para =, V = V, R = L = mh EDO liar ão homogêa d ordm Coidr o circuio RLC da figura uma baria qu força E Vol. No ia iicial a corr i() é ula o capacior á dcarrgado. Adicioalm, ia a chav S é fchada a chav S prmac abra. Num ia a chav S é abra a chav S é fchada, caracrizado E = V. Coidr- o problma d caracrizar i(). Figura Circuio RLC. Na codiçõ, a alimação do circuio pod r rprada por mio d E Eu, (4.6) m qu a fução u é uma fução dgrau uiária (fução d rucamo à qurda), coform pod r obrvado a figura.

52 4 Figura Rpração da alimação do circuio RLC da figura. Aplicado- a guda Li d Kirchhoff ao circuio, obém- v v v E Eu. (4.7) L R C qu Sab- qu v C q (4.8) C q i d. (4.9) Aim, por mio d (4.), (4.4), (4.8) (4.9), pod- rcrvr a xprão (4.7) como di L Ri i d E E d C u. Obrvada a propridad da liaridad o uo da Traformada d Laplac, obém- di LL RLi id E E d L C L L u. Aim, d (.4), (.5), (.) (.), vm qu I E E LIi RI, C uma vz qu a corr iicial é ula, i() =, m- qu E I LI RI. C

53 4 Como L, pod- muliplicar ambo o lado da igualdad por L, o qu rula m ou aida, R E I I I, L LC L I E L Faorado- o domiador, obém- R L LC. I E. L R R R R L 4L LC L 4L LC R Fazdo- L R 4L LC, pod- rcrvê-la como I E. (4.) L Agora faz cário ivigar o rê difr poívi cao: cao, upramorcido 7, od > ; cao, criicam amorcido, od = cao, ub-amorcido, od <. Cao. Aravé do méodo da fraçõ parciai, pod- rcrvr (4.) como I E L E. L Aplicado- a raformada ivra, (.4) (.7), obém- qu E i L u. 7 A omclaura (upramorcido, criicam amorcido ub-amorcido) á baada m (AKISHINO FERNANDES, 6).

54 4 Como, gu qu i E, L. (4.) E, L Cao. Para =, pod- crvr a quação (4.) como I E E L Uado- (.4) (.8), obém- L E i L u. Erao, como, gu- qu i E, L. (4.) E, L. Cao. Para ral, pod- rcrvr (4.) como I E E L i i I L E. L Uado a raformação ivra, (.4) (.), obém- E i L u. Agora, como co co, gu- qu

55 44 i E, L. (4.) E co co, L Na figura, obida com uo do Driv, pod- obrvar o comporamo da corr i() do circuio RLC (fig. ) para cada um do cao ivigado. Para ao, uaram- o rulado d (4.), (4.) (4.) od =, E = V, R =, L = 5 mh C = 4 mf (Cao ) mf (Cao ) mf (Cao ). A figura é o rulado da imulação do rfrido circuio, o Orcad, para a codiçõ aqui pcificada. Figura Forma d oda da corr i() do circuio RLC (fig. ), obida por mio d (4.), (4.), (4.) do uo do Driv, para =, E = V, R = L = 5 mh C = 4 mf (Cao ) mf (Cao ) mf (Cao ). Figura Forma d oda da corr i() do circuio RLC (fig. ), obida do Orcad, para =, E = V, R = L = 5 mh C = 4 mf (Cao ) mf (Cao ) mf (Cao ).

56 45 Obrvação: Noa- qu a Traformada d Laplac poibilia lidar com dado iiciai fraco, ou ja, dcoíuo, como o cao da fução d Haviid, o qu raria (alguma) dificuldad com o ouro méodo aplicado à rolução d EDO EDO liar ão homogêa d ordm uprior Aim como o cao da homogêa, a Traformada d Laplac pod r mprgada para rolvr EDO ão homogêa d ordm uprior. O problma qu gu é adapado d Spigl (965), od ão aprado ouro rulado aociado à aplicação a viga. O objivo coi m corar a dflxão rula da auação d uma carga cocrada P, qu ag vricalm para baixo o poo médio d uma viga qu m ua xrmidad gaada m x = x =, coform a figura 4. Figura 4 Viga bi-gaada - adapada d Spigl (965). D acordo com o ima d coordada morado a figura 4, ão válida a quaçõ difrciai qu gum (SALVADORI SCHWARTZ apud BUTKOV, 978): dy x a) mx (4.4) dx EI m qu y(x) é a dflxão da viga o poo x m(x) é o momo d flxão. b) od (x) é a força d cialhamo. dm x dx x, (4.5) d x c) qx, (4.6) dx od q(x) é a carga por uidad d comprimo o poo x. Da rlaçõ (4.4), (4.5) (4.6) gu qu EI 4 d y x 4 dx q x. (4.7)

57 46 Como a carga á cocrada o poo médio, podmo rprá-la por qx P od é o dla d Dirac, dcrio m.9.. Adicioalm, ado a viga bigaada, pod- coidrar a gui codiçõ d cooro y y ' y'' y. y''' y y y ' Aplicado- a Traformada d Laplac, (.7) (.), à quação (4.7), obém- Como y() = 4 P Yy y' y'' y'''. EI y ', gu- qu y P 4 4 y Y. EI Aplicado- a raformada ivra, (.4) (.5), vm qu ou aida, y y P y x x x x x 6 6EI u, y x y y x x, x 6 y y P x x x, x 6 6EI (4.8) Sabdo qu y() = y ', pod- obr o valor d y y, baa para ao qu apliqum a codiçõ d cooro m ao gudo mmbro d (4.8) à ua drivada o poo x =. Do qu rula o gui ima d quaçõ: y y P 6 48 EI. y P y 8 EI

58 47 Rolvdo- o ima, obém- como y P 8 EI y P. EI Coqum, a dflxão aprada m (4.8) pod r rcria y x P P x x, x 6 EI EI. P P P x x x, x 6 EI EI 6EI Obrvação: D maira gral, a dflxão rula da auação d uma carga cocrada P, qu ag vricalm para baixo m um poo x d uma viga qu m ua xrmidad gaada m x = x =, pod r dada por (SPIEGEL, 965) y x Px x x x x, x x 6EI. Px x Pxx x x x, x x 6EI 6EI 4.. Obção d uma fução rafrêcia A fução d rafrêcia d um ima liar ivaria o mpo é dfiida como do a razão da Traformada d Laplac da rpoa do ima pla Traformada d Laplac da xciação do ima, coidrado- ula oda a codiçõ iiciai (OGATA, 98). Coidr- o problma d obr a fução d rafrêcia do ima rprado plo circuio RLC da figura 5, com a caracríica adicioai d qu i v. C Figura 5 Circuio RLC. A aplicação da guda Li d Kirchhoff ao circuio rprado pla figura 5 pod r raduzida por

59 48 v v v v. (4.9) i L R C Por mio do rulado aprado m (4.) (4.4), pod- rcrvr a quação (4.9) como di vi L Ri vc. (4.) d Drivado- a quaçõ (4.8) (4.9) m fução do mpo, obém- C C d d dv dq (4.) dq i. (4.) d Coqum, d (4.) (4.) vm dvc C i. (4.) d Com a aplicação da quação (4.) m (4.), pod- crvr C vr RC d dv. (4.4) A quação (4.5) é obida drivado a quação (4.) m fução do mpo Aplicado- (4.5) m (4.4), vm dv C di C. (4.5) d d dvc vl LC d. (4.6) Por coqüêcia, do rulado obido m (4.4) (4.6), pod- rcrvr a quação (4.) como dvc dvc vi LC RC vc d d. (4.7) Agora, aplicado- a Traformada d Laplac, (.5) (.6), obém- qu ' ' Vi LC VC vc v C RCVC v C VC ' V V LC RC LCv LCv RCv, (4.8) i C C C C uma vz qu a corr iicial é ula, gu d (4.) qu

60 49 dvc i v ' C, d C o qu, aociado à codição iicial v, faz com qu (4.8) rul m A ão obr o capacior C, Aim, Sja agora H pla figura 5. Porao, i C C V V LCRC. i v, é igual a v o (), logo, V V C o V V LCRC. i Vo V H, a fução d rafrêcia do ima rprado LCRC LC R L LC. C o Aravé da raíz da quação poliomial LC poívl a idificação do pólo do ima. +RC + =, ora Aplicação à covolução d fuçõ Coidr- o problma d obr a rpoa g() do ima - ão v o (), rprado pla figura 6, ao pulo f, ilurado pla figura 7, abdo- qu a ão o capacior é iicialm ula - v C () =. Figura 6 Circuio RC. Figura 7 Pulo f(). Iicialm, dv- obr a fução d rafrêcia H() do ima.

61 5 Por mio da aplicação da guda Li d Kirchhoff, obém- v v v. (4.9) i R C Com a uilização do rulado (4.4), obido m 4., pod- rcrvr a quação (4.9) como dvc vi RC vc. d Aplicado- a raformação d Laplac (.5), vm qu E, como v C () =, gu qu A ão obr o capacior C, Aim, logo Vi RCVC vc VC. V RCV V. i C C i v, é igual a v o (), logo, V V C V V RC Sja a fução d rafrêcia dada, o domíio d, por H o H V o, Vi RC RC RC C o (4.4) Como ão dado o valor d R C a figura 6, ão a quação (4.4) pod r rcria como H. (4.4) A fução pulo f pod r rprada por mio d od f u, u é uma fução dgrau uiário (vr procdimo ilurado m 4..5). A Traformada d Laplac d f é F. Agora, como coquêcia do Torma.4,

62 5 Coqum, g L - F H f h g L L L. Uilizado- o méodo da Fraçõ Parciai, A B, obém- A = B = -, logo - - g L L. Com o auxílio d (.), (.7) do Torma 5, obém- u, g qu pod r rprada, para prc ao irvalo [, +), por o g v,,. (4.4) A figura 8 ilura a forma d oda da ão v o (), rula da imulação (com uo do Orcad) do circuio da figura 6, xciado pla fução f() da figura 7. A figura 9, por ouro lado, ilura o rulado da aplicação d (4.4), com uo do Driv. Figura 8 Forma d oda da ão v o () do circuio RC (fig. 6), obida por mio do Orcad.

63 5 Figura 9 Forma d oda da ão v o () do circuio RC (fig. 6), obida por mio do Driv. Como m ouro cao já aprado, a figura 8 9 prmim ablcr um comparaivo r a imulação do circuio o rulado da aplicação da Traformada d Laplac. No cao da covolução d fuçõ, ora ira, ambém, ablcr um comparaivo r o méodo xibido o procdimo gráfico domíio do mpo. A covolução d doi iai o domíio do mpo coi m girar covim (plhar m rlação ao ixo da ordada) um dl muliplicá-lo poo a poo plo gudo ial, com a rpciva igração do produo aim obido. O primiro pao é girar a fução da figura 7 m rlação ao ixo da ordada, obdo- f(-), od é uma variávl muda - figura (a). Em guida, dloca- f(-) m uidad, obdo- f( - ) - figura (b). Figura Fuçõ f(-) (a) f( - ) (b). Dv- cohcr a fução rpoa do ima h(), qu cao, pod r obida por mio da aplicação da raformada ivra m (4.4). Procdimo qu rula m h, (4.4) com forma d oda ilurada pla figura (a). A fução h a variávl, h(), ão obrpõ à fução f(-), coform pod obrvar a figura (b), a guir.

64 5 Figura Fução h() (a) fuçõ h() f(-) (b). Figura Fuçõ h() f( - ) para < < (a) para > (b). Na figura, a rgiõ ombrada rpram a ára abaixo da curva do gráfico d h()f( - ), qu corrpod ao valor da covolução m. Para, a fuçõ f( - ) h() obrpõm d a, como á rprado a figura (a). Coqum, g d d. Para >, a fuçõ f( - ) h() obrpõm d a, como ilura a figura (b). Porao, g d d. Como pod obrvar, o rulado é o mmo aprado m (4.4). Para iai coíuo, a vaagm d um procdimo obr ouro rpoua, fudamalm, obr o quão complicado pod orar o produo da raformada F()H() EDO liar imulâa A Traformada d Laplac ambém pod r uada para rolvr dua ou mai quaçõ difrciai imulâa. Na quêcia rá xibido um xmplo aprado m Spigl (965).

65 54 Coidr- o problma d drmiar a corr o vário ramo do circuio da figura, a guir, dado qu a mma ão iicialm ula. Figura Malha lérica - adapada d Spigl (965). A guda li d Kirchhoff afirma qu a oma da quda d ão ao logo d um laço fchado é zro. Prcorrdo o laço o ido horário, rão coidrada poiiva a quda d ão qu ivrm ido. Uma lvação d ão rá coidrada como a gaiva d uma quda d ão. Sja i() a corr lérica m EDAB. Ea corr divid, o rocamo B, m i () i (). Pla primira li d Kirchhoff, i() = i () + i (). Aplicado- a guda li ao laço BCFEB ABEDA, coidrado- o rulado d (4.) (4.4), obém-, rpcivam, a quaçõ i i di di 4 (4.44) d d di i i i d. (4.45) Maipulado- (4.44) (4.45), obém- o ima d quaçõ ujia à codiçõ i () = i () =. di di 5i i d d. (4.46) di i 5i 55 d Tomado- a Traformada d Laplac do ima (4.46), vm 5I I i I I i Ou aida, 55 II i 5I. 5I 5I (4.47) 55. (4.48) I 5I

66 55 D (4.47) vm qu I () = I (), d modo qu a guda quação coduz a 55I ou I Ivrdo- rulado d (.) (.7), obém- 55 i, (4.49) 55 i i (4.5) 55 i i i. (4.5) A figura 4(a) ilura a forma d oda rula da imulação do circuio da figura, com uo do Orcad, a figura 4(b) mora o rulado da aplicação da quaçõ obida por mio da Traformada d Laplac. (a) Figura 4 Forma d oda da corr do circuio da figura, obida a parir do Orcad (a) da aplicação da quaçõ (4.49), (4.5) (4.5) o Driv (b). (b) 4.6. Equaçõ difrciai parciai Muio ão o problma da ciêcia fíica qu, quado formulado mamaicam, coduzm a quaçõ difrciai parciai (EDP ) volvdo uma ou mai fuçõ icógia, aociada à codiçõ d cooro. O problma d corar oluçõ da quaçõ qu aifaçam a codiçõ d cooro é chamado problma d valor d cooro (SPIEGEL, 965). A Traformada d Laplac ambém pod r mprgada para rolvr problma d valor d cooro. O xmplo qu gum ão laborado a parir d Spigl (965), od ão aprado divro ouro rulado d problma d codução d calor corda vibra, além d vibração d viga liha d ramião. Em algu

67 56 daqul cao, o procdimo rqur o uo d oura écica, como a aplicação da Traformada d Fourir, o qu ocorr m problma dfiido m oda a ra Codução d calor Coidr- o problma d obr a mpraura u(x, ), para >, um ólido limiado pla fac plaa ifiia x = x =, abdo qu ão ula a mpraura m x = x =, para odo, quao u(x, ) = (x) rpra a mpraura iicial m oda par d < x < qu k = é a coa d difuão do marial do ólido. A quação da codução d calor ólido é dada por, ux, u x x. (4.5) Plo fao da mpraura rm ula m x = x =, pod- ablcr a codiçõ d cooro u(, ) = u(, ) = od < x <, >. Adicioalm, u(x, ) = (x). Aim, mo o problma mio, problma d valor d froira problma d valor iicial; Sja ux, L Ux, (4.5), vm qu, ux, u x, x, x u, u,,. ux, x, x. Aplicado- a Traformada d Laplac m, ux, u x L L (4.5) x ( a) ( b) Rolvdo- o rmo (a) d (4.5) (SPIEGEL, 965):,,, u x u x u x d lim L d lim ux, ux, d u x, d u x, U x, u x,.

68 57 ou aida, Rolvdo- o rmo (b) d (4.5) (SCHIFF, 999): u x, u x, U x, d u x, d x x x x L Aim, do rulado d (a) (b) m (4.5), vm, u x, U x U x, U x x qu ambém pod r rprada por mio d U x, x, x U'' x, U x, x (4.54) A olução da EDO liar compla d guda ordm a cofici coa (4.54), a variávl x, para fixado, obida plo Méodo d Dcar, Méodo do Cofici a Drmiar, é dada por x x Ux, c c x. (4.55) 4 Tomado- a raformação d Laplac da codiçõ d cooro qu volvm, obém- D (4.56) m (4.55), vm D (4.57) m (4.55), rula L u, U, (4.56) L u, U,. (4.57) c c c. (4.58) x x c. (4.59) Rolvdo o ima formado por (4.58) (4.59) vm c = c =. Logo, Ux, x. (4.6) 4 Por fim, omado- a raformada ivra m (4.6), obém- a olução u(x,) procurada, 4, u x x..

69 Corda Vibra Uma corda ifiiam loga, com uma xrmidad m x, á iicialm m rpouo obr o ixo do x. A xrmidad x é ubmida a um dlocamo ravral dado por A, (figura 5). Figura 5 Corda vibra ifiiam loga - adapada d Spigl (965). Coidr- o problma d corar o dlocamo yx, d um poo x qualqur da corda m um mpo qualqur. Sdo yx, o dlocamo ravral da corda m um poo x qualqur d um ia d mpo qualqur, ão o problma d valor o cooro é, yx, y x, x,, (4.6) x y x, y x,, (4.6),,, y A y x M, (4.6) od a úlima codição pcifica qu o dlocamo é limiado. Sja Yx, L yx, (4.6), vm qu. Aplicado- a Traformada d Laplac m Y x, Yx, yx, y x,. (4.64) x Coidrado- a codiçõ d cooro d (4.6), pod- rcrvr (4.64) como ou ou aida, Y x, Y x, x Y x, x Y x,,,

70 59 Y'' x, Y x,. (4.65) Tomado- a Traformada d Laplac da codição d cooro qu volv, (4.6), obém- adicioalm, Yx, é limiado. Y, A ; (4.66) A olução gral da EDO liar homogêa d ª ordm a cofici coa (4.65), a variávl x, para fixado, qu pod r obida a parir do cao d 4.., é dada por x, x Y x C C. Dvido à codição da limiação, dv- r C. Aim,, Y x x C. (4.67) A Sgu d (4.66), qu C. Eão,, Y x A x. (4.68) Por fim, omado- a raformada ivra m (4.68), obém- a olução y x, procurada, y x, x x, A. x, Io igifica qu um poo x da corda prmac m rpouo aé o mpo x. Daí por dia l fua um movimo idêico ao da xrmidad m x, ma rardado pla quaidad x. A coa é a vlocidad com a qual a oda viaja.

71 6 5. CONCLUSÃO A liraura é d fao baa rica m raado do ma Traformada d Laplac, o qu ora difícil a iovação m rmo d apração d rulado. Opou- por r- um coao iicial com o méodo dro d uma mma abordagm muida com algum rigor órico. Por ouro lado, compilaram- abla baa compla d Traformada d Laplac, o qu, cram, orará o rabalho uma boa fo d coula. Procurou-, aida, xcuar o xmplo d maira baa gérica, uado-, mpr qu poívl, rcuro d imulação (m paricular d gharia lérica) d compuação algébrica para a vrificação do rulado obido. O udo do méodo aqui ralizado é limiado ao cojuo do úmro rai. Tal udo podria r dido ao cojuo do úmro complxo com a aplicação d igração d fuçõ a valor complxo, m paricular, do Torma do Ríduo para o cálculo da Traformada ivra d Laplac. Sgudo pod coaar m Spigl (965), a Traformada d Laplac pod r uada para rolvr alguma quaçõ difrciai ordiária com cofici variávi. Uma quação paricular para a qual o méodo mora úil é aqula m qu u rmo com cofici variávi êm a forma cuja raformada é dada por my, m m d L y L my. m A liraura mora ambém qu o oprador d Laplac é úil para rolvr Equaçõ Ígro-difrciai. Adicioalm, pod r uilizado m algu problma d valor d cooro, od ua aplicação qubra drivada, ou ja, raforma quaçõ difrciai parciai m quaçõ difrciai ordiária, qu, via d rgra, ão olúvi com muio mo forço. Todavia, oda a ivigação qu corroborou com a xcução d rabalho, prmiiu cofirmar qu, fivam, a grad uilidad da Traformada d Laplac á m rolvr EDO liar com cofici coa, ou ima da quaçõ, u corrpod problma d valor iicial. Cram, o podr cofrido a méodo á aociado ao uo d alguma oura idad, como a fução d Haviid a fução gralizada dla d Dirac. Como foi morado m divro xrcício, a frrama ão cruciai m problma m qu o dado iiciai êm dcoiuidad, rpram pquo impulo d grad ampliud, ou ão fuçõ priódica mai laborada. d

72 6 REFERÊNCIAS AKISHINO, A. S.; FERNANDES, T. S. P. Maual didáico: Irodução a circuio lérico. UFPR. Curiiba. 6. BUTKOV, E. Fíica mamáica. Ediora Guaabara Doi S. A. Rio d Jairo CADENCE. Orcad capur (caálogo do fabrica). Dipoívl m hp:// Aco m ouuburo:. DUNHAM, W. Eulr h mar of u all. Ediora Th Mahmaical Aociaio of Amrica. Wahigo FARMELO, G. Th rag ma: h hidd liv of Paul Dirac, myic of h aom. Ediora Baic Book. Nw York. 9. GILLISPIE, C. C. Pirr-Simo Laplac, : a lif i xac cic. Ediora Prico Uivriy Pr. 9ª dição. Nw Jry KREYSZIG, E. Advacd girig mahmaic. Ediora Joh Wily & So. 9ª dição. Sigapura. 6. KREYSZIG, E. Mamáica uprior. Ediora Livro Técico Ciífico. ª dição. Rio d Jairo MARSDEN, J. E.; HOFFMAN, M. J. Baic complx aalyi. Ediora W. H. Frma. ª dição. Nw York NAHIN, P. J. Olivr Haviid: h lif, work, ad im of a lcrical giu of h Vicoria ag. Ediora IEEE Pr. Nw York OGATA, Kauhiko. Egharia d corol modro. Ediora Pric-Hall do Brail. Rio d Jairo. 98. SALVADORI, M. G.; SCHWARTZ, R. J. Equaio i girig problm. Ediora Pric-Hall SCHIFF, J. L. Th Laplac raform: hory ad applicaio. Ediora Sprigr. ª dição. Nw York SILVA, P. N. Equaçõ difrciai ordiária. Ediora da UFRJ. Rio d Jairo. 5. SPIEGEL, M. R. Traformada d Laplac. Ediora McGraw-Hill. Nw York. 965.

73 6 SPIEGEL, M. R.; WREDE, R. C. Thory ad problm of advacd calculu. Ediora McGraw-Hill. ª dição. Nw York.. TANG, K. T. Mahmaical mhod for gir ad cii : vcor aalyi, ordiary diffrial quaio ad Laplac Traform. Ediora Sprigr. Brli. 7. TEXAS INSTRUMENTS INCORPORATED. Driv TM 6 Th mahmaical aia for your PC..

74 6 APÊNDICE Tabla Tabla d Traformada d Laplac adicioai (SPIEGEL, 965). co h coh () () h () h coh coh h coh co 5 8 co 8 co 8 co 8 5 co 8 4 (4) (5) (6) (7) (8) (9) () ()

75 64 8 co () () co co (4) (5) 4 4 (6) hcoh 5 8 h coh 8 h coh 8 h coh 8 h 5 coh 8 8 coh 7 h (7) (8) (9) () () () h ()

76 65 coh (4) 6 coh (5) h 4 4 (6) co (7) co (8) co (9) co () co () co () 4 coh co h () h coh co h co coh (4) (5) (6)

77 66 h - coh -co h coh co rf (7) (8) (9) (4) (4) (4) rf (4) rfc J (44) (45) I J I (46) (47) (48) J (49)

78 67 J (5) J (5) J J J (5) (5) I (54) I I I (55) (56) f,,,,,... (57) f r k od [] = maior iiro k vr ambém (9) r r (58) f r,,,,,... r r (59) co vr ambém () (6)

79 68 (6) J (6) 4 (6) 4 (64) rf (65) rfc (66) rfc (67) u 4 u J udu (68) l (69) Ci Ei l l l l = coa d Eulr =, (7) (7) (7)

80 69 co co l l = coa d Eulr =, l 6 = coa d Eulr =, l l 6 = coa d Eulr =, l l (7) (74) (75) (76) l ' l (77) g (78) Si g (79) rfc (8) 4 rfc (8) rf 4 rfc (8) rfc (8) Ei (84)

81 7 co Si Ci Si co Ci (85) (86) g l co Si Ci (87) Si coci (88) l Si Ci (89) N() (9) (9) (9) u (9) x x co 4 x x co 4 x co co x x h x h h x coh coh x h coh x coh h h x (94) (95) (96) (97) (98)

82 7 8 x x co x co co 8 x co h coh coh x h coh coh x x (99) () () x 6 x cohx co co coh x 4 co x x 4 x co x x 4 x 4 co x x 6 h x h coh x coh h x coh coh x h h x h coh x coh h x h cohx 4 co x x coh () () (4) (5) (6) (7) (8) (9) ()

83 7 J x J od,,... ão raíz poiiva d J ()=. 4 x J x J od,,... ão raíz poiiva d J ()=. J ix J i J ix J i () () Figura 6 Fução oda riagular - adapada d Spigl (965). gh () Figura 7 Fução oda quadrada - adapada d Spigl (965). gh (4) Figura 8 Fução oda oidal rificada - adapada d Spigl (965). cogh (5) Figura 9 Fução oda oidal mi-rificada - adapada d Spigl (965). (6) Figura Fução oda d d rra - adapada d Spigl (965). (7)

84 7 Figura Fução pulo - adapada d Spigl (965). (8) Figura Fução caloada - adapada d Spigl (965). f() =, < +, =,,,... vr ambém (57) (9) () Figura Fução caloada II - adapada d Spigl (965). f() = r, < +, =,,,... Figura 4 Fução caloada III - adapada d Spigl (965). f r vr ambém (59) () () Figura 5 Fução pulo oidal - adapada d Spigl (965).