u seja, pode ser escrito como uma combinação linear de.

Transcrição

1 Toma d Cayly-Hamilo ja x sja d I α... α poliômio caacísico d. Eão: α α... α α I Toda maiz é um zo d su poliômio caacísico., mos qu qu:... I { I,,..., } u sja, pod s scio como uma combiação lia d.

2 Também, muliplicado ambos mmbos d pô, mos qu:... Ou sja, pod s scio como uma combiação lia d {,,..., } qu pô sua vz pod s scio como uma combiação lia d { I,,..., }. ssim, podmos coclui qu paa qualqu poliômio f, idpd do gau, f podá smp s xpssado como: f I... 3

3 Dividido 3 pô obmos: od q é o quoci é o so. Mas sa divisão é complicada s o gau d f é muio maio do qu o gau d. Eao, pod-s ob diam d: fq. Sja: S odos avs. d são disios os is podm s obidos solvdo-s as quaçõs: i,... q q f 4... h 5 i i i i i q f

4 S m avs. pidos ão 5 pod s divada sucssivam d modo a s ob o o. d quaçõs cssáias à obção dos is. Ex : Calcul paa. f Ou sja, paa calcula f. O p.c. d é: os avs. são {,-}. Sja f f f 99 99

5 ssim, I 99I 99 S uma fução f admii o dsvolvimo m séi d MacLaui f qu covg paa <R ão a séi d maizs f ambém covg, dsd qu sja quadada qu cada um dos sus auovalos ha valo absoluo ifio a R. Diz-s qu a fução é bm dfiida. Cada fução bm dfiida pod ambém s psada como m 3.

6 Ex : Paa a maiz do x dmia Eão, fução mais impoa d é. Po séi mos qu: lgumas igualdads: f ; ; ; f f f I I...! I [ ] I d d maiz ula

7 Fomas quadáicas Uma foma quadáica Q é um poliômio al m qu as vaiávis ais x, x,...,x scalas coém som mos da foma αijxixj, ais qu: Q i j α x lgus xmplos d fomas quadáicas: Q 3x ij i x j, α x x x 5 Q α x α x x ij α é al i, x x x 3 j

8 Toda foma quadáica Q pod s xpssada como o poduo io <x,qx> x Qx vic vsa, od Q é uma maiz siméica, iso é, Q Q. Ex : f x, x x x x 5x 6 6 x 5 x [ ] x x Os avs. d uma maiz siméica são ais os auovos associados a avs. disios são oogoais. Msmo com avs. ão disios um cojuo d auovos ooomais pod s coado

9 Poao a psação a foma d Joda d uma maiz siméica é uma maiz diagoal. Dfiição 7 maiz Q é dfiida posiiva s sua foma quadáica associada Q é smp posiiva xco quado x é o vo ulo. Q é dfiida posiiva s é só s odos sus auovalos são maios do qu zo. Dfiição8 maiz Q é smidfiida posiiva s Q ão é gaiva mas poddo s zo paa algum x. Q é smidfiida posiiva s odos sus avs. São maios ou iguais a zo.

10 Uma oua maia d chca s uma maiz é dfiida posiiva é o ciéio d Sylvs: uma maiz Q é dfiida posiiva s só s o odos sus mos picipais são posiivos. Um mo picipal d Q é o dmia da submaiz d Q obida pla limiação das úlimas k lihas k coluas, k,,...,-. Ex 3: Dmi s a foma quadáica do x. é dfiida posiiva. Usado Sylvs: 6 Q ; > q q q q - Como m um mo picipal < ão é dfiida posiiva. - Usado os avs: Os auovalos d Q são: , como m um gaivo Q ão é dfiida posiiva.

11 dcomposição d Cholsky Qualqu maiz dfiida posiiva pod s aoada m LL* od L é uma maiz iagula fio com valos posiivos a diagoal. Exis ambém um algoimo paa ga a maiz L. Toma. Uma maiz H, com m, m ak s só s a maiz x H H m ak ou d H' H. Uma maiz H, com m,m ak m s só s a maiz mxm HH m ak m ou d HH' H H HH são siméicas smidfiidas posiivas poao sus avs. São ais ão gaivos.

12 Dcomposição m valos sigulas - SVD Sja H mx. Eão a maiz H H é x siméica, smidfiida posiiva cosqüm odos sus avs. são ão gaivos. { σ } i, O cojuo i od i é um av d é chamado valos sigulas d H. i... Toma Toda maiz H mx pod s asfomada a foma: od S é m R R H RSQ RR I m, Q Q QQ I com os valos sigulas a diagoal. m,

13 -s coluas d Q são auovos ooomalizados d H H. - s coluas d R são auovos ooomalizados d HH. - O ak d H é igual ao úmo d σis ão ulos. - S o ak d H é, as pimias coluas d R são uma bas ooomal paa o ag d H. - s úlimas - coluas d Q são uma bas ooomal paa o spaço ulo d H. - SVD é usado o malab paa compua o ak, o ag o spaço ulo.

14 Ex 4: Cosid a maiz do Ex. 5. O comado svd do MTLB oa o sulado abaixo. O ak é dois dois valos sigulas ão ulos. a s 3 4 >> [ s q]svda q

15 Excícios paa casa 8 Mos qu o cofici α o oma d Cayly Hamilo α... α α I é zo s som s é sigula. 9 Rfaz os xmplos 3.7, do Ch. Mos qu: a [ ] B B b B B - Mos qu: L si od L é a ivsa da asfomada d Laplac. Faz um sudo diigido im 3.7 do Ch. Vifica o MTLB o comado mlyapa,b,c T cia um xmplo com 3x3, B x C 3x. 3 Rfaz Exs do Ch.

16 4 Pov qu uma maiz M siméica x é dfiida posiiva s som s: a Todos sus avs. são posiivos. b S xis uma maiz N x ão sigula al qu MN N. 5 Vifiqu s a foma quadáica Q x 5 x x x x3 xx 4xx3 6 é dfiida posiiva. 3

17 6 Usado fução d maizs dmi a aiz quadada da maiz : 7 Sja. Dmi a ivsa d usado o oma d Cayly-Hamilo. 6 4 paa b paa a