Exercícios resolvidos

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1 Excícios solvidos 1 Um paallpípdo ABCDEFGH d bas ABCD m volum igual a 9 unidads Sabndo-s qu A (1,1,1), B(2,1,2), C(1,2,2), o véic E pnc à a d quação : x = y = 2 z (AE, i) é agudo Dmin as coodnadas do véic E Como E pnc à a, mos E(,, 2 ) AE = ( 1, 1,1 ) Assim, [AB,AC,AE] = = 3 = Logo = 6 ou = 12 S = 6,não AE = ( 7, 5,7) AE i = 7 Logo (AE, i) é obuso Como s valo d conadiz uma das hipóss do nosso xcício, considmos = 12 Ns caso, AE = (11, 13, 11) AE i = 11 assim, (AE, i) é agudo Poano E = A + AE = (12, 12, 10) 2 Um quadado ABCD sá sob o plano : x y + 2z 1 = 0 Sabndos qu A (1,0,0) B(0,1,1) são véics conscuivos Dmin as coodnadas dos ouos dois véics C D B A n D A (1,0,0) B(0,1,1) mos AB = ( 1,1,1 ) d : x y + 2z = 1 mos n = (1, 1,2) Como AD AB AD n mos: AD // AB n = (3,3,0) 37

2 Além disso, AD = AB = 3 Considando 1 1 AD = (,,0 2 2 ) mos: AD =,,0, D A AD,, 0 = + = C = B + AD =,, Podmos obsva qu considando AD = (,,0) 2 2 nconamos a oua solução do xcício 3 Dmin uma quação do plano π qu passa plo pono P (1,0,1 ) y + z + 1 = 0 coném a a d quação : 2x + y z + 2 = 0 π v Sjam R( 1,0,0) um pono da a o vo R P = (1,1,0) //(0,3,3) = (1, 1,1) (2,1, 1) Como v o pono P(1,0,1) não pnc à a, mos RP = (2,0,1) v são vos LI com psnans m π Assim, uma quação voial do plano π é: π : (x, y, z) = (1,0,1) + (2,0,1) + h (0,1,1) ;, h IR 4 Dmin uma condição ncssáia suficin paa qu um plano : Ax + By + Cz + D = 0 sja oogonal ao plano XOZ Obsvmos qu os vos j = (0,1,0 ) (A,B,C) são nomais aos planos XOZ, spcivamn Assim, os planos XOZ são oogonais s, somn s, ( A,B,C) (0,1,0) = 0 Daí, B = 0 Obsvação: D modo análogo, podmos mosa qu as condiçõs ncssáias suficins paa qu um plano : Ax + By + Cz + D = 0 sja oogonal ao plano XOY ao plano YOZ são, spcivamn C = 0 A = 0 38

3 5 Dmin uma quação gal d um plano qu coném a a x + 1 z = = + 3 s : y 1 é oogonal ao plano YOZ 2 3 z + 3 Obsvmos qu o plano : y 1= coném a a s, já qu odos 3 os ponos d s saisfazm à quação d Além disso, : 3y z 6 = 0 é oogonal a plano YOZ ( poqu? ) Assim, é o plano pocuado 6 Mos qu um plano : Ax + By + Cz + D = 0 é paallo ao ixo OY s, somn s, é oogonal ao plano XOZ v Sabmos qu um plano é paallo a uma a s, somn s, n v = 0 Assim, o plano é paallo ao ixo OY s, somn s 0 = (A,B,C) (0,1,0) = B Poano a condição paallo ao ixo OY é quivaln a oogonal ao plano XOZ 7 Dados os planos : Ax + 4y + 4z + D = 0 β :6x + 8y + Cz 2 = 0, dmin as consans A, C D ais qu: a) d (, β) = 41 b) O plano sja oogonal ao plano β coném o ixo OX a) Como d(, β) 0 mos qu β = φ Assim, os vos n (A,4,4) n = (6,8,C) são paallos poano A = 3 C = 8 = β Tommos P(1, 1,0) um pono do plano β Sabmos qu: ( 1) D d (, β) = d(p, ) = = Assim, D 1 = 41, logo D = 42 ou D = 40 39

4 b) Como o plano coném o ixo OX mos A = 0 D = 0 Da oogonalidad dos planos β mos: n n = (0,4,4) (6,8,C) = C = 0 Logo C = 8 β 8 Dmin as coodnadas do pono P 1, siméico d P(1,1, 2) m lação à a s : x + 1= y 1= z P s Sjam a a ppndicula à a s qu I passa plo pono P { I} = s Enão, I = ( 1,1 +, ) podmos consida v = PI = ( 2,, + 2) Como as as s são oogonais mos: Logo, = 0 PI= ( 2,0,2) Como = ( 1,1,0) + ( 2,0,2) = ( 3,1,2) P 1 Obsvação: v v s = ( 2,, + 2) (1,1,1) = 0 P 1 IP1 = PI mos P 1 = I + IP1 Assim s O pono I ambém podia s dminado aavés da insção da a s com o plano qu passa plo pono P é oogonal à a s P 1 I P Sndo ppndicula a s mos: : x + y + z + D = 0 Uilizando o fao d qu P, podmos conclui qu D = 0 9 Dmin uma quação da a, siméica da a = 1+ 2 s : y = ; IR, m lação ao plano : x y + z + 1= 0 = 2 40

5 n Obsvmos qu s S Q são ponos da a S s não S 1 Q 1, siméicos d S Q, spcivamn, m lação ao plano são I 1 I ponos da a D v s n = (2,1,0) (1, 1,1) 0, mos qu s são concons Sja { I} = s Enão, I = (1 + 2,,2) = 0 S 1 s Logo, = 4 I( 7, 4,2) Assim, as quaçõs paaméicas da a n, nomal a concon com a a s m S(1,0,2) são : = 1+ n : y = = 2 + ; IR Considando { I 1 } = n, mos I 1 = (1 +,,2 + ) = 0 Logo, = poano I 1 =,, Daí, S1 = I1 + SI1 =,, +,, =,, Como I S 1 são ponos disinos d podmos consida v = S1I 4 Assim, uma quação voial d é : X = ( 7, 4,2) + h(4,5, 2); h IR 10 Dmin, caso xisa, uma a qu passa plo pono P(1, 2, 1) é concons com as as s = λ 1 = h 2 : y = 2λ 3; λ IR s : y = 1 h ; h IR z = λ = h Solução 1: Podmos vifica qu s são as vsas qu P Assim, o plano dminado po P, coném oda a qu passa po P é concon com Logo, a a, caso xisa, sá conida m : x y + z 2 = 0 41

6 D v s n 0 concluímos qu s são concons, P sja { Q} = s Como Q s mos Q(h 2,1 h,h), po ouo lado, Q ambém s pnc a daí, β Q h 2 (1 h) + h 2 = 0 Consqunmn, h = Q,, Como PQ =,, não é paallo a v ) = (1,2,1, podmos scv: :X = P + λ PQ; λ IR Solução 2: Considmos qu xisa uma a qu passa po P é concon com as as s m A B, spcivamn Assim, A( λ 1,2λ 3, λ), B(h 2,1 h, h), PA = ( λ 2,2λ 1, λ + 1) PB = (h 3,3 h,h + 1) Como P, A B são ponos colinas os vos PA PB são LD Daí podmos scv: λ 2 2λ 1 λ + 1 = = h 3 3 h h + 1 λ 2 2λ 1 D = mos λ 2 = 1 2λ Logo, λ = 1 PA = ( 1,1,2) h 3 3 h Considando v = PA, as quaçõs paaméicas da a são: = 1 a y = 2 + a ; a IR = 1+ 2a s B A 42

7 11 Dmin uma quação da a qu passa plo pono Q(2,1,0), é = 2 + concon com a a s : y = 3 ; IR foma ângulos iguais com os = ixos OX OY Sjam a a qu qumos dmina { I} = s Assim I = (2 +,3,) v = QI = (,3 1,) Como (,OX) = (,OY) mos a quação: (1,0,0) (,3 1,) = v 1 1 Logo, = ou = Considando =, mos v // (1,1,1 ) 2 (0,1,0) : X (,3 1,) v = (2,1,0) + h(1,1,1) ;h IR Considando 1 =, mos v // (1, 1,1 ) 4 : X = (2,1,0) + h(1, 1,1) ;h IR Como vimos o xcício m duas soluçõs 12 Da figua abaixo sab s qu: i) a a é ppndicula ao plano, m a dição P do vo u = (1,2, 1) P(1,1, 1) pnc à a ii) os ponos Q R( 1,0,1) pcm ao plano R Q iii) S = (0,1,2) Dmin: a) uma quação do plano b) as coodnadas do pono Q c) uma quação do plano QRS d) o ângulo n os planos QRS 43

8 ) a disância n as as RS f) uma quação do plano qu coném a a é paallo à a : X = (3,2,0) + h(2,0, 1) ;h IR g) uma quação do plano ppndicula ao plano qu coném a a QS a) Como n // v = (1,2, 1) mos : x + 2y z + d = 0 Além disso R ( 1,0,1 ), assim d = 2 Logo : x + 2y z + 2 = 0 = 1+ b) As quaçõs paaméicas da a são : y = 1+ 2 ; IR = 1 Como { Q} = mos: Q(1 +,1 + 2, 1 ) (1 + 2) ( 1 ) + 2 = 0 Logo, = 1 Q(0, 1,0) c) Os vos QR = ( 1,1,1) QS= (0,2,2) são LI Logo, podmos scv uma quação voial do plano QRS como: d) Sabmos qu n = (1,2, 1) X = ( 1,1,1) + h(0,2,2) ; h IR //( 1,1,1) (0,2,2) = (0,2, 2) n QRS 6 3 Assim, cos( QRS, ) = = Logo ( QRS, ) = ) Sabmos qu v = (1,2, 1), RS = (0,1,2) ( 1,0,1) = (1,1,1 ) daí, [ v,rs,qr] = = 6 Assim, as as s são vsas [v,rs,qr] Logo, d(,rs) = = v RS 6 = (3, 2, 1) =

9 f) Sja β o plano qu qumos dmina Os vos v = (1,2, 1) v = (2,0, 1) são LI êm psnans β, logo uma quação voial do plano β é : X = P + λ (1,2, 1) + σ (2,0, 1) ; λ σ IR g) Os vos n = (1,2, 1) QS = (0,2,2) são LI êm psnans no plano qu qumos dmina Assim uma quação ds plano é : X = S+ (1,2, 1) + h (0,1,1) ; h IR 45