AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E AS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

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1 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA 1.1 A QUAÇÕ D MAXWLL Todos os poblemas de eleicidade e magneismo podem se esolvidos a pai das equações de Mawell: v 1. Lei de Gauss: φ. nda ˆ. Lei de Gauss paa o magneismo: 3. Lei de Faada: e C v. dl d d. dl µ I + µ ε Q ε.ˆ nda nda ˆ 4. Lei de Ampee: C d d. nda ˆ

2 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA 1. A QUAÇÃO D ONDA PARA ONDA LTROMAGNTICA Revisão da equação de onda numa coda: (, ) 1 (, ) Onde : Y(,) - posição de ponos de uma coda num insane. ϑ T µ - velocidade da onda T - ensão da coda µ - densidade linea de massa λ - compimeno de onda K π λ - é o numeo de onda

3 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA sen( K ω ) ω πf Cuja solução é:, Agoa mosaemos que as equações de Mawell acaeam uma equação de onda. Paa isso, consideemos que: A análise é no vácuo (sem coenes e sem cagas eléica) e são função do empo e uma coodenada: d X ( ondas planas ) Considee o seguine elemeno de volume no vácuo: O cálculo do fluo eléico aavés dos elemenos de áea: Áea :Campo não depende de Z enão Φ e Áea :Campo Y não depende de Y enão Φ e Áea :Campo X não depende de X.

4 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA não: φ φ e ( ).. d e, pois não em cagas inenas: d e, logo X não depende de Campo eléico que vaia no espaço deve se pependicula a dieção de popagação (esa mesma análise pode se feia paa o campo magnéico) não, vamos assumi que o campo eléico em ( ) vaia com :

5 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA Po ouo lado emos que: não: Logo: Pela Lei de Faada:. dl ( ). ( 1). [ ( ). ( 1)] nda ˆ... dl.ˆ nda (.. ) C.. (.. ) As conibuições ( 1 ) e ( ) se cancelam pois elas são iguais. e eisem uma componene dependene de enão deve eisi uma componene que depende do empo ou q.(i)

6 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA Assumimos que eisa uma componene enão ela depende de. Pela Lei de Ampee: d d. dl µ ˆ ε. nda Usando o pocedimeno aneio paa cada lado da equação acima µ ε q.(ii )

7 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA LTROMAGNÉTICA Deivando a equação (I) com elação a e a equação (II) com elação a, Temos : e i l d µ ε e igualando os emos em, emos: > quação de onda paa Y ε µ Agoa, deivando a equação (I) com elação a e a equação (II) com Relação a e igualando os emos em, emos: > quação de onda paa Z Onde a velocidade de popagação é: (velocidade da ε µ / ϑ Onde a velocidade de popagação é: (velocidade da lu) c s m / µ ε ϑ

8 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA A solução desas equações podem se dadas pó: sen ( K ϖ) ) sen ( K ϖ ) e Já vimos que: K ω deivando K. cos( K ϖ) sen( K ϖ ) > Logo: inegando K ω c

9 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA Concluímos que: As equações de mawell geaam equações de ondas ( eleomagnéicas ) paa popagação de e no vácuo, e são pependiculaes ene si e a dieção de popagação, são em fase, Popagam-se se a velocidade da lu ( c ), e A dieção de popagação é X Gáfico:

10 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA Veo Poning: H µ Valo médio de significa: Inensidade da onda eleomagnéica ( I ), negia média po unidade d de empo po unidade d de áea, Densidade do fluo de enegia. Paa vemos isso, calculamos: a enegia po unidade de volume associada a : η e 1 1 ε ² ε sen²( K ϖ) e a enegia po unidade de volume associada a : η m 1 1 ² π π ²( ) onde sen K ϖ ε µ c

11 Ou A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA 1 η m ε sen²( K ϖ) ηe Poano a enegia po unidade de volume é dada po: η η m + η e ε sen²( K ϖ ) sen²( K ϖ ) µ c ² Logo, a enegia po unidade de áea e empo seá: η c sen²( K ϖ ) sen ( K ϖ ). sen ( K ϖ ) µ c µ c µ. ηc. H µ Logo, podemos conclui que o módulo do veo Poning é igual a poência Insanânea da adiação eleomagnéica po unidade de áea: P H ). nda ˆ.ˆ nda (

12 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA Podemos, ainda calcula o valo médio quadáico da enegia po unidade de áea e empo {( sen ² θ ) 1/ } que seá chamada de inensidade da adiação med eleomagnéica (I): I med med c ηmed. med µ c µ µ Pessão de adiação (p ) de uma onda eleomagnéica: O momeno anspoado po uma onda eleomagnéica é igual a enegia anspoada dividido po c. Logo o momeno po unidade de empo ( foça ) po unidade de áea (pessão) pode se dado po: P I c

13 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA emplo: Uma lâmpada de 1W emie ondas eleomagnéicas unifomes. Calcula a inensidade id d (I), a pessão de adiação (p) e os campos eléicos e magnéicos a 3m da lâmpada admiindo que 5W apaeçam com adiação eleomagnéica. Dados: onda eleomagnéica com P5W e aio3m, a) Cálculo da inensidade I: Temos que: 5.ˆ > > P P nda P A IA I 4π ² med 4π.3² logo: I,44 W/m²

14 A QUAÇÕ D MAXWLL A ONDA LTROMAGNÉTICA b) Cálculo da Pessão de adiação: 9 P I,44 1, c 3.1 pa (muio pequena compaada com a pessão amosféica 1 5 Pa ) c) O valo máimo do campo magnéico é: I c µ µ 1/ 7 9 (µ p ) [(4π.1 )(1,47.1 )] 6,8. 1 c) O valo máimo do campo eléico: 8 T c 18,V / m

15 Rodolfo fanca e Rodolfo fanca e sebasiao acacio