UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ANDERSON HOFFMANN

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1 UIVERSIDADE FEDERAL DE SATA CATARIA CETRO DE CIÊCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMETO DE MATEMÁTICA ADERSO HOFFMA UMA ITRODUÇÃO AO PROBLEMA DE -CORPOS Floianópolis, 8 de novembo de 9

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3 AGRADECIMETOS A minha família, pincipalmene a minha mãe Dilma Rosa Coeia, po me apoia em odos os momenos e ambém aos meus ios, Valdi Rosa Coeia e Ranúsia Bonin Coeia que me deam odo apoio desde o início da minha gaduação. A meu oienado Gusavo Adolfo Toes da Cosa, pelo apoio no decoe desa monogafia. A Anônio Vladimi Mains e Luiz Auguso Saege, membos da banca examinadoa, pelos esclaecimenos finais. Obigado!

4 Índice Inodução Definições e Leis básicas da física. Massa, momeno angula e momeno de inécia 4. Leis de ewon 6.3 Lei univesal da gaviação 7 O poblema de - copos. Exisência e unicidade de solução local 3 O Poblema de Copos 4 Leis de Consevação 8 4. Leis de consevação da enegia e do momeno linea 9 4. Lei de consevação do momeno angula Idenidade de Lagange - Jacobi Desigualdade de Sundman 33 3

5 5 Singulaidades Colisões O Teoema de Sundman Weiesass O Ciéio de esabilidade de Jacobi A conecua de Painlevé 49 Refeência bibliogáfica 5 4

6 Inodução As civilizações da aniguidade, assim como os Babilônios, Egípcios e Gegos, inham o ineesse de esuda a Mecânica Celese ano paa a cuiosidade quano paa a necessidade de peve os movimenos dos asos, visando ene ouas, a oganização esaal e agiculua. Aualmene, a Mecânica Celese é uma áea de pesquisa muio aiva, com impoanes conibuições, sendo um dos assunos com basane elevância o Poblema de - Copos. Ese poblema em po obeivo desceve o movimeno de um númeo de copos sob a influência única da lei da gaviação de ewon. O pesene abalho de conclusão de cuso é uma inodução a ese poblema. Ese abalho esá oganizado da seguine foma: Expomos no capíulo algumas Definições e Leis básicas da física, com gande ênfase nas Leis de Isaac ewon (64-77) e a Lei univesal da Gaviação. o capíulo, fomulamos o poblema de copos como um poblema de valo inicial paa um sisema de equações difeenciais de ª odem. O nosso obeivo pincipal seá o de demonsa a exisência e unicidade de solução local do poblema uilizando o eoema de exisência e unicidade devido aos maemáicos A. J. Picad (6-68) e A. L. Cauchy ( ). o capíulo 3 esudamos o poblema paa o caso de = copos, cua solução foi obida po Isaac ewon em 687. o capíulo 4 esudamos e demonsamos as Leis de consevação, a idenidade Lagange Jacobi (J. L. Lagange (736-83) e C. G. J. Jacobi (84-85)) e a desigualdade de Jimmy Sundman. Paa finaliza o nosso esudo, no capíulo 5 esudamos as singulaidades paa o poblema de copos. Apesenaemos alguns esulados devidos aos maemáicos Paul Painlevé ( ) e de K. T. W. Weiesass (85-897). Além dos ciados, váios ouos maemáicos e físicos conibuiam paa o esudo do poblema de copos. O nosso esudo baseia-se na monogafia de Ségio B. Volchan, Uma Inodução à Mecânica Celese, apesenado no 6º Colóquio Basileio de Maemáica, Impa, 7. 5

7 Capíulo Definições e Leis básicas da física ese capíulo apesenaemos algumas definições e leis básicas da física, necessáias paa o desenvolvimeno dese abalho. Definições Básicas Definição.. A posição de um copo vaia no empo de acodo com a função veoial, Sua velocidade é dada pelo veo ( ) x ( ), x( ), x3( ) (.) d dx, dx, dx d d d d 3 v (.) Se v vaia no empo, o copo em uma aceleação a dada po a d x 3, d x, d x dv d d d d d d (.3) Definição.. Paa um copo de massa m e velocidade v, o momeno linea p é definido po p mv (.4) Paa um sisema de copos com massas m,..., m, e velocidades v,..., v, o momeno linea oal P do sisema é a soma dos momenos lineaes paciais, iso é, P I mv (.5) i i 6

8 Definição.3. A enegia cinéica de um copo de massa m e velocidade v () é a função escala EC ( ) mv ( ) (.6) onde v v e. denoa a noma euclidiana no 3. Paa um sisema de copos de massas m,..., v,..., v, especivamene, a enegia cinéica oal é m com velocidades T() miv i (.7) i Definição.4. Suponha que sobe um copo de massa m aua uma foça F, () função da posição, com a popiedade de que exise uma função escala V() al que V F (.8) os livos exos de física, ef.[] po exemplo, a função V é chamada de enegia poencial e V é o veo gadiene de V. ese abalho, no enano, chamaemos de enegia poencial à função U V. Definição.5. A enegia mecânica de um copo de massa m com enegia cinéica E c e enegia poencial V é a função escala E( ) EC ( ) V ( ) (.9) Definição.6. Seam copos com massas m,..., m cuas posições (e velocidades) no empo são ( ),..., ( ) e ( v,..., v ), especivamene. Denoamos po R CM e L os veoes definidos po e m () i i i R CM () i m i (.) L () m v (.) i 7

9 e chamados, especivamene, de veo ceno de massa e veo momeno angula do sisema. Definimos, ambém, o momeno de inécia I () do sisema como onde. I() m (.) a definição (.), v denoa o poduo veoial dos veoes livos exos de física, o momeno de inécia é definido como I. Significado físico de m, L e I e v. os Massa. Podemos enende a massa m de um copo como sendo uma medida de sua esisência ao movimeno, ambém chamada de inécia. Paa ilusa esa idéia, suponha que o copo se desloca sob a ação de uma foça F com aceleação a. Pela segunda lei de ewon, a F m (.3) Manendo F consane e vaiando a massa m, segue que quano maio m, a massa do copo meno é sua aceleação. Diz-se, enão, que maio é a esisencia ou inécia ao movimeno. Momeno angula e o momeno de inécia. O momeno angula de um copo de massa m é o equivalene do momeno linea p mv quando o copo em um movimeno de oação em elação a algum pono. Sea Q ese pono. O copo em uma velocidade angula veoial W d d (.4) que é a axa de vaiação do angulo de oação com o empo. 8

10 a equação (.4) é um veo uniáio oogonal a e a v. Exise uma elação ene os veoes v e W v W (.5) onde denoa o poduo veoial de W po. Os veoes v e são oogonais e coplanaes. Poano, o veo W é oogonal a e v. O momeno angula do copo é Usando a elação (.5), obemos L p m v L m ( W ) (.6) Pela fómula do duplo poduo veoial dada pela ef.[3], L m ( ) W ( W) (.7) pois e W. Defina m W I m (.8) Assim, o momeno angula se expessa em emos da velocidade angula como L IW (.9) Poano, um veo angula não nulo é indicaivo da exisencia de movimeno de oação. Compae esa úlima elação com aquela paa o momeno linea p mv. Elas em a mesma foma. o caso do momeno angula, o fao I, chamado de momeno de inécia do copo, desempenha 9

11 o papel da massa. Po esa azão, podemos inepea I como sendo uma medida da esisência do copo a faze uma oação. Defina o veo μ po μ F (.) onde F dp d é uma foça auando no copo m. Segue que d μ ( p ) v p d Como v p pois v e p em a mesma dieção, esula que μ dl d onde L p é o momeno angula do copo. O veo μ é chamado de foça de oque, associada ao momeno angula da mesma foma que F dp d esá associada ao momeno linea. Seguindo os pincípios da mecânica de ewon, ambém chamada de mecânica clássica, vamos posula que o movimeno de um copo qualque no espaço obedece às seguines leis de ewon: Leis de ewon Seguindo os pincipios da mecânica de ewon, ambém chamada de Mecânica Clássica, vamos posula que o movimeno de um copo qualque no espaço obedece às seguines, leis conhecidas como leis de ewon. ª ) Lei da inécia Um copo pemanece em epouso ou em movimeno eilíneo unifome a menos que sea compelido a modifica ese esado pela ação de uma foça. ª ) Lei fundamenal da mecânica

12 Sea F a esulane de odas as foças aplicadas sobe um copo de massa m. A ação da foça F sobe o seu movimeno é al que dp d F (.) O deslocameno ocoe ao longo da dieção de F. Se a massa m é uma consane, enão podemos expessa (.3) na foma ou ainda, ou ainda, ma F, (.) dv m d F, (.3) d m d F (.4) Seá suposo daqui em diane que a massa é uma consane. 3ª ) Lei da ação e eação Se um copo exece uma foça sobe ouo, ese exece uma foça sobe o pimeio, da mesma magniude, dieção, mas de senido oposo. ewon ambém esabeleceu a seguine lei fundamenal: Lei univesal da gaviação Dois copos quaisque execem ene si uma foça cua dieção é a da ea que passa po ambos e senidos oposos; esa foça é dieamene popocional ao poduo das massas e sua inensidade é invesamene popocional ao quadado da disância ene os copos. Esa foça é chamada de foça gaviacional. Podemos expessa esa lei quaniaivamene como segue.

13 Seam e ( x, x, x 3 ) (.5) ( x, x, x 3 ) (.6) as posições dos copos m e m, especivamene, e a disância ene eles dada po : ( x x ) ( x x ) ( x x ) (.7) 3 3 Sea, ambém, (.8) - um veo uniáio. Ese veo em a dieção da ea que passa po m e m e senido de m paa m. Denoe po F ( F ) a foça gaviacional que o copo m ( m ) exece sobe o copo m ( m ). Enão, m m m m G G ( ) (.9) F e, como pela 3ª lei de ewon, F F, obemos m m m m G G ( ) (.3) F m. onde G é a consane univesal da gaviação, cuo valo é 6, 67.. g As unidades são o newon ( unidade de foça ), o meo m e a massa em g. Po definição, é a foça que, quando aplicada a um copo de massa m g, faz com que ese se desloque com aceleação igual a s.

14 Considee um sisema de copos de massas m,..., m que execem ene si a foça gaviacional. Seá suposo daqui po diane que esa é o único ipo de foça que cada copo exece sobe os demais. Uma massa m do sisema exece sobe a -ésima massa m a foça na qual mm F G ( ) 3 (.3) : ( x x ) ( x x ) ( x x ) (.3) 3 3 Poano, a foça gaviacional esulane das - massas sobe a massa é F mm ( ) 3 G m, (.33) 3

15 Capíulo O poblema de copos 3 Considee copos com massas m, m,..., m cuas posições em são dadas pelas funções do empo : 3, =,,..., : ( ) x ( ), x ( ), x ( ) (.) 3 Uma hipóese maemáica básica é a de que esas funções são de classe C ( ), pelo menos. Suponhamos que a única foça de ineação ene os copos é a foça da gaviação.vimos, no capíulo aneio, que, de acodo com a Lei da Gaviação de ewon, a foça gaviacional esulane das - massas sobe a massa m é F mm G ( ) 3 (.) Aplicando a ª Lei de ewon, obemos a equação de movimeno do - ésimo copo: onde mm m G ( ) 3 : d d, =,,...,., (.3) (.4) A solução desa equação, se exisi, fonece a aeóia ou óbia () da massa m. oe, poém, que o membo dieio da equação (.3) depende das demais funções,, que descevem as óbias das demais massas. Poano, não é possível esolve a equação (.3) sem esolve as demais 4

16 equações associadas aos ouos copos. Como, paa cada, em ês componenes, o sisema de equações é fomado po 3 equações difeenciais odináias de a odem não lineaes. O poblema de copos é um dos poblemas mais impoanes da Mecânica Celese e consise em esabelece a exisência local e / ou global e unicidade da solução do sisema fomado pelas 3 equações impondo-se condições iniciais ( ) e v ( ), e ( ) ( ),, e,,,,...,, (.5) bem como a análise das óbias dos copos, suas singulaidades e seu compoameno assinóico quando. A condição (.5) é necessáia paa que o membo dieio das equações do sisema esea bem definido. osso obeivo pincipal nese capíulo seá o de demonsa a exisência e unicidade de solução do poblema de copos. Exisencia e unicidade de solução local Definição.. Chama-se conuno singula ao conuno i i, sendo 3 i : { x (,,..., ) i } (.6) A imposição da condição (.5) implica que, em cada insane, as posições dos copos esá em 3 -. Definição.. Chama-se espaço de configuação do sisema de copos, ao espaço 3 -. (.7) A solução do sisema de - copos seá pocuada no espaço de configuações (.7). 5

17 Definição.3. Sea U: 3 - (, ), a função U(,..., ) Gm m (.8) A somaóia é sobe os índices e com, =,,...,, ais que <. A função U é chamada de função poencial gaviacional do sisema de copos. Exemplo. os casos =, =3 e =4, emos mm U (, ) = G mm U (,, 3 ) = G mm G mm G mm U (,,3, 4 ) = G mm G mm G mm 3 + G 3 mm G mm G Lema.. A função U C ( 3 - ). Demonsação: Segue dieamene da definição. 6

18 Lema.. Defina Enão, U U U,, x x x (.9) U = 3 Gm m ( ) U = 3 (.) onde a somaóia é sobe odos os {,,..., } disinos de. Demonsação: Pode se obsevado nas expessões paa U nos casos =,3 e 4, do exemplo aneio, que somene as pacelas onde consa o U veo são elevanes paa o cálculo de de modo que podemos x i expessa esa deivada na foma Como U Gmm xi x i x i = x i 3 ( i i ) i x x = ( x x ) i i 3 obemos U Gm m ( x x ) ( x x ) ( x 3 x 3),, Gmm 3 7

19 Resula do Lema. que podemos expessa a equação (.3) como m U (.) Em emos das velocidades v ( ) ( ), emos que v e v U m (.) Em seguida, defina as funções veoiais y( ) ( ),..., ( ), v ( ),..., v ( ) (.3) e f ( y ) ( v,..., v, U m,..., U m ) (.4) y ( ) ( ),..., ( ), v ( ),..., v ( ) y ( 3 - ) 3 (.5) De foma mais compaca, o poblema de copos pode, enão, se expesso da seguine foma: y f y y( ) y (.6) onde f é a (.4) função coninuamene difeenciável de y. o que segue esudamos a exisência e unicidade de solução do poblema (.6). A feamena básica nese esudo é o Teoema de Cauchy - Picad enunciado a segui. Anes, poém, definimos o que é uma função de Lipschiz. 8

20 Definição.4. Uma função f: n n, abeo, é chamada função de Lipschiz em se exise uma consane K al que, paa odo x, y, f ( x) f ( y) K x y (.7) A função é localmene de Lipschiz em se, paa odo x, a esição de f à bola B ( ) b x de ceno em x e aio b, saisfaz a condição de Lipschiz (.7). Lema.3. Toda função coninuamene difeenciável é localmene Lipschiz. n Teoema.. (Cauchy-Picad). Sea f: n, abeo. Sea y e suponha que f é uma função conínua e de Lipschiz na bola B b ( y ). Suponha, ambém, que a função f é limiada em, ou sea, exise M al que Enão, a equação f ( y) M, y (.8) com a condição dy d f( y), y (.9) y( ) y (.) em uma única solução no inevalo I (, ) b min, onde K é uma consane dada po (.7). M K, (.) Obsevação: Como a solução exise numa vizinhança I de, a solução é dia se uma solução local ou localmene definida. Com base nesses esulados povaemos o seguine: 9

21 Teoema.. O poblema (.6) admie uma única solução local. Demonsação : A afimação segue da veificação de que as hipóeses do eoema de Cauchy Picad são saisfeias pelo poblema (.6). Como f é coninuamene difeenciável, pelo Lema.3, f é localmene Lipschiz. Basa enão pova que f é limiada. Sea ( ) Min ( ),,,...,, (.) min e D uma consane al que D ( ) (.3) mim Considee a bola abea B ( ) b y de aio al que D b e ceno 8 y. Sea y B ( ) b y y() y < D/8. (.4) Defina x( ) ( ),..., ( ) e v( ) v ( ),..., v ( ) sendo x( ) x e v( ) v. Como y y segue que x x v v e D x x y y 8 (.5) D v v y y (.6) 8 Temos, ambém, que x x ( ) e, poano, paa =,,...,,

22 D ( ) ( ) x x (.7) 8 Além do mais, e D min ( ) ( ) ( ) ( ) (.8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.9) Poano, pela desigualdade iangula, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) implicando, no esulado D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou sea, D D D D ( ) ( ) D 4 (.3) Poano, ou ainda, ( ) : in ( ) D min 4 M (.3) 4 () D min (.3) Po ouo lado, paa =,,...,, de soe que, m Gm ( ) U 3

23 m U m G Usando (.3), esula m 6 U G G m m D min (.33) A enegia oal do sisema no insane esá dada po onde E T U (.34) T m m (.35) v ( ) v ( ) = é a enegia cinéica oal do sisema no insane e U é a enegia poencial nese insane. Esa saisfaz mm U G Gm m ( ) min ( ) (.36) Usando (.8) obemos U G m m : A D (.37) onde A é uma consane que depende apenas de D, G e das massas. Reunindo as esimaivas (.35) e (.37) segue paa as velocidades que ou ainda, m v ( ) T E U A E v ( ) ( A E ) m (.38) Po ouo lado, como emos, usando (.38), v( ) v ( ),..., v ( )

24 e ( ) v v ( ) ( A E) m v( ) C A E (.39) onde C é uma consane que depende das massas. Pela desigualdade iangula, e (.6) e (.39), segue: v () v( ) v( ) v( ) v( ) v( ) v ( ) D 8 C A E : (.4) Com base nos esulados aneioes, podemos esima f( y) pois f( y ) v () + m U ou sea, 6G m M D f ( y) M (.4) Poano, f é uma função limiada. Podemos aplica, agoa, o eoema de Cauchy-Picad segundo o qual exise uma única solução do poblema de copos numa vizinhança do insane. 3

25 Capíulo 3 O Poblema de Copos De acodo com o Teoema de exisência e unicidade de solução povado no capíulo aneio, o poblema de copos em uma única solução definida numa vizinhança do insane inicial. Soluções explicias e valendo paa odo podem se obidas, poém, apenas em casos muio especiais. Em especial, no caso do poblema de -copos, esa solução pode se calculada expliciamene paa odo. A solução foi obida po Isaac ewon em 687. ese capíulo, calculamos esa solução. Consideemos dois copos de massas m e M. Sea x( ), y( ), z( ) o veo posição de m e M ( ),, o veo posição do copo M, suposo, poano, em epouso na oigem do sisema de coodenadas. Sea u o veo uniáio adial com mesma dieção e senido do veo. Suponha que a foça gaviacional de M é a única auando sobe m. Desse modo, o veo ( ) saisfaz a equação mmu m G (3.) Vamos impo as seguines condições iniciais: ( ) v( ) ( ) v (3.) onde e v e v. A foça gaviacional, 4

26 mmu F G, (3.3) e o veo em a mesma dieção. Poano, e F, (3.4) m Como esula que d d dl d m d d, (3.5) ou sea, o momeno angula L () é uma consane do movimeno. Esa consane é difeene de zeo paa odo pois L( ) L( ) m( ) v( ) m v (3.6) Como L é oogonal a () e v (), paa odo, iso significa que a aeóia, ou óbia, do copo m esá conida no plano que coném os veoes e v.vamos, no que segue, esuda o movimeno do copo m nese plano: Considee os veoes ambos uniáios e oogonais. Temos que u (cos, sen ), u ( sen,cos ), (3.7) 5

27 e du d u (3.8) du d u (3.9) Além disso, e d u d u d d d d u (3.) d u d u d d d d u (3.) Lembando que Ru, onde R, obemos e, po conseguine, du d Ru R Ru R u (3.) Ru R u R u R u R u R R u R R u (3.3) Mas m F, (3.4) e, poano, a dieção de é a mesma de F que, po sua vez, é a mesma de. Logo, em componene nula na dieção de u, ou sea, ou, equivalenemene, R R (3.5) 6

28 d R d R d d (3.6) Poano, como R, R d d (3.7) onde é uma consane. Obseve que sendo d d a velocidade angula do copo, a elação (3.7) implica que esa aumena quando R diminui, ou sea, quando o copo m se apoxima da massa M. A consane pode se deeminada como segue. Temos que: d L m mru ( Ru) d du mru Ru R d mr Ru u mr u u = mr u u (3.8) pois u u. Po ouo lado, L mr u u mr u u sen Poano, mr R L m v (3.9) Da ef.[4], sabemos que a áea A subenendida po uma cuva c plana e ângulo cenal (ve figua) é al que 7

29 y x Mas, da R d (3.) d d da R d L d m (3.) Poano, a óbia de m é al que a áea vaida no inevalo de empo é iso é, da L m d L L A( ) A( ) ( ) m m A (3.) Ese úlimo esulado expessa a Lei das Áeas de Keple segundo a qual em inevalos de empos iguais o copo m vae áeas iguais. De fao, se ' ', enão A A. 8

30 y x Pelas elações (3.3), (3.4) e (3.5) segue que ou sea, M R R u G u R (3.3) Pela elação (3.7), segue M R R G R (3.4) ou ainda, R M G 3 R R, (3.5) Defina R M R G R (3.6) de modo que u ( ) : R () (3.7) du du d du d d d d R (3.8) onde usamos (3.7). Também, pela elação (3.7), 9

31 du du dr dr d dr d R d (3.9) De (3.8) e (3.9), obemos Ademais, du d dr d (3.3) d du d du d d d d d d d u d d d (3.3) Usando (3.3), o lado esquedo de (3.3) é igual a de foma que d dr d R d d d d u d d R d d d (3.3) (3.33) Usando, agoa, que R, obemos d u R d R d d (3.34) Subsiuindo ese úlimo esulado em (3.6), deduz-se a equação seguine paa u : d u d u GM (3.35) A solução geal desa equação é a soma da solução geal da equação homogênea associada, que é da foma u ( ) cos ( ) (3.36) h 6

32 onde e são consanes abiáias, com uma solução paicula equação não homogênea. Po exemplo, u p da A solução geal é, poano, u p GM (3.37) GM u ( ) cos ( ) (3.38) onde as consanes e condições iniciais. Tome ( ) esula devem se fixadas mediane aplicação das e u. Usando (3.7), ( ) onde R ( ) (3.39) cos( ) e L GMm v GM (3.4) L GMm v GM (3.4) Da Geomeia Analíica, sabemos que a equação (3.39) epesena uma cônica em coodenadas polaes sendo a sua excenicidade. Da geomeia analíica ambém sabemos que os valoes de deeminam o ipo de cônica. A cônica é uma elipse se ; uma paábola, se ; e uma hipébole, se. O valo de e, poano, a naueza da cônica, dependem das condições iniciais e v e do valo de M e de G. 7

33 Capíulo 4 Leis de consevação paa o poblema de - copos ese capíulo, obemos váias popiedades da solução do poblema de copos. Em especial, são povadas as leis de consevação. Segundo esas leis, a enegia, o momeno linea e angula oais do sisema são consanes ao longo da solução. Também deivamos a idenidade de Lagange Jacobi e a desigualdade de Sundman, impoanes paa o póximo capíulo. Sea y( ) ( ),..., ( ), v ( ),..., v ( ) a solução do poblema de copos saisfazendo a condição inicial y( ) y. Definição 4.. Sea F y() uma função eal difeenciável saisfazendo ou sea, df d, (4.) F y() C, (4.) onde ( ) C F y. Poano, F é consane ao longo da solução do poblema de copos. Po esa azão, a equação (4.) ou (4.) é chamada de lei de consevação da função F. 8

34 Teoema 4.. (Lei de consevação da enegia) Ao longo da solução y, a função enegia mecânica oal do sisema de copos E é consane: de d (4.3) Demonsação: Temos que E T U onde T é a enegia cinéica oal e U a enegia poencial gaviacional do sisema. Sendo, T m v v m. segue que dt d m m m du ( m ) U, d ou sea, dt d du d, ou ainda, d E d Poano, E( y( )) é consane ao longo da solução y () Teoema 4.. (Lei de consevação do momeno linea) Ao longo da solução y, o momeno linea oal é consane: dp d. (4.4) Demonsação: Sabemos que a função momeno linea oal do sisema se esceve como sendo: mas ambém, P m v, 9

35 mm m G 3 ( ), (4.5) onde. Cada emo no segundo membo dieio de (4.5) é cancelado po um ouo com sinal oposo. Resula Poano, m (4.6) d d m m v P. d d Cooláio 4.. Sea M a massa oal do sisema e R CM m M (4.7) o veo posição do ceno de massa. Enão, ou sea, R, (4.8) CM onde V CM P M, CM () R () V R, (4.9) CM CM R R, P o momeno linea oal do sisema. Demonsação: Deivando (4.7) com espeio a, obemos R CM m M P M e pelo Teoema 4.. Logo, R CM d P M d R a a CM, 3

36 e VCM RCM a P M e a RCM () R. Poano, o ceno de massa em movimeno eilíneo unifome. Teoema 4.3. (lei de consevação do momeno angula) Ao longo da solução y a função momeno angula do sisema é consane, ou sea, Demonsação: Sabemos que, Logo, d L d L m. (4.) d L m m ( m ) d Gm m ( ) 3 pois. = Gm m 3 Poano L é consane ao longo da solução y., Definição 4.. Uma função f : n, n, conuno abeo, é homogênea de gau se f ( x) f ( x ), paa odo e odo x com x. n, Teoema 4.4. (Eule) Se f é uma função homogênea de gau em, enão: x f ( x) f ( x ). (4.) 3

37 Lema 4.. A função poencial gaviacional é uma função homogênea de gau - e. U U (4.) Demonsação: Pela definição.3 da enegia poencial U, segue que U é homogênea de gau. Aplicando o Teoema de Eule, o esulado segue. Lema 4.. (Idenidade de Lagange - Jacobi) Ao longo da solução do poblema de copos, a função momeno de inécia I m, (4.3) saisfaz Demonsação: Temos que I T U T E U E. (4.4) Logo, ao longo da solução, I m v I m v m T + U( x ). Mas como a função poencial U é homogênea de gau - e usando o Teoema 4.4, obemos que I T U. 3

38 Lema 4.3. (Desigualdade de Sundman) Sea L m v o momeno angula do sisema, enão ao longo da solução do poblema de copos emos que L 4 I( I E ), (4.5) Demonsação: Usando a desigualdade de Cauchy-Schwaz da álgeba linea, emos que: L m v m v ( m )( m v ) m m I T 4IT Logo, o esulado segue do Lema 4. na foma T I E. 33

39 Capíulo 5 Singulaidades n Sea f : n, abeo, nas condições do Teoema de Cauchy Picad do capíulo. Segundo ese eoema o poblema de valo inicial dy d f( y) y( ) y em solução única no inevalo I (, ) paa suficiene pequeno.um poblema básico consise em sabe se a solução pode se exendida paa um inevalo de empo maio ou se há um inevalo máximo de exisência. Definição 5.. Uma solução y definida num inevalo abeo J, é dia maximal e J é chamado inevalo maximal se, havendo oua solução w do mesmo poblema de valo inicial, definida no inevalo I, enão I J, e, paa odo I, em y( ) w( ). n Um Teoema de exisência afima que se f : n, é localmene Lipschiz no abeo, enão o PVI em única solução maximal. Quando o inevalo maximal não é oda a ea, po exemplo, J (, ) com, a solução não pode se polongada além dese inevalo e dizse que a solução em uma singulaidade em. Um exemplo simples é o seguine: O poblema de valo inicial dy d y y () 34

40 em solução y () ão é possível polonga esa solução paa oda a ea. Seu inevalo maximal de exisencia é o inevalo (,). Em a solução em uma singulaidade. Um poblema maemáico impoane consise em sabe se o poblema de copos em ou não singulaidades. O poblema de copos não em singulaidades. Sua solução, calculada expliciamene, exise paa odo. Em 895, o maemáico fançês Paul Painlevé ( ) povou que no caso do poblema de 3 copos exisem singulaidades e esas são do ipo colisões (definidas adiane). Painlevé ambém conecuou que paa 4, singulaidades não colisionais ambém são possíveis. Sua conecua foi povada apenas em 99 po Z. Xia. ese capíulo aaemos apenas das singulaidades do ipo colisão. Colisões Definição 5.. Dizemos que ocoe uma colisão no insane se exisem os seguines limies e lim ( ), =,,..., lim ( ) lim ( ) paa pelo menos um pa, com. Dio de oua foma, uma colisão ocoe no insane se onde x( ) ( ),..., ( ). lim ( ) x x, (5.3) 35

41 Lema 5.. Sea M a massa oal do sisema de copos, iso é, M m (5.4) com ceno de massa em epouso na oigem. Enão, o momeno de Inécia I do sisema pode se expesso em emos das disâncias como: I M m m, (5.5) onde, e a somaóia é sobe odo,=,,..., al que. Demonsação: oe que, m = m ( ) ( ) = m m m. (5.6) Po hipóese, o ceno de massa do sisema esá em epouso na oigem, daí Poano, m (5.7) m = m M Logo, = I M (5.8) m m m I Mm e Mas, m m MI MI 4MI (5.9) 36

42 m m m m 4IM (5.) e o esulado segue. Cooláio 5.. Seam e (5.) min min R, (5.) max max a sepaação mínima e máxima ene os copos num dado insane. Exisem consanes posiivas A, B, C, D que dependem apenas das massas m, m,..., m ais que A I R B I (5.3) e onde U é a função poencial. Demonsação: Sea CU DU, (5.4) Temos que m m (5.5) min i i m m max M M R m max M m M I (5.6) pois, pelo Lema 5., Po ouo lado, I m m m M M (5.7) 37

43 Mas, R R I m m m m m m M M 4M (5.8) Poano, mm m m M (5.9) ou ainda, m R RM I M 4, (5.) e que pova (5.3) omando-se De (5.9), obemos que: M 4I I R m M A e M B M m. U Gm m Gm m G GM m m. Além disso, paa, ais que, emos: seguindo-se que U Gm m Gm Gm, ou ainda, Gm GM U GM Gm U U,, que é (5.4), omando C Gm e GM D 38

44 Cooláio 5.. Suponha que ocoe colapso oal em Enão, ele ocoe na oigem. ( finio ou não). Demonsação: Como po hipóese, o sisema colapsa, enão paa odo =,,...,, exisem e coincidem os limies (5.), ou sea, Assim, paa, ( ) lim ( ),,..., (5.) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.) lim ( ) lim Temos, ainda, que, e ( ) ( ),. (5.3) min lim ( ) lim ( ) (5.4) min Enão, pelo eoema do confono, quando, obemos que Pelo Lema 5.: e Mas, po definição, Poano, se, e somene se, lim ( ) I M min m m lim( I) m m lim M I m ( ) M ( ) lim I( ) mlim ( )., lim ( ), =,,...,. Ou sea, o colapso ocoe na oigem. 39

45 Teoema 5.. Suponha que ocoe o colapso em. Enão,. Demonsação: Suponha que ocoe o colapso em análoga paa ) Pelo, Cooláio 5., paa odo. lim ( ),. (A pova é Como, Temos que, onde lim ( ) lim ( ) ( ), ( ) ( ) m ( ) min ( ) m Pelo Cooláio 5., em cada emos que: C D m U U, onde C, D > e U é a função poencial U( x( )) C D U( x( )) ( ) ( ) m m, donde Segue, enão, po esa desigualdade que no limie, Pelo Lema 4., segundo o qual lim U( x( )). (5.5) obemos que I ( ) U( x( )) E, lim I ( ) 4

46 ese caso, dado qualque, exise al que implica I (). Como é qualque, ome e sea y I. Enão, exise al que paa, Inegando esula que dy d (5.6) y() a (5.7) onde a é consane abiáia, donde obemos, após inegação, que I() a b, (5.8) onde b é oua consane abiáia. Logo, lim I ( ). (5.9) Esse esulado conadiz o esulado segundo o qual: lim I ( ). Poano, devemos e. O seguine Teoema fonece uma condição necessáia paa have colapso oal do sisema de copos. A condição ambém é suficiene paa =, mas não paa 3. Lema 5.. Sea f :[ a, b ], f duas vezes difeenciável em (a,b) onde f > " e f. Se f(b) =, enão f ( x ) em (a,b). 4

47 Teoema 5.. (Sundman-Weiesass) Se ocoe o colapso oal no poblema de copos, enão o momeno angula oal do sisema é nulo. Demonsação: Sea o insane do colapso oal. Temos enão, que e Além disso, pelo Lema 4., lim ( ) min lim U( x( )) lim I. Poano, dado M > qualque, exise al que implica I M, ou sea, I ( ) numa vizinhança de. Ademais, I m. ( ) ( ) As condições do Lema 5. esão assim saisfeias no abeo (, ). Logo, I ( ) em (, ). Consideemos, agoa, a desigualdade de Sundman: no inevalo [, ] (, ). C 4 I( I E ) (5.3) De (5.3), I () C 4I E (5.3) Muliplicando (5.3) po I ( I ), esula ou ainda, C I I I E I 4I 4

48 d d di ( I ) C ln( I) E d d d (5.3) Inegando a equação (5.3) em [, ], segue ou ainda, C I ( ) I ( ) I ( ) ln E I( ) I( ) 4 ( ) I C I ( ) 4 ( ) ln E I( ) I( ) I I( ) I( ). Mas, I( ) I( ) I( ) e I( ) I( ) I( ), o que implica C I ( ) 4 ( ) ln EI( ) I( ) I. Como Ié () esiamene decescene, I( ) I( ), e assim, Logo, Daí, Como há colapso oal, I ( ) I ( ) I ( ) I ( ). ln EI( ) I( ) C 4 I ( ) ln I ( ).. lim I( ) lim m ( ) pois ( ). Poano, paa fixado, no limie, obemos 43

49 I ( ) e ln I ( ) implicando e EI( ) I( ) ln I( ) ln I( ) C. Definição 5.3. Uma solução do poblema de copos é esável se paa odo i e, odo, e alguma consane >, em-se: ( ) ( ) () i () i ( ii ) () i, e i Segundo esa definição, uma solução é esável na ausência de colisões, pela condição (i), e o movimeno se dá numa egião limiada do espaço, pela condição (ii). Uma condição necessáia paa uma solução se esável é a dada a segui. Definição 5.4. Uma função f : chama-se convexa quando seu gáfico se siua abaixo de qualque de suas secanes. Lema 5.3. Uma função f :, duas vezes deivável em é convexa se, e somene se, f( x ), x. Teoema 5.3. (Ciéio de esabilidade de Jacobi) Se uma solução do poblema de copos é esável enão a enegia oal do sisema é negaiva. Demonsação: Suponhamos que o sisema em enegia oal E (5.33) Pela idenidade de Lagange Jacobi, o momeno de inécia I do sisema saisfaz I U E onde U é a enegia poencial. Po (5.33), 44

50 I U paa odo. Daí, a função I () é esiamene convexa em Lema 5.3. Segue que I () é esiamene cescene em pela definição do momeno de inécia, que I. Poano, devemos e Como, pelo Lema 5., lim I ( ) pelo. Também emos, I M m m não pode exisi al que (), paa odo i e odo. A hipóese inicial E não pode se manida. Devemos e E. Obsevação: A condição do Teoema é suficiene se =, mas não paa 3. Definição 5.5. Sea f definida em pono x. Defina: n e limiada numa vizinhança do lim sup ( ) lim sup ( ) f x f x (5.34) x x x B( x, ) lim inf ( ) lim inf ( ) f x f x (5.35) x x x B( x, ) Teoema 5.4. Os limies (5.34) e (5.35) em as seguines popiedades: ) lim sup f ( x) lim inf f ( x ) x x x x ) lim f ( x) x x L se, e somene se, lim sup f ( x) lim inf f ( x ) x x x x 3) Se lim sup ( ) x x f x M, enão exise ( x ), x x al que lim ( n) n n n n n f x M. 45

51 Teoema 5.5. (Painlevé, 895) Uma solução do poblema de copos possui uma singulaidade no insane se, e somene se, onde lim ( ) (5.36) min (5.37) ( ) min ( ) min Demonsação: ( )Suponha que lim ( ), min mas não ocoe singulaidade no insane. Isso significa que a solução x( ) ( ),..., ( ) é uma função suave num inevalo [, ] e, poano, nese inevalo exise b al que x () b, (5.38) paa odo [, ]. Segue, enão, pelas equações de movimeno, que U x( ), =,,...,, são limiadas, ou sea, U b (5.39) paa odo =,,...,, e [, ]. Pelo eoema fundamenal do cálculo, Usando (5.38), x( s) ds x( ) x( ) x x = x() s ds ( ) ( ) xs () ds 46

52 Poano, b ( ) b( ) x( ) x( ) b 3, (5.4) onde b3 b ( ) é consane. Pelas desigualdades iangula, (5.38) e (5.4), esula que x () = x( ) x( ) x( ) x( ) x( ) + x ( ) b, (5.4) 4 paa odo [, ], donde Pela ega da cadeia, obemos x () x () b 4 (5.4) du d U. Daí, pelas desigualdades de Schwaz, e as desigualdades (5.39) e (5.4), du d i ( U U ) ( ) = U b 5, onde b 5 é uma consane. Assim, U é limiado em [, ]. Pelo cooláio 5., conudo, sabemos que exise C al que e, poano, C U ( x( )) ( ), min C () min U ( x( )) Como lim ( ), enão devemos e U x() paa. min Logo, U não pode se limiada e, poano, a solução em que se singula em. 47

53 ( )Suponha que a solução é singula em.queemos pova que: Como m, emos que lim ( ). min limsup ( ) lim inf ( ). m m B(, ) Suponha, po absudo, que limsup ( ) D. m Enão, pela popiedade 3 do Teoema 5.4, exise a sequência ( ) que convege paa quando al que lim ( ) D m D paa suficienemene gande, e odo. Ademais, D ( ) mim( ). Fixando, ome como condição inicial do poblema de copos a condição y ( ) ( x( ), x( ) ). O eoema de exisência e unicidade gaane a exisência de solução suave no inevalo (, ) paa algum. Em seguida, povamos que exise al que (, ). De fao, como quando, enão, dado, exise al que, implica, ou sea, (, ). Tome compaível com o Teoema de exisência e unicidade. Assim, a solução é suave em o que é uma conadição. Enão, só podemos e limsup ( ) m 48

54 Como Temos que liminf ( ). m lim ( ) m Paa emina, no que segue enunciamos alguns esulados clássicos sobe o poblema de copos, sem demonsá-los. Teoema 5.6. (Von Zeipel) o poblema de copos, uma singulaidade em e somene se, lim I ( ). é uma colisão se, Teoema 5.7. (Painlevé, 985) o poblema de ês copos, odas as singulaidades são colisões. A conecua de Painlevé Conecua ( Conecua de Painlevé, 895) O poblema de - copos, paa 4 admie soluções com singulaidades não colisionais. Teoema 5.8. (Xia, 99, Geve, 99) Exisem soluções com singulaidades não colisionais no poblema de copos, paa 5. O caso =4 pemanece em abeo. 49

55 Refeências [] Ségio B. Volchan, Uma inodução à Mecânica Celese, 6ª Colóquio Basileio de Maemáica, Impa, 7. [] H. Moysés ussenzveig, Cuso de Física Básica, vol., Ed. Edgad Blüche, 98. [3] P. Boulos e I. Camago, Geomeia Analíica, Peason Educaion, 987. [4] H. Guidoizzi, Um cuso de Cálculo, vol., Ed. LTC,