O Jogo do resta-um num tabuleiro infinito

Transcrição

1 O Jogo do esta-um num tabuleio infinito Alexande Baaviea Milton Pocópio de Boba 1. Intodução. No EREMAT-007 em Canoas-RS, acompanhando a Kelly, aluna de Matemática da UNIVILLE, assisti a váias palestas, mas a que mais me inteessou, paa espanto da Kelly e de suas colegas, foi a palestas do Pofesso Alexande Baaviea, tendo como título O Jogo do esta um num tabuleio infinito. A idéia do pof. Alexande, além de apesenta o cuioso poblema, ea da uma idéia da demonstação de impossibilidade: O fato de tentamos faze um pocesso váias vezes, sem sucesso, só nos dá uma maio indicação de que povavelmente este pocesso seja impossível, mas não o pova. Depois da palesta, completei todos os cálculos de todos os casos e toquei s com o pofesso Alexande sobe o poblema. Ele achou inteessante as minhas agumentações no sentido de esponde a pegunta consideada po ele, ainda em abeto: Patindo de um tabuleio infinito totalmente peenchido abaixo de ceta linha, é possível subi cinco linhas com movimentos do jogo esta-um?.. O jogo padão conhecido. O objetivo do jogo esta-um é deixa apenas um pino no tabuleio. Ve figua 1. i. Paa elimina um pino, você pecisa "pula" sobe ele, como no jogo de Damas. ii. Você ganha o jogo quando esta apenas um pino. iii. Pode have outas fomas de tabuleio além da tadicional cuz: flecha, piâmide... Figua 1: Tabuleio padão do jogo esta-um. 1

2 3. Nosso jogo No nosso caso, tataemos de um tabuleio infinito, com os fuos em pontos (x,y) Z² de coodenadas de inteias. O nosso jogo começa com pinos colocados em todos os pontos P(x,y) com y 0 e só nestes (ve Figua ), ou seja começaemos com pinos na egião I (inicial / infeio) com I = { (x,y) Z², y 0 } Figua : Tabuleio infinito do jogo esta-um. Apesentaemos exemplos de movimentos que levem algum pino nas altuas y = 1, y =, y = 3 e y = 4. Ve figuas 3, 4, 5 e 6. povaemos a impossibilidade de atingi a altua y = 6; vamos tenta convence o leito da impossibilidade de se atingi a altua y = Um pouco de bincadeia Paa atingi a altua y = 1, fazemos o movimento seguinte: ou Figua 3: Movimento paa atingi o nível y = 1.

3 Paa atingi a altua y = : ou Figua 4: Movimentos paa atingi o nível y =. Paa atingi a altua y = 3: ou Figua 5: Movimentos paa atingi o nível y = 3. Paa atingi a altua y = 4 ou Figua 6: Movimentos paa atingi o nível y = 4. 3

4 Analisando as figuas 3, 4, 5 e 6, pecebemos como cesce ápido o númeo de buacos à medida que subimos os níveis do tabuleio. 5. Um pouco de Matemática Paa povamos que a altua y = 6 é inatingível, começaemos po defini o conjunto P dos pontos com pinos e o conjunto B dos pontos com buacos. Seja P = { (x,y) Z² / algum pino está colocado em (x,y) } Seja B = Z² - P A pincipal feamenta que utilizaemos é a função E: Z² R + dada a segui. Ela pode se entendida como a enegia de cada configuação (foto) do tabuleio. Paa cada ponto (x,y), definimos 0 se ( x, y ) B E(x,y) = paa algum > 0, eal, devidamente deteminado. x y se ( x, y ) P Paa cada egião R de Z², definimos E(R) = E ( x,y ) R ( x,y ) 1+ Lema 1: Paa cada (0, 1), temos que E(I) =. ( 1 ) Lema : Paa algum (0, 1) devidamente deteminado, nenhum dos movimentos do jogo fazem E aumenta. Esceveemos E + (x,y) paa significa a enegia do ponto (x,y) ocupado po um pino. Teoema: Paa (0, 1) deteminado pelo Lema, temos que E + (0,6) > E + (0,5) = E(I). Cooláio: É impossível atingi a altua y = 6. Demonstação: Sem pede a genealidade, podemos considea x = 0 a coluna vetical do tabuleio onde supostamente teíamos atingido a altua y = 6. Agoa, o cooláio segue imediatamente do Teoema e do Lema Demonstação do Lema 1: Podemos ve a configuação inicial I, como um conjunto de linhas Y k, ou seja: I = U k=0 Y, com Y k = { (x,-k) / x Z} k Então, E(I) = k=0 E (Y k ). Como E(Y k ) = E ( m, k ) = E(0,-k) + m= m= 1 E ( m, k ), temos que 4

5 E(Y k ) = k + m +k = k + k m = k (1+ m=1 m=1 1 ) = k 1+ 1 Potanto, E(I) = E (Y k ) = k=0 k=0 1+ Ou seja, E(I) = ( 1 ) k = 1 1 k=0 k = , Demonstação do Lema : Vamos analisa apenas a egião R afetada pelo movimento e esceve R a e R d paa significa a configuação de R antes e depois do movimento. Usaemos a notação X + e X - paa significa as sub-egiões do plano fomadas pelos pontos (x,y) com x > 0 e x < 0 espectivamente. Caso a: Movimentos hoizontais paa dieita, sem passa paa X +. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na Figua 7. Figua 7: Movimentos paa dieita, sem passa paa X +. Antes, E(R a ) = x- -y + x-1 -y Depois, E(R d ) = x -y Como x, x-1 e x- são todos não positivos, temos: Antes, E(R a ) = -x+-y + -x+1-y Depois, E(R d ) = -x-y Podemos esceve estas equações como: Antes, E(R a ) = -x-y (²+ ) Depois, E(R d ) = -x-y (1) Agoa, escolhendo que satisfaça a equação: temos que ² + = 1, (antes) E(R a ) = E(R d )(depois). Vale lemba que aqui escolhido é exatamente o famoso númeo da azão áuea: 5 1 = ~ 0, 618!!! Caso b: Movimentos hoizontais paa esqueda, sem passa paa X -. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na Figua 8. Figua 8: Movimentos paa esqueda, sem passa paa X -. 5

6 Depois, E(R d ) = x- -y Antes, E(R a ) = x-1 -y + x -y Como x, x-1 e x- são todos não negativos, temos: Depois, E(R d ) = x--y Antes, E(R a ) = x-1-y + x-y Podemos esceve estas equações como: Depois, E(R d ) = x-y ( - ) Antes, E(R a ) = x-y ( -1 +1) Com o mesmo valo de da azão áuea: temos que = + ² = + 1, (depois) E(R d ) = E(R a )(antes). Caso c: Movimentos veticais paa cima. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 9. Depois, E(R d ) = x -(y+) = x -y ( - ) Antes, E(R a ) = x -(y+1) + x -y = x -y ( -1 +1) Com o mesmo valo de da azão áuea: Figua 9: Movimentos paa cima. temos que = + ² = + 1, (depois) E(R d ) = E(R a )(antes). Estes são os casos em que E se mantém quando fazemos um destes movimentos: a) paa dieita, sem passa paa X -. b) paa esqueda, sem passa paa X +. c) paa cima Agoa, veemos os casos em que E diminui. Caso d: Movimentos hoizontais paa dieita, foa de X -. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 10. Figua 10: Movimentos paa dieita, foa de X -. 6

7 Antes, E(R a ) = x- -y + x-1 -y Depois, E(R d ) = x -y Como x, x-1 e x- são todos não negativos, temos: Antes, E(R a ) = x--y + x-1-y Depois, E(R d ) = x-y Podemos esceve estas equações como: Com o mesmo valo de da azão áuea: Antes, E(R a ) = x-y ( ) Depois, E(R d ) = x-y (1) uma vez que 1 + > 1 = ². Então, > 1, pois 1 + > ², (antes) E(R a ) > E(R d )(depois). Caso e: Movimentos hoizontais paa esqueda, foa de X +. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 11. Figua 11: Movimentos paa essqueda, foa de X +. Depois, E(R d ) = x- -y Antes, E(R a ) = x-1 -y + x -y Como x, x-1 e x- são todos não positivos, temos: Depois, E(R d ) = -x+-y Antes, E(R a ) = -x+1-y + -x-y Podemos esceve estas equações como: Depois, E(R d ) = -x-y ( ) Antes, E(R a ) = -x-y (+1) Com o mesmo valo de da azão áuea: Uma vez que ² = 1 ² < + 1, Então, (depois) E(R d ) < E(R a )(antes). Caso f: Movimentos hoizontais paa dieita, a pati de x = -1. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 1. Figua 1: Movimentos paa dieita a pati de x = -1. 7

8 Antes, E(R a ) = -1 -y + 0 -y Depois, E(R d ) = 1 -y Podemos esceve estas equações como: Antes, E(R a ) = -y (+1) Depois, E(R d ) = -y () Independente de, Então, + 1 >. (antes) E(R a ) > E(R d )(depois). Caso g: Movimentos hoizontais paa esqueda, a pati de x = 1. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 13. Figua 13: Movimentos paa esqueda a pati de x = -1. Depois, E(R d ) = -1 -y Antes, E(R a ) = 0 -y + 1 -y Podemos esceve estas equações como: Depois, E(R d ) = -y () Antes, E(R a ) = -y (1+) Independente de, Então, < 1 +, (depois) E(R d ) < E(R a )(antes). Caso h: Movimentos veticais paa baixo. Alteações apenas da pate (R) da configuação do tabuleio mostada na figua 14. Antes, E(R a ) = x -(y+) + x -(y+1) = x -y ( ) Depois, E(R d ) = x -y = x -y (1) Com o mesmo valo de da azão áuea: Figua 14: Movimentos paa baixo. uma vez que 1 + > 1 = ². Então, temos que >1, pois 1 + > ², (antes) E(R a ) > E(R d ) (depois) 8

9 Demonstação do Teoema: Como < 1 é positivo, temos que E + (0,6)= 0-6 = -6-5 = E + (0,5). Agoa, lembando que ² = 1, temos que 1 = + ², ou 1 = 1+. Então, E + 1 (0,5) = 1 5 = ( 1 )²= (1+)( 1 1 )²= 1+ ( 1 ) = E(I) 6. E a altua y = 5?: Um esumo dos movimentos que matem a enegia E e dos que diminuem E podem se vistos na Figua 15. Este esumo nos ajuda a tenta esponde a pincipal pegunta feita na intodução. Figua 15: Movimentos do jogo e espectivas alteações de Enegia. Se atingimos a altua y = 5, sem pede a genealidade, podemos supo que o seja no ponto (0,5). Com isto, como E + (0,5) = E(I), só seá possível chega na altua y = 5 se apenas fizemos movimento mantém E, "eliminando" TODAS as peças e estando apenas a peça na posição (0,5). Imediatamente antes do último movimento, estaiam dois pinos nas posições (0,3) e (0,4). Como cada movimento elimina uma peça, deveíamos te infinitos movimentos paa chegamos na configuação acima descita. Isto é impossível. Respondemos então a pincipal pegunta feita no final da intodução. 7. Consideações Supondo que pudéssemos faze os movimentos m(n) numa velocidade v(n) cada vez maio, como, po exemplo, v(n) = t.k 1-n, com t fixo equivalente ao tempo necessáio paa o pimeio movimento kt e k > 1. Assim, podeíamos consegui todos estes movimentos no tempo k 1 finito. 9

10 Pegunta: Seia possível, então, exibi uma seqüência infinitas de movimentos que culminaia com a configuação acima descita, neste tempo? Refeências: Apesentação da palesta O Jogo do esta um num tabuleio infinito pelo do Pofesso Alexande Baaviea, no EREMAT em Canoas - RS (visitado 1/junho/009) 10