CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO

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1 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 4 CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO 4.1 INTRODUÇÃO No capítulo anteio foi visto como detemina a posição e a oientação do ógão teminal em temos das vaiáveis das juntas. No pesente capítulo seá estudado como esolve o poblema inveso, ou seja, acha as vaiáveis das juntas em temos da posição e oientação do ógão teminal: x 0, y 0, z 0 Cinemática ângulos do sistema do OT c/ θ i, i = 1,,..., 6 Invesa sistema da base de Posição O poblema da cinemática invesa é, em geal, mais difícil de esolve, em foma fechada. Como exemplo, considee-se um manipulado de Stanfod. A solução do poblema da cinemática dieta de posição (confome solicitado no poblema 3. do capítulo 3) é dada pelo conjunto de 1 equações com 6 incógnitas (4.1.1) onde os membos da dieita são os elementos da matiz que fonece a posição e a oientação do ógão teminal:

2 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 43 (4.1.) Paa acha as vaiáveis das juntas θ 1, θ, d 3, θ 4, θ 5 e θ 6, deve-se esolve o sistema (4.1.1), o que é bastante difícil de consegui em foma fechada, pois se tata de um sistema altamente não-linea. Além disso, enquanto a cinemática dieta tem sempe uma única solução, a cinemática invesa pode te ou não solução (p. ex., quando a posição desejada cai foa do volume de tabalho) e, no caso de existi solução, pode a mesma se ou não única. Paa contona o poblema deve-se, então, desenvolve técnicas sistemáticas eficientes que exploem a estutua cinemática paticula do manipulado. Seá consideado, daqui em diante, que a matiz homogênea dada pela eq. (4.1.) coesponde a uma configuação no inteio do volume de tabalho do manipulado, o que gaante a existência de pelo menos uma solução. 4. DESACOPLAMENTO CINEMÁTICO Felizmente, paa manipuladoes com seis juntas, nos quais os eixos das tês últimas juntas se inteceptam em um ponto (como no caso do manipulado de Stanfod acima), é possível desacopla o poblema da cinemática invesa em dois poblemas mais simples, conhecidos po cinemática invesa de posição e cinemática invesa de oientação, espectivamente. Ou seja, paa um manipulado com seis gaus de libedade munido de um punho esféico, pode-se inicialmente acha a posição do cento do punho (inteseção dos tês eixos do punho esféico) e, após, enconta a oientação do punho. Considee-se, pois, que existam exatamente seis gaus de libedade e que os eixos das últimas tês juntas, os eixos z 4, z 5 e z 6, se inteceptem no ponto O (cento do punho), no qual se localizam as oigens O 4 e O 5 e, na maioia das vezes, emboa não necessaiamente, a oigem O 3, confome fig A posição do cento do punho é função apenas das tês pimeias coodenadas, não dependendo das tês últimas coodenadas. A oigem O 6 do sistema do ógão teminal é obtida po uma tanslação d 6 ao longo do eixo z 5, a pati do cento do punho O. Chamando p c o veto que vai da oigem do sistema da base O 0 x 0 y 0 z 0 ao cento do punho, tem-se (ve fig. 4.1): ou d = p c + d 6 Rk p c = d - d 6 Rk (4..1)

3 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 44 Fig. 4.1 Desacoplamento cinemático onde a oientação do sistema do ógão teminal é dada pela matiz R e a posição do mesmo é dada pelo veto d. Em foma expandida, pode-se esceve a eq. (4..1) como (4..) onde 13, 3 e 33 são elementos de R, a qual é conhecida (dada). Assim, usando a eq. (4..), pode-se calcula as coodenadas do cento do punho e, depois, acha as tês pimeias vaiáveis das juntas, q 1, q e q 3, atavés de elações etiadas da geometia do manipulado, confome seá ilustado mais adiante. Podese, após, detemina a oientação do ógão teminal em elação ao sistema O 3 x 3 y 3 z 3 (extemidade do punho) a pati da expessão R = R 3 0 R 6 3 (4..3) ou R 6 3 = (R 3 0) -1 R R 6 3 = (R 3 0) T R (4..4) pois R 3 0 é otogonal. As tês últimas vaiáveis das juntas, q 4, q 5 e q 6, (que, no caso do punho esféico, seão sempe θ 4, θ 5 e θ 6 ), são então encontadas como um conjunto de ângulos de Eule coespondentes a R 6 3. Note-se que o membo dieito da eq. (4..4) é conhecido, pois R é dada e R 3 0 pode se calculada, já que as tês pimeias vaiáveis das juntas, q 1, q e q 3, são conhecidas, a pati da geometia do manipulado. A seção seguinte ilusta o pocedimento.

4 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO. ENFOQUE GEOMÉTRICO Nesta seção seá apesentado apenas o enfoque geomético paa a cinemática invesa de posição po duas azões. Pimeio, poque as configuações cinemáticas dos obôs industiais são elativamente simples, confome foi visto no capítulo 1. Segundo, poque existem poucas técnicas disponíveis paa tata o poblema geal da cinemática invesa de configuações quaisque. A maioia dos obôs industiais é composta de seis gaus de libedade, com tês vaiáveis de juntas no tonco e tês no punho, em geal esféico. Além disso, confome já foi visto anteiomente, muitos dos paâmetos DH a i e d i são nulos, enquanto que os paâmetos α i são 0 ou ± π/. Nesses casos, o desacoplamento é bastante facilitado, confome seá ilustado a segui. Seja o manipulado aticulado da fig. 4., onde p x, p y e p z, já foam obtidos atavés da eq. (4..): Fig. 4. Manipulado aticulado O veto p c, que liga O 0 a O (não mostado na figua), apaece pojetado (veto ) sobe o plano hoizontal que passa pela oigem do sistema O 1 x 1 y 1 z 1 (note-se que é a mesma oigem do sistema O 0 x 0 y 0 z 0 ). Da figua: θ = actg p y 1 px Obseve-se que existe uma segunda solução válida paa θ 1, que é (4.3.1) θ1 = actg p y + π p x (4.3.) As soluções paa θ 1, dadas pelas eqs. (4.3.1) e (4.3.), não são válidas paa p x = p y = 0 poque, nesse caso, actg p p y x é indeteminado e o manipulado enconta-se em uma posição singula, na qual o cento do punho está sobe o eixo z 0 e, potanto, qualque valo de θ 1 satisfaz esta configuação, existindo, pois, uma infinidade de soluções, confome ilusta a fig. 4.3:

5 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 46 Fig. 4.3 Configuação singula Paa sana esse poblema, pode-se intoduzi uma excenticidade no ombo, d 1, como mosta a fig Nesse caso, o cento do punho não caiá sobe o eixo z 0, havendo então somente duas soluções paa θ 1. Fig. 4.4 Manipulado aticulado com excenticidade no ombo Tais soluções coespondem às chamadas configuações baço esquedo e baço dieito, confome mostam as vistas supeioes das fig. 4.5 e 4.6, espectivamente: Fig. 4.5 Configuação baço esquedo

6 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 47 Fig. 4.6 Configuação baço dieito Da fig. 4.5 tia-se a pimeia solução, paa a configuação baço esquedo: onde θ 1 = φ - α (4.3.3) p φ = actg p y x α = actg d 1 d 1 = actg p x d 1 + p d1 y A segunda solução, obtida a pati da configuação baço dieito da fig. 4.6 é dada po py d1 θ = actg + actg (4.3.4) 1 px p + p d1 Paa acha os ângulos θ e θ 3, dado θ 1, considee-se o plano fomado pelo baço e pelo antebaço, confome fig. 4.7: x y Fig. 4.7 Plano vetical fomado pelo baço e antebaço

7 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 48 Tendo em vista que o movimento do baço e do antebaço é plana, a solução é análoga à desenvolvida paa o manipulado plana do cap. 1. Assim, apoveitando aqueles esultados (eqs. (1.7.4) a (1.7.7)) e fazendo as devidas adaptações, pode-se esceve (compaa as figs e 4.7): onde d 1 aqui é o paâmeto DH e não a excenticidade ecém descita. (4.3.5) Potanto, θ 3 é dado po θ = ± actg 3 1- D D (4.3.6) onde as duas soluções paa θ 3 coespondem às posições cotovelo acima e cotovelo abaixo, espectivamente. 1 Analogamente, θ é dado po θ = actg s actg a S3 = a + a C3 actg p 3 z d 3 3 p + p x y actg a S3 3 a + a C3 3 3 (4.3.7) Um exemplo de manipulado aticulado com excenticidade é o obô PUMA mostado na fig Existem quato soluções, confome ilusta a figua. Seá visto mais adiante que existem duas soluções paa a oientação do punho esféico, dando, assim, um total de oito soluções paa a cinemática invesa desse tipo de manipulado.

8 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 49 Fig. 4.8 Quato soluções da cinemática invesa de posição do manipulado PUMA 4.4 CINEMÁTICA INVERSA DE ORIENTAÇÃO No item anteio foi utilizado o enfoque geomético paa a obtenção das tês pimeias vaiáveis das juntas, coespondentes a uma dada posição do cento do punho. Resta, agoa, esolve o poblema da cinemática invesa de oientação, ou seja, enconta os valoes das tês últimas vaiáveis das juntas, coespondentes a uma dada oientação do ógão teminal, com elação ao sistema O 3 x 3 y 3 z 3. Paa um punho esféico, isso significa acha um conjunto de ângulos de Eule coespondentes a uma dada matiz de otação R, confome exposto no capítulo 3.

9 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 50 Seja dada a matiz de oientação U = u ij, obtida a pati do membo dieito da eq. (4..4) e seja R 6 3 a matiz de tansfomação, obtida atavés da eq. (.4.1). O poblema consiste, então, em enconta os ângulos de Eule φ, θ e ψ, que satisfazem a equação maticial Dois casos podem se apesenta. 1 o caso: u 13 e u 3 não são simultaneamente nulos. Então, da eq. (4.4.1), vemos que Cφ Sθ = u 13 0 Sφ Sθ = u 3 0 de onde se conclui que Sθ 0, logo Sθ 0 u 31 0 u 3 0 u 33 = Cθ ± 1 (4.4.1) Logo, podemos esceve θ = actg (Sθ/Cθ), ou seja, θ = actg 1- u u (4.4.) ou θ = actg 1- u u (4.4.3) Se fo escolhido o pimeio valo paa θ, então Sθ > 0 e a pimeia solução é dada po φ = actg u u13 3 (4.4.4) e ψ = actg u -u31 3 (4.4.5) Po outo lado, se fo escolhido o segundo valo paa θ, então Sθ < 0 e a segunda solução é dada po φ = actg -u 3 (4.4.6) -u13 e ψ = actg -u u31 3 (4.4.7)

10 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 51 o caso: u 13 e u 3 são simultaneamente nulos. Se u 13 = u 3 = 0, então, pela eq. (4.4.1), Sθ = 0 e a matiz de otação U passa a te a foma onde u 33 = ± 1 pois Cθ = ± (1 - S θ) 1/ = ± 1. A segui, seão examinadas cada uma das possibilidades paa u 33. Cθ = 1 (1) Se u 33 = + 1 θ = 0 e a eq. (4.4.1) se tona Sθ = 0 Assim, a soma φ + ψ pode se deteminada como φ + ψ = actg u u 1 = actg -u u 1 (4.4.8) Como, nesse caso, apenas a soma φ + ψ pode se deteminada, existe um númeo infinito de soluções. Pode-se, po convenção, toma φ = 0 e acha ψ atavés da eq. (4.4.8). Cθ = - 1 () Se u 33 = - 1 θ = π e a eq. (4.4.1) se tona Sθ = 0 Assim, a difeença φ - ψ pode se deteminada como φ - ψ = actg -u -u 1 11 = actg -u -u 1 (4.4.9) Como, nesse caso, apenas a difeença φ - ψ pode se deteminada, existe um númeo infinito de soluções. Podemos, po convenção, toma φ = 0 e acha ψ atavés da eq. (4.4.9).

11 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 5 Exemplo ilustativo: manipulado aticulado com punho esféico. A cinemática invesa de posição já foi esolvida, confome eqs. (4.3.1) a (4.3.7). Paa esolve a cinemática invesa de oientação, podemos inicia deteminando R 3 0, pois R 3 0 = A 1 0 A 1 A 3 onde as matizes A i i-1 são dadas pela eq. (3.5.). Fazendo tal cálculo, chega-se facilmente a (a) Po outo lado, a matiz R 6 3, efeente ao punho esféico, já foi fonecida pela eq. (3.8.1), aqui epetida: Potanto, dada a matiz de otação total R: R = (b) (c) tata-se de esolve R 6 3 = (R 3 0) T R = U (d) Substituindo as eqs. (a), (b) e (c) na eq. (d), obtemos uma equação maticial da qual tiamos as seguintes equações algébicas elevantes paa a aplicação do pocedimento exposto anteiomente: - elementos (1,3): C4S5 = C1C S1C3 3 - S3 33 = u 13 - elementos (,3): S4S5 = -C1S S1S3 3 - C3 33 = u 3 - elementos (3,3): C5 = -S C caso: u 13 e u 3 não são simultaneamente nulos C4S5 0 Então: S5 0 S4S5 0

12 Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 53 e pode-se usa as eqs. (4.4.) a (4.4.7) paa obte os ângulos θ 5 (ângulo de Eule θ), θ 4 (ângulo de Eule φ) e θ 6 (ângulo de Eule ψ). 0 caso: u 13 e u 3 são simultaneamente nulos C4S5 = 0 Então: S5 = 0 eixos das juntas 3 e 5 são colineaes e somente S4S5 = 0 a soma θ 4 + θ 6 pode se deteminada. Uma solução é escolhe θ 4 abitaiamente e então detemina θ 6 usando a eq. (4.4.8) ou a eq. (4.4.9). PROBLEMAS 4.1 Resolve o poblema da cinemática invesa de posição e de oientação de um obô catesiano dotado de punho esféico, cujas pimeias tês coodenadas das juntas são d1, d e d3. 4. Idem 4.1, paa um obô cilíndico RPP com punho esféico. 4.3 Completa o exemplo ilustativo do item 4.4, detalhando todas as passagens matemáticas. 4.4 De posse de todas as expessões paa a cinemática invesa do manipulado aticulado, obtidas no poblema anteio, esceve um pogama de computado paa esolve o poblema completo da cinemática invesa. Inclui pocedimentos paa identifica configuações singulaes e escolhe uma solução paticula quando a configuação é singula. Testa o pogama paa váios casos especiais (incluindo configuações singulaes) de fácil veificação.