CAPÍTULO 02 MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS

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1 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 8 CAPÍTULO 02 MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2. INTRODUÇÃO Paa o desenvolvimento das equações cinemáticas do maniulado há necessidade de estabelece váios sistemas de coodenadas aa eesenta as osições e oientações de coos ígidos. Também é eciso conhece as tansfomações de coodenadas ente esses sistemas, de modo a ossibilita que vetoes eesentativos de osições, velocidades e aceleações, dados em um deteminado sistema de coodenadas, ossam se eesentados em outos sistemas de coodenadas. Neste caítulo seão consideadas as oeações de otação e de tanslação de um sistema em elação a um outo sistema e aesentada a noção de tansfomação homogênea, muito usuais em Robótica. 2.2 ROTAÇÕES Seja um onto genéico P, do esaço 3D. Deseja-se elaciona as coodenadas de P, dadas no sistema móvel Ox y z, com as coodenadas do mesmo onto P, em elação ao sistema fixo Ox 0 y 0 z 0, confome fig. 2.: Fig. 2. Relação ente Sistemas de Coodenadas

2 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 9 Sejam i 0, j 0 e k 0 os vetoes unitáios do sistema fixo Ox 0 y 0 z 0 e sejam i, j e k os vetoes unitáios do sistema móvel Ox y z. Então, o onto P ode se eesentado nos dois sistemas: - sistema Ox 0 y 0 z 0 : 0 = 0x i 0 + 0y j 0 + k 0 (2.2.) - sistema Ox y z : = x i + y j + z k (2.2.2) Como 0 e eesentam, na ealidade, o mesmo onto P, ode-se esceve: Levando em conta a eq. (2.2.2): 0x = 0 i 0 = i 0 0y = 0 j 0 = j 0 = 0 k 0 = k 0 ou, em foma comacta, como 0x = x i i 0 + y j i 0 + z k i 0 0y = x i j 0 + y j j 0 + z k j 0 = x i k 0 + y j k 0 + z k k 0 0 = R 0 (2.2.3) onde a matiz 3 x 3 R 0 i. i0 j. i0 k. i0 i j j j 0 0 k j =... 0 i. k0 j. k0 k. k 0 (2.2.4) a qual emite a tansfomação do veto do sistema móvel Ox y z aa o sistema fixo Ox 0 y 0 z 0 é denominada matiz de otação. Obseve-se que os seus vetoes colunas são os cossenos dietoes dos eixos do sistema móvel com elação aos eixos do sistema fixo. Pémultilicando a eq. (2.2.3) o (R 0) -, chega-se a = (R 0) - 0 (2.2.5) que: onde Po outo lado, seguindo o mesmo aciocínio usado aa a obtenção da eq. (2.2.3), ode-se mosta = R 0 0 (2.2.6) i0.i j0.i k 0.i 0 = R i0. j j. j k. 0 0 j i0.k j.k k 0.k 0 (2.2.7)

3 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 20 é a matiz de otação que emite a tansfomação do veto 0 do sistema fixo Ox 0 y 0 z 0 aa o sistema móvel Ox y z. Obseve-se que os seus vetoes colunas são os cossenos dietoes dos eixos do sistema fixo com elação aos eixos do sistema móvel. Comaando as eqs. (2.2.4), (2.2.5), (2.2.6) e (2.2.7), conclui-se que R 0 = (R 0) - = (R 0) T (2.2.8) isto é, a matiz invesa da matiz de otação é igual a sua tansosta, logo a matiz de otação é otogonal. Resumindo: dado um veto no sistema móvel Ox y z, aa levá-lo aa o sistema fixo Ox 0 y 0 z 0, deve-se alica a eq. (2.2.3), onde a matiz de otação é dada ela eq. (2.2.4); dado um veto 0 no sistema fixo Ox 0 y 0 z 0, aa levá-lo aa o sistema móvel Ox y z, deve-se alica a eq. (2.2.6), onde a matiz de otação é dada ela eq. (2.2.8). Exemlo Ilustativo (a) Suondo que o sistema móvel Ox y z gie de um ângulo θ em tono do eixo z 0, acha a matiz de otação; (b) Idem, se o gio fo em tono do eixo y 0 ; (c) Idem, se o gio fo em tono do eixo x 0. Solução (a) Adotando a notação R 0 = R z,θ e alicando a eq. (2.2.4), chega-se à matiz de otação dada o R z, θ = cosθ cos( θ + π / 2) cos π / 2 cos( π / 2 - θ) cosθ cos π / 2 cos π / 2 cos π / 2 cos0 cosθ -senθ 0 Logo: R z, θ = senθ cosθ (b) Analogamente, chega-se a cosθ 0 senθ R y, θ = 0 0 -senθ 0 cosθ (2.2.9) (2.2.0)

4 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 2 (c) Analogamente, chega-se a 0 0 θ 0 cosθ -senθ 0 senθ cosθ R x, = (2.2.) As tês matizes acima constituem as chamadas matizes básicas de otação. 2.3 COMPOSIÇÃO DE ROTAÇÕES Suonha-se, agoa, a adição de um outo sistema móvel de coodenadas, O 2 x 2 y 2 z 2, elacionado aos sistemas O 0 x 0 y 0 z 0 (fixo) e O x y z (móvel) o tansfomações otacionais. Um dado onto P ode então se eesentado de tês maneias: Substituindo a eq. (2.3.3) na eq. (2.3.): (2.3.) (2.3.2) (2.3.3) Comaando as eqs. (2.3.2) e (2.3.4), tem-se (2.3.4) (2.3.5) Logo, aa tansfoma as coodenadas de um onto P do sistema móvel O 2 x 2 y 2 z 2 aa o sistema O 0 x 0 y 0 z 0 (fixo), é necessáio, imeio, tansfomá-lo aa o sistema móvel O x y z, atavés da matiz R 2 e, aós, aa o sistema O 0 x 0 y 0 z 0 (fixo), usando a matiz R 0. Genealizando aa n sistemas: R n 0 = R 0R 2... R n n- (2.3.6) Obsevação imotante: a eq. (2.3.6) é válida quando as otações são feitas sucessivamente em elação a sistemas que estão mudando de osição, denominados sistemas coentes, como foi o caso consideado aqui. Entetanto, quando os sistemas não mudam de osição (os chamados sistemas fixos), ode-se mosta que a odem das matizes das eqs. acima deve se invetida, ou seja: R 2 0 = R 2 R 0 (2.3.7) R n 0 = R n n-... R 2 R 0 (2.3.8)

5 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 22 Exemlo ilustativo (a) Um sistema de coodenadas sofe uma otação φ em tono do eixo y e, aós, uma otação θ em tono do eixo z, já na nova osição (eixo coente). Acha a matiz de otação; (b) Idem (a), oém as otações se dão em odem invesa; (c) Comaa as matizes obtidas em (a) e em (b). Conclui. Solução (a) Usando a notação cosφ = Cφ, senφ = Sφ, etc., tem-se: = (b) = (c) Vê-se que R R', o que ea de se esea, ois o oduto maticial não é comutativo. Fisicamente, significa que a odem das otações é imotante. 2.4 OUTRAS REPRESENTAÇÕES DE ROTAÇÕES Confome foi visto anteiomente, a matiz de otação é comosta o nove elementos. Tais elementos não são quantidades indeendentes, ois, se um coo ígido ossui no máximo tês gaus de libedade aa otações, são necessáias e suficientes aenas tês quantidades indeendentes aa

6 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 23 esecifica a oientação de um sistema em elação ao outo. Seão aesentadas, neste item, duas eesentações de otações, utilizando aenas tês quantidades indeendentes Reesentação o Ângulos de Eule Considee-se a fig. 2.2, onde aaecem os sistemas fixo O 0 x 0 y 0 z 0 e móvel Ox y z. Pode-se esecifica a oientação do sistema móvel (já otado) em elação ao sistema fixo elos chamados Ângulos de Eule (φ, θ, ψ), obtidos atavés de tês otações sucessivas: () otação φ em tono de z 0 (2) otação θ em tono de y' (3) otação ψ em tono de z'' Fig. 2.2 Reesentação o Ângulos de Eule Como são otações em tono de eixos coentes: (2.4.)

7 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas Reesentação o Ângulos de Navegação Roll-Pitch-Yaw (RPY) Uma outa maneia de eesenta otações é atavés de tês otações sucessivas em tono dos eixos de um mesmo sistema fixo, confome fig. 2.3, na seguinte seqüência: () otação ψ (Yaw = Guiagem) em tono de x 0 (2) otação θ (Pitch = Afagem) em tono de y 0 (3) otação φ (Roll = Rolamento) em tono de z 0 Fig. 2.3 Reesentação o Ângulos de Navegação Roll-Pitch-Yaw Como as otações são feitas em tono de eixos fixos: (2.4.2) Na ealidade, a eesentação RPY constitui um caso aticula da eesentação o Ângulos de Eule e assim é tatada o váios autoes. 2.5 TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Até agoa, foam consideadas aenas otações de um sistema de coodenadas em elação a um outo. Neste item, seão intoduzidos, também, os movimentos de tanslação.

8 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 25 Seja um sistema móvel O x y z, obtido o tanslação ua a ati do sistema fixo O 0 x 0 y 0 z 0, confome fig. 2.4: Fig. 2.4 Tanslação ua Como se obseva, a oigem O do sistema móvel foi deslocada de uma distância eesentada elo veto d 0. Tal veto fonece aenas a osição do sistema móvel em elação ao sistema fixo, nada indicando quanto a sua oientação, a qual, confome já foi visto, é dada ela matiz de otação R 0. Consideemos, agoa, a combinação de tanslação com otação. Nesse caso, um onto P do esaço 3D é eesentado, no sistema fixo O 0 x 0 y 0 z 0, ela soma vetoial do veto osição da oigem do sistema móvel, d 0, com o veto, em elação ao sistema móvel O x y z : ou, desenvolvendo: 0x 0y = x y z d + d d 0x 0y (2.5.) onde os elementos ij são os elementos da matiz de otação, dada elos Ângulos de Eule. Uma outa foma de aesenta a equação acima, com aenas uma multilicação maticial, é: 0x 0y = d d d 0x 0y x y z Pode-se, ainda, coloca a exessão acima em uma foma mais conveniente, de modo que a matiz seja quadada 4 x 4: 0x 2 3 d0x x 0y = d0y y d z 0 0 0

9 Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 26 PROBLEMAS 2. Deduzi a eq. (2.2.6). 2.2 Um onto P no esaço 3D tem coodenadas (,, 0) em elação ao sistema fixo Ox 0 y 0 z 0. Acha as suas coodenadas em elação ao sistema móvel Ox y z, de mesma oigem e giado de π/2, em elação ao eixo y Pova que a matiz de otação básica R z,θ ossui as seguintes oiedades: (a) R z,0 = I (b) R z,θ R z,φ = R z,(θ+φ) (c) (R z,θ ) - = R z,-θ 2.4 Deduzi as eqs. (2.2.0) e (2.2.). 2.5 Se o sistema de coodenadas O x y z é obtido a ati do sistema de coodenadas fixo O 0 x 0 y 0 z 0 o uma otação de π/2 em tono do eixo x 0, seguida de uma otação de π/2 em tono do eixo y 0, acha a matiz de otação que eesenta a comosição de otações. 2.6 Suondo que sejam dados tês sistemas de coodenadas O x y z, O 2 x 2 y 2 z 2 e O 3 x 3 y 3 z 3 e suondo que R 2 = e que R 3 = acha R 3 2. Suo eixos coentes.