Cinemática de Mecanismos

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1 Cinemática de Mecanismos. nálise de Posição e Deslocamento Paulo Floes J.C. Pimenta Clao Univesidade do Minho Escola de Engenhaia Guimaães 007

2 ÍNDICE. nálise de Posição e Deslocamento..... Definição..... Deslocamento bsoluto..... Deslocamento elativo..... Métodos de nálise de Posição e Deslocamento Métodos nalíticos Métodos Gáficos nálise de Posição de Mecanismos Elementaes...7

3 . NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO The motions of men must be such as to suggest thei dignity o thei baseness. Leonado da Vinci.. DEFINIÇÃO posição efee-se ao local adquiido po um copo, ou um ponto mateial, após este te efectuado um dado deslocamento. O deslocamento, po sua vez, diz espeito à tajectóia contínua descita po um copo em movimento elativamente a um efeencial. No caso de movimentos planos, a posição de um ponto de um copo é definida pelas suas coodenadas catesianas, ao passo que o deslocamento é definido po uma expessão que é função do tempo. figua. mosta a posição e o deslocamento de um ponto de um copo, em que as coodenadas x P e y P epesentam a posição do ponto P paa o instante t, enquanto que a função d(t) epesenta o deslocamento ou tajectóia do ponto P ao longo do tempo. Y y P P P P d(t) x P X Figua. Posição e deslocamento de um ponto. tajectóia pode defini-se como sendo a linha descita po qualque ponto de um copo em movimento.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO

4 .. DESLOCMENTO SOLUTO O deslocamento absoluto de um ponto P pode se definido pela vaiação do vecto posição P paa P, como se ilusta na figua.. Y P P P P P Figua. Deslocamento absoluto de um ponto. Em notação vectoial o deslocamento do ponto P pode se expesso po, ou seja, P P + P X (.) P (.) Na figua. estão epesentadas duas posições de um copo ígido definido pela baa que une os pontos P e Q. O deslocamento ente estas duas posições pode se consideado como a tanslação de cada um dos pontos P e Q ou como a tanslação de um dos pontos, P ou Q, e a otação θ do conjunto, mas nunca dos tês paâmetos em simultâneo, uma vez que, paa um copo ígido, estas vaiáveis são dependentes. Com efeito, em notação vectoial tem-se que, P P P P P (tanslação) (.) Q (tanslação) (.) Q Q θ θ θ (otação) (.5) Y Q θ Q P P θ Figua. Deslocamento absoluto de um copo ígido. X CINEMÁTIC DE MECNISMOS

5 .. DESLOCMENTO ELTIVO figua. mosta a posição elativa ente os pontos e, a qual, em temos matemáticos, pode escita como, ou seja, + (.6) / / (.7) Y / Figua. Posição elativa ente dois pontos. Quando dois pontos e petencentes a um copo ígido descevem movimento de tanslação e, espectivamente, então é nula a vaiação da posição do ponto elativamente ao ponto. Esta situação deve-se ao facto de ambos os pontos petenceem ao mesmo copo ígido. figua.5 ilusta o deslocamento elativo de tanslação ente dois pontos de um mesmo copo ígido. X Y / / Figua.5 Deslocamento elativo de tanslação ente dois pontos que petencem ao mesmo copo ígido. Pelo que acima foi exposto obseva-se que, X e também que, (.8) (.9) / / / deve le-se como sendo a posição do ponto em elação ao ponto.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO

6 então, / 0 (.0) equação (.0) diz que é nula a vaiação da posição do ponto elativamente ao ponto, o que é de espea que aconteça, uma vez que ambos os pontos fazem pate do mesmo copo ígido. Deve nota-se que, contudo, no caso mais geal, é válida a seguinte elação geomética, + (.) / emboa, na situação epesentada na figua.5 o temo / seja nulo. Y / /, Figua.6 Deslocamento elativo de otação ente dois pontos que petencem ao mesmo copo ígido. figua.6. mosta o caso em que o ponto desceve movimento de otação em elação ao ponto. À semelhança da situação anteio, ambos os pontos petencem ao mesmo copo ígido. Neste caso, veifica-se que, e ainda que, (.) / / (.) / / / Nesta situação, obseva-se também que, em que é nulo o temo. + (.) / X Y / / / X Figua.7 Deslocamento elativo de tanslação e de otação ente dois pontos que petencem ao mesmo copo ígido. CINEMÁTIC DE MECNISMOS

7 Na figua.7 epesentam-se as tanslações e seguidas de uma otação. Neste caso, coexistem os movimentos de tanslação e de otação, veificando-se que, + (.5) / em que e / epesentam, espectivamente, as componentes de tanslação e de otação.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 5

8 .. MÉTODOS DE NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO São tês as pincipais metodologias que pemitem analisa e estuda a posição e o deslocamento nos mecanismos, a sabe: os métodos analíticos, os métodos gáficos e os métodos computacionais. Os métodos analíticos baseiam-se, essencialmente, na dedução de expessões analíticas que taduzem a posição e configuação geomética dos mecanismos. Paa geometias simples, e uma vez estabelecidas as equações dos deslocamentos dos váios copos que constituem os mecanismos, é exequível a análise paa um númeo elevado de posições intecalaes, atavés da utilização de pogamas infomáticos de cálculo automático, obtendo-se, deste modo, uma apoximação ao funcionamento do mecanismo em estudo. utilização dos métodos analíticos tona-se impescindível quando a análise de um mecanismo exige o estudo de váias fases do seu movimento. Estes métodos, paa além de seem mais pecisos e exactos que os métodos gáficos, apesentam ainda outa vantagem que se pende com o facto de que, uma vez conhecidas as expessões paa a posição de um deteminado elemento de um mecanismo, se possível estuda a influência dos váios paâmetos no movimento global poduzido, tais como, as dimensões das baas e o tipo accionamento. Este pocedimento é paticulamente elevante e útil na síntese de mecanismos. Os pincipais inconvenientes dos métodos analíticos têm a ve com a difícil detecção de eventuais eos e impossibilidade de visualização dos esultados obtidos em temos do movimento global do mecanismo. Os métodos gáficos baseiam-se na intepetação geomética do mecanismo em análise e na sua posteio esolução gáfica. Estes métodos, são bastante expeditos e suficientemente igoosos paa a maioia das aplicações coentes, mas apesentam como inconveniente o facto de seem válidos apenas e exclusivamente paa a posição em que são taçados. Os métodos gáficos são usados com alguma fequência uma vez que possibilitam a obseva a visualização do movimento do mecanismo em estudo. Estes métodos foam, pimeiamente, utilizados na análise estática de sistemas mecânicos e, posteiomente, na cinemática de mecanismos. De facto, os pimeios estudos de mecanismos baseavam-se neste métodos e utilizavam as técnicas e equipamentos tadicionais, o que tonava os esultados algo impecisos. Poém, o desenvolvimento de sistemas de desenho assistido po computado touxe, não só um aumento no igo do taçado, como também uma maio economia de tempo. Deve efei-se que uma das gandes vantagens dos sistemas de desenho assistido po computado consiste no facto de não necessitaem de um facto de escala, uma vez que o limite físico da áea de desenho é, teoicamente, infinito. Po outo lado, com a utilização destes sistemas auxiliaes de desenho minimizam-se os eos de execução e de leitua na análise gáfica. Com efeito, a gande utilidade dos métodos gáficos esume-se ao estudo de casos paticulaes, sendo, no entanto assaz tabalhosos e moosos na análise de mecanismos. Uma outa desvantagem da análise gáfica pende-se com a falta de exactidão. Po esta azão, neste tabalho, dá-se paticula atenção aos métodos analíticos, não deixando, todavia, de apesenta os métodos gáficos sempe que se entende opotuno e petinente. análise cinemática de mecanismos pode ainda se levada a cabo com o auxílio de pogamas computacionais especialmente desenvolvidos paa este popósito, os quais se baseiam em soluções obtidas po apoximações sucessivas. Uma vez que estas soluções esultam da aplicação de métodos numéicos, os esultados obtidos 6 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

9 são sempe apoximados, e cujo gau de apoximação e exactidão depende de váios factoes, tais como o método de integação, o intevalo de integação, ente outos. Intevalos de integação pequenos oiginam maio exactidão nos esultados, no entanto, pejudicam o tempo de pocessamento. Identificação do mecanismo Constução gáfica do mecanismo Definição das popiedades Pogama computacional nálise do mecanismo Visualização dos esultados Teste/afeiação dos esultados Não Sim Fim da análise Figua.8 Fluxogama básico que evidencia os váios passos a segui nos divesos pogamas computacionais dedicados à análise de mecanismos. Nos últimos anos, as aplicações infomáticas especificamente dedicadas ao estudo cinemático e dinâmico de mecanismos são uma ealidade no panoama industial mundial, com especial destaque nos sectoes da metalomecânica e da obótica. Estes pogamas pemitem ao pojectista simula (desenha, avalia e visualiza) o movimento de um dado mecanismo, sem necessidade de ecoe à constução de um potótipo físico. De facto, são inúmeas as vantagens ineentes à utilização destes pogamas, das quais se destacam a ciação de modelos vituais, a possibilidade de obseva a funcionalidade e opeabilidade dos componentes, a flexibilidade e Os métodos numéicos de uso coente são: o método de Eule mais simples e ápido e o método de Kutta-Meson mais exacto e mais lento.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 7

10 facilidade de pocessamento de infomação, a economia de mateiais, de tempo e, consequentemente, de dinheio, e o fácil conhecimento dos esfoços envolvidos no movimento dos mecanismos tendo em vista o posteio dimensionamento de seus componentes. Os passos a segui na análise de mecanismos não difeem muito de pogama paa pogama. ssim, desde a constução do modelo vitual até à visualização do movimento do mecanismo, podem esumi-se as seguintes etapas, - Defini a geometia de cada um dos elementos que compõem o mecanismo; - Caacteiza o tipo de ligação ente os váios elementos; - Intoduzi as caacteísticas físicas dos componentes; - Especifica os actuadoes e o tipo de geado de movimento; - nalisa o mecanismo (cinemática e/ou dinâmica); - Visualiza o movimento global do mecanismo. figua.8 apesenta os passos anteiomente apesentados sob a foma de um fluxogama. Obviamente que cada pogama computacional dedicado à análise de mecanismos contém as suas paticulaidades e especificidades que os caacteizam e difeenciam. 8 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

11 .5. MÉTODOS NLÍTICOS.5.. Método lgébico O método algébico consiste, essencialmente, na dedução de expessões analíticas que taduzem a posição de um deteminado copo ou ponto de um copo, em função da configuação geomética do mecanismo e do tipo de accionamento. Considee-se o mecanismo biela-manivela epesentado na figua.9, em elação ao qual se petende deduzi uma equação que expesse, em cada instante, a posição do pistão ou coediça, ou seja, a posição do ponto C. O ponto C epesenta o cento de massa ou cento de gavidade do pistão. No pesente estudo, considea-se que a manivela é o ógão moto e oda em tono do ponto com velocidade constante, ou seja, θ ω t. Os compimentos das baas,, e são epesentados po, e, espectivamente. Note-se que é vaiável com o tempo, enquanto que e são constantes. s posições angulaes das baas, e são, espectivamente, θ, θ e θ, em que, no pesente caso, θ é nulo, ao passo que θ e θ vaiam com o tempo. ω θ θ D C Figua.9 epesentação esquemática do mecanismo biela-manivela. tendendo à geometia da figua.9 pode esceve-se a seguinte expessão paa a posição do ponto C, C D + DC (.6) ou ainda, + (.7) cosθ cosθ Uma vez que o mecanismo biela-manivela tem apenas um gau de libedade, as vaiáveis θ e θ não são independentes, pelo que uma delas deve se expessa em função da outa. Com efeito, ainda da figua.9 obseva-se que, D (.8) senθ senθ equação (.8) não é mais do que a lei dos senos aplicada ao tiângulo C, a qual pode se eescita como, senθ (.9) senθ. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 9

12 Substituindo a equação (.9) na lei fundamental da tigonometia vem que, cosθ (.0) sen θ Então, intoduzindo, agoa, a equação (.0) em (.7) obtém-se uma expessão que taduz a posição do ponto C em função da posição angula da manivela e dos compimentos da manivela e da biela, (.) cosθ + sen θ Poém, como θ ω t, a equação (.) pode se eescita como, ω cosω t + sen t (.) Com efeito, a equação (.) pemite calcula, em cada instante, a posição do pistão em função das caacteísticas geométicas do mecanismo biela-manivela. Deste modo, as caacteísticas cinemáticas da velocidade e aceleação do pistão podem facilmente se obtidas po deivações sucessivas da equação (.) em odem ao tempo. No sentido de simplifica a obtenção destas deivadas pode efectua-se uma simplificação matemática conducente a uma solução mais simples, peceptível e ainda com suficiente exactidão. Com efeito, nos mecanismos biela-manivela de uso coente, o compimento da biela é, em geal, ceca de tês a quato vezes supeio ao da manivela, ou seja, (.) e, consequentemente, sen ω t 6 (.) Po outo lado, da análise matemática sabe-se que qualque expessão do tipo ε, pode se desenvolvida numa séie de potências do seguinte modo, ε ε ε... (.5) 8 Poém, paa ε 6, o teceio temo é igual a 08, pelo que este temo e os seguintes podem se despezados, sendo usualmente aceitável o eo associado a esta simplificação. Com efeito, a equação (.) pode se substituída po, sen ω t cosωt + (.6) O pimeio temo do segundo membo da equação (.6) é D, o segundo temo é C e o teceio temo é, apoximadamente, a difeença ente C e D, como se pode obseva na figua.9. 0 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

13 .5.. Método da Notação Complexa Este método consiste na substituição da cada copo do mecanismo em análise po um vecto posição equivalente, adicionando-os depois ao longo de uma cadeia cinemática fechada. equação ou equações daí esultantes são, então, escitas em notação complexa. O estudo é, potanto, feito no espaço complexo. Na figua.0, o vecto epesenta um númeo complexo, o qual pode se expesso po, x y + i (.7) em que x e y epesentam, espectivamente, a pate eal e a pate imagináia. quantidade i epesenta a unidade imagináia tal que i. Y y Figua.0 Espaço complexo. O módulo ou valo absoluto do vecto é dado po, + x X x y ( ) ( ) (.8) O vecto pode se escito em notação complexa e coodenadas polaes como, ou ainda, Das séies numéicas de MacLauin sabe-se que, cosθ + isenθ (.9) iθ ( cosθ + isenθ) e (.0) θ iθ θ iθ θ iθ e iθ + iθ (.)!!! 5! 6! 7! 6 θ θ θ cosθ (.)!! 6! 5 7 iθ iθ iθ isenθ iθ (.)! 5! 7! Obseve-se que a pimeia séie é igual à soma das segunda e teceia séies. figua. ilusta o mecanismo biela-manivela em que as espectivas baas estão epesentadas po vectoes posição equivalentes, os quais fomam uma cadeia cinemática fechada. ssim, somando estes vectoes pode se escita a seguinte equação vectoial, + 0 (.). NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO

14 θ θ Figua. epesentação vectoial do mecanismo biela-manivela. Em notação complexa a equação (.) pode se eescita como, iθ iθ iθ e + e e 0 (.5) em que, na pesente situação,, θ e θ são paâmetos conhecidos à patida. Pelas séies de MacLauin, pode esceve-se, cosθ + isenθ ) + ( cosθ + isenθ ) ( cosθ + isenθ ) 0 (.6) ( Sepaando, agoa, as pates eal e imagináia tem-se, espectivamente, cosθ + cosθ cosθ 0 (.7) senθ + senθ senθ 0 (.8) Como cosθ e senθ 0, esolvendo em simultâneo as equações (.7) e (.8) em odem a θ e obtém-se, Po outo lado, como, senθ θ acsen (.9) + senθ cosθ cos acsen (.0) senθ sen θ acsen acos (.) então, a equação (.0) pode se eescita da seguinte foma, cosθ + sen θ (.) equação (.) é, como seia de espea, exactamente igual à equação (.) obtida pelo método algébico, evidenciando, deste modo, a impotância e utilidade da notação complexa..5.. Método da Notação Maticial Neste método, tal como no método da notação complexa, cada um dos elementos que constitui mecanismo em análise é substituído po um vecto posição equivalente de modo a obte-se uma cadeia cinemática fechada. À semelhança das anteioes, C CINEMÁTIC DE MECNISMOS

15 nesta secção petende-se obte expessões que taduzam a posição do pistão do mecanismo biela-manivela ilustado na figua.. Y θ θ Figua. epesentação vectoial do mecanismo biela-manivela. Uma vez estabelecida a cadeia cinemática do mecanismo biela-manivela, os vectoes po ela fomados devem se pojectados nas diecções X e Y, obtendo-se, espectivamente, as seguintes expessões, cosθ + cosθ 0 (.) senθ senθ 0 (.) Na pesente situação, admite-se que o ógão moto é a manivela, sendo po isso, conhecido o valo de θ. Como os compimentos das baas são também conhecidos a pioi, as incógnitas das equações (.) e (.) são θ e. ssim, esolvendo simultaneamente as equações (.) e (.) vem que, senθ θ acsen (.5) senθ + cosθ cos acsen (.6) Deve nota-se que as equações (.5) e (.6), são iguais às obtidas anteiomente pelos métodos algébico e da notação complexa. No pesente exemplo, não é possível, nem necessáio, esceve as equações (.) e (.) na foma maticial. No entanto, caso tal fosse possível, em temos geais, a foma maticial pode se escita do seguinte modo, C x c (.7) Em que, a matiz contém os coeficientes do sistema, c contém os temos independentes e x epesenta o vecto que contém as incógnitas. equação (.7) epesenta um sistema de equações lineaes, cuja solução pode obte-se ecoendo, po exemplo, à ega de Came. ssim, um sistema de equações de dimensão dois pode se escito como, X Paa matizes com menos de quato equações é conveniente utiliza a ega de Came. Poém, paa matizes de dimensão supeio, esta ega tona-se lenta na esolução de sistemas, pelo que se deve usa outo método, como, po exemplo, o método de eliminação de Gauss.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO

16 cuja solução é dada po, a a a a x c x c (.8) ca ca (.9) D x ac ac (.50) D x em que o deteminante D é calculado como, D a (.5) a aa O método na notação maticial é paticulamente útil no cálculo das velocidades e aceleações, uma vez que a matiz dos coeficientes é igual paa os dois cálculos..5.. Método da Decomposição do Movimento No espaço bidimensional, um copo pode desceve tês tipos de movimento, a sabe: movimento de tanslação, movimento de otação e movimento geal ou misto. O movimento é de tanslação quando todos os pontos de um copo descevem tajectóias paalelas de tal modo que as linhas que unem dois quaisque pontos do copo pemanecem sempe paalelas em elação às posições iniciais. figua.a ilusta o movimento plano de tanslação cuvilínea. O movimento é de otação em tono de eixo quando todos os pontos descevem tajectóias ciculaes em tono de uma ecta designada eixo de otação. Na figua.b mosta-se o movimento de otação. (a) (b) Figua. (a) Movimento de tanslação; (b) Movimento de otação. O movimento é denominado geal ou misto quando existem em simultâneo as popiedades associadas aos movimentos de tanslação e de otação. O movimento plano geal de um copo pode sempe se consideado como a combinação de um movimento de tanslação com um movimento de otação. Esta decomposição do movimento geal taduz a lei de Chasles. figua. ilusta um exemplo de um copo que desceve um movimento geal, o qual consiste numa baa cujos extemos se deslocam ao longo de uma guia CINEMÁTIC DE MECNISMOS

17 hoizontal e outa vetical. Este movimento geal pode se decomposto e substituído pela soma de uma tanslação na diecção hoizontal e de uma otação em tono de, como ilusta a figua.. Em altenativa, o movimento geal pode se substituído pela soma de uma tanslação na diecção vetical e de uma otação em tono do eixo que passo pelo ponto. v + v v Movimento geal ou misto tanslação + otação Figua. Exemplo do movimento plano geal ou misto. maio pate dos mecanismos que se podem enconta consta não de um, mas sim de váios elementos em movimento. Quando tais elementos se encontam aticulados, isto é, constangidos po juntas cinemáticas, o estudo pode se feito a cada copo sepaadamente sem, contudo, esquece que os pontos comuns a váios elementos devem te as mesmas caacteísticas cinemáticas. No caso paticula do mecanismo biela-manivela, podem se obsevados os tês tipos de movimento plano anteiomente apesentados. ssim, a manivela desceve um movimento de otação, o pistão efectua um movimento de tanslação ectilínea e a biela desceve movimento geal ou misto. Este movimento, pode se facilmente estudado se fo decomposto como a soma de uma tanslação e uma otação. Deve efei-se que o método da decomposição do movimento é paticulamente útil e inteessante no estudo cinemático de mecanismos planos, especialmente no que diz espeito ao cálculo das velocidades e das aceleações.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 5

18 .6. MÉTODOS GÁFICOS Os métodos gáficos consistem na epesentação geomética do mecanismo em análise na posição, ou posições, de maio inteesse paa o seu estudo cinemático. aplicação mais coente e pática dos métodos gáficos é na deteminação das velocidades e aceleações utilizando, nomeadamente, os métodos que se baseiam na constução gáfica dos polígonos de velocidades e aceleações. Estes dois métodos têm como base a esolução gáfica de equações vectoiais. Em seguida é apesentada, a título de exemplo, uma aplicação pática do cálculo gáfico na análise da posição do mecanismo biela-manivela ilustado na figua.5a. O poblema elativo à análise de posição consiste na deteminação dos valoes de todas as vaiáveis que caacteizam a configuação geomética do mecanismo, sendo conhecidos os compimentos das baas e os valoes das vaiáveis independentes, as quais são escolhidas paa epesenta os gaus de libedade do mecanismo. No pesente caso, admite-se que a coediça é o ógão moto, sendo, po isso, conhecida à patida a posição do ponto C,. questão que se coloca é a de sabe qual o valo dos ângulos θ e θ, isto é, quais as diecções da manivela e da biela, epesentadas pelos vectoes,, e. ssim, a equação vectoial que epesenta este caso pode se escita como, νν νο νο + (.5) Esta equação vectoial tem duas soluções, que estão epesentadas gaficamente na figua.5b, e em elação às quais coespondem difeentes configuações do mecanismo, isto é, há duas maneias possíveis de associa a manivela e a biela paa uma mesma posição do pistão ou ponto C, sendo ambas válidas. θ θ θ C θ C θ θ (a) (b) Figua.5 nálise gáfica do mecanismo biela-manivela. 6 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

19 .7. NÁLISE DE POSIÇÃO DE MECNISMOS ELEMENTES.7.. Mecanismo de Quato aas figua.6 ilusta um mecanismo de quato baas em elação ao qual se petende efectua a análise de posição dos seus elementos. inda na mesma figua estão epesentados os vectoes que fomam a cadeia cinemática equivalente. θ θ C d θ D Figua.6 Mecanismo de quato baas. cadeia cinemática elativa ao mecanismo de quato baas pode se expessa pela seguinte equação vectoial, (.5) ou ainda em notação complexa, iθ iθ iθ iθ e + e + e + e 0 (.5) Utilizando a fómula de Eule e sepaando as pates eal e imagináia, a equação (.5) pode se eescita da seguinte foma, cosθ + cosθ + cosθ + cosθ 0 (.55) senθ + senθ + senθ + senθ 0 (.56) Na análise de posição do mecanismo de quato baas epesentado na figua.6, os compimentos das baas,, e são conhecidos, consistindo o poblema em detemina os valoes dos ângulos θ e θ, sendo dado o valo de θ elativo à posição angula da manivela que é consideada como sendo o elemento moto. Este caso coesponde à solução de equações vectoiais em que as diecções de dois vectoes difeentes são desconhecidas, a que coespondem duas soluções distintas e que estão ilustadas na figua.7. Em altenativa à esolução gáfica apesentada, podem usa-se as equações (.55) e (.56), as quais constituem um sistema de duas equações a duas incógnitas, θ e θ. Este sistema é, contudo, tanscendente não havendo, po isso, solução analítica, pelo que é necessáio ecoe a métodos numéicos iteativos paa obte as soluções, ou soluções suficientemente póximas.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 7

20 C θ θ θ θ D θ D θ C (a) (b) Figua.7 nálise gáfica do mecanismo de quato baas. Em seguida é apesentada uma metodologia altenativa que conduz à obtenção dos valoes de θ e θ. ssim, considee-se, po simplicidade e comodidade, a existência de um vecto auxilia, d, que epesenta a diagonal pincipal do mecanismo de quato baas, o qual une o ponto D ao ponto, como ilusta a figua.6. Este vecto auxilia pode se expesso po, ou, na foma pola complexa, ou ainda, d + (.57) iθd d e e + e iθ iθ (.58) d cosθd cosθ + cosθ (.59) d senθd senθ + senθ (.60) tendendo a que θ 80º, as equações (.59) e (.60) podem se simplificadas da seguinte foma, d cosθd + cosθ (.6) d senθd senθ (.6) Elevando ao quadado ambas equações (.6) e (.6) e somando-as, membo a membo, esulta que, d + cosθ (.6) Po outo lado, da equação (.6) vem diectamente que, θ d acsen senθ (.6) d Deve efei-se que as equações (.6) e (.6) taduzem, espectivamente, a aplicação das leis dos cosenos e dos senos ao tiângulo D. 8 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

21 O vecto d pode também se expesso como, ou seja, d + (.65) iθd d e e + iθ Dividindo a equação (.66) po e vem que, e iθ iθ (.66) i( θd θ ) i( θ θ ) d e + e (.67) Sepaando as pates eal e imagináia e eaanjando os temos esulta em, cos( θ θ cos θ (.68) ) d ( d θ) sen θ θ ) sen( θ ) (.69) ( d d θ Elevando ao quadado ambas a equações e adicionando o esultado vem que, + cos( θ ) (.70) d d d θ esolvendo a equação (.70) em odem a θ esulta, d + θ θd m acos (.7) Pocedendo de modo análogo, o valo do ângulo θ é dado po, d d + θ θd ± acos (.7) Com efeito, as equações (.7) e (.7) pemitem calcula as posições angulaes das baas e do mecanismo de quato baas..7.. Mecanismo de Coediça Na figua.8a está epesentado um mecanismo de quato baas em que existe uma coediça ente as baas e. Este mecanismo é, po isso, chamado mecanismo de coediça. Na vedade tata-se de um mecanismo do tipo biela-manivela em que manivela está fixa, ao passo que a baa anteiomente fixa pode oda. Este tipo de mecanismo foi muito utilizado em motoes de combustão intena nos pimódios da indústia aeoespacial, sendo conhecidos como motoes otativos poque os cilindos odam em elação à manivela que está fixa. Este mecanismo é também um mecanismo de etono ápido. figua.8b ilusta o sistema equivalente ao mecanismo de coediça em que cada baa foi substituída pelo espectivo vecto posição. Da análise geomética da figua.8b pode esceve-se a seguinte equação vectoial, + 0 (.7) ou ainda, d iθ iθ iθ e + e e 0 (.7). NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO 9

22 θ θ C θ θ C (a) Figua.8 (a) Mecanismo de coediça; (b) epesentação vectoial equivalente. Utilizando a fómula de Eule e sepaando as pates eal e imagináia vem que, cosθ + cosθ cosθ 0 (.75) senθ + senθ senθ 0 (.76) dmitindo que a baa é o ógão moto, o valo de θ é, po isso, conhecido à patida. Uma vez que os compimentos das baas e são também conhecidos, as incógnitas das equações (.75) e (.76) são e θ. ssim, o valo de θ pode facilmente se obtido dividindo a equação (.76) pela equação (.75), esultando em, θ senθ + senθ actg (.77) cosθ + cosθ Como, na pesente situação o valo de θ é igual a 80º, a equação (.77) pode se simplificada do seguinte modo, θ actg senθ (.78) cosθ Substituindo, agoa, o valo de θ dado pela equação (.78) na equação (.75), e esolvendo esta em odem a vem que, senθ (.79) senθ cos actg cosθ.7.. Mecanismo iela-manivela com Excenticidade figua.9 ilusta um mecanismo do tipo biela-manivela, no qual existe uma excenticidade ente o eixo de otação da manivela e o eixo que define a diecção de tanslação da coediça. inda na mesma figua, as baas estão substituídas pelos espectivos vectoes posição equivalentes fomando uma cadeia cinemática fechada. Uma paticulaidade deste mecanismo é a difeença de tempo ente os movimentos de avanço e de ecuo, sendo, po isso, usado como mecanismo de etono ápido. (b) 0 CINEMÁTIC DE MECNISMOS

23 θ θ θ Figua.9 Mecanismo biela-manivela com excenticidade. nalisando a geometia da figua.9 é válida a seguinte equação vectoial, + 0 (.80) ou, na foma pola complexa, C iθ iθ iθ iθ e + e e e 0 (.8) Utilizando a equação de Eule e sepaando as pates eal e imagináia, a equação (.8) esulta em, cosθ + cosθ cosθ cosθ 0 (.8) senθ + senθ senθ senθ 0 (.8) tendendo a que θ 70º e θ 0º, das equações (.8) e (.8) vem que, cosθ cosθ 0 (.8) senθ senθ 0 (.85) Po outo lado, como a manivela é o elemento moto, o valo de θ é conhecido a pioi, pelo que as equações (.8) e (.85) devem se esolvidas em odem às incógnitas θ e, ou seja, + senθ θ acsen (.86) + senθ + cosθ cos acsen (.87).7.. Mecanismo iela-manivela Invetido figua.0 mosta um mecanismo do tipo biela-manivela invetido. Este tipo de invesão do mecanismo biela-manivela é utilizado em bombas manuais usadas paa etia água de poços. No sentido de defini uma cadeia cinemática fechada, consideam-se os vectoes,, e, tal como se ilusta na figua.0, em que tem a mesma diecção da velocidade da coediça e é pependicula a esta diecção. ssim, pode esceve-se que, 0 (.88) e. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO

24 ou na foma pola complexa, e em que, iθ iθ iθ iθ e e e e 0 (.89) θ θ 90 (.90) θ C D θ θ θ Figua.0 Mecanismo biela-manivela invetido. Utilizando a equação de Eule sepaando as pates eal e imagináia, da equação (.89) esulta que, cosθ cosθ cosθ cosθ 0 (.9) senθ senθ senθ senθ 0 (.9) Na análise de posição deste mecanismo, as equações (.90)-(.9) devem se veificadas em cada instante. Neste caso, o vecto pemanece constante, que em módulo, que em diecção, os vectoes e são constantes em módulo e o vecto vaia, tanto em módulo, como em diecção. Pode, potanto, obseva-se que os valoes de,,, θ e θ são conhecidos à patida. Com efeito, se o mecanismo fo accionado pela manivela, isto é, θ é dado, então as equações (.90)-(.9) devem se esolvidas paa θ e. Po outo lado, quando θ fo conhecido, então as equações efeidas devem se esolvidas paa θ e em função de θ. Finalmente, se fo dado, as equações (.90)-(.9) têm de se esolvidas com o intuito de calcula θ e θ. Na figua. estão epesentadas as possíveis soluções quando θ e são dados. Com efeito, admitindo que a manivela é o ógão moto, ou seja, θ é dado, então substituindo a equação (.90) nas equações (.9) e (.9) e isolando os temos que contêm θ no segundo membo vem que, cosθ cosθ cosθ senθ (.9) senθ senθ senθ cosθ (.9) Elevando ambas as equações ao quadado, somando-as e esolvendo em odem a esulta que, + ( cosθcosθ + senθsenθ) (.95) CINEMÁTIC DE MECNISMOS

25 Deve nota-se que, caso o agumento da aiz quadada seja negativo, tem solução complexa, o que significa que paa o valo de θ especificado não é possível associa as baas com os compimentos dados. Substituindo, agoa, os valoes de cosθ e senθ na equação (.9) pelas elações tigonométicas de semi-ângulos, vem que, em que, e, a + t ) ( t ) (t) 0 (.96) ( eaanjando a equação (.96) obtém-se, a (.97) cosθ cosθ tg θ t (.98) ( esolvendo esta equação em odem a t vem que, a + ) t t + ( a ) 0 (.99) + β t a a + + (.00) onde β ±. Paa detemina o valo coecto do paâmeto β, deve, em cada instante, se calculado θ usando a seguinte expessão, θ actg( ) (.0) t De seguida deve substitui-se o valo de θ na equação (.9), em que o valo coecto de θ coesponde ao valo que veifica a igualdade de equação (.9). θ θ θ θ D C θ θ θ D C θ (a) (b) Figua. (a) Duas possíveis soluções paa a associação das baas sendo conhecido o valo de θ ; (b) Duas possíveis soluções paa a associação das baas sendo dado.. NÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCMENTO