UFSCar Cálculo 2. Quinta lista de exercícios. Prof. João C.V. Sampaio e Yolanda K. S. Furuya

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1 UFSCa Cálculo 2. Quinta lista de eecícios. Pof. João C.V. Sampaio e Yolanda K. S. Fuua Rega da cadeia, difeenciais e aplicações. Calcule (a 4 w (0,, π/6, se w = u (b (c 2 +2 (, 3,, se u =. Resposta. 6 z sen + 23 cos z. Resposta f v 2 u 8 (0,, 2, se f(u, v, w = eu ln( + vw. Resposta. /9 2. Em aplicações do cálculo difeencial (temodinâmica po eemplo usa-se a notação (, que significa quando z se epime como função das vaiáveis e. Atente paa o fato de que, em geal, f significa f, mas tem este outo significado que acabamos de desceve. Po eemplo, se z = 2 2, então, epimindo e em coodenadas polaes, = cos, = sen, podemos esceve z de outas fomas, tendo então as deivadas paciais que indicamos: z = 2 cos 2 2 sen 2, = 2(cos 2 sen 2 z = 2 2 ( = 2 2 2, = 2 z = = 2 2 2, = +2 Com base nos conceitos e eemplos acima, sendo z = , = cos, = sen, calcule as deivadas paciais pedidas, escevendo peviamente z como função das duas vaiáveis indicadas na deivação. (a (e (b (f (c (g ( (d (h ( Respostas. (a z = , = 2 (b z = 22 2, = 2 (c z = 2 (2 sec 2, = 2(2 sec2 (d z = , = 4 (e z = 2 + 2, = 2 (f z = 2 ( + cosec 2, = 2( + cosec 2 (g z = 2 (2 sec 2, = 42 tg sec 2 (h z = 2 ( + cosec 2, 4 2 cosec 2 cotg =

2 2 3. Esceva uma epessão paa du, se u = f(,, z, com = ϕ(, e z = ψ(,. d Resposta. du = f d (,, z + f (,, z ϕ ( + f z (,, z (ψ (, + ψ (, ϕ (, sendo, nesta epessão = ϕ( e z = ψ(, ϕ(. 4. Moste que se w = f(u, v é difeenciável, e se u = +at, v = +bt, então w t = aw +bw. 5. Sendo z = (sen cos, calcule dz, po deivação em cadeia, tomando z = uv e d u = sen, v = cos. Resposta. dz = (sen d cos ( cos2 sen ln(sen. sen 6. Moste que se z = + f(, (f deivável então + = + z. então 7. A função difeenciável z = f(, é homogênea de gau n se f(t, t = t n f(,. Moste que uma tal função satisfaz a equação f + f = nf(,. Sugestão. Deive ambos os membos em elação a t e depois faça t =. 8. Considee a equação difeencial pacial 2 z 5 2 z 2 + z 6 2 = 0 2 Moste que, fazendo-se s = + 2, t = + 3, a equação tona-se 2 z =. Detemine s t então a foma de uma solução geal z = ϕ(,, supondo ϕ difeenciável com deivadas paciais de odem 2 contínuas. Resposta. z = f( g( Como no poblema anteio, detemine a solução geal da equação 2 2 z z 0 2 z 2 = 0 fazendo a mudança de vaiáveis u = 5 2, v = Suponha que w = f(, é solução geal de w w =. Faça = u + v, = u v, e moste que a equação se tona 2 w =. Resolva então a equação dada. u v Resposta. w = f( + + g(. 4. Se z = f(,, e = cos, = sen, moste que (a e então que = cos + sen = sen + cos (b ( 2 + ( 2 = ( ( 2. = cos sen = sen + cos

3 3 2. Esceva a equação de Laplace 2 f + 2 f = 0, em temos de coodenadas polaes e, 2 2 sendo = cos, = sen. Resposta. 2 + f f 2 = Se = e s cos t, = e s sen t, moste que 2 u u 2 = e 2s 4. Detemine as difeenciais das seguintes funções. ( 2 u s + 2 u 2 t 2 (a z =. Resposta. dz = 2 d + ( + ln d. (b z = ln( Resposta. dz = ( d + d (c f(, = ln tg 2. Resposta. df = sen(2/ d + 2 sen(2/ d. (d u = z 2. Resposta. du = (e u = ac tg z 2. Resposta. du =. ( d + d + z dz z2 z 2 2 ( d + d dz z4 z (f u = cos 2 + sen 2. Resposta. du = sen 2 d sen 2 d. 5. Usando a difeencial de f( =, moste que se n é bastante gande, tem-se 3 = 3. Estime então, sem usa calculadoa, uma boa apoimação paa n 4 (n+ 3 n 3 ( Resposta = 9, Usando difeenciais, moste que, sendo A = π 2, tem-se A = π( + 2 π 2 = 2π. Intepete geometicamente esse esultado. 7. A áea de um etângulo de lados e é dada po A =. Se os lados e sofem vaiações e, espectivamente, intepete geometicamente a quantidade de áea despezada quando utilizamos a apoimação A = da. 8. Seja R a esistência total de um cicuito de tês esistoes R = 25 ohms, R 2 = 5 ohms, R 3 = 0 ohms, ou seja, = R R + R 2 + R 3. Se R e R 2 são alteados paa 25, ohms e 4,8 ohms, espectivamente, detemine o valo paa o qual R 3 deve se alteado de modo a mante R inalteado. Resposta. R 3 deve passa a se 0,073 ohms. 9. Em condições ideais, a aceleação da gavidade pode se calculada a pati do compimento l e do peíodo T de um pêndulo, pela fómula g = 4π2 l. Enconte o eo máimo elativo T 2 no cálculo de g, g/g, se o eos elativos nos cálculos de l e T são da odem de 5% e 2%, espectivamente. Resposta. 9%. 20. Até qual pecentual um eo elativo de % em a e em b pode afeta a 2 b 3. Resposta. 5%. 2. Calcule os valoes numéicos indicados usando uma difeencial (compae com valoes obtidos em uma boa calculadoa. (a 3 (2, (, Resposta. 2,0. (b ln( Resposta (c Resposta ,5 0 4.

4 4 Deivadas diecionais, gadiente, e aplicações. Calcule a deivada diecional de z em P 0, na dieção u, em cada um dos casos abaio. (a z = ln 2 + 2, P 0 = (,, u = (cos π/4, sen π/4. Resposta. 2/2. (b z = 2 2 2, P 0 = (, 2, u = (cos 60, sen 60. Resposta. 9 3/2. 2. Calcule f v (P 0, sendo (a f(, = cos 2, P 0 = (2, π/4, v = 5 i + j. Resposta. /(2 26. (b f(, = ac tg, P 0 = (4, 4, v = 2 i 3 j. Resposta. /( A pati do ponto (,, em que dieção a função φ = decesce mais apidamente? Resposta. Na dieção do veto i. 4. Calcule a deivada de w = ze cos, no ponto P = (, 0, π/2, na dieção do veto i + 2 j. Resposta. πe/( Detemine um veto nomal à supefície z = 2 + 2, no ponto (3, 4, 25. Detemine equações do plano tangente e da eta nomal à supefície nesse ponto. Resposta. n = 6 i + 8 j k; z = 25; 3 6 = 4 8 = z Idem, agoa consideando a supefície z + z 2 + = 0, e ponto A = (, 2, dessa supefície. Resposta. n = 5 i 3 j + 2 k; z + 3 = 0; = 2 = z= Sendo φ = 2 2, esboce (em um único sistema de coodenadas catesianas no plano as cuvas φ = 4, φ = 0, φ =, φ = 4. Se φ é o potencial eletostático no ponto (,, as cuvas φ = constante são as cuvas equipotenciais e o campo elético é o campo vetoial E = φ. Se φ é a tempeatua em (,, as cuvas φ = constante são as isotemas e φ é o gadiente de tempeatua. O calo flui na dieção φ. Enconte e esboce os vetoes φ nos pontos (, = (±, ±, (0, ±2, (±2, 0 (esboce os vetoes geometicamente, demacando suas etemidades iniciais nesses pontos. Então, lembando que φ é nomal às cuvas φ = constante, esboce váias cuvas ao longo das quais o calo fluiá, assumindo que φ = tempeatua em (,. 8. Seja φ = 2 2 e considee os conceitos definidos no poblema anteio. (a Se φ é o potencial eletostático em (,, ache a gandeza e a dieção do campo elético em (, 2. Resposta. 2 5, 2 i + j. (b Se φ é a tempeatua em (,, em que dieção a tempeatua decesce mais apidamente a pati do ponto ( 3, 2? Resposta. 3 i + 2 j. (c Se φ é a tempeatua em (,, enconte a taa de vaiação da tempeatua, em elação ao deslocamento, no ponto (, 2, na dieção 3 i j. Resposta. 0 (essa é a deivada diecional de φ, no ponto (, 2, na dieção 3 i j.

5 5 9. A altua de uma colina (ou montanha tem equação z = 00( (metos em elação a plano hoizontal de efeência O (uma colina com equação! Isso eiste? Se você está no ponto (,, z = (3, 2, 30, que dieção do plano O você deve evita paa desce a colina com isco mínimo de cai olando abaio? Resposta. 3 i + 4 j. 0. Justifique a seguinte afimação. Se z = f(, é difeenciável em P 0, então eistem constantes m e n tais que paa cada veto unitáio u = (cos α i + (sen α j, tem-se f (P u 0 = m cos α + n sen α. { 2, se (, (0, 0. Seja f(, = , se (, = (0, 0 Moste que, paa cada veto unitáio u = (cos α i + (sen α j, eiste a deivada diecional de f na dieção u, no ponto (0, 0 (lembe-se de que f f((0,0+t u f(0,0 (0, 0 = lim. Usando u t 0 t o fato estabelecido no eecício anteio, deduza que f não é difeenciável em (0, 0.