Noturno - Prof. Alvaro Vannucci. q R Erad. 4πε. q a

Transcrição

1 Eletomagnetismo II 1 o Semeste de 7 Notuno - Pof. Alvao Vannui 4 a aula 15jun/7 Vimos: Usando os poteniais de Lienad-Wiehet, os ampos de agas em M..U. são dados po: i) v q ( v ) q 1 E( a ) u ( u ) ii) ( ) 1 B a ( v E) Paa agas aeleadas: De foma que S ad * 3 * 3 * v sin θ q Ead ( u a ) ; u v ( u ) 1 q a sin θ µ π µ ε Ead 5 16 tempo e posição pesentes θ ângulo ente os vetoes aeleação a e posição etadada Potanto: q a 1 3 Fómula de Lamo ad 3 P S n da esultado válido paa agas om v << ; já tinha sido obtido antes usando distibuição de agas! elatividade Equações de Loent de tansfomação de oodenadas e de veloidade, supondo obsevado O om veloidade V em elação a obsevado O: V Vt V (1) v v V Vv (5) t () (3) t V V (4) v v v V V v v V V v (6) (7)

2 Nossa taefa, agoa, seá a de detemina as leis (equações) de Tansfomação dos Campos. Paa isso, vamos utilia as equações anteioes, supondo que as oigens dos sistemas de oodenadas S e S (om veloidade V) se uam em t t. Vamos iniia esevendo a ª e a 3 a equação de Mawell, po eemplo, em temos das oodenadas atesianas: B + + e e e E t E E E E, paa, igualmente: t B t E E B t (8) ; e (9) (1) (11) + + t t E E B t (1) (13) (14) (15) Vamos agoa oelaiona as deivadas om e sem linha, utiliando a ega da Cadeia: (a vaiação em das oodenadas de, envolve a vaiação em ada uma das oodenadas de ): t t t t t t t t t t t t t f f f f f (,, ) + + (16)

3 Agoa, estas deivadas, segundo as Equações de Tansfomações de Coodenadas de Loent (equações 1 a 4): t V γ γ t 1 t 1 t γ t t t t Utiliando estes esultados nas equações (16): V γ γ t + γ t t (17) (18) (19) () Uma outa maneia de eseve esta equações é na foma matiial: γ γ V 1 1 γ t t Vamos agoa aplia estas elações (17 ) nas equações de Mawell (equações 8-11): i) + γ + γ t t (1) ii) γ + + γ t t E γ E + B γ B + E t ()

4 iii) γ + γ t t E γ E B γ B E t t t iv) γ ( γ B ) (3) (4) Usando (4) em (1): γ V V + γ t t ( E + VB ) ( E VB ) γ 1 V t 1 γ 1 γ t ( γ E + B ) ( γ E B ) t B (5) Compaando (5) om (13): Compaando () om (14): E E + VB E E VB B B γ γ γ γ E E E γ E + B B γ B + E (6) (7) (8) (9) (já obtido aima) (3) Compaando (3) om (15): E γ E B E E B γ B E (já obtido aima) (já obtido aima) (31)

5 Potanto, temos as equações que tansfomam as omponentes dos ampos, de um efeenial ao outo. Mas note que as omponentes dos ampos na dieção do movimento (E e B ) são invaiantes (as mesmas paa e ). Ou seja, as difeenças ente E e B, quando medidos de difeentes efeeniais ineiais, envolvem somente as Componentes Pependiulaes ao movimento. Desta foma, esevendo E E// + E e B B// + B em elação à dieção de movimento, as equações aima podem se epesentadas: Isto poque, po eemplo: E E B B // // // // e E γ E + V B V B γ B E e e e V B V VB e + VB e B B B (e o mesmo paa V E ) E, das eqs. (6) e (7), temos que: E Ee + Ee E VB e + E + VB e Ee + Ee + V Be + Be E Consideando a aga omo sendo um invaiante, ρ e J não seão! ( γ γ ) ( γ γ ) γ ( ) γ ( ) Po eemplo, onsidee um fio de seção etangula, muito longo, em epouso no efeenial do Laboatóio, om uma densidade unifome de agas positivas ρ. Paa um obsevado movendo-se om veloidade V na dieção, as agas não estaão em epouso. Na vedade, mediá densidade de aga ρ (unifome) e densidade de oente J ). Q total é um invaiante, mas o ompimento do fio é ontaído ρ > ρ ρ A V

6 dq dq dq Ou seja, paa : ρ e paa : ρ dv dv d d d Usando que d d, d d e d d V (ontação dos espaços) dq 1 Então: ρ d d d ρ γρ mede um valo maio paa a V densidade volumétia de agas dv γ Com elação à densidade de oente, enquanto mede J ρ v o obsevado veá as agas movimentando-se om v V, de foma que este mede: J ρ v ( γρ )( V e ) Queo agoa alula os ampos E e B medidos po e a pati dos seus espetivos efeeniais. Paa simplifia, vou onsidea o fio longo de ompimento L, em epouso no efeenial de, om densidade de agas (+ρ) unifome, omo tendo seção iula de aio e dl áea A. Paa : B, pois J B // e B A da Quanto ao ampo E, pela Lei de Gauss: qint 1 E n da ρdv ( E) π φ ε ε int 1 ( )( l ) ( ρ )( π )( l ) d d ε dv E// ρ E E e e ε ρ E E e ε Agoa, apliando Lei de Gauss paa ( que mede ρ devido à ontação do fio, em elação ao seu ompimento): Quanto ao ampo oente J. E// ρ E e ε γρ E E e ε B, ele não é nulo paa, pois este mede uma densidade de

7 Então, apliando a Lei de Ampée (note que pela geometia B B e φ ): B dl µ J n da ( B )( π ) ( µ )( γρv ) da en l. A A µ γρva V B π µ γρ π π γρv B ε Obseve que estes esultados teiam sido obtidos muito mais failmente atavés das equações de tansfomação dos ampos: ρ γρ E γ e + e ε ε VE ρ φ e φ B ( ) γ e e e ε 1 ε µ e φ áea da eação tansvesal do fio