Prof. Jorge Romão Prof. Amaro Rica da Silva

Transcrição

1 Teste de EO 6 de Novembo de 0 8H00 Duação: H30 Eletomagnetismo e Óptia Mestado em Eng. Eletoténia e Computadoes (MEEC) semeste de 0-03 Pof. Joge Romão Pof. Amao Ria da Silva Pof a. Raquel Cespo Assist. João Pedo Canhoto Duante a ealização do teste não é pemitido o uso de telemóveis e aluladoas. Identifique laamente todas as folhas do teste. Iniie a esolução de ada um dos poblemas numa nova página. Poblema. Considee o sistema epesentado na Figua, onstituído po dois ondutoes maiços em equilíbio eletostátio. O onduto inteio está ompeendido ente as supefíies esféias de aios a e b e onduto exteio ente as supefíies esféias de aios e d. Na avidade do onduto inteio existe o vazio e o espaço ente os dois ondutoes está peenhido po um dielétio linea, homogéneo e isótopo de pemitividade Ε. O onduto inteio tem uma aga total enquanto que a aga total no onduto exteio é ( > 0). [.0] a) Detemine a aga total nas supefíies inteio e exteio de ada um dos ondutoes. Justifique a esposta. Figua R: Como o ampo elétio E é zeo dento dos ondutoes, o fluxo de E (ou D o E) atavés de qualque supefíie de Gauss S que pemaneça no inteio das esfeas ondutoas é neessaiamente zeo, e pela ei de Gauss S Dd S int, a soma int das agas lives inteioes a S deve se também zeo. Em ondutoes em equilíbio eletostátio toda a aga live deve enonta-se à supefíie dos ondutoes. Assim, se no onduto inteio a aga total é a b, usando uma supefíie de gauss S i, ujos pontos estão a uma distânia s a, b do ento, onluímos que na sua supefíie intena int a 0, donde b na sua supefíie extena. No onduto exteio a aga total é d. Usando uma supefíie de gauss S e, ujos pontos estão a uma distânia s, d do ento, onluímos de int b 0 que na supefíie intena b, donde d na sua supefíie extena. Em esumo: a 0 b d ()

2 [.0] b) Detemine, detalhando todos os álulos efetuados, a expessão do veto D em todo o espaço ( < a, a < < b, b < <, < < d, > d). R: Usando agoa a lei de Gauss paa supefíies esféias S de aio apopiado paa ada egião, obtemos usando a simetia esféia da distibuição de agas e a invaiânia em S da omponente adial D de D Dd S D 4 Π int D 0 0 < < a D 0 a < < b D e 4 Π b D 0 < < d D no efeenial e, e Θ, e φ assoiado às oodenadas esféias, Θ, φ. 4 Π e d < [.0] ) Detemine, detalhando todos os álulos, a expessão do potenial elétio em todas as egiões do espaço, tomando omo efeênia Φ 0. D D o (dependendo da pesença ou não de um meio dielétio), e dento dos onduto- R: Como E ou E es em equilíbio o potenial Φ é onstante, então podemos usa a expessão Φ Φ o E d Φ o E d (3) o o paa alula Φ 4 Π o d 4 Π o Φ Φd Φ 4 Π o d Φ Φ d 4 Π 4 Π o d d < < d 4 Π b < < Φ Φb Φa 4 Π o d 4 Π b 0 < < b [.0] d) Detemine as densidades de aga de polaização nas duas supefíies do dielétio, Σ b, Σ e a densidade de aga de polaização em volume Ρ. R: Dento do dielétio não existem agas lives, o que signifia que aí D 0. Como no dielétio P o Χ ee o Χ e D obtemos imediatamente que paa b < <, Ρ P o Χ e D 0 (5) Na supefíie inteio do dielétio, paa b, temos n ext b e, enquanto na supefíie exteio do dielétio n ext e. Assim, elembando que o Χ e o () (4) Σ b Pb n ext b o Σ P n ext o 4 Π b 4 Π (6)

3 [.0] e) Detemine a enegia eletostátia do sistema. R: A enegia eletostátia pode se alulada paa um sistema de ondutoes om agas i a poteniais Φ i omo U i i Φ i ou seja ou U b Φb d Φ 4 Π o d 4 Π b (7) 4 Π o d U 8 Π b 8 Π o d (8) Outa foma de detemina a enegia eletostátia é avalia a enegia amazenada no ampo em todo o espaço, om densidade de enegia loal w e E D. Dento do dielétio E D : U i b, D V 0 Π Π 0 b 4 Π sinθ Θ φ 4 Π 4 Π enquanto no espaço exteio às esfeas E o D b d 8 Π b (9) U e D V d, o Π Π 0 0 d o 4 Π sinθ Θ φ o 4 Π 4 Π d d 8 Π o d (0) A soma destes dois temos dá a enegia total U i U e U tal omo anteiomente deteminada. Uma teeia via onsiste em olha paa o sistema omo dois ondensadoes em séie, um om amaduas em b e om aga, e o outo om amaduas em d e, também om aga. A enegia amazenada num ondensado é U, onde é a tensão ente as amaduas. Assim, paa o pimeio ondensado Φ Φb enquanto no segundo 4 Π b U 8 Π b () Φd Φ 4 Π o d U 8 Π o d () e potando U U U omo anteiomente.

4 Poblema. Um tubo onduto ilíndio oo de diâmeto d, espessua a e ompimento d, é peoido po uma oente I esultante de uma tensão apliada ente as suas extemidades (Figua ). Sabendo que a sua ondutividade é Σ e a pemeabilidade magnétia é Μ, [.0] a) Detemine a esistênia total R do tubo, e a densidade de oente de ondução J no tubo. R: Pela definição de esistênia R paa um onduto de seção onstante S (seção pependiula à Σ S dieção da oente) e ompimento, temos neste aso R Σ Π d Π d a Σ Π a d a (3) J I S R S Σ J Σ uz (4) (Se não esolve a alínea a) apesente os esultados das alíneas seguintes em função de I.) [3.0] b) Na apoximação de um onduto etilíneo infinito, eseva as expessões paa o ampo B em todas as egiões na vizinhança e dento do tubo (Figua ). Explique os seus esultados. R: Pela ei de Ampée, dento do tubo paa < d a tem-se H 0, e paa d a < < d, tem-se S H d l I ond int H Θ Π Jd S Σ Π d a potanto em oodenadas ilíndias, H H Θ u Θ Θ Σ d a uθ B Μ H Μ Σ d a uθ (5) Foa do tubo > d tem-se B d l Μo I tot Σ int B Θ Π Μ o I Μ o Π a d a (6) S B BΘ u Θ Θ Μ o I uθ Θ Π ou B Μo Σ a d a uθ Θ (7) [3.0] ) Detemine a magnetização M e as densidades de oentes de magnetização J M e J M, espetivamente dento e na supefíie do onduto. R: Relembando que Χ m ΜΜ o Μ o, M Χ m H Χm H Θ u Θ Θ M Θ u Θ Θ (8) Paa a supefíie exteio onde d, J M M n ext Χ m H Θ d u Θ Θ ad a Σ u Θ Χ m uz (9) d

5 enquanto que na supefíie inteio, onde d a, se tem J M 0 poque H Θ d a 0. J M M M Θ uz (0) J M Χ m Σ d a Σ u z Χ m uz Χ m J () [.0] d) Assumindo que o tubo é agoa envolvido po um ilindo onduto de espessua despezável (Figua 3), om o mesmo eixo mas diâmeto d, qual seia a pessão N m sentida na supefíie do ilindo se este fosse peoido po uma oente I igual e no mesmo sentido que a do tubo? R: A oente I distibuída na supefíie do onduto de aio R d oesponde a uma densidade supefiial J s I Π R uz. Um segmento de onduto de lagua R Θ é atavessado po uma oente I J s R Θ. Um segmento de ompimento l z u z onstitui um elemento de oente I l J s R Θ z J s S, pelo que a foça de aplae é d F m I l B S J s B donde d F m ds I B Θ d Π d u Θ Μ o Σ ad a u Θ () d d a d a Figua Figua 3

6 Fomuláio de Eletomagnetismo e Óptia, MEEC (008) Eletostátia E q u 4Π N.m.C 4Π 0 E d l 0 E 0 S D n ds V Ρ liv dv D Ρ liv S P n ds V Ρ pol dv Ρ pol P Σ pol P n ext Re f Φ P E d l P E Φ D P 0E D 0 Χ E E E CV U E i u E E U E V u E dv F s ± du E u ds s q i Φ i Coente elétia estaionáia J Nqv J Σ E Magnetostátia Μ B 0 4Π Id l u Μ 0 4Π 07 H/m d F Id l B S B n ds 0 B 0 H dl J n ds S H J B Μ 0 M H B Μ 0 Χ m H ΜH M dl JM n ds S J M M J M M n ext Inteação de patíulas e ampos F q E v B Campos vaiáveis e indução d E dl dt B n ds S E B t i i I i M i j I j U M i u M B Μ i I i I S J n ds U M V u M dv p J E J d n ds S dt Ρdv V J dρ dt F s ± du M u ds s H dl J d n ds S dt D n ds S H J D t Ondas eletomagnétias S E H n Κ Κ E B v v Μ E E B B Óptia n senθ n senθ tgθ B n n intefeênia ente fendas dsenθ max mλ dsenθ min mλ Λ m (m N e pa) u u E u M I S n difação asenθ min mλ F.Baão,.F.Mendes Dep. de Físia, IST

7 Algumas Pimitivas dx x b 3/ x b x b xdx x b x b dx xx a a ln x x a xdx x b 3/ x b dx x b ln x x b Paa o álulo analítio de integais pode se onsultado o endeeço web: Coodenadas atesianas (x, y, z) d l dx u x ds dx dy dv dx dy dz dy u y dz u z F F x, F y, F z A A x x A y y A z z A x, y, z, A x, A y, A z Coodenadas polaes (, Θ) d l d u dθ u Θ ds d dθ Coodenadas ilíndias (, Θ, z) d l d u dθ u Θ dz u z dv d dθ dz F F, F A A A Θ, F z A Θ Θ A z z A z Θ A Θ z u A z A z u Θ A Θ A Θ u z Coodenadas esféias (, Θ, Φ) d l d u dθ u Θ senθ dφ u Φ dv d senθ dθ dφ F F, F Θ, F senθ Φ A A senθ A senθa Φ senθ Θ Θ senθa Θ senθ Φ A Φ senθa Θ u Φ A senθ Φ A Φ u Θ A Θ A Θ u Φ Teoema da Divegênia V A dv S A n ds Teoema da Stokes S A ds A d l Identidades vetoiais A B B A A B A 0 A A A